Transpose Matriks & Kesamaan Dua Matriks

Matriks: Transpose & Kesamaan

Materi Lengkap · Contoh Soal & Pembahasan · Latihan Soal

Topik 1: Transpose Matriks

Memahami konsep, notasi, sifat, dan penerapan transpose matriks

A. Materi Transpose Matriks

Definisi: Transpose dari matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan memindahkan (menukar) baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari matriks A. Transpose matriks A dinotasikan dengan A^T atau A’.

Jika A adalah matriks berukuran m × n, maka A^T adalah matriks berukuran n × m.

Jika A = [a_ij]_m×n, maka A^T = [a_ji]_n×m

Artinya: Elemen pada baris ke-i kolom ke-j dari A menjadi elemen pada baris ke-j kolom ke-i dari A^T.

Contoh Dasar

Diketahui matriks:

[

1	2	3
4	5	6

] maka A^T = [

1	4
2	5
3	6

]

Sifat-Sifat Transpose Matriks

(A^T)^T = A — Transpose dari transpose menghasilkan matriks asal.
(A + B)^T = A^T + B^T — Transpose bersifat distributif terhadap penjumlahan.
(kA)^T = k · A^T — Konstanta dapat dipindahkan keluar dari transpose.
(AB)^T = B^T · A^T — Transpose dari perkalian matriks membalik urutan.
Jika A matriks persegi dan A^T = A, maka A disebut matriks simetris.
Jika A^T = −A, maka A disebut matriks anti-simetris (skew-symmetric).

Matriks Simetris

Sebuah matriks persegi A disebut simetris jika A^T = A, yaitu a_ij = a_ji untuk semua i, j.

Contoh matriks simetris: [

2	3	5
3	7	1
5	1	4

]

B. Contoh Soal Transpose Matriks

● Mudah

1. Tentukan transpose dari matriks [

2	5
3	7

] ▼

Pembahasan

Matriks A berukuran 2×2. Transpose diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom.

Langkah: Baris ke-1 [2, 5] menjadi kolom ke-1. Baris ke-2 [3, 7] menjadi kolom ke-2.

Maka: A^T = [

2	3
5	7

]

Ukuran A^T tetap 2×2 karena A adalah matriks persegi.

2. Tentukan transpose dari matriks baris [

] ▼

Pembahasan

Matriks A berukuran 1×3 (matriks baris). Transpose dari matriks baris adalah matriks kolom.

Langkah: Satu baris [4, 8, 6] menjadi satu kolom dengan 3 baris.

Maka: A^T = [

] , ukuran 3×1 (matriks kolom).

3. Diketahui A = [

1	0
0	1

]. Tentukan A^T dan apakah A simetris? ▼

Pembahasan

A adalah matriks identitas I_2×2.

Transpose: A^T = [

1	0
0	1

]

Karena A^T = A, maka A adalah matriks simetris. Matriks identitas selalu simetris.

4. Tentukan transpose dari matriks [

1	2	3
4	5	6

] ▼

Pembahasan

Matriks A berukuran 2×3. Transpose A^T berukuran 3×2.

Baris ke-1: [1, 2, 3] → kolom ke-1 dari A^T

Baris ke-2: [4, 5, 6] → kolom ke-2 dari A^T

A^T = [

1	4
2	5
3	6

]

5. Jika A^T = [

3	1
5	2
7	4

], tentukan matriks A. ▼

Pembahasan

Menggunakan sifat (A^T)^T = A, untuk mencari A cukup transpose kembali A^T.

Proses: A^T berukuran 3×2, maka A berukuran 2×3.

A = (A^T)^T = [

3	5	7
1	2	4

]

● Sedang

6. Diketahui A = [

2	−1
3	4

] dan B = [

1	5
−2	3

]. Buktikan bahwa (A + B)^T = A^T + B^T. ▼

Pembahasan

Ruas Kiri:

A + B = [

3	4
1	7

]

(A + B)^T = [

3	1
4	7

]

Ruas Kanan:

A^T = [

2	3
−1	4

] B^T = [

1	−2
5	3

]

A^T + B^T = [

3	1
4	7

]

Karena (A + B)^T = A^T + B^T = [

3	1
4	7

], maka terbukti. ✓

7. Diketahui A = [

3	x
2	5

]. Jika A^T = A, tentukan nilai x. ▼

Pembahasan

Jika A^T = A, maka A adalah matriks simetris, sehingga a_ij = a_ji.

A^T = [

3	2
x	5

]

Syarat A^T = A: Elemen (1,2) dari A = elemen (1,2) dari A^T

x = 2

Jadi x = 2.

8. Diketahui A = [

1	3
2	4

] dan B = [

5	7
6	8

]. Tentukan (AB)^T dan verifikasi bahwa (AB)^T = B^TA^T. ▼

Pembahasan

Hitung AB:

AB = [

1·5+3·6	1·7+3·8
2·5+4·6	2·7+4·8

] = [

23	31
34	46

]

Hitung (AB)^T:

(AB)^T = [

23	34
31	46

]

Hitung B^TA^T:

B^T = [

5	6
7	8

] , A^T = [

1	2
3	4

]

B^TA^T = [

5+18	10+24
7+24	14+32

] = [

23	34
31	46

]

(AB)^T = B^TA^T = [

23	34
31	46

] ✓ Terbukti!

9. Jika A = [

a	b
c	d

] dan A + A^T = [

4	7
7	10

], tentukan nilai a, b, c, d. ▼

Pembahasan

A^T = [

a	c
b	d

]

A + A^T = [

2a	b+c
b+c	2d

] = [

4	7
7	10

]

Dari persamaan elemen-elemen:

2a = 4 → a = 2

2d = 10 → d = 5

b + c = 7 (tidak ada nilai unik untuk b dan c, hanya syarat b + c = 7)

Jadi a = 2, d = 5, dan b + c = 7.

10. Tentukan nilai x, y, dan z jika [

2x	y+1
z−2	4

]^T = [

6	3
5	4

] ▼

Pembahasan

Transpose dari ruas kiri:

[

2x	z−2
y+1	4

] = [

6	3
5	4

]

2x = 6 → x = 3

y + 1 = 5 → y = 4

z − 2 = 3 → z = 5

● Sulit

11. Buktikan bahwa untuk sembarang matriks A, matriks AA^T adalah matriks simetris. ▼

Pembahasan

Kita harus membuktikan bahwa (AA^T)^T = AA^T.

Bukti:

(AA^T)^T = (A^T)^T · A^T [menggunakan sifat (PQ)^T = Q^TP^T]

= A · A^T [karena (A^T)^T = A]

= AA^T

Karena (AA^T)^T = AA^T, maka AA^T adalah matriks simetris untuk sembarang matriks A. ✓

12. Diketahui A = [

1	2
3	4

]. Nyatakan A sebagai jumlah matriks simetris dan matriks anti-simetris. ▼

Pembahasan

Setiap matriks persegi A dapat dinyatakan sebagai: A = S + K, di mana

S = ½(A + A^T) adalah matriks simetris

K = ½(A − A^T) adalah matriks anti-simetris

Hitung A^T: [

1	3
2	4

]

S = ½(A + A^T): ½ [

2	5
5	8

] = [

1	2,5
2,5	4

]

K = ½(A − A^T): ½ [

0	−1
1	0

] = [

0	−0,5
0,5	0

]

Verifikasi: S + K = [

1	2
3	4

] = A ✓

13. Diketahui A = [

2	1	0
3	4	2

] dan B = [

1	0
2	1
3	5

]. Tentukan (AB)^T. ▼

Pembahasan

A(2×3) × B(3×2) = AB berukuran 2×2.

Hitung AB:

AB₁₁ = 2·1 + 1·2 + 0·3 = 4

AB₁₂ = 2·0 + 1·1 + 0·5 = 1

AB₂₁ = 3·1 + 4·2 + 2·3 = 17

AB₂₂ = 3·0 + 4·1 + 2·5 = 14

AB = [

4	1
17	14

]

Hitung (AB)^T:

(AB)^T = [

4	17
1	14

]

14. Diketahui A = [

a	b	c
d	e	f
g	h	i

] simetris dan A² − A^T = [

0	0	0
0	0	0
0	0	0

]. Apa yang dapat disimpulkan? ▼

Pembahasan

Diberikan A simetris, maka A^T = A.

Dari persamaan A² − A^T = 0:

A² = A^T

A² = A (karena A simetris, A^T = A)

Persamaan A² = A berarti A adalah matriks idempoten.

Kesimpulan: A adalah matriks persegi simetris yang sekaligus bersifat idempoten (A² = A). Contoh: matriks nol dan matriks identitas memenuhi sifat ini.

15. Tentukan nilai p, q, r, s jika matriks [

p+q	2p−q
r+s	3r−s

] adalah matriks simetris dengan elemen-elemen (1,1)=5, (2,2)=6, dan (1,2)=(2,1)=4. ▼

Pembahasan

Syarat matriks simetris: elemen (i,j) = elemen (j,i).

Dari informasi yang diberikan: elemen (1,2) = 2p−q = 4, elemen (2,1) = r+s = 4.

Dari elemen (1,1): p + q = 5

Dari elemen (1,2): 2p − q = 4

Jumlahkan kedua persamaan: 3p = 9 → p = 3, sehingga q = 2.

Dari elemen (2,2): 3r − s = 6

Dari elemen (2,1): r + s = 4

Jumlahkan: 4r = 10 → r = 2,5, sehingga s = 1,5.

Jadi p = 3, q = 2, r = 2,5, s = 1,5.

C. Latihan Soal Transpose Matriks

Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Klik “Lihat Jawaban” untuk melihat hasil akhir.

● Mudah

Tentukan A^T jika A = [

7	2
−3	5

]

A^T = [

7	−3
2	5

]

Tentukan transpose dari matriks kolom [

−2

]

A^T = [

−2

] (matriks baris 1×3)

Apakah [

5	2	8
2	1	−3
8	−3	6

] adalah matriks simetris? Berikan alasannya.

Ya, matriks tersebut simetris karena a_ij = a_ji untuk semua i, j (diagonal utama bisa sembarang, dan elemen di atas diagonal = elemen di bawah diagonal yang bersesuaian).

Jika A^T = [

−1

], tentukan A.

A = (A^T)^T = [

−1

] (matriks kolom 3×1)

Tentukan (3A)^T jika A = [

1	4
2	−1

]

(3A)^T = 3A^T = [

3	6
12	−3

]

● Sedang

Diketahui A = [

2	x+1
3	y

] adalah matriks simetris. Tentukan x dan y!

Karena A simetris: a₁₂ = a₂₁ → x + 1 = 3 → x = 2. Tidak ada syarat untuk y dari simetris saja; y bisa sembarang.

Jika A = [

1	2
3	4

] dan B = [

0	1
−1	2

], tentukan (A − B)^T.

A − B = [

1	1
4	2

] , sehingga (A − B)^T = [

1	4
1	2

]

Diketahui A = [

1	3
2	4

]. Tentukan A + A^T dan tunjukkan bahwa hasilnya simetris.

A^T = [

1	2
3	4

]. A + A^T = [

2	5
5	8

]. Karena elemen (1,2) = elemen (2,1) = 5, hasil tersebut simetris. ✓

Tentukan nilai m jika [

3	m+2	1
m+2	5	0
1	0	7

] adalah matriks simetris.

Matriks sudah simetris untuk sembarang nilai m (a₁₂ = a₂₁ = m+2, memenuhi syarat simetris otomatis). Jadi m bisa sembarang bilangan real.

10.

Jika A = [

], hitung A^TA dan AA^T. Apakah keduanya simetris?

A^TA = [

1	2	3
2	4	6
3	6	9

] (simetris). AA^T = [14] (skalar, trivially simetris). Ya, keduanya simetris.

● Sulit

11.

Buktikan bahwa jika A anti-simetris (A^T = −A), maka semua elemen diagonal utama A bernilai nol.

Jika A^T = −A, maka a_ij = −a_ji. Untuk elemen diagonal: a_ii = −a_ii, sehingga 2a_ii = 0, maka a_ii = 0. ✓

12.

Diketahui P = [

2	1
3	4

] dan Q = [

1	2
0	3

]. Tentukan [(P+Q)(P−Q)]^T.

P+Q = [

3	3
3	7

]; P−Q = [

1	−1
3	1

]; Perkalian = [

12	0
24	4

]; Transpose = [

12	24
0	4

]

13.

Jika A = [

0	−2	1
2	0	−3
−1	3	0

], verifikasi bahwa A adalah matriks anti-simetris.

A^T = [

0	2	−1
−2	0	3
1	−3	0

] = −A ✓. Terbukti A anti-simetris.

14.

Tentukan semua matriks 2×2 yang memenuhi A^T = A dan A² = A (idempoten simetris).

Solusi umum: Matriks nol O, matriks identitas I, dan semua matriks berbentuk [

a	b
b	1−a

] di mana a(1−a) = b², misalnya a = 1, b = 0 (matriks I) atau a = 0, b = 0 (matriks O), atau a = ½, b = ½.

15.

Diketahui bahwa (A + B)^T(A − B) = I (matriks identitas). Jika A simetris dan B anti-simetris, sederhanakan ekspresi tersebut.

A simetris: A^T = A. B anti-simetris: B^T = −B. (A+B)^T = A^T + B^T = A − B. Maka (A+B)^T(A−B) = (A−B)(A−B) = (A−B)² = I, artinya (A−B) adalah matriks orthogonal.

Topik 2: Kesamaan Dua Matriks

Syarat, definisi, dan penerapan konsep kesamaan dua matriks

A. Materi Kesamaan Dua Matriks

Definisi: Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:

A dan B memiliki ordo (ukuran) yang sama, yaitu jumlah baris dan jumlah kolom yang sama.
Setiap elemen yang bersesuaian sama, yaitu a_ij = b_ij untuk semua nilai i dan j.

A = B ⟺ ordo(A) = ordo(B) dan a_ij = b_ij untuk semua i, j

Contoh Kesamaan

[

1	2
3	4

] = [

1	2
3	4

] ✓ (sama)

[

1	2
3	4

] ≠ [

1	2	0
3	4	0

] ✗ (berbeda ordo)

Penerapan untuk Mencari Nilai Variabel

Jika dua matriks yang mengandung variabel dinyatakan sama, maka kita dapat membentuk sistem persamaan dari kesamaan elemen-elemen yang bersesuaian.

Jika [

x+1	3
2	y−2

] = [

4	3
2	5

] maka x+1=4 → x=3 dan y−2=5 → y=7

Hal Penting yang Harus Diperhatikan

Urutan baris dan kolom sangat penting. Matriks A dan B berbeda jika urutannya berbeda meskipun elemennya sama.
Matriks 2×3 tidak pernah sama dengan matriks 3×2 meskipun mengandung elemen yang sama.
Kesamaan matriks digunakan untuk menentukan nilai variabel dalam persamaan matriks.
Jika terdapat n variabel, dibutuhkan n persamaan (kesamaan elemen) untuk mendapat solusi tunggal.

B. Contoh Soal Kesamaan Dua Matriks

● Mudah

1. Tentukan nilai x dan y jika [

x	3
5	y

] = [

7	3
5	−4

] ▼

Pembahasan

Dua matriks sama jika semua elemen yang bersesuaian sama. Kedua matriks berukuran 2×2 (ordo sama).

Elemen (1,1): x = 7

Elemen (1,2): 3 = 3 ✓ (terpenuhi otomatis)

Elemen (2,1): 5 = 5 ✓ (terpenuhi otomatis)

Elemen (2,2): y = −4

Jadi x = 7 dan y = −4.

2. Apakah [

2	3
1	4

] = [

2	1
3	4

]? Jelaskan! ▼

Pembahasan

Kedua matriks memiliki ordo yang sama (2×2) dan elemen-elemen yang sama, namun posisinya berbeda.

Perbandingan elemen:

Elemen (1,2): A = 3, B = 1 → 3 ≠ 1

Elemen (2,1): A = 1, B = 3 → 1 ≠ 3

Kesimpulan: Kedua matriks TIDAK SAMA, karena ada elemen yang bersesuaian tidak sama.

3. Tentukan nilai a, b, c jika [

] = [

−3

] ▼

Pembahasan

Kedua matriks memiliki ordo yang sama (1×3). Samakan elemen yang bersesuaian:

Elemen (1,1): a = 5

Elemen (1,2): b = −3

Elemen (1,3): c = 8

Jadi a = 5, b = −3, c = 8.

4. Tentukan nilai p jika [

2p+1	4
−1	3

] = [

9	4
−1	3

] ▼

Pembahasan

Samakan elemen (1,1) dari kedua matriks:

2p + 1 = 9

2p = 8

p = 4

Elemen lainnya sudah sama secara otomatis.

5. Apakah dua matriks berordo 2×3 dan 3×2 bisa sama? Mengapa? ▼

Pembahasan

Tidak bisa sama.

Syarat pertama kesamaan dua matriks adalah ordonya harus sama. Matriks 2×3 memiliki 2 baris dan 3 kolom, sedangkan matriks 3×2 memiliki 3 baris dan 2 kolom.

Karena ordo berbeda (2×3 ≠ 3×2), kedua matriks tidak mungkin sama meskipun mengandung elemen yang sama.

● Sedang

6. Tentukan nilai x dan y jika [

2x+y	3
1	x−y

] = [

7	3
1	1

] ▼

Pembahasan

Dari kesamaan elemen-elemen yang bersesuaian:

Elemen (1,1): 2x + y = 7 … (1)

Elemen (2,2): x − y = 1 … (2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2):

3x = 8 → x = 8/3 (tidak bulat, coba cara lain)

Dari (2): y = x − 1. Substitusi ke (1): 2x + (x−1) = 7 → 3x = 8 → x = 8/3, y = 8/3 − 1 = 5/3.

x = 8/3, y = 5/3.

7. Tentukan nilai a, b, c, d jika [

a+b	c
d	a−b

] = [

5	3
−2	1

] ▼

Pembahasan

Dari elemen-elemen bersesuaian:

c = 3

d = −2

a + b = 5 … (1)

a − b = 1 … (2)

Dari (1) + (2): 2a = 6 → a = 3

Substitusi ke (1): 3 + b = 5 → b = 2

Jadi a = 3, b = 2, c = 3, d = −2.

8. Jika [

x²	4
9	y²

] = [

25	4
9	16

], tentukan semua nilai x dan y yang mungkin. ▼

Pembahasan

Dari kesamaan elemen:

x² = 25 → x = 5 atau x = −5

y² = 16 → y = 4 atau y = −4

Jadi x ∈ {−5, 5} dan y ∈ {−4, 4}. Terdapat 4 pasangan solusi: (5,4), (5,−4), (−5,4), (−5,−4).

9. Tentukan nilai p, q, r jika [

p+q

p−q

] = [

] ▼

Pembahasan

Samakan elemen yang bersesuaian:

Elemen (1,3): r = 10

Elemen (1,1): p + q = 8 … (1)

Elemen (1,2): p − q = 2 … (2)

Dari (1) + (2): 2p = 10 → p = 5

Dari (1): 5 + q = 8 → q = 3

Jadi p = 5, q = 3, r = 10.

10. Tentukan nilai m dan n jika [

m+2n	6
4	3m−n

] = [

10	6
4	5

] ▼

Pembahasan

Dari kesamaan elemen:

m + 2n = 10 … (1)

3m − n = 5 … (2)

Dari (2): n = 3m − 5. Substitusi ke (1):

m + 2(3m − 5) = 10 → m + 6m − 10 = 10 → 7m = 20 → m = 20/7

n = 3(20/7) − 5 = 60/7 − 35/7 = n = 25/7

Jadi m = 20/7, n = 25/7.

● Sulit

11. Tentukan nilai x, y, z, w jika [

x+y	2x−y
3z+w	z−2w

] = [

3	6
7	−4

] ▼

Pembahasan

Sistem persamaan dari kesamaan elemen:

x + y = 3 … (1)

2x − y = 6 … (2)

3z + w = 7 … (3)

z − 2w = −4 … (4)

(1)+(2): 3x = 9 → x = 3, substitusi ke (1): y = 0. y = 0

(4)×3: 3z − 6w = −12 … (5). (3)−(5): 7w = 19 → w = 19/7

Dari (4): z = 2w − 4 = 38/7 − 28/7 = z = 10/7

x = 3, y = 0, z = 10/7, w = 19/7.

12. Diketahui A = [

2	1
3	k

] dan B = [

2	1
3	5

]. Jika A + B^T = 2B, tentukan nilai k. ▼

Pembahasan

B^T = [

2	3
1	5

]

A + B^T = [

4	4
4	k+5

]

2B = [

4	2
6	10

]

Cek elemen (1,2): 4 ≠ 2. Berarti tidak ada solusi k yang membuat persamaan ini terpenuhi untuk semua elemen. Namun jika hanya memperhatikan elemen (2,2):

k + 5 = 10 → k = 5. (Namun persamaan tidak konsisten untuk elemen lain, artinya persamaan tidak memiliki solusi yang valid.)

13. Jika [

x+y	xy
x²+y²	x−y

] = [

5	6
13	1

], tentukan nilai x dan y. ▼

Pembahasan

Dari kesamaan elemen:

x + y = 5 … (1)

xy = 6 … (2)

x − y = 1 … (3)

Dari (1) + (3): 2x = 6 → x = 3

Dari (1): y = 5 − 3 = y = 2

Verifikasi dengan (2): xy = 3 · 2 = 6 ✓

Verifikasi dengan x²+y² = 9+4 = 13 ✓

Jadi x = 3 dan y = 2.

14. Tentukan matriks X jika diketahui [

2	1
3	2

] · X = [

1	0
0	1

] ▼

Pembahasan

Misalkan X = [

a	b
c	d

]

Perkalian menghasilkan:

2a + c = 1, 2b + d = 0

3a + 2c = 0, 3b + 2d = 1

Dari kolom pertama: 2a+c=1 dan 3a+2c=0. Kalikan persamaan pertama dengan 2: 4a+2c=2. Kurangi: a=2, c=1−4=−3.

Dari kolom kedua: 2b+d=0 dan 3b+2d=1. Kalikan pertama dengan 2: 4b+2d=0. Kurangi: b=−1, d=2.

X = [

2	−1
−3	2

] (ini adalah invers dari matriks asal)

15. Diketahui A = [

a	b
c	d

]. Jika A = A^T dan A² = [

5	4
4	5

], tentukan semua kemungkinan matriks A. ▼

Pembahasan

Karena A = A^T, maka b = c, sehingga A = [

a	b
b	d

]

A² = [

a²+b²	ab+bd
ab+bd	b²+d²

] = [

5	4
4	5

]

a² + b² = 5 … (1)

b(a + d) = 4 … (2)

b² + d² = 5 → d² = 5 − b² … (3)

Dari (1) dan (3): a² = d², maka a = d atau a = −d.

Jika a = d: dari (2): 2ab = 4 → ab = 2. Dengan a² + b² = 5 dan ab = 2: (a+b)² = 9 atau (a−b)² = 1. Maka a+b = ±3, a−b = ±1. Solusi: a=2,b=1 atau a=−2,b=−1 atau a=1,b=2 atau a=−1,b=−2.

Dua matriks yang memenuhi: A = [

2	1
1	2

] atau A = [

−2	−1
−1	−2

] (dan variasi dengan a=1,b=2,d=1 juga memenuhi).

C. Latihan Soal Kesamaan Dua Matriks

Kerjakan secara mandiri, kemudian periksa jawabanmu.

● Mudah

Tentukan nilai x dan y jika [

x−3	4
2	y+1

] = [

5	4
2	8

]

x − 3 = 5 → x = 8; y + 1 = 8 → y = 7.

Apakah [

1	0
0	1

] = [

1	0
0	1

]? Berikan alasannya.

Ya, kedua matriks sama. Ordo sama (2×2) dan semua elemen bersesuaian sama.

Tentukan nilai k jika [

3k−1

] = [

]

3k − 1 = 8 → 3k = 9 → k = 3.

Tentukan nilai a, b, c, d jika [

a	b
c	d

] = [

−1	6
0	3

]

a = −1, b = 6, c = 0, d = 3.

Sebutkan syarat dua matriks dikatakan sama.

Dua matriks A dan B sama jika: (1) ordo A = ordo B, dan (2) a_ij = b_ij untuk semua i dan j.

● Sedang

Tentukan nilai p dan q jika [

3p+q	1
4	2p−q

] = [

11	1
4	3

]

3p + q = 11 dan 2p − q = 3. Jumlahkan: 5p = 14 → p = 14/5, q = 11 − 3(14/5) = 13/5.

Jika [

x²	y
1	3

] = [

9	−2
1	3

], tentukan semua nilai x yang mungkin.

x² = 9 → x = 3 atau x = −3. Jadi x ∈ {−3, 3}.

Tentukan nilai a, b, c jika [

a+b

b+c

a+c

] = [

]

a+b=7, b+c=9, a+c=6. Jumlahkan semua: 2(a+b+c)=22 → a+b+c=11. Maka c=11−7=4, a=11−9=2, b=11−6=5.

Diketahui A = [

m	2
3	n

] dan B = [

4	2
3	−1

]. Jika A = B^T, tentukan m dan n.

B^T = [

4	3
2	−1

]. Elemen (1,1): m = 4. Elemen (2,2): n = −1. Namun elemen (1,2): 2 ≠ 3 → tidak konsisten. Tidak ada solusi.

10.

Tentukan nilai x dan y jika [

log x	3
2	y

] = [

2	3
2	16

]

log x = 2 → x = 100 (log basis 10). y = 16.

● Sulit

11.

Tentukan nilai x, y, z, w jika [

x+2y	3x−y
2z+w	z−3w

] = [

8	7
5	−7

]

x+2y=8, 3x−y=7 → dari eliminasi: 7x=22 → x=22/7, y=3(22/7)−7)/1… lebih mudah: x+2y=8 dan 3x−y=7, kalikan kedua dengan 2: 6x−2y=14, jumlah: 7x=22, x=22/7, y=(8−22/7)/2=27/7. Untuk z: 2z+w=5, z−3w=−7 → 6z+3w=15, z−3w=−7, jumlah: 7z=8 → z=8/7, w=5−16/7=19/7.

12.

Jika A = [

1	k
0	1

], tentukan nilai k agar A² = A + I, di mana I adalah matriks identitas.

A² = [

1	2k
0	1

]. A + I = [

2	k
0	2

]. Dari elemen (1,1): 1 ≠ 2 → tidak konsisten. Tidak ada nilai k yang memenuhi.

13.

Diketahui [

sin x	cos y
tan z	1

] = [

1/2	1
1	1

] untuk x, y, z ∈ [0°, 90°]. Tentukan nilai x, y, z.

sin x = 1/2 → x = 30°. cos y = 1 → y = 0°. tan z = 1 → z = 45°.

14.

Tentukan nilai a, b, c jika [

a+b+c	ab
bc	a+c

] = [

9	8
6	7

] dengan a, b, c bilangan bulat positif.

ab=8 dan bc=6. Coba b=2: a=4, c=3. Cek: a+b+c=9 ✓, a+c=7 ✓. Jadi a=4, b=2, c=3.

15.

Diketahui matriks A dan B memenuhi A + B = [

5	3
7	1

] dan A − B = [

1	−1
3	5

]. Tentukan matriks A dan B, kemudian verifikasi bahwa (A+B)^T = A^T + B^T.

A = ½[(A+B)+(A−B)] = [

3	1
5	3

]. B = ½[(A+B)−(A−B)] = [

2	2
2	−2

]. (A+B)^T = [

5	7
3	1

] = A^T+B^T ✓

Epres Math : Matriks – Transpose Matriks, Kesamaan Dua Matiks

Matriks: Transpose & Kesamaan

Topik 1: Transpose Matriks

Topik 2: Kesamaan Dua Matriks

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Epres Math : Vektor – Pengertian Vektor dan Skalar, Vektor Nol, Lawan Vektor, Kesamaan Dua Vektor

Epres Math : Matriks – Transpose Matriks, Kesamaan Dua Matiks

Epres Math : Statistika – Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Epres Math : Matriks – Determinan Matriks

Topik 1: Transpose Matriks

Topik 2: Kesamaan Dua Matriks

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed