Pola Bilangan – Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Pola Bilangan

Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Pola Bilangan

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang dibentuk mengikuti aturan tertentu. Setiap bilangan dalam susunan tersebut disebut suku. Aturan yang menghubungkan suku-suku tersebut dapat berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, atau kombinasi operasi lainnya.

Notasi:

U₁, U₂, U₃, U₄, …, U_n

di mana:

U_n = suku ke-n
n = nomor urut suku (bilangan asli)

Untuk menemukan pola, kita perlu mengamati selisih antar suku berturut-turut. Selisih ini sering disebut beda (pada barisan aritmetika) atau rasio (pada barisan geometri).

Kegiatan: Mengamati

Amati susunan bilangan berikut:

2, 4, 6, 8, 10, … (selisih antar suku = 2)
1, 4, 9, 16, 25, … (bilangan kuadrat)
3, 6, 12, 24, 48, … (setiap suku dikali 2)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (jumlah dua suku sebelumnya)

Apa kesamaan dan perbedaan dari pola-pola di atas?

Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati pola-pola di atas, ajukan pertanyaan:

Bagaimana cara menentukan suku berikutnya?
Bagaimana merumuskan suku ke-n dari suatu pola?
Apakah semua pola memiliki rumus umum?

Kegiatan: Menalar

Untuk menentukan rumus suku ke-n, kita dapat menggunakan metode selisih bertingkat:

n	1	2	3	4	5
U_n	3	7	13	21	31
Selisih 1		4	6	8	10
Selisih 2			2	2	2

Karena selisih kedua konstan (= 2), maka rumus U_n berbentuk kuadrat: U_n = an² + bn + c

Kegiatan: Mencoba

Tentukan rumus U_n dari pola: 3, 7, 13, 21, 31, …

Langkah:

Selisih 2 konstan = 2, maka a = 2/2! = 1
U_n = n² + bn + c
Substitusi n=1: 1 + b + c = 3 → b + c = 2
Substitusi n=2: 4 + 2b + c = 7 → 2b + c = 3
Dari (4) dan (3): b = 1, c = 1
U_n = n² + n + 1

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Presentasikan hasil temuanmu:

Jelaskan langkah-langkah menemukan rumus U_n
Verifikasi rumus dengan mensubstitusi beberapa nilai n
Diskusikan apakah rumus tersebut berlaku untuk semua suku

2. Jenis-Jenis Pola Bilangan

A. Pola Bilangan Ganjil

1, 3, 5, 7, 9, 11, …

Rumus: U_n = 2n − 1

B. Pola Bilangan Genap

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Rumus: U_n = 2n

C. Pola Bilangan Persegi (Kuadrat)

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Rumus: U_n = n²

D. Pola Bilangan Persegi Panjang

2, 6, 12, 20, 30, 42, …

Rumus: U_n = n(n + 1)

E. Pola Bilangan Segitiga

1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Rumus: U_n = n(n + 1)/2

F. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Baris	Bilangan
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1

Setiap bilangan merupakan jumlah dua bilangan di atasnya.

G. Pola Bilangan Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Rumus: U_n = U_n−1 + U_n−2, untuk n ≥ 3, dengan U₁ = 1, U₂ = 1

H. Pola Bilangan Kubik

1, 8, 27, 64, 125, …

Rumus: U_n = n³

3. Menentukan Rumus Suku ke-n dengan Metode Selisih

Metode selisih bertingkat digunakan untuk menemukan rumus suku ke-n dari suatu pola bilangan.

Aturan:

Jika selisih pertama konstan → U_n = an + b (linear)
Jika selisih kedua konstan → U_n = an² + bn + c (kuadrat)
Jika selisih ketiga konstan → U_n = an³ + bn² + cn + d (kubik)

Menentukan koefisien a:

Selisih pertama konstan = d₁ → a = d₁
Selisih kedua konstan = d₂ → a = d₂/2!
Selisih ketiga konstan = d₃ → a = d₃/3!

Kegiatan: Menalar

Contoh penerapan metode selisih:

Pola: 2, 5, 10, 17, 26, …

n	1	2	3	4	5
U_n	2	5	10	17	26
Δ₁		3	5	7	9
Δ₂			2	2	2

Selisih kedua konstan = 2, maka:

a = 2/2 = 1 → U_n = n² + bn + c

n=1: 1 + b + c = 2 → b + c = 1

n=2: 4 + 2b + c = 5 → 2b + c = 1

Maka b = 0, c = 1

U_n = n² + 1

Contoh Soal & Pembahasan

▸ Tingkat Mudah

Soal 1:

Tentukan tiga suku berikutnya dari pola: 4, 7, 10, 13, …

Pembahasan

Selisih antar suku = 7 − 4 = 3 (konstan)

Suku berikutnya: 13 + 3 = 16

Selanjutnya: 16 + 3 = 19

Selanjutnya: 19 + 3 = 22

Jawaban: 16, 19, 22

Soal 2:

Tentukan suku ke-10 dari pola bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, …

Pembahasan

Rumus bilangan ganjil: U_n = 2n − 1

U₁₀ = 2(10) − 1 = 20 − 1 = 19

Soal 3:

Tentukan suku ke-7 dari pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …

Pembahasan

Rumus bilangan segitiga: U_n = n(n + 1)/2

U₇ = 7(7 + 1)/2 = 7 × 8/2 = 56/2 = 28

Soal 4:

Tentukan suku ke-5 dari pola: 2, 6, 12, 20, …

Pembahasan

Pola ini adalah bilangan persegi panjang: U_n = n(n + 1)

Verifikasi: U₁ = 1×2 = 2 ✓, U₂ = 2×3 = 6 ✓

U₅ = 5(5 + 1) = 5 × 6 = 30

Soal 5:

Tentukan suku ke-8 dari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Pembahasan

U₁=1, U₂=1, U₃=2, U₄=3, U₅=5, U₆=8

U₇ = U₆ + U₅ = 8 + 5 = 13

U₈ = U₇ + U₆ = 13 + 8 = 21

▸ Tingkat Sedang

Soal 1:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 4, 9, 16, 25, 36, …

Pembahasan

Perhatikan: 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5², 36 = 6²

Suku ke-n: U_n = (n + 1)²

Verifikasi: U₁ = (1+1)² = 4 ✓, U₂ = (2+1)² = 9 ✓

U_n = (n + 1)²

Soal 2:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 3, 8, 15, 24, 35, …

Pembahasan

Selisih 1: 5, 7, 9, 11

Selisih 2: 2, 2, 2 (konstan)

a = 2/2 = 1 → U_n = n² + bn + c

n=1: 1 + b + c = 3 → b + c = 2

n=2: 4 + 2b + c = 8 → 2b + c = 4

b = 2, c = 0

U_n = n² + 2n = n(n + 2)

Soal 3:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 1, 5, 12, 22, 35, …

Pembahasan

Selisih 1: 4, 7, 10, 13

Selisih 2: 3, 3, 3 (konstan)

a = 3/2 → U_n = (3/2)n² + bn + c

n=1: 3/2 + b + c = 1 → b + c = −1/2

n=2: 6 + 2b + c = 5 → 2b + c = −1

b = −1/2, c = 0

U_n = (3n² − n)/2 = n(3n − 1)/2

Soal 4:

Diketahui pola bilangan: 2, 6, 18, 54, … Tentukan suku ke-7.

Pembahasan

Rasio: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3 (rasio konstan = 3)

Ini adalah pola geometri: U_n = a × rⁿ⁻¹

a = 2, r = 3

U₇ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458

Soal 5:

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari pola: 5, 8, 11, 14, …

Pembahasan

Beda: b = 3, suku pertama a = 5

U_n = a + (n−1)b = 5 + (n−1)×3 = 3n + 2

U₂₀ = 3(20) + 2 = 62

S_n = n/2 × (U₁ + U_n)

S₂₀ = 20/2 × (5 + 62) = 10 × 67 = 670

▸ Tingkat Sulit

Soal 1:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 1, 6, 15, 28, 45, 66, …

Pembahasan

Selisih 1: 5, 9, 13, 17, 21

Selisih 2: 4, 4, 4, 4 (konstan)

a = 4/2 = 2 → U_n = 2n² + bn + c

n=1: 2 + b + c = 1 → b + c = −1

n=2: 8 + 2b + c = 6 → 2b + c = −2

b = −1, c = 0

U_n = 2n² − n = n(2n − 1)

Verifikasi: U₃ = 3(5) = 15 ✓, U₆ = 6(11) = 66 ✓

Soal 2:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 1, 8, 27, 64, 125, … lalu tentukan U₁₂.

Pembahasan

Perhatikan: 1 = 1³, 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³

Ini adalah pola bilangan kubik: U_n = n³

U₁₂ = 12³ = 12 × 12 × 12 = 1728

Soal 3:

Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 2, 12, 36, 80, 150, …

Pembahasan

Selisih 1: 10, 24, 44, 70

Selisih 2: 14, 20, 26

Selisih 3: 6, 6 (konstan)

a = 6/3! = 6/6 = 1 → U_n = n³ + bn² + cn + d

n=1: 1 + b + c + d = 2 → b + c + d = 1

n=2: 8 + 4b + 2c + d = 12 → 4b + 2c + d = 4

n=3: 27 + 9b + 3c + d = 36 → 9b + 3c + d = 9

Dari persamaan: b = 1, c = 0, d = 0

U_n = n³ + n² = n²(n + 1)

Verifikasi: U₄ = 16(5) = 80 ✓, U₅ = 25(6) = 150 ✓

Soal 4:

Suatu pola bilangan memenuhi U_n = 2U_n−1 + 1 dengan U₁ = 1. Tentukan U₈ dan rumus umum U_n.

Pembahasan

Hitung suku-suku:

U₁=1, U₂=3, U₃=7, U₄=15, U₅=31, U₆=63, U₇=127, U₈=255

Perhatikan pola: U_n = 2ⁿ − 1

Verifikasi: U₁ = 2¹ − 1 = 1 ✓, U₄ = 2⁴ − 1 = 15 ✓

U_n = 2ⁿ − 1, dan U₈ = 255

Soal 5:

Tentukan jumlah n suku pertama dari pola bilangan yang suku ke-n nya U_n = 3n² − 2n + 1. Hitung S₁₀.

Pembahasan

S_n = Σ (3k² − 2k + 1) dari k=1 sampai n

S_n = 3·Σk² − 2·Σk + Σ1

S_n = 3 × n(n+1)(2n+1)/6 − 2 × n(n+1)/2 + n

S_n = n(n+1)(2n+1)/2 − n(n+1) + n

S_n = n[(n+1)(2n+1)/2 − (n+1) + 1]

S_n = n[(2n²+3n+1)/2 − n − 1 + 1]

S_n = n[(2n²+3n+1 − 2n)/2]

S_n = n(2n²+n+1)/2

S₁₀ = 10(2×100 + 10 + 1)/2 = 10(211)/2 = 1055

Verifikasi: U₁=2, U₂=9, U₃=22… Jumlah 10 suku = 1055 ✓

Latihan Soal

▸ Tingkat Mudah

1. Tentukan tiga suku berikutnya dari pola: 5, 10, 15, 20, …

2. Tentukan suku ke-15 dari pola bilangan genap: 2, 4, 6, 8, …

3. Tentukan suku ke-6 dari pola bilangan kuadrat: 1, 4, 9, 16, …

4. Tentukan suku ke-9 dari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

5. Tentukan suku ke-8 dari pola bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, …

▸ Tingkat Sedang

1. Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 5, 12, 21, 32, 45, …

2. Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 0, 3, 8, 15, 24, …

3. Diketahui pola: 3, 9, 27, 81, … Tentukan suku ke-8.

4. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari pola: 7, 11, 15, 19, …

5. Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 2, 9, 20, 35, 54, …

▸ Tingkat Sulit

1. Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 1, 14, 51, 124, 245, … lalu hitung U₈.

2. Suatu pola memenuhi U_n = 3U_n−1 − 2 dengan U₁ = 3. Tentukan rumus umum U_n.

3. Tentukan jumlah n suku pertama jika U_n = 2n² + 3n − 1. Hitung S₈.

4. Tentukan rumus suku ke-n dari pola: 4, 18, 48, 100, 180, … menggunakan metode selisih bertingkat.

5. Diketahui pola bilangan dengan U_n = n² × 2ⁿ. Tentukan U₆ dan hitung U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅.

Barisan dan Deret – Pola Bilangan

Pola Bilangan

1. Pengertian Pola Bilangan

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

Kegiatan: Menalar

Kegiatan: Mencoba

Kegiatan: Mengkomunikasikan

2. Jenis-Jenis Pola Bilangan

A. Pola Bilangan Ganjil

B. Pola Bilangan Genap

C. Pola Bilangan Persegi (Kuadrat)

D. Pola Bilangan Persegi Panjang

E. Pola Bilangan Segitiga

F. Pola Bilangan Segitiga Pascal

G. Pola Bilangan Fibonacci

H. Pola Bilangan Kubik

3. Menentukan Rumus Suku ke-n dengan Metode Selisih

Kegiatan: Menalar

Contoh Soal & Pembahasan

▸ Tingkat Mudah

▸ Tingkat Sedang

▸ Tingkat Sulit

Latihan Soal

▸ Tingkat Mudah

▸ Tingkat Sedang

▸ Tingkat Sulit

By admin

One thought on “Barisan dan Deret – Pola Bilangan”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Menuju Indonesia yang Lebih Hijau: Pemerintah Gaungkan Inisiatif Indonesia ASRI pada 2026

RI Kian Ambisius, Inggris Siap Kawal Reformasi Ekonomi Nasional

1. Pengertian Pola Bilangan

Kegiatan: Mengamati

Kegiatan: Menanya

Kegiatan: Menalar

Kegiatan: Mencoba

Kegiatan: Mengkomunikasikan

2. Jenis-Jenis Pola Bilangan

A. Pola Bilangan Ganjil

B. Pola Bilangan Genap

C. Pola Bilangan Persegi (Kuadrat)

D. Pola Bilangan Persegi Panjang

E. Pola Bilangan Segitiga

F. Pola Bilangan Segitiga Pascal

G. Pola Bilangan Fibonacci

H. Pola Bilangan Kubik

3. Menentukan Rumus Suku ke-n dengan Metode Selisih

Kegiatan: Menalar

Contoh Soal & Pembahasan

▸ Tingkat Mudah

▸ Tingkat Sedang

▸ Tingkat Sulit

Latihan Soal

▸ Tingkat Mudah

▸ Tingkat Sedang

▸ Tingkat Sulit

By admin

Related Post

One thought on “Barisan dan Deret – Pola Bilangan”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed