Pernyataan “50 km ke timur” termasuk besaran vektor karena memiliki:

• Nilai/besar: 50 km
• Arah: ke timur

Jika hanya disebutkan “50 km” saja (tanpa arah), maka itu termasuk besaran skalar.

• a) Suhu 37°C → Skalar (hanya nilai, tanpa arah)
• b) Gaya 10 N ke kiri → Vektor (ada nilai 10 N dan arah ke kiri)
• c) Massa 5 kg → Skalar (hanya nilai, tanpa arah)
• d) Kecepatan 60 km/jam ke utara → Vektor (ada nilai 60 km/jam dan arah ke utara)

Rumus vektor AB⃗ = (x_B − x_A, y_B − y_A)

AB⃗ = (5 − 2, 7 − 3) = (3, 4)

Jadi vektor AB⃗ = (3, 4)

Rumus modulus vektor: |a⃗| = √(x² + y²)

|a⃗| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Jadi besar vektor a⃗ adalah 5 satuan.

AB⃗ = (6−0, 8−0) = (6, 8)

|AB⃗| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Jadi vektor AB⃗ = (6, 8) dengan modulus = 10 satuan.

• PQ⃗ = (1−(−3), −4−2) = (1+3, −6) = (4, −6)
• PR⃗ = (5−(−3), 6−2) = (8, 4)
• QR⃗ = (5−1, 6−(−4)) = (4, 10)

Cek: PQ⃗ + QR⃗ = (4,−6) + (4,10) = (8, 4) = PR⃗ ✓

Posisi akhir B = A + v⃗

B = (2 + 3, −1 + 5) = (5, 4)

Jadi partikel berakhir di titik B(5, 4).

|a⃗| = √(x² + 4²) = 5

√(x² + 16) = 5

x² + 16 = 25

x² = 9

x = ±3

Jadi nilai x = 3 atau x = −3.

Titik B (titik tengah AC) = ((1+7)/2, (2+10)/2) = (4, 6)

AB⃗ = (4−1, 6−2) = (3, 4), |AB⃗| = √(9+16) = 5

BC⃗ = (7−4, 10−6) = (3, 4), |BC⃗| = 5

AB⃗ = BC⃗ karena sama panjang dan arahnya sama ✓

a⃗ = −5i + 12j

|a⃗| = √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

Jadi a⃗ = −5i + 12j dengan modulus = 13 satuan.

AB⃗ = (5−2, 4−1) = (3, 3)

BC⃗ = 2 · AB⃗ = 2 · (3, 3) = (6, 6)

BC⃗ = (x−5, y−4) = (6, 6)

x − 5 = 6 → x = 11

y − 4 = 6 → y = 10

Jadi C = (11, 10)

Vektor satuan: û = u⃗ / |u⃗|

|u⃗| = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10

û = (8/10, 6/10) = (0,8 ; 0,6)

Cek: |û| = √(0,64 + 0,36) = √1 = 1 ✓

Pada jajar genjang ABCD: AB⃗ = DC⃗

AB⃗ = (4−1, 6−2) = (3, 4)

DC⃗ = (7−x, 4−y) = (3, 4)

7 − x = 3 → x = 4

4 − y = 4 → y = 0

Jadi D = (4, 0)

Diketahui: a = 2b (komponen x dua kali komponen y)

|p⃗| = √(a² + b²) = 10 → a² + b² = 100

Substitusi a = 2b: (2b)² + b² = 100 → 4b² + b² = 100 → 5b² = 100

b² = 20 → b = √20 = 2√5

a = 2b = 4√5

Jadi a = 4√5 dan b = 2√5

AB⃗ = OB⃗ − OA⃗ = (−1−2, 3−5) = (−3, −2)

CA⃗ = OA⃗ − OC⃗ = (2−4, 5−(−2)) = (−2, 7)

Jadi AB⃗ = (−3, −2) dan CA⃗ = (−2, 7)

a⃗ − a⃗ = (4−4, −3−(−3)) = (0, 0) = 0⃗

Pengurangan setiap vektor dengan dirinya sendiri menghasilkan vektor nol.

|0⃗| = √(0² + 0²) = √0 = 0

Vektor nol memiliki modulus 0 karena pangkal dan ujung berimpit, sehingga tidak ada jarak perpindahan.

b⃗ + 0⃗ = (7+0, 2+0) = (7, 2) = b⃗

Ini membuktikan sifat identitas: a⃗ + 0⃗ = a⃗

AA⃗ = (5−5, 3−3) = (0, 0) = 0⃗

Karena titik awal dan akhir sama, vektor yang terbentuk adalah vektor nol.

5 × 0⃗ = 5 × (0, 0) = (5×0, 5×0) = (0, 0) = 0⃗

Perkalian skalar apapun dengan vektor nol tetap menghasilkan vektor nol.

p⃗ + q⃗ = (2+(−2), 5+(−5)) = (0, 0) = 0⃗ ✓

Ini terjadi karena q⃗ = −p⃗ (lawan dari p⃗), sehingga penjumlahannya nol.

a⃗ + b⃗ = 0⃗ → b⃗ = −a⃗

b⃗ = −(3, −7) = (−3, 7)

Agar m⃗ = 0⃗ = (0, 0), setiap komponen harus = 0:

x + 2 = 0 → x = −2

y − 3 = 0 → y = 3

Misalkan A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃):

AB⃗ = (x₂−x₁, y₂−y₁)

BC⃗ = (x₃−x₂, y₃−y₂)

CA⃗ = (x₁−x₃, y₁−y₃)

AB⃗ + BC⃗ + CA⃗ = (x₂−x₁+x₃−x₂+x₁−x₃, y₂−y₁+y₃−y₂+y₁−y₃)

= (0, 0) = 0⃗ ✓

k · a⃗ = 0⃗ terjadi jika:

• k = 0 (skalar nol), maka 0 · a⃗ = 0⃗ untuk sembarang a⃗
• a⃗ = 0⃗ (vektor nol), maka k · 0⃗ = 0⃗ untuk sembarang k

Kesimpulan: k = 0 atau a⃗ = 0⃗ (atau keduanya).

PQ⃗ = OQ⃗ − OP⃗ = (4−1, 6−2) = (3, 4)

QR⃗ = OR⃗ − OQ⃗ = (7−4, 2−6) = (3, −4)

RP⃗ = OP⃗ − OR⃗ = (1−7, 2−2) = (−6, 0)

PQ⃗ + QR⃗ + RP⃗ = (3+3−6, 4−4+0) = (0, 0) = 0⃗ ✓

3a⃗ + b⃗ = 0⃗ → b⃗ = −3a⃗

3a⃗ = 3(2, −1) = (6, −3)

b⃗ = −(6, −3) = (−6, 3)

Relasi: b⃗ adalah lawan dari 3a⃗, memiliki arah berlawanan dengan panjang 3× lipat a⃗.

|a⃗| = √5, |b⃗| = √(36+9) = √45 = 3√5 ✓

Misalkan segi-n dengan titik A₁, A₂, …, Aₙ.

Jumlah vektor sisi = A₁A₂⃗ + A₂A₃⃗ + … + Aₙ₋₁Aₙ⃗ + AₙA₁⃗

Menggunakan sifat teleskopis:

= (OA₂−OA₁) + (OA₃−OA₂) + … + (OA₁−OAₙ)

Semua suku saling meniadakan, sehingga hasilnya = 0⃗ ✓

a⃗ + a⃗ = (p+p, q+q) = (2p, 2q)

Agar = 0⃗, diperlukan 2p = 0 dan 2q = 0, sehingga p = 0 dan q = 0.

Tidak mungkin, karena soal menyatakan p ≠ 0 dan q ≠ 0.

Jadi a⃗ + a⃗ ≠ 0⃗ jika a⃗ bukan vektor nol.

Menggunakan sifat teleskopis vektor posisi:

AB⃗ = OB⃗ − OA⃗

BC⃗ = OC⃗ − OB⃗

CD⃗ = OD⃗ − OC⃗

DA⃗ = OA⃗ − OD⃗

Jumlah = (OB−OA) + (OC−OB) + (OD−OC) + (OA−OD) = 0⃗ ✓

Lawan vektor: tiap komponen dikali (−1)

−a⃗ = (−3, 5)

Jadi −a⃗ = (−3, 5)

BA⃗ adalah lawan dari AB⃗, sehingga BA⃗ = −AB⃗

BA⃗ = −(4, 7) = (−4, −7)

Lawan dari lawan vektor adalah vektor itu sendiri: −(−a⃗) = a⃗

a⃗ = −(−6, 2) = (6, −2)

−p⃗ = (2, −8)

p⃗ + (−p⃗) = (−2+2, 8+(−8)) = (0, 0) = 0⃗ ✓

|u⃗| = √(5² + 12²) = √(25+144) = √169 = 13

−u⃗ = (−5, 12)

|−u⃗| = √((−5)² + 12²) = √(25+144) = √169 = 13

Kesimpulan: |u⃗| = |−u⃗| = 13 → Lawan vektor memiliki modulus sama!

AB⃗ = (−3−2, 1−5) = (−5, −4)

BA⃗ = (2−(−3), 5−1) = (5, 4)

AB⃗ + BA⃗ = (−5+5, −4+4) = (0,0) = 0⃗ ✓

Ini membuktikan BA⃗ = −AB⃗

a⃗ = 2i − 3j = (2, −3)

−a⃗ = −2i + 3j = (−2, 3)

−3a⃗ = −3(2, −3) = (−6, 9) atau −6i + 9j

b⃗ = a⃗ + (5, 3) = (1+5, 4+3) = (6, 7)

−b⃗ = (−6, −7)

m⃗ = −n⃗ = (3, −7)

2m⃗ = 2(3, −7) = (6, −14)

2m⃗ + n⃗ = (6, −14) + (−3, 7) = (3, −7)

a⃗ = (4, 3): mengarah ke kanan-atas

−a⃗ = (−4, −3): mengarah ke kiri-bawah (berlawanan)

Sudut antara a⃗ dan −a⃗ selalu = 180° (lurus/anti-paralel)

3a⃗ = 3(1,2) = (3,6)

2b⃗ = 2(−3,1) = (−6,2)

c⃗ = (3,6) − (−6,2) = (3+6, 6−2) = (9, 4)

−c⃗ = (−9, −4)

CB⃗ = CA⃗ + AB⃗

CA⃗ = −AC⃗

Jadi: CB⃗ = −AC⃗ + AB⃗ = AB⃗ − AC⃗

Cek Pythagoras: |a⃗|² + |b⃗|² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² = |c⃗|²

Karena |a⃗|² + |b⃗|² = |c⃗|², terbukti bahwa a⃗ ⊥ b⃗ (tegak lurus)

AC⃗ = (1/3)AB⃗ = (1/3)(b⃗ − a⃗)

OC⃗ = OA⃗ + AC⃗ = a⃗ + (1/3)(b⃗ − a⃗)

= a⃗ + (1/3)b⃗ − (1/3)a⃗

= (2/3)a⃗ + (1/3)b⃗

Jadi OC⃗ = (2/3)a⃗ + (1/3)b⃗

a⃗ selalu sejajar dengan −a⃗ untuk sembarang a⃗ ≠ 0⃗, karena:

−a⃗ = (−1) · a⃗

Jadi −a⃗ adalah kelipatan skalr dari a⃗ dengan k = −1.

Kesimpulan: Setiap vektor SELALU sejajar dengan lawan vektornya (anti-paralel).

Komponen x: 3 = 3 ✓

Komponen y: 5 = 5 ✓

Karena semua komponen sama, maka a⃗ = b⃗ (sama).

Komponen x: 4 ≠ 3 ✗

Komponen y: 3 ≠ 4 ✗

Walaupun |a⃗| = |b⃗| = 5, komponen berbeda sehingga a⃗ ≠ b⃗. Arahnya berbeda!

Samakan komponen x: x = 5

Samakan komponen y: 7 = 7 ✓

Jadi x = 5

Samakan komponen x: 2 = 2 ✓

Samakan komponen y: y = −3

Jadi y = −3

• Besar (modulus) sama: panjang kedua vektor sama
• Arah sama: kedua vektor menunjuk ke arah yang sama

Atau secara komponen: x₁ = x₂ dan y₁ = y₂

Samakan komponen x: 2x + 1 = 5 → 2x = 4 → x = 2

Samakan komponen y: y − 3 = 4 → y = 7

AB⃗ = (5−2, 7−3) = (3, 4)

CD⃗ = (x−1, y−1)

AB⃗ = CD⃗ → (x−1, y−1) = (3, 4)

x − 1 = 3 → x = 4

y − 1 = 4 → y = 5

Jadi D = (4, 5)

Komponen x: 3a − 1 = 2a + 3 → a = 4

Komponen y: b + 2 = 2b − 4 → −b = −6 → b = 6

AB⃗ = (4−1, 9−k) = (3, 9−k)

CD⃗ = (7−m, n−3)

Komponen x: 7 − m = 3 → m = 4

Komponen y: n − 3 = 9 − k … (perlu info tambahan)

Jika AB⃗ = (3, 6) maka n − 3 = 6 → n = 9 dan 9 − k = 6 → k = 3, n = 9

AB⃗ = (4−1, 6−2) = (3, 4)

BA⃗ = (1−4, 2−6) = (−3, −4)

(3, 4) ≠ (−3, −4) → AB⃗ ≠ BA⃗

Keduanya sama panjang (|AB⃗| = |BA⃗| = 5) tapi arahnya berlawanan. BA⃗ adalah lawan dari AB⃗.

Komponen x: 2m − n = 5 … (i)

Komponen y: m + 2n = 10 … (ii)

Dari (i): n = 2m − 5

Substitusi ke (ii): m + 2(2m−5) = 10 → m + 4m − 10 = 10 → 5m = 20 → m = 4

n = 2(4) − 5 = 3

Jadi m = 4 dan n = 3

AB⃗ = (4−0, 0−0) = (4, 0)

DC⃗ = (5−x_D, 3−y_D)

AB⃗ = DC⃗: 5 − x_D = 4 → x_D = 1

3 − y_D = 0 → y_D = 3

Jadi D = (1, 3)

c⃗ = d⃗ → 3a⃗ − 2b⃗ = a⃗ + b⃗

3a⃗ − a⃗ = b⃗ + 2b⃗ → 2a⃗ = 3b⃗

a⃗ = (3/2)b⃗ = (3/2)(2, 1) = (3, 3/2)

Misalkan A, B, C, D dengan posisi vektor a, b, c, d.

AB⃗ = CD⃗ → b − a = d − c → b + c = a + d

Titik tengah AC = (a + c)/2

Titik tengah BD = (b + d)/2

Dari b + c = a + d: (a + c)/2 = (b + d)/2 ✓

Terbukti diagonal-diagonal ABDC berpotongan di titik yang sama.

r⃗ = α(1,0) + β(0,1) = (α, β)

Karena r⃗ = (3, −5), maka:

α = 3 dan β = −5

Ini menunjukkan bahwa setiap vektor di R² bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier i dan j!