Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom, ditulis di antara kurung siku. Contoh:

Susunan di atas adalah matriks karena terdiri atas bilangan yang disusun dalam 2 baris dan 2 kolom.

Matriks baris (1 baris, 3 kolom):

Matriks kolom (3 baris, 1 kolom):

Ya, dalam penulisan standar Indonesia dan banyak buku matematika, matriks ditulis menggunakan kurung siku [ ]. Beberapa buku menggunakan kurung biasa ( ), tetapi kurung siku [ ] adalah notasi yang paling umum dan dianjurkan.

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya = 0. Dilambangkan O:

Data nilai disusun dalam 3 baris dan 1 kolom:

Baris = hari, kolom = produk. Maka diperoleh matriks 2×3:

Baris ke-1 = Hari 1, baris ke-2 = Hari 2. Kolom 1, 2, 3 = produk A, B, C.

Matriks identitas I₃ berukuran 3×3 adalah:

Ciri-ciri: (1) berbentuk persegi, (2) diagonal utama bernilai 1, (3) semua elemen di luar diagonal utama bernilai 0.

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika: (1) ukurannya sama (ordo sama), dan (2) setiap elemen yang seletak nilainya sama (a_ij = b_ij untuk semua i, j).

Contoh A = B:

Karena A = B, maka setiap elemen yang seletak harus sama:

• Elemen baris 1 kolom 1: 2x + 1 = 7 → 2x = 6 → x = 3
• Elemen baris 2 kolom 2: y − 2 = 4 → y = 6

Matriks persegi: jumlah baris = jumlah kolom.

Karena A = B, setiap elemen seletak bernilai sama:

• 3a − b = 5 … (1)
• a + 2b = 8 … (2)
• 4c = 12 → c = 3

Dari (1): 3a − b = 5 → b = 3a − 5

Substitusi ke (2): a + 2(3a − 5) = 8 → a + 6a − 10 = 8 → 7a = 18 → a = 18/7

Hmm, agar nilai bulat, cek: jika a = 2 → b = 3(2)−5 = 1, cek (2): 2+2(1)=4 ≠ 8. Coba a=3: b=3(3)−5=4, cek: 3+2(4)=11 ≠ 8. Dengan sistem: 7a=18 → a=18/7. Nilai eksaknya: a = 18/7, b = 3(18/7)−5 = 19/7, c = 3.

Matriks ini disebut matriks segitiga bawah (lower triangular matrix), yaitu matriks persegi di mana semua elemen di atas diagonal utama bernilai 0.

Elemen di atas diagonal utama (a₁₂, a₁₃, a₂₃) semuanya = 0.

Sebuah matriks berukuran m × n memiliki tepat m × n elemen (posisi elemen).

Untuk matriks 3×4: 3 × 4 = 12 elemen.

Terdapat 12 posisi elemen, masing-masing bisa diisi bilangan berbeda.

Karena A = B, maka elemen seletak sama:

• Elemen (1,1): x² = 9 → x = ±3
• Elemen (2,2): y + 1 = 5 → y = 4

Karena x² = 9, maka x = 3 atau x = −3 (keduanya memenuhi).

Ordo 5×4 → total elemen = 5 × 4 = 20 elemen.

Nilai Siswa ke-3 pada Mata Pelajaran ke-2 berada di posisi elemen a₃₂ (baris ke-3, kolom ke-2), ditandai kotak biru.

Langkah-langkah:

• Hitung baris: ada 3 baris (→, mendatar)
• Hitung kolom: ada 2 kolom (↓, tegak)
• Ordo = 3 × 2

Matriks baris hanya memiliki 1 baris. Jika terdapat 5 elemen maka kolom = 5.

Ordo B = 2 × 4. Strukturnya:

Matriks persegi adalah matriks dengan baris = kolom (m = n).

• 3×4: baris ≠ kolom → bukan persegi
• 5×5: baris = kolom → matriks persegi ✓
• 2×3: baris ≠ kolom → bukan persegi

Matriks kolom hanya memiliki 1 kolom. Dengan 4 elemen maka baris = 4.

Syarat dua matriks sama adalah ordonya harus sama. Ordo A = 2×3 ≠ Ordo B = 3×2. Meskipun banyak elemennya sama (6 elemen), struktur baris dan kolomnya berbeda.

Oleh karena itu, A ≠ B karena ordo tidak sama.

m × n = 12. Pasangan (m, n) bilangan asli yang memenuhi:

• 1 × 12 (matriks baris)
• 2 × 6
• 3 × 4
• 4 × 3
• 6 × 2
• 12 × 1 (matriks kolom)

Matriks persegi berordo 5 berarti baris = kolom = 5.

• Baris: 2a − 1 = 5 → 2a = 6 → a = 3
• Kolom: b + 3 = 5 → b = 2

Tidak pasti sama. Contoh penyangkal:

Keduanya punya 4 elemen namun ordo berbeda (2×2 vs 1×4).

• Baris: m + 2 = 4 → m = 2
• Kolom: 2n − 1 = 5 → 2n = 6 → n = 3

Karena A = B dan persegi berordo 7, maka baris = kolom = 7 untuk keduanya. Gunakan ordo A:

• 3x − y = 7 … (1)
• x + 2y = 7 … (2)

Dari (1): y = 3x − 7. Substitusi ke (2):

x + 2(3x − 7) = 7 → x + 6x − 14 = 7 → 7x = 21 → x = 3

Maka: y = 3(3) − 7 = 2

Verifikasi ordo B: x+4 = 7 ✓, y+1 = 3 ≠ 7. Karena ordo B harus 7×7, maka soal ini diselesaikan dengan ordo A saja → x = 3, y = 2.

Cari m dan n dengan m + n = 9 dan m × n = 20. Ini seperti mencari akar persamaan kuadrat:

t² − 9t + 20 = 0 → (t−4)(t−5) = 0 → t = 4 atau t = 5

Jadi {m, n} = {4, 5}. Kemungkinan ordo:

• Ordo 4 × 5
• Ordo 5 × 4

Matriks A berordo m×n, artinya:

• Elemen pada satu baris (baris ke-i): sebanyak n elemen (satu untuk setiap kolom).
• Elemen pada satu kolom (kolom ke-j): sebanyak m elemen (satu untuk setiap baris).

Contoh: matriks 3×4, satu baris punya 4 elemen, satu kolom punya 3 elemen.

• Baris: a² − 5 = 4 → a² = 9 → a = ±3
• Kolom: 2b + 1 = 4 → 2b = 3 → b = 1,5

Karena b harus bilangan bulat, b = 1,5 tidak memenuhi. Ini menunjukkan tidak ada bilangan bulat b yang membuat kolom tepat 4. Jika soal mengizinkan bilangan rasional: a = ±3, b = 3/2.

Perkalian matriks A (m×n) × B (n×p) dapat dilakukan jika kolom A = baris B.

• A berordo 3×k: baris A = 3, kolom A = k
• B berordo k×5: baris B = k, kolom B = 5
• Syarat: kolom A = baris B → k = k ✓ (selalu terpenuhi)
• Hasil A × B berordo: 3 × 5

Ingat: bᵢⱼ = elemen baris ke-i, kolom ke-j.

• b₁₂ = baris 1, kolom 2 = 9
• b₂₁ = baris 2, kolom 1 = 2
• b₃₂ = baris 3, kolom 2 = 1

Baris ke-2 matriks C adalah elemen c₂₁, c₂₂, c₂₃:

Elemen baris ke-2: c₂₁ = 1, c₂₂ = 6, c₂₃ = 2

Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dinotasikan aᵢⱼ. Baris ke-2 → i=2, kolom ke-3 → j=3.

Notasinya adalah a₂₃.

Kolom ke-1 adalah elemen d₁₁, d₂₁, d₃₁:

• d₁₁ = 10
• d₂₁ = 30
• d₃₁ = 50

Diagonal utama adalah elemen dengan indeks baris = indeks kolom (i = j):

• e₁₁ = 6
• e₂₂ = 2

• Diagonal utama (i=j): f₁₁=2, f₂₂=3, f₃₃=9 → {2, 3, 9}
• Diagonal samping (kanan atas ke kiri bawah): f₁₃=6, f₂₂=3, f₃₁=7 → {6, 3, 7}

• g₁₁ = 3x = 12 → x = 4
• g₁₂ = y + 1 = 4 → y = 3
• g₂₁ = 2z = 10 → z = 5

Elemen di atas diagonal utama memiliki syarat i < j:

• h₁₂ = 2 (i=1, j=2, i<j ✓)
• h₁₃ = 3 (i=1, j=3, i<j ✓)
• h₂₃ = 6 (i=2, j=3, i<j ✓)

Diagonal utama matriks persegi n×n terdiri dari elemen a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, aₙₙ. Banyaknya elemen diagonal utama = n buah.

Untuk n = 5: terdapat 5 elemen diagonal utama, yaitu a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄, a₅₅.

• i₁₁ = a + b = 7 … (1)
• i₁₂ = a − b = 1 … (2)

(1) + (2): 2a = 8 → a = 4

(1) − (2): 2b = 6 → b = 3

• i₂₁ = 2a = 2(4) = 8
• i₂₂ = b² = 3² = 9

Hitung setiap elemen dengan rumus jᵢⱼ = 2i + 3j:

• j₁₁ = 2(1)+3(1) = 5 | j₁₂ = 2(1)+3(2) = 8 | j₁₃ = 2(1)+3(3) = 11
• j₂₁ = 2(2)+3(1) = 7 | j₂₂ = 2(2)+3(2) = 10 | j₂₃ = 2(2)+3(3) = 13
• j₃₁ = 2(3)+3(1) = 9 | j₃₂ = 2(3)+3(2) = 12 | j₃₃ = 2(3)+3(3) = 15

Hitung elemen satu per satu:

• i=1,j=1: i≥j → 1²−1=0 | i=1,j=2: i<j → 0 | i=1,j=3: i<j → 0
• i=2,j=1: i≥j → 2²−1=3 | i=2,j=2: i≥j → 2²−2=2 | i=2,j=3: i<j → 0
• i=3,j=1: i≥j → 3²−1=8 | i=3,j=2: i≥j → 3²−2=7 | i=3,j=3: i≥j → 3²−3=6

Elemen diagonal utama memiliki i = j, sehingga lᵢᵢ = i × i = i².

• l₁₁ = 1² = 1
• l₂₂ = 2² = 4
• l₃₃ = 3² = 9
• l₄₄ = 4² = 16

Jumlah = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

Gunakan rumus mᵢⱼ = (−1)^(i+j) × (i+j):

• m₁₁=(−1)²×2=2 | m₁₂=(−1)³×3=−3 | m₁₃=(−1)⁴×4=4
• m₂₁=(−1)³×3=−3 | m₂₂=(−1)⁴×4=4 | m₂₃=(−1)⁵×5=−5
• m₃₁=(−1)⁴×4=4 | m₃₂=(−1)⁵×5=−5 | m₃₃=(−1)⁶×6=6

Posisi (2,3) berarti i = 2, j = 3.

• Elemen N: n₂₃ = 3(2) − 2(3) + 1 = 6 − 6 + 1 = 1
• Elemen O: o₂₃ = 2² + 3 = 4 + 3 = 7

Perbandingan: n₂₃ = 1 < o₂₃ = 7, sehingga elemen O pada posisi (2,3) lebih besar.