Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Arti Geometri dari Suatu Transformasi di Bidang

A. Pengertian Transformasi Geometri

Definisi: Transformasi geometri adalah suatu pemetaan (fungsi) yang memindahkan setiap titik pada bidang ke titik lain pada bidang tersebut menurut aturan tertentu.

Secara matematis, jika T adalah suatu transformasi, maka:

T : P(x, y) → P'(x’, y’)

di mana P(x, y) disebut titik asal (pra-bayangan) dan P'(x’, y’) disebut bayangan (image).

Arti Geometri dari Transformasi

Arti geometri dari suatu transformasi menjelaskan perubahan visual yang terjadi pada suatu objek geometri (titik, garis, kurva, atau bangun) ketika transformasi diterapkan. Perubahan tersebut meliputi:

No	Jenis Transformasi	Arti Geometri
1	Translasi (Pergeseran)	Memindahkan objek sejauh vektor tertentu tanpa mengubah bentuk dan ukuran
2	Refleksi (Pencerminan)	Mencerminkan objek terhadap suatu garis (sumbu cermin)
3	Rotasi (Perputaran)	Memutar objek dengan sudut tertentu terhadap titik pusat
4	Dilatasi (Perkalian)	Memperbesar atau memperkecil objek dengan faktor skala tertentu terhadap titik pusat

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan gambar di atas. Amati perubahan yang terjadi pada objek asal setelah mengalami masing-masing transformasi.

Pada translasi, bentuk dan ukuran objek tetap, hanya posisi yang berubah.
Pada refleksi, objek bayangan merupakan cermin dari objek asal.
Pada rotasi, objek berputar dengan jarak tetap dari pusat rotasi.
Pada dilatasi, objek membesar atau mengecil dengan proporsi tetap.

B. Translasi (Pergeseran)

Arti Geometri: Translasi memindahkan setiap titik pada bidang sejauh dan searah vektor translasi tanpa mengubah bentuk, ukuran, maupun orientasi objek.

Jika vektor translasi adalah T = (a, b), maka:

P(x, y) → P'(x + a, y + b)

Sifat-sifat translasi:

Jarak antar titik tetap (isometri)
Bentuk dan ukuran bangun tidak berubah
Orientasi bangun tidak berubah
Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya sejajar dengan vektor translasi

❓ Kegiatan: Menanya

Dari pengamatan di atas, pertanyaan yang muncul:

Bagaimana menentukan bayangan suatu titik oleh translasi?
Bagaimana menentukan bayangan suatu garis oleh translasi?
Apa yang terjadi jika translasi diterapkan pada suatu kurva?

💡 Kegiatan: Menalar

Untuk menentukan bayangan garis y = mx + c oleh translasi T = (a, b):

Substitusikan x = x’ − a dan y = y’ − b ke persamaan garis
Sederhanakan untuk mendapatkan persamaan bayangan

Hasilnya: y’ = m(x’ − a) + c + b, artinya gradien tetap, hanya konstanta yang berubah.

✋ Kegiatan: Mencoba

Coba tentukan bayangan titik A(3, −2) oleh translasi T = (4, 5).

Penyelesaian: A'(3+4, −2+5) = A'(7, 3) ✓

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Dari kegiatan di atas dapat disimpulkan bahwa translasi memindahkan setiap titik dengan menambahkan komponen vektor translasi pada koordinat titik tersebut. Translasi merupakan transformasi isometri karena mempertahankan jarak dan bentuk.

📝 Contoh Soal Translasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan titik A(2, 3) oleh translasi T = (5, −1).

Pembahasan:

A'(x’, y’) = (x + a, y + b) = (2 + 5, 3 + (−1)) = (7, 2)

Jadi bayangan titik A adalah A'(7, 2).

2. Tentukan bayangan titik B(−1, 4) oleh translasi T = (3, 2).

Pembahasan:

B’= (−1 + 3, 4 + 2) = (2, 6)

Jadi bayangan titik B adalah B'(2, 6).

3. Tentukan bayangan titik C(0, 0) oleh translasi T = (−2, 7).

Pembahasan:

C’= (0 + (−2), 0 + 7) = (−2, 7)

Jadi bayangan titik C adalah C'(−2, 7).

4. Titik P(4, −3) ditranslasi oleh T = (−4, 3). Tentukan bayangannya.

Pembahasan:

P’= (4 + (−4), −3 + 3) = (0, 0)

Jadi bayangan titik P adalah P'(0, 0).

5. Tentukan bayangan titik D(6, 1) oleh translasi T = (−3, −4).

Pembahasan:

D’= (6 + (−3), 1 + (−4)) = (3, −3)

Jadi bayangan titik D adalah D'(3, −3).

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh translasi T = (1, −2).

Pembahasan:

Substitusi x = x’ − 1 dan y = y’ − (−2) = y’ + 2

y’ + 2 = 2(x’ − 1) + 3

y’ = 2x’ − 2 + 3 − 2 = 2x’ − 1

Jadi bayangan garis adalah y = 2x − 1.

2. Tentukan bayangan garis 3x + 2y = 6 oleh translasi T = (2, 3).

Pembahasan:

Substitusi x = x’ − 2 dan y = y’ − 3

3(x’ − 2) + 2(y’ − 3) = 6

3x’ − 6 + 2y’ − 6 = 6

3x’ + 2y’ = 18

Jadi bayangan garis adalah 3x + 2y = 18.

3. Titik A(a, 2) ditranslasi oleh T = (3, b) menghasilkan A'(5, −1). Tentukan nilai a dan b.

Pembahasan:

a + 3 = 5 → a = 2

2 + b = −1 → b = −3

Jadi a = 2 dan b = −3.

4. Tentukan bayangan lingkaran (x − 1)² + (y + 2)² = 9 oleh translasi T = (3, 4).

Pembahasan:

Pusat lingkaran (1, −2), jari-jari = 3.

Bayangan pusat: (1+3, −2+4) = (4, 2)

Jari-jari tetap = 3 (translasi tidak mengubah ukuran)

Jadi bayangan lingkaran: (x − 4)² + (y − 2)² = 9.

5. Segitiga dengan titik sudut A(1,1), B(4,1), C(1,5) ditranslasi oleh T = (−2, 3). Tentukan luas segitiga bayangan.

Pembahasan:

A'(−1, 4), B'(2, 4), C'(−1, 8)

Luas segitiga asal = ½ × alas × tinggi = ½ × 3 × 4 = 6

Karena translasi adalah isometri, luas bayangan = luas asal = 6 satuan luas.

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh translasi T = (2, −1).

Pembahasan:

Substitusi x = x’ − 2 dan y = y’ + 1

y’ + 1 = (x’ − 2)² − 4(x’ − 2) + 3

y’ + 1 = x’² − 4x’ + 4 − 4x’ + 8 + 3

y’ = x’² − 8x’ + 14

Jadi bayangan kurva adalah y = x² − 8x + 14.

2. Garis y = 3x + k ditranslasi oleh T = (1, 2) menghasilkan garis yang melalui titik (4, 10). Tentukan nilai k.

Pembahasan:

Bayangan garis: substitusi x = x’ − 1, y = y’ − 2

y’ − 2 = 3(x’ − 1) + k → y’ = 3x’ − 3 + k + 2 = 3x’ + k − 1

Melalui (4, 10): 10 = 3(4) + k − 1 = 12 + k − 1

k = 10 − 11 = −1

Jadi k = −1.

3. Tentukan translasi T yang memetakan garis 2x − y + 1 = 0 ke garis 2x − y − 5 = 0.

Pembahasan:

Kedua garis sejajar (gradien sama = 2). Misalkan T = (a, b).

Substitusi x = x’ − a, y = y’ − b ke garis asal:

2(x’ − a) − (y’ − b) + 1 = 0

2x’ − y’ − 2a + b + 1 = 0

Sama dengan 2x’ − y’ − 5 = 0, maka: −2a + b + 1 = −5 → −2a + b = −6

Salah satu solusi: a = 3, b = 0 → T = (3, 0).

(Jawaban tidak tunggal, bisa juga a=0, b=−6 dll, selama memenuhi −2a+b=−6)

4. Tentukan bayangan kurva y = sin(x) oleh translasi T = (π/2, 1).

Pembahasan:

Substitusi x = x’ − π/2, y = y’ − 1

y’ − 1 = sin(x’ − π/2)

y’ = sin(x’ − π/2) + 1 = −cos(x’) + 1

Jadi bayangan kurva adalah y = −cos(x) + 1 atau y = 1 − cos(x).

5. Titik P(x, y) ditranslasi berturut-turut oleh T₁ = (2, −3) dan T₂ = (−1, 5). Tentukan translasi tunggal yang setara dan bayangan titik Q(4, −2).

Pembahasan:

Komposisi translasi: T = T₁ + T₂ = (2+(−1), −3+5) = (1, 2)

Bayangan Q(4, −2): Q’ = (4+1, −2+2) = (5, 0)

Jadi translasi tunggal setara adalah T = (1, 2) dan bayangan Q adalah Q'(5, 0).

✏️ Latihan Soal Translasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan titik (5, −2) oleh translasi T = (−3, 4).
Tentukan bayangan titik (−7, 1) oleh translasi T = (2, −6).
Tentukan bayangan titik (0, 8) oleh translasi T = (4, 4).
Jika bayangan titik A oleh translasi T = (2, 3) adalah A'(6, 1), tentukan koordinat A.
Tentukan bayangan titik (−3, −5) oleh translasi T = (3, 5).

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan garis y = −x + 5 oleh translasi T = (2, −3).
Tentukan bayangan garis 4x − 3y + 12 = 0 oleh translasi T = (−1, 2).
Titik (a, 3) ditranslasi oleh T = (−2, b) menghasilkan (1, 7). Tentukan a + b.
Tentukan bayangan lingkaran (x + 2)² + (y − 3)² = 16 oleh translasi T = (5, −1).
Persegi dengan titik sudut A(0,0), B(3,0), C(3,3), D(0,3) ditranslasi T = (2, −1). Tentukan keliling bayangan.

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 3 oleh translasi T = (−1, 2).
Tentukan translasi yang memetakan garis x + 2y − 4 = 0 ke garis x + 2y + 6 = 0.
Bayangan kurva y = 2x² oleh translasi T = (a, b) adalah y = 2x² − 8x + 11. Tentukan a dan b.
Tentukan bayangan kurva y = √x oleh translasi T = (4, −2).
Suatu translasi memetakan titik (1, 2) ke (4, −1) dan memetakan garis y = x + 1. Tentukan persamaan bayangan garis tersebut.

C. Refleksi (Pencerminan)

Arti Geometri: Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang ke titik bayangan sedemikian sehingga garis cermin merupakan sumbu tegak lurus di tengah-tengah antara titik asal dan bayangannya.

Rumus-rumus penting:

Cermin	Rumus
Sumbu-x	(x, y) → (x, −y)
Sumbu-y	(x, y) → (−x, y)
Garis y = x	(x, y) → (y, x)
Garis y = −x	(x, y) → (−y, −x)
Titik O(0,0)	(x, y) → (−x, −y)
Garis x = h	(x, y) → (2h − x, y)
Garis y = k	(x, y) → (x, 2k − y)

Sifat refleksi:

Isometri (mempertahankan jarak)
Mengubah orientasi (searah jarum jam menjadi berlawanan, dan sebaliknya)
Jika diterapkan dua kali pada cermin yang sama, kembali ke posisi asal

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan bahwa pada refleksi terhadap sumbu-x, koordinat x tetap sedangkan y berubah tanda. Pada refleksi terhadap sumbu-y, koordinat y tetap sedangkan x berubah tanda.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana jika cerminnya bukan sumbu koordinat melainkan garis sembarang?
Apakah luas bangun berubah setelah refleksi?

💡 Kegiatan: Menalar

Untuk refleksi terhadap garis y = mx + c yang lebih umum, dapat digunakan matriks refleksi. Namun untuk garis y = x, y = −x, sumbu-x, dan sumbu-y kita gunakan rumus di tabel atas.

Untuk bayangan kurva/garis: substitusikan hubungan antara (x, y) dan (x’, y’) ke persamaan asal.

✋ Kegiatan: Mencoba

Coba tentukan bayangan titik (3, 5) terhadap garis y = x.

Jawab: (x, y) → (y, x) = (5, 3) ✓

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Refleksi mempertahankan bentuk dan ukuran, tetapi mengubah orientasi bangun. Titik-titik pada garis cermin tidak berubah posisi (tetap di tempat).

📝 Contoh Soal Refleksi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan titik (4, −7) terhadap sumbu-x.

Pembahasan: (x, y) → (x, −y) = (4, 7). Jadi bayangan = (4, 7).

2. Tentukan bayangan titik (−3, 2) terhadap sumbu-y.

Pembahasan: (x, y) → (−x, y) = (3, 2). Jadi bayangan = (3, 2).

3. Tentukan bayangan titik (5, 1) terhadap garis y = x.

Pembahasan: (x, y) → (y, x) = (1, 5). Jadi bayangan = (1, 5).

4. Tentukan bayangan titik (2, −4) terhadap titik O(0,0).

Pembahasan: (x, y) → (−x, −y) = (−2, 4). Jadi bayangan = (−2, 4).

5. Tentukan bayangan titik (6, 3) terhadap garis y = −x.

Pembahasan: (x, y) → (−y, −x) = (−3, −6). Jadi bayangan = (−3, −6).

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan garis y = 2x − 1 terhadap sumbu-x.

Pembahasan: Refleksi sumbu-x: x’ = x, y’ = −y → x = x’, y = −y’

Substitusi: −y’ = 2x’ − 1 → y’ = −2x’ + 1

Jadi bayangan garis: y = −2x + 1.

2. Tentukan bayangan garis x + y = 4 terhadap garis y = x.

Pembahasan: Refleksi y = x: x’ = y, y’ = x → x = y’, y = x’

Substitusi: y’ + x’ = 4

Jadi bayangan garis: x + y = 4 (garis tersebut invariant terhadap y = x).

3. Tentukan bayangan titik (3, −1) terhadap garis x = 2.

Pembahasan: Refleksi terhadap x = h: (x, y) → (2h − x, y)

(3, −1) → (2(2) − 3, −1) = (1, −1)

Jadi bayangan = (1, −1).

4. Tentukan bayangan titik (−2, 5) terhadap garis y = 3.

Pembahasan: Refleksi terhadap y = k: (x, y) → (x, 2k − y)

(−2, 5) → (−2, 2(3) − 5) = (−2, 1)

Jadi bayangan = (−2, 1).

5. Tentukan bayangan garis y = 3x + 2 terhadap sumbu-y.

Pembahasan: Refleksi sumbu-y: x’ = −x, y’ = y → x = −x’, y = y’

Substitusi: y’ = 3(−x’) + 2 = −3x’ + 2

Jadi bayangan garis: y = −3x + 2.

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x terhadap garis y = x.

Pembahasan: Refleksi y = x: x = y’, y = x’

Substitusi: x’ = (y’)² + 2y’

Jadi bayangan: x = y² + 2y.

2. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 terhadap sumbu-x.

Pembahasan: Pusat = (2, −3), r = √(4+9+12) = 5

Refleksi sumbu-x: pusat bayangan = (2, 3), r tetap = 5

Bayangan: (x−2)² + (y−3)² = 25 → x² + y² − 4x − 6y − 12 = 0.

3. Tentukan bayangan kurva y = 2ˣ terhadap sumbu-y.

Pembahasan: Refleksi sumbu-y: x = −x’, y = y’

y’ = 2^(−x’) = (1/2)^(x’)

Jadi bayangan: y = (1/2)ˣ atau y = 2⁻ˣ.

4. Tentukan bayangan garis 2x − 3y + 6 = 0 terhadap garis y = −x.

Pembahasan: Refleksi y = −x: x = −y’, y = −x’

2(−y’) − 3(−x’) + 6 = 0

−2y’ + 3x’ + 6 = 0 → 3x − 2y + 6 = 0

Jadi bayangan: 3x − 2y + 6 = 0.

5. Titik A(1, 3) dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian hasilnya dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan akhir.

Pembahasan:

Refleksi y = x: (1, 3) → (3, 1)

Refleksi sumbu-x: (3, 1) → (3, −1)

Jadi bayangan akhir = (3, −1).

✏️ Latihan Soal Refleksi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan titik (−5, 3) terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan titik (7, −2) terhadap sumbu-y.
Tentukan bayangan titik (4, 6) terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan titik (−1, 8) terhadap titik O(0,0).
Tentukan bayangan titik (3, −5) terhadap garis y = −x.

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan garis y = x + 4 terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan titik (5, 2) terhadap garis x = 3.
Tentukan bayangan titik (1, 7) terhadap garis y = 4.
Tentukan bayangan garis 2x + y − 3 = 0 terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan lingkaran (x−1)² + (y+2)² = 4 terhadap sumbu-y.

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = x³ terhadap garis y = x.
Tentukan bayangan parabola y = x² − 4x + 5 terhadap sumbu-y.
Titik P dicerminkan terhadap garis y = 2, hasilnya (4, −1). Tentukan koordinat P.
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 jika dicerminkan terhadap y = −x lalu dicerminkan terhadap sumbu-x.
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0 terhadap garis y = x.

D. Rotasi (Perputaran)

Arti Geometri: Rotasi adalah transformasi yang memutar setiap titik pada bidang terhadap suatu titik pusat dengan sudut putar tertentu. Jarak setiap titik ke pusat rotasi tetap.

Rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut putar θ (positif = berlawanan arah jarum jam):

P'(x’, y’) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ)

Rotasi dengan pusat P(a, b) dan sudut putar θ:

x’ = (x−a) cos θ − (y−b) sin θ + a

y’ = (x−a) sin θ + (y−b) cos θ + b

Sudut-sudut istimewa:

Sudut θ	cos θ	sin θ	Rumus (pusat O)
90°	0	1	(x,y) → (−y, x)
180°	−1	0	(x,y) → (−x, −y)
270° / −90°	0	−1	(x,y) → (y, −x)

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan bahwa rotasi 180° terhadap O sama dengan refleksi terhadap titik O. Rotasi mempertahankan jarak dan bentuk, tetapi mengubah arah/orientasi sudut objek.

❓ Kegiatan: Menanya

Apa perbedaan rotasi positif dan negatif?
Bagaimana menentukan bayangan garis oleh rotasi?

💡 Kegiatan: Menalar

Sudut positif berarti putar berlawanan arah jarum jam (counter-clockwise), sudut negatif berarti searah jarum jam (clockwise). Untuk menentukan bayangan garis, substitusikan hubungan invers ke persamaan garis.

✋ Kegiatan: Mencoba

Tentukan bayangan titik (3, 1) oleh rotasi 90° pusat O.

Jawab: (x,y) → (−y, x) = (−1, 3) ✓

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Rotasi merupakan isometri yang mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi putar (searah/berlawanan jarum jam tetap). Setiap titik bergerak sepanjang busur lingkaran dengan pusat di titik pusat rotasi.

📝 Contoh Soal Rotasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan titik (4, 2) oleh rotasi 90° pusat O(0,0).

Pembahasan: (x,y) → (−y, x) = (−2, 4). Jawab: (−2, 4).

2. Tentukan bayangan titik (−1, 3) oleh rotasi 180° pusat O(0,0).

Pembahasan: (x,y) → (−x, −y) = (1, −3). Jawab: (1, −3).

3. Tentukan bayangan titik (5, 0) oleh rotasi 270° pusat O(0,0).

Pembahasan: (x,y) → (y, −x) = (0, −5). Jawab: (0, −5).

4. Tentukan bayangan titik (0, −6) oleh rotasi 90° pusat O(0,0).

Pembahasan: (x,y) → (−y, x) = (6, 0). Jawab: (6, 0).

5. Tentukan bayangan titik (2, 2) oleh rotasi −90° pusat O(0,0).

Pembahasan: Rotasi −90° sama dengan 270°: (x,y) → (y, −x) = (2, −2). Jawab: (2, −2).

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan titik (4, 1) oleh rotasi 90° pusat P(1, 2).

Pembahasan:

x’ = (x−a)cos90° − (y−b)sin90° + a = (4−1)(0) − (1−2)(1) + 1 = 0 + 1 + 1 = 2

y’ = (x−a)sin90° + (y−b)cos90° + b = (4−1)(1) + (1−2)(0) + 2 = 3 + 0 + 2 = 5

Jawab: (2, 5).

2. Tentukan bayangan garis y = x oleh rotasi 90° pusat O.

Pembahasan: Rotasi 90° invers: x = y’, y = −x’ (dari x’=−y, y’=x)

Substitusi ke y = x: −x’ = y’ → y = −x

Jawab: y = −x.

3. Tentukan bayangan titik (3, −2) oleh rotasi 180° pusat (1, 1).

Pembahasan:

x’ = (x−a)cos180° − (y−b)sin180° + a = (3−1)(−1) − (−2−1)(0) + 1 = −2 + 1 = −1

y’ = (x−a)sin180° + (y−b)cos180° + b = (3−1)(0) + (−2−1)(−1) + 1 = 3 + 1 = 4

Jawab: (−1, 4).

4. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh rotasi 180° pusat O.

Pembahasan: Rotasi 180°: x = −x’, y = −y’

Substitusi: −y’ = 2(−x’) + 3 → −y’ = −2x’ + 3 → y’ = 2x’ − 3

Jawab: y = 2x − 3.

5. Tentukan bayangan titik (1, √3) oleh rotasi 60° pusat O.

Pembahasan: cos60° = 1/2, sin60° = √3/2

x’ = 1(1/2) − √3(√3/2) = 1/2 − 3/2 = −1

y’ = 1(√3/2) + √3(1/2) = √3/2 + √3/2 = √3

Jawab: (−1, √3).

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² oleh rotasi 90° pusat O.

Pembahasan: Invers rotasi 90°: x = y’, y = −x’

Substitusi: −x’ = (y’)² → x = −y²

Jawab: x = −y² (parabola terbuka ke kiri).

2. Tentukan bayangan garis x + y = 6 oleh rotasi 45° pusat O.

Pembahasan: cos45° = sin45° = √2/2

Invers: x = x’cos(−45°) − y’sin(−45°) = (√2/2)(x’ + y’)

y = x’sin(−45°) + y’cos(−45°) = (√2/2)(−x’ + y’)

Substitusi: (√2/2)(x’+y’) + (√2/2)(−x’+y’) = 6

(√2/2)(2y’) = 6 → y’ = 6/√2 = 3√2

Jawab: y = 3√2 (garis horizontal).

3. Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + y² = 4 oleh rotasi 90° pusat O.

Pembahasan: Pusat (2, 0), r = 2.

Bayangan pusat oleh rotasi 90°: (2,0) → (0, 2)

Jari-jari tetap = 2 (rotasi adalah isometri)

Jawab: x² + (y−2)² = 4.

4. Titik A(5, 1) dirotasi sebesar θ terhadap O sehingga bayangannya A'(−1, 5). Tentukan θ.

Pembahasan:

x’ = x cosθ − y sinθ → −1 = 5cosθ − sinθ … (1)

y’ = x sinθ + y cosθ → 5 = 5sinθ + cosθ … (2)

Dari (1): 5cosθ − sinθ = −1

Dari (2): 5sinθ + cosθ = 5

Kuadratkan dan jumlahkan: 25cos²θ − 10cosθ sinθ + sin²θ + 25sin²θ + 10sinθ cosθ + cos²θ = 1 + 25 = 26 ✓ (konsisten)

Dari persamaan, cosθ = 0, sinθ = 1 → θ = 90°

Verifikasi: (5,1) → (−1, 5) ✓

Jawab: θ = 90°.

5. Tentukan bayangan kurva xy = 4 oleh rotasi 45° pusat O.

Pembahasan: Invers rotasi 45°:

x = (√2/2)(x’ + y’), y = (√2/2)(−x’ + y’)

xy = (√2/2)(x’+y’) × (√2/2)(−x’+y’) = (1/2)(y’² − x’²) = 4

y² − x² = 8

Jawab: y² − x² = 8 (hiperbola).

✏️ Latihan Soal Rotasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan titik (−3, 5) oleh rotasi 90° pusat O.
Tentukan bayangan titik (7, −1) oleh rotasi 180° pusat O.
Tentukan bayangan titik (0, 4) oleh rotasi 270° pusat O.
Tentukan bayangan titik (2, −6) oleh rotasi −90° pusat O.
Tentukan bayangan titik (−4, −3) oleh rotasi 90° pusat O.

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan titik (5, 3) oleh rotasi 90° pusat (2, 1).
Tentukan bayangan garis y = −x + 2 oleh rotasi 90° pusat O.
Tentukan bayangan titik (2, 0) oleh rotasi 60° pusat O.
Tentukan bayangan titik (0, 4) oleh rotasi 180° pusat (1, 1).
Tentukan bayangan garis x = 3 oleh rotasi 90° pusat O.

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = 2x + 1 oleh rotasi 45° pusat O.
Tentukan bayangan lingkaran (x+1)² + (y−3)² = 9 oleh rotasi 90° pusat O.
Titik A(3, 4) dirotasi sebesar θ terhadap O sehingga bayangannya A'(−4, 3). Tentukan θ.
Tentukan bayangan kurva x² + y² = 25 oleh rotasi 60° pusat O.
Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x oleh rotasi 180° pusat (1, −1).

E. Dilatasi (Perkalian Skala)

Arti Geometri: Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun dengan faktor skala k terhadap suatu titik pusat. Bentuk bangun tetap (sebangun), tetapi ukurannya berubah.

Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k:

P(x, y) → P'(kx, ky)

Dilatasi dengan pusat P(a, b) dan faktor skala k:

x’ = k(x − a) + a

y’ = k(y − b) + b

Sifat dilatasi:

|k| > 1: memperbesar
0 < |k| < 1: memperkecil
k < 0: bayangan di sisi berlawanan pusat
Luas bayangan = k² × luas asal
Bangun asal dan bayangan sebangun

🔍 Kegiatan: Mengamati

Dilatasi mengubah ukuran tetapi mempertahankan bentuk. Garis-garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya bertemu di satu titik yaitu pusat dilatasi.

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana pengaruh dilatasi pada luas dan keliling?
Apa artinya jika k negatif?

💡 Kegiatan: Menalar

Jika k = 2, maka keliling bayangan = 2 × keliling asal, dan luas bayangan = 4 × luas asal. Jika k negatif, bayangan berada di sisi berlawanan dari pusat dan mengalami pembalikan orientasi.

✋ Kegiatan: Mencoba

Tentukan bayangan titik (3, −2) oleh dilatasi [O, 2].

Jawab: (2×3, 2×(−2)) = (6, −4) ✓

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Dilatasi bukan isometri karena mengubah jarak (kecuali k = ±1). Namun dilatasi mempertahankan kesebangunan bentuk, sudut-sudut dalam, dan kesejajaran garis.

📝 Contoh Soal Dilatasi

Tingkat Mudah

1. Tentukan bayangan titik (3, −1) oleh dilatasi [O, 3].

Pembahasan: (3×3, 3×(−1)) = (9, −3).

2. Tentukan bayangan titik (−4, 6) oleh dilatasi [O, 1/2].

Pembahasan: (½×(−4), ½×6) = (−2, 3).

3. Tentukan bayangan titik (2, 5) oleh dilatasi [O, −2].

Pembahasan: (−2×2, −2×5) = (−4, −10).

4. Tentukan bayangan titik (0, −8) oleh dilatasi [O, 4].

Pembahasan: (4×0, 4×(−8)) = (0, −32).

5. Tentukan bayangan titik (10, 6) oleh dilatasi [O, 1/2].

Pembahasan: (½×10, ½×6) = (5, 3).

Tingkat Sedang

1. Tentukan bayangan titik (4, 3) oleh dilatasi pusat (1, −1) dengan faktor skala 2.

Pembahasan:

x’ = 2(4−1) + 1 = 6 + 1 = 7

y’ = 2(3−(−1)) + (−1) = 8 − 1 = 7

Jawab: (7, 7).

2. Tentukan bayangan garis y = 2x + 1 oleh dilatasi [O, 3].

Pembahasan: Dilatasi [O, k]: x = x’/k, y = y’/k

y’/3 = 2(x’/3) + 1 → y’ = 2x’ + 3

Jawab: y = 2x + 3.

3. Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh dilatasi [O, 2].

Pembahasan: Pusat (0,0) → (0,0), r = 3 → r’ = 2×3 = 6

Jawab: x² + y² = 36.

4. Segitiga dengan luas 12 cm² didilatasi dengan faktor skala 3. Tentukan luas bayangan.

Pembahasan: Luas bayangan = k² × luas asal = 9 × 12 = 108 cm².

5. Titik A(2, −1) didilatasi terhadap pusat (−1, 2) dengan k = −2. Tentukan bayangannya.

Pembahasan:

x’ = −2(2−(−1)) + (−1) = −2(3) − 1 = −7

y’ = −2(−1−2) + 2 = −2(−3) + 2 = 8

Jawab: (−7, 8).

Tingkat Sulit

1. Tentukan bayangan kurva y = x² − 2x + 1 oleh dilatasi [O, 2].

Pembahasan: x = x’/2, y = y’/2

y’/2 = (x’/2)² − 2(x’/2) + 1 = x’²/4 − x’ + 1

y’ = x’²/2 − 2x’ + 2

Jawab: y = x²/2 − 2x + 2.

2. Bayangan garis 3x + 4y = 12 oleh dilatasi [O, k] adalah 3x + 4y = 36. Tentukan k.

Pembahasan: x = x’/k, y = y’/k

3(x’/k) + 4(y’/k) = 12 → 3x’ + 4y’ = 12k

Maka 12k = 36 → k = 3

Jawab: k = 3.

3. Tentukan bayangan lingkaran (x−1)² + (y+2)² = 4 oleh dilatasi pusat (1, −2) dengan k = 3.

Pembahasan: Pusat lingkaran (1, −2) = pusat dilatasi, maka pusat bayangan tetap (1, −2).

Jari-jari bayangan = |k| × r = 3 × 2 = 6

Jawab: (x−1)² + (y+2)² = 36.

4. Tentukan bayangan kurva y = 1/x oleh dilatasi [O, −1].

Pembahasan: x = x’/(−1) = −x’, y = −y’

−y’ = 1/(−x’) = −1/x’ → y’ = 1/x’

Jawab: y = 1/x (kurva invariant terhadap dilatasi [O, −1]).

5. Suatu persegi panjang ABCD dengan A(1,1), B(5,1), C(5,4), D(1,4) didilatasi [O, 2] lalu ditranslasi T=(−3, 1). Tentukan luas bayangan akhir.

Pembahasan:

Luas asal = 4 × 3 = 12

Setelah dilatasi k=2: luas = 4 × 12 = 48

Translasi tidak mengubah luas.

Jawab: Luas bayangan akhir = 48 satuan luas.

✏️ Latihan Soal Dilatasi

Tingkat Mudah

Tentukan bayangan titik (−2, 5) oleh dilatasi [O, 4].
Tentukan bayangan titik (8, −6) oleh dilatasi [O, 1/2].
Tentukan bayangan titik (3, 3) oleh dilatasi [O, −3].
Tentukan bayangan titik (−1, 0) oleh dilatasi [O, 5].
Tentukan bayangan titik (12, −4) oleh dilatasi [O, 1/4].

Tingkat Sedang

Tentukan bayangan titik (3, 2) oleh dilatasi pusat (1, 1) dengan k = 3.
Tentukan bayangan garis y = x − 2 oleh dilatasi [O, 4].
Lingkaran x² + y² = 16 didilatasi [O, 1/2]. Tentukan persamaan bayangannya.
Segitiga dengan luas 20 didilatasi dengan k = −2. Tentukan luas bayangan.
Tentukan nilai k jika bayangan titik (2, 3) oleh dilatasi [O, k] adalah (6, 9).

Tingkat Sulit

Tentukan bayangan kurva y = x³ oleh dilatasi [O, 2].
Bayangan garis 2x − y + 4 = 0 oleh dilatasi [O, k] adalah 2x − y + 12 = 0. Tentukan k.
Tentukan bayangan lingkaran (x−2)² + (y−1)² = 9 oleh dilatasi pusat (2, 1) dengan k = 2/3.
Suatu bangun didilatasi [O, 3] lalu didilatasi [O, 1/2]. Tentukan dilatasi tunggal setaranya.
Tentukan bayangan kurva y = √(4−x²) oleh dilatasi [O, 3].

F. Rangkuman

Transformasi	Arti Geometri	Isometri?	Bentuk tetap?
Translasi	Pergeseran posisi	Ya	Ya
Refleksi	Pencerminan	Ya	Ya (orientasi berubah)
Rotasi	Perputaran	Ya	Ya
Dilatasi	Perbesaran/perkecilan	Tidak (kecuali k=±1)	Ya (sebangun)

A. Pengertian Transformasi Geometri

Arti Geometri dari Transformasi

🔍 Kegiatan: Mengamati

B. Translasi (Pergeseran)

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✋ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Translasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Translasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

C. Refleksi (Pencerminan)

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✋ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Refleksi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

D. Rotasi (Perputaran)

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✋ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Rotasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Rotasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

E. Dilatasi (Perkalian Skala)

🔍 Kegiatan: Mengamati

❓ Kegiatan: Menanya

💡 Kegiatan: Menalar

✋ Kegiatan: Mencoba

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Dilatasi

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

F. Rangkuman

By admin

Related Post

One thought on “Transformasi Geometri – Arti Geometri dari Suatu Transformasi di Bidang”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed