Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Ordo Matriks
Memahami konsep ordo (ukuran) suatu matriks secara mendalam
A. Pengertian Ordo Matriks
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan matriks-matriks berikut ini:
Amatilah berapa banyak baris dan kolom pada setiap matriks di atas.
Ordo matriks (atau ukuran matriks) menyatakan banyaknya baris dan kolom yang dimiliki oleh suatu matriks. Ordo matriks ditulis dalam bentuk:
Ordo = m × n
dengan m = banyak baris, dan n = banyak kolom
Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks berordo m × n (dibaca: “m kali n”).
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, coba ajukan pertanyaan:
- Bagaimana cara menentukan ordo suatu matriks?
- Apa perbedaan matriks berordo 2×3 dengan matriks berordo 3×2?
- Apakah ordo matriks mempengaruhi operasi yang bisa dilakukan pada matriks?
Cara Menentukan Ordo Matriks
Langkah-langkah menentukan ordo matriks:
- Hitung banyaknya baris (susunan elemen mendatar/horizontal). Ini menjadi nilai m.
- Hitung banyaknya kolom (susunan elemen tegak/vertikal). Ini menjadi nilai n.
- Tuliskan ordo dalam bentuk m × n.
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan matriks yang telah diamati:
- Matriks A memiliki 2 baris dan 2 kolom, maka ordo matriks A adalah 2 × 2
- Matriks B memiliki 3 baris dan 3 kolom, maka ordo matriks B adalah 3 × 3
- Matriks C memiliki 2 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks C adalah 2 × 4
Kesimpulan: Angka pertama pada ordo selalu menunjukkan banyak baris, dan angka kedua menunjukkan banyak kolom. Urutan ini tidak boleh dibalik.
Notasi Umum Matriks Berordo m × n
Secara umum, matriks A berordo m × n dapat dituliskan sebagai:
Keterangan:
- aij = elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j
- m = banyaknya baris (i = 1, 2, 3, …, m)
- n = banyaknya kolom (j = 1, 2, 3, …, n)
Jenis-Jenis Ordo Matriks yang Sering Dijumpai
| Ordo | Keterangan | Contoh |
|---|---|---|
| 1 × 1 | Matriks dengan 1 baris dan 1 kolom | [5] |
| 1 × n | Matriks baris (1 baris, n kolom) | [2 4 7] → ordo 1×3 |
| m × 1 | Matriks kolom (m baris, 1 kolom) | [ 315 ] → ordo 3×1 |
| n × n | Matriks persegi (baris = kolom) | Matriks 2×2, 3×3, 4×4, dst. |
Kegiatan: Mencoba
Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut:
Jawaban: Matriks P berordo 2×3, Matriks Q berordo 3×2.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Dari materi yang telah dipelajari, kita dapat menyimpulkan:
- Ordo matriks ditulis dalam bentuk m × n (baris × kolom).
- Ordo menentukan ukuran matriks dan jumlah elemen di dalamnya (m × n elemen).
- Dua matriks dikatakan memiliki ordo yang sama jika banyak baris dan banyak kolomnya sama.
- Matriks berordo m × n memiliki total m × n buah elemen.
Hubungan Ordo dengan Jumlah Elemen
Jika suatu matriks berordo m × n, maka jumlah seluruh elemen dalam matriks tersebut adalah m × n.
| Ordo Matriks | Banyak Baris | Banyak Kolom | Jumlah Elemen |
|---|---|---|---|
| 2 × 3 | 2 | 3 | 6 |
| 3 × 4 | 3 | 4 | 12 |
| 4 × 2 | 4 | 2 | 8 |
| 5 × 5 | 5 | 5 | 25 |
Menentukan Kemungkinan Ordo dari Jumlah Elemen
Jika diketahui jumlah elemen suatu matriks, kita dapat menentukan semua kemungkinan ordo matriks tersebut dengan mencari semua pasangan faktor dari jumlah elemen.
Contoh: Suatu matriks memiliki 12 elemen. Kemungkinan ordonya adalah:
1×12, 2×6, 3×4, 4×3, 6×2, 12×1
(Semua pasangan m × n di mana m × n = 12)
B. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah Mudah
Soal 1. Tentukan ordo matriks berikut:
Pembahasan:
Hitung baris: baris pertama (2, 4, 6) dan baris kedua (1, 3, 5) → ada 2 baris.
Hitung kolom: kolom pertama (2, 1), kolom kedua (4, 3), kolom ketiga (6, 5) → ada 3 kolom.
Ordo matriks A = 2 × 3
Soal 2. Tentukan ordo matriks berikut:
Pembahasan:
Baris: (7,8), (3,4), (5,6) → ada 3 baris.
Kolom: (7,3,5), (8,4,6) → ada 2 kolom.
Ordo matriks B = 3 × 2
Soal 3. Tentukan ordo matriks berikut:
Pembahasan:
Matriks C hanya memiliki 1 baris dan 4 kolom.
Ordo matriks C = 1 × 4 (matriks baris)
Soal 4. Tentukan ordo matriks berikut:
Pembahasan:
Matriks D memiliki 4 baris dan 1 kolom.
Ordo matriks D = 4 × 1 (matriks kolom)
Soal 5. Matriks E berordo 2 × 2. Berapa jumlah elemen matriks E?
Pembahasan:
Ordo 2 × 2 berarti ada 2 baris dan 2 kolom.
Jumlah elemen = m × n = 2 × 2 = 4 elemen.
Contoh Soal Sedang Sedang
Soal 6. Suatu matriks memiliki 8 elemen. Tentukan semua kemungkinan ordo matriks tersebut!
Pembahasan:
Cari semua pasangan m × n yang hasilnya 8:
- 1 × 8 = 8 ✓
- 2 × 4 = 8 ✓
- 4 × 2 = 8 ✓
- 8 × 1 = 8 ✓
Kemungkinan ordo: 1×8, 2×4, 4×2, 8×1
Soal 7. Diketahui matriks M berordo (2p−1) × (p+2). Jika ordo matriks M adalah 3 × 4, tentukan nilai p!
Pembahasan:
Dari banyak baris: 2p − 1 = 3 → 2p = 4 → p = 2
Verifikasi dari banyak kolom: p + 2 = 2 + 2 = 4 ✓
Nilai p = 2
Soal 8. Matriks P berordo 3 × 4 dan matriks Q berordo 4 × 2. Tentukan ordo masing-masing dan jumlah elemen pada setiap matriks!
Pembahasan:
Matriks P: ordo 3 × 4, jumlah elemen = 3 × 4 = 12 elemen
Matriks Q: ordo 4 × 2, jumlah elemen = 4 × 2 = 8 elemen
Soal 9. Diketahui matriks:
Tentukan ordo matriks A dan sebutkan elemen a12 dan a23!
Pembahasan:
Ordo matriks A = 2 × 3 (2 baris, 3 kolom)
a12 = elemen baris ke-1, kolom ke-2 = b
a23 = elemen baris ke-2, kolom ke-3 = f
Soal 10. Suatu matriks berordo n × n memiliki 16 elemen. Tentukan nilai n dan jenis matriks tersebut!
Pembahasan:
Jumlah elemen = n × n = n² = 16
n = √16 = 4
Ordo matriks = 4 × 4
Karena banyak baris = banyak kolom, maka matriks ini adalah matriks persegi berordo 4.
Contoh Soal Sulit Sulit
Soal 11. Diketahui matriks A berordo (a+b) × (2a−b) dan matriks B berordo (3a−2b) × (a+3b). Jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B, tentukan nilai a dan b!
Pembahasan:
Ordo A = ordo B, maka:
Baris: a + b = 3a − 2b → 3b = 2a → a = 3b/2 … (1)
Kolom: 2a − b = a + 3b → a = 4b … (2)
Substitusi (2) ke (1): 4b = 3b/2 → ini kontradiksi, maka kita cek ulang:
Dari (1): a + b = 3a − 2b → 3b = 2a → a = 3b/2
Dari (2): 2a − b = a + 3b → a = 4b
Substitusi a = 4b ke (1): 4b + b = 3(4b) − 2b → 5b = 12b − 2b → 5b = 10b → ini berarti b = 0, lalu a = 0.
Periksa kembali: Jika syaratnya ordo harus bilangan positif, maka kita gunakan pendekatan lain.
Misalkan kita coba: a + b = 3a − 2b dan 2a − b = a + 3b
Persamaan 1: 3b = 2a → a = 1.5b
Persamaan 2: a = 4b
Kedua persamaan tidak konsisten kecuali b = 0 dan a = 0, yang tidak valid untuk ordo matriks.
Kesimpulan: Tidak ada nilai a dan b bilangan bulat positif yang memenuhi. Ini menunjukkan pentingnya memeriksa konsistensi sistem persamaan. Jika soal dimaksudkan memiliki solusi, kemungkinan terdapat kesalahan penulisan. Namun jika a = 4 dan b = 1 diberikan, maka ordo A = 5×7 dan ordo B = 10×7, yang tidak sama.
Catatan: Soal jenis ini melatih kemampuan menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan linear.
Soal 12. Matriks A berordo (2x+1) × (y−1) dan matriks B berordo (x+3) × (2y−5). Jika A dan B memiliki ordo yang sama, tentukan ordo kedua matriks tersebut!
Pembahasan:
Baris: 2x + 1 = x + 3 → x = 2
Kolom: y − 1 = 2y − 5 → −y = −4 → y = 4
Ordo matriks: baris = 2(2) + 1 = 5, kolom = 4 − 1 = 3
Ordo kedua matriks = 5 × 3
Soal 13. Suatu matriks memiliki 24 elemen. Tentukan berapa banyak kemungkinan ordo matriks tersebut, dan sebutkan semua kemungkinan ordo jika matriks tersebut memiliki lebih dari 2 baris dan lebih dari 2 kolom!
Pembahasan:
Semua pasangan faktor dari 24:
1×24, 2×12, 3×8, 4×6, 6×4, 8×3, 12×2, 24×1
Total kemungkinan ordo = 8
Dengan syarat baris > 2 dan kolom > 2:
- 3 × 8 ✓ (3 baris > 2, 8 kolom > 2)
- 4 × 6 ✓
- 6 × 4 ✓
- 8 × 3 ✓
Ada 4 kemungkinan ordo: 3×8, 4×6, 6×4, 8×3
Soal 14. Diketahui matriks K berordo m × n dengan m + n = 7 dan m × n = 12. Tentukan semua kemungkinan ordo matriks K!
Pembahasan:
m + n = 7 dan m × n = 12
Ini membentuk persamaan kuadrat: t² − 7t + 12 = 0
(t − 3)(t − 4) = 0 → t = 3 atau t = 4
Jadi m = 3, n = 4 atau m = 4, n = 3
Kemungkinan ordo matriks K: 3 × 4 atau 4 × 3
Soal 15. Matriks A berordo (p²−1) × (q+3) merupakan matriks persegi berordo 3. Tentukan semua nilai p dan q yang memenuhi!
Pembahasan:
Matriks persegi berordo 3 berarti ordo 3 × 3.
Dari baris: p² − 1 = 3 → p² = 4 → p = 2 atau p = −2
Dari kolom: q + 3 = 3 → q = 0
Nilai yang memenuhi: p = 2 atau p = −2, dan q = 0
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu!
Latihan Mudah Mudah
1. Tentukan ordo matriks berikut:
2. Tentukan ordo matriks berikut:
3. Matriks R berordo 4 × 3. Berapa jumlah elemen matriks R?
4. Tentukan ordo matriks berikut:
5. Tentukan ordo matriks berikut:
Latihan Sedang Sedang
6. Suatu matriks memiliki 10 elemen. Tentukan semua kemungkinan ordo matriks tersebut!
7. Matriks A berordo (x+1) × (2x−3). Jika matriks A berordo 4 × 5, tentukan nilai x!
8. Diketahui matriks berikut:
Tentukan ordo matriks M, elemen m23, dan elemen m31!
9. Suatu matriks persegi memiliki 25 elemen. Tentukan ordo matriks tersebut!
10. Matriks P berordo (2a−1) × (b+3) memiliki 3 baris dan 5 kolom. Tentukan nilai a dan b!
Latihan Sulit Sulit
11. Matriks A berordo (2p+q) × (p−q) dan matriks B berordo (p+4) × (q+1). Jika ordo A = ordo B, tentukan nilai p, q, dan ordo kedua matriks!
12. Suatu matriks memiliki 36 elemen. Berapa banyak kemungkinan ordo matriks tersebut? Sebutkan semua kemungkinan ordo yang merupakan matriks persegi!
13. Matriks M berordo m × n dengan m + n = 9 dan m² + n² = 45. Tentukan semua kemungkinan ordo matriks M!
14. Diketahui matriks X berordo (a²−4) × (b²−9) merupakan matriks persegi berordo 5. Tentukan semua kemungkinan nilai a dan b!
15. Matriks A berordo (2x+y) × (x−y+5) dan matriks B berordo (3x−y−2) × (2y+1). Jika kedua matriks memiliki ordo yang sama dan merupakan matriks persegi, tentukan ordo kedua matriks!
[…] dan Notasi Suatu Matriks Ordo Matriks Transpos Matriks Kesamaan Dua […]