Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Sistem Persamaan dengan Dua Peubah:
Satu Linear dan Satu Kuadrat
(Bentuk Kuadrat Dapat Difaktorkan)

A. Pendahuluan

Sistem persamaan dengan dua peubah yang terdiri dari satu persamaan linear dan satu persamaan kuadrat merupakan sistem yang memuat:

Satu persamaan linear berbentuk: ax + by = c
Satu persamaan kuadrat berbentuk: y = px² + qx + r atau bentuk lain yang dapat difaktorkan

Penyelesaian sistem ini adalah mencari pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Pada materi ini, kita fokus pada kasus di mana bentuk kuadratnya dapat difaktorkan, sehingga penyelesaian menjadi lebih sistematis.

Bentuk Umum: Persamaan Linear: ax + by = c atau y = mx + n Persamaan Kuadrat: ax 2 + bx + c = 0 (dapat difaktorkan)

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

Amatilah sistem persamaan berikut:

Persamaan (1): y = x + 1 (linear) Persamaan (2): y = x 2 - 3x + 3 (kuadrat)

Perhatikan hal-hal berikut:

Persamaan (1) adalah garis lurus dengan gradien 1 dan memotong sumbu-y di titik (0, 1)
Persamaan (2) adalah parabola terbuka ke atas
Titik potong kedua kurva adalah penyelesaian sistem

Dengan menyamakan kedua persamaan:

x + 1 = x 2 - 3x + 3 0 = x 2 - 4x + 2 \dots (belum bisa difaktorkan dengan mudah)

Sekarang amati sistem yang bentuk kuadratnya dapat difaktorkan:

Persamaan (1): y = 2x - 1 Persamaan (2): y = x 2 - 4x + 3

Substitusi: 2x − 1 = x² − 4x + 3

0 = x² − 6x + 4… hmm, coba contoh lain:

Persamaan (1): y = x + 1 Persamaan (2): y = x 2 - 2x - 3

Substitusi: x + 1 = x² − 2x − 3

0 = x² − 3x − 4

0 = (x − 4)(x + 1) ✓ Dapat difaktorkan!

Sehingga x = 4 atau x = −1

B. Materi: Metode Penyelesaian

1. Metode Substitusi

Langkah-langkah metode substitusi:

Nyatakan salah satu peubah dari persamaan linear dalam bentuk peubah lainnya
Substitusikan ke persamaan kuadrat
Sederhanakan sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam satu peubah
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut
Tentukan nilai peubah dari masing-masing faktor
Substitusikan kembali untuk mencari nilai peubah lainnya

Contoh Prosedur: Diberikan: y = x + 2 \dots (1) x 2 + y 2 - 4x - 6y + 8 = 0 \dots (2) — jika dapat difaktorkan setelah substitusi Langkah 1: Dari (1), y = x + 2 Langkah 2: Substitusi ke (2): x 2 + (x+2) 2 - 4x - 6(x+2) + 8 = 0 Langkah 3: Sederhanakan: x 2 + x 2 + 4x + 4 - 4x - 6x - 12 + 8 = 0 2x 2 - 6x + 0 = 0 2x(x - 3) = 0 Langkah 4: Faktorkan \to x = 0 atau x = 3 Langkah 5: Substitusi kembali ke (1): x = 0 \to y = 2 x = 3 \to y = 5 HP = {(0, 2), (3, 5)}

❓ Kegiatan 2: Menanya

Setelah mengamati metode substitusi, tanyakan pada diri sendiri:

Bagaimana cara menentukan apakah persamaan kuadrat hasil substitusi dapat difaktorkan?
Apakah selalu ada dua penyelesaian? Bisakah ada satu atau tidak ada penyelesaian?
Apa syarat agar bentuk kuadrat ax² + bx + c dapat difaktorkan?
Bagaimana jika diskriminan D = b² − 4ac merupakan bilangan kuadrat sempurna?

Jawaban Penting: Bentuk kuadrat ax 2 + bx + c dapat difaktorkan atas bilangan bulat jika diskriminan D = b 2 - 4ac merupakan bilangan kuadrat sempurna (0, 1, 4, 9, 16, \dots).

2. Teknik Pemfaktoran

Beberapa teknik memfaktorkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0:

Teknik	Kondisi	Contoh
Faktor bersama	Ada faktor yang sama	2x² − 6x = 2x(x − 3)
Trinomial (a=1)	Cari dua bilangan yang jika dijumlah = b, dikali = c	x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)
Trinomial (a≠1)	Cari dua bilangan yang jika dijumlah = b, dikali = ac	2x² + 5x + 3 = (2x+3)(x+1)
Selisih kuadrat	Bentuk a² − b²	x² − 9 = (x+3)(x−3)

💡 Kegiatan 3: Menalar

Mari kita nalar hubungan antara jumlah penyelesaian dan posisi garis terhadap parabola:

Kondisi Diskriminan	Jumlah Penyelesaian	Posisi Garis
D > 0 (kuadrat sempurna)	2 titik potong	Garis memotong parabola di 2 titik
D = 0	1 titik potong (singgung)	Garis menyinggung parabola
D < 0	Tidak ada titik potong	Garis tidak memotong parabola

Kesimpulan: Karena kita fokus pada kasus yang dapat difaktorkan, maka D ≥ 0 dan merupakan kuadrat sempurna, sehingga selalu ada 1 atau 2 penyelesaian bilangan bulat/rasional.

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

Cobalah selesaikan sistem berikut dengan langkah-langkah yang telah dipelajari:

y = 3x - 5 \dots (1) y = x 2 - x - 5 \dots (2)

Petunjuk: Samakan (1) dan (2), lalu faktorkan.

Klik untuk melihat penyelesaian

3x − 5 = x² − x − 5

0 = x² − 4x

0 = x(x − 4)

x = 0 atau x = 4

Untuk x = 0: y = 3(0) − 5 = −5

Untuk x = 4: y = 3(4) − 5 = 7

HP = {(0, −5), (4, 7)}

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

Komunikasikan pemahamanmu dengan melengkapi ringkasan berikut:

Ringkasan Prosedur: 1. Dari persamaan linear, nyatakan y dalam x (atau sebaliknya) 2. Substitusikan ke persamaan kuadrat 3. Sederhanakan menjadi bentuk ax 2 + bx + c = 0 4. Pastikan dapat difaktorkan: cek D = b 2 - 4ac adalah kuadrat sempurna 5. Faktorkan dan tentukan nilai-nilai x 6. Substitusi kembali untuk mendapatkan nilai y 7. Tuliskan himpunan penyelesaian: HP = {(x₁, y₁), (x₂, y₂)}

C. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Contoh Soal Tingkat Mudah

Contoh 1 (Mudah)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

y = x + 2 \dots (1) y = x 2 \dots (2)

Pembahasan

Substitusi (1) ke (2):

x + 2 = x²

x² − x − 2 = 0

(x − 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = −1

Untuk x = 2: y = 2 + 2 = 4

Untuk x = −1: y = −1 + 2 = 1

HP = {(2, 4), (−1, 1)}

Contoh 2 (Mudah)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

y = 2x \dots (1) y = x 2 - 3x \dots (2)

Pembahasan

2x = x² − 3x

x² − 5x = 0

x(x − 5) = 0

x = 0 atau x = 5

Untuk x = 0: y = 0

Untuk x = 5: y = 10

HP = {(0, 0), (5, 10)}

Contoh 3 (Mudah)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

y = x - 1 \dots (1) y = x 2 - 3x + 1 \dots (2)

Pembahasan

x − 1 = x² − 3x + 1

0 = x² − 4x + 2… Diskriminan: 16 − 8 = 8 (bukan kuadrat sempurna)

Mari perbaiki soalnya agar dapat difaktorkan:

x − 1 = x² − 3x + 1

Koreksi: gunakan y = x² − 4x + 2

Sebenarnya mari gunakan: y = x² − 5x + 5

x − 1 = x² − 5x + 5

0 = x² − 6x + 6… D=12, belum.

Koreksi soal:

Soal yang benar:

y = x − 1 dan y = x² − 5x + 5

Hmm, mari kita pakai soal yang pasti bisa difaktorkan:

Soal diperbaiki:

y = x + 1 … (1)

y = x² + 3x + 1 … (2)

x + 1 = x² + 3x + 1

0 = x² + 2x

0 = x(x + 2)

x = 0 atau x = −2

Untuk x = 0: y = 1

Untuk x = −2: y = −1

HP = {(0, 1), (−2, −1)}

Contoh 4 (Mudah)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x + y = 5 \dots (1) y = x 2 - 4x + 1 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): y = 5 − x

Substitusi ke (2): 5 − x = x² − 4x + 1

0 = x² − 3x − 4

0 = (x − 4)(x + 1)

x = 4 atau x = −1

Untuk x = 4: y = 5 − 4 = 1

Untuk x = −1: y = 5 − (−1) = 6

HP = {(4, 1), (−1, 6)}

Contoh 5 (Mudah)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

y = 3x \dots (1) y = x 2 + 2x \dots (2)

Pembahasan

3x = x² + 2x

0 = x² − x

0 = x(x − 1)

x = 0 atau x = 1

Untuk x = 0: y = 0

Untuk x = 1: y = 3

HP = {(0, 0), (1, 3)}

📙 Contoh Soal Tingkat Sedang

Contoh 6 (Sedang)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

2x - y = 1 \dots (1) x 2 - xy + y 2 = 7 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): y = 2x − 1

Substitusi ke (2):

x² − x(2x−1) + (2x−1)² = 7

x² − 2x² + x + 4x² − 4x + 1 = 7

3x² − 3x + 1 = 7

3x² − 3x − 6 = 0

x² − x − 2 = 0

(x − 2)(x + 1) = 0

x = 2 atau x = −1

Untuk x = 2: y = 2(2) − 1 = 3

Untuk x = −1: y = 2(−1) − 1 = −3

HP = {(2, 3), (−1, −3)}

Contoh 7 (Sedang)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x - y + 3 = 0 \dots (1) x 2 + y 2 = 25 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): x = y − 3

Substitusi ke (2):

(y − 3)² + y² = 25

y² − 6y + 9 + y² = 25

2y² − 6y − 16 = 0

y² − 3y − 8 = 0… D = 9+32 = 41 (bukan kuadrat sempurna)

Koreksi — gunakan lingkaran berbeda:

Soal diperbaiki:

x − y + 1 = 0 dan x² + y² = 5

Dari (1): x = y − 1

(y−1)² + y² = 5

y² − 2y + 1 + y² = 5

2y² − 2y − 4 = 0

y² − y − 2 = 0

(y − 2)(y + 1) = 0

y = 2 atau y = −1

Untuk y = 2: x = 1

Untuk y = −1: x = −2

HP = {(1, 2), (−2, −1)}

Contoh 8 (Sedang)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x + 2y = 7 \dots (1) xy = 6 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): x = 7 − 2y

Substitusi ke (2):

(7 − 2y)y = 6

7y − 2y² = 6

2y² − 7y + 6 = 0

(2y − 3)(y − 2) = 0

y = 3/2 atau y = 2

Untuk y = 3/2: x = 7 − 3 = 4

Untuk y = 2: x = 7 − 4 = 3

HP = {(4, 3/2), (3, 2)}

Contoh 9 (Sedang)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

y = x + 3 \dots (1) x 2 + y 2 - 2x - 4y = 0 \dots (2)

Pembahasan

Substitusi y = x + 3 ke (2):

x² + (x+3)² − 2x − 4(x+3) = 0

x² + x² + 6x + 9 − 2x − 4x − 12 = 0

2x² + 0x − 3 = 0… D = 0+24 = 24 (bukan kuadrat sempurna)

Soal diperbaiki:

y = x + 1 dan x² + y² − 2x − 4y + 1 = 0

Substitusi:

x² + (x+1)² − 2x − 4(x+1) + 1 = 0

x² + x² + 2x + 1 − 2x − 4x − 4 + 1 = 0

2x² − 4x − 2 = 0

x² − 2x − 1 = 0… D=8, bukan.

Soal final:

y = x + 2 dan x² + y² = 10

x² + (x+2)² = 10

x² + x² + 4x + 4 = 10

2x² + 4x − 6 = 0

x² + 2x − 3 = 0

(x + 3)(x − 1) = 0

x = −3 atau x = 1

Untuk x = −3: y = −1

Untuk x = 1: y = 3

HP = {(−3, −1), (1, 3)}

Contoh 10 (Sedang)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x - 2y + 4 = 0 \dots (1) x 2 - 4y + 8 = 0 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): x = 2y − 4

Substitusi ke (2):

(2y−4)² − 4y + 8 = 0

4y² − 16y + 16 − 4y + 8 = 0

4y² − 20y + 24 = 0

y² − 5y + 6 = 0

(y − 2)(y − 3) = 0

y = 2 atau y = 3

Untuk y = 2: x = 0

Untuk y = 3: x = 2

HP = {(0, 2), (2, 3)}

📕 Contoh Soal Tingkat Sulit

Contoh 11 (Sulit)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

3x + y = 10 \dots (1) 2x 2 + xy - y 2 = 8 \dots (2)

Pembahasan

Dari (1): y = 10 − 3x

Substitusi ke (2):

2x² + x(10−3x) − (10−3x)² = 8

2x² + 10x − 3x² − (100 − 60x + 9x²) = 8

2x² + 10x − 3x² − 100 + 60x − 9x² = 8

−10x² + 70x − 100 = 8

−10x² + 70x − 108 = 0

10x² − 70x + 108 = 0

5x² − 35x + 54 = 0

D = 1225 − 1080 = 145… tidak kuadrat sempurna.

Soal diperbaiki:

x + y = 5 dan 2x² − xy = 3

Dari (1): y = 5 − x

2x² − x(5−x) = 3

2x² − 5x + x² = 3

3x² − 5x − 3 = 3… hmm

Soal final:

x + y = 4 dan x² − xy + y² = 3

Dari (1): y = 4 − x

x² − x(4−x) + (4−x)² = 3

x² − 4x + x² + 16 − 8x + x² = 3

3x² − 12x + 16 = 3

3x² − 12x + 13 = 0… D=144−156 < 0, tidak ada solusi real.

Soal final (benar):

x + y = 5 dan x² + xy − 2y² = 0

Perhatikan: x² + xy − 2y² = (x + 2y)(x − y) = 0

Kasus 1: x + 2y = 0 → x = −2y

Substitusi ke x + y = 5: −2y + y = 5 → y = −5, x = 10

Kasus 2: x − y = 0 → x = y

Substitusi: y + y = 5 → y = 5/2, x = 5/2

HP = {(10, −5), (5/2, 5/2)}

Contoh 12 (Sulit)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x - y = 2 \dots (1) x 2 + 2xy + y 2 - 5x - 5y = 0 \dots (2)

Pembahasan

Perhatikan (2): (x+y)² − 5(x+y) = 0

Misalkan s = x + y, maka: s² − 5s = 0 → s(s−5) = 0

x + y = 0 atau x + y = 5

Kasus 1: x + y = 0 dan x − y = 2

Jumlahkan: 2x = 2 → x = 1, y = −1

Kasus 2: x + y = 5 dan x − y = 2

Jumlahkan: 2x = 7 → x = 7/2, y = 3/2

HP = {(1, −1), (7/2, 3/2)}

Contoh 13 (Sulit)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

2x + y = 7 \dots (1) x 2 - y 2 = -5 \dots (2)

Pembahasan

Persamaan (2) dapat difaktorkan: (x−y)(x+y) = −5

Dari (1): y = 7 − 2x

Substitusi ke (2):

x² − (7−2x)² = −5

x² − 49 + 28x − 4x² = −5

−3x² + 28x − 44 = 0

3x² − 28x + 44 = 0

(3x − 22)(x − 2) = 0

Cek: 3×2=6… 6×44=264… cari dua bilangan: hmm, (3)(44)=132. Cari faktor 132 yang jumlahnya 28: 6+22=28, 6×22=132 ✓

3x² − 6x − 22x + 44 = 0

3x(x−2) − 22(x−2) = 0

(3x−22)(x−2) = 0

x = 22/3 atau x = 2

Untuk x = 2: y = 7 − 4 = 3

Untuk x = 22/3: y = 7 − 44/3 = −23/3

HP = {(2, 3), (22/3, −23/3)}

Contoh 14 (Sulit)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x + 2y = 8 \dots (1) x 2 + 4y 2 - 2xy = 16 \dots (2)

Pembahasan

Perhatikan (2): (x − 2y)² + 4xy − 2xy = 16… hmm, mari coba langsung.

Perhatikan: x² + 4y² − 2xy = (x+2y)² − 4xy − 2xy = (x+2y)² − 6xy

Hmm, coba: (x−2y)² = x² − 4xy + 4y². Beda.

Langsung substitusi: Dari (1): x = 8 − 2y

(8−2y)² + 4y² − 2(8−2y)y = 16

64 − 32y + 4y² + 4y² − 16y + 4y² = 16

12y² − 48y + 64 = 16

12y² − 48y + 48 = 0

y² − 4y + 4 = 0

(y − 2)² = 0

y = 2 (akar kembar → garis menyinggung kurva)

Untuk y = 2: x = 8 − 4 = 4

HP = {(4, 2)}

(Hanya ada satu titik penyelesaian karena garis menyinggung kurva kuadrat)

Contoh 15 (Sulit)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:

x - 3y + 5 = 0 \dots (1) 2x 2 + 3xy - 2y 2 = 7 \dots (2)

Pembahasan

Perhatikan (2): 2x² + 3xy − 2y² = (2x − y)(x + 2y)

Verifikasi: (2x−y)(x+2y) = 2x² + 4xy − xy − 2y² = 2x² + 3xy − 2y² ✓

Jadi: (2x − y)(x + 2y) = 7

Dari (1): x = 3y − 5

Substitusi ke persamaan yang sudah difaktorkan:

(2(3y−5) − y)((3y−5) + 2y) = 7

(6y − 10 − y)(3y − 5 + 2y) = 7

(5y − 10)(5y − 5) = 7

5(y − 2) · 5(y − 1) = 7

25(y − 2)(y − 1) = 7

25(y² − 3y + 2) = 7

25y² − 75y + 50 = 7

25y² − 75y + 43 = 0

D = 5625 − 4300 = 1325… tidak kuadrat sempurna.

Soal diperbaiki:

x − y + 1 = 0 dan 2x² + 3xy − 2y² = 0

Faktorkan (2): (2x − y)(x + 2y) = 0

Kasus 1: 2x − y = 0 → y = 2x

Substitusi ke (1): x − 2x + 1 = 0 → x = 1, y = 2

Kasus 2: x + 2y = 0 → x = −2y

Substitusi ke (1): −2y − y + 1 = 0 → y = 1/3, x = −2/3

HP = {(1, 2), (−2/3, 1/3)}

D. Latihan Soal

📗 Latihan Tingkat Mudah

1. Tentukan HP dari sistem: y = x + 3 dan y = x² + x

2. Tentukan HP dari sistem: y = 2x + 1 dan y = x² − x + 1

3. Tentukan HP dari sistem: y = x − 2 dan y = x² − 6x + 8

4. Tentukan HP dari sistem: x + y = 4 dan y = x² − 2x

5. Tentukan HP dari sistem: y = 4x dan y = x² + 3x

📙 Latihan Tingkat Sedang

6. Tentukan HP dari sistem: x − y = 1 dan x² + y² = 13

7. Tentukan HP dari sistem: x + 3y = 10 dan xy = 3

8. Tentukan HP dari sistem: 2x − y = 3 dan x² + xy − 2y² = 0

9. Tentukan HP dari sistem: y = 2x − 1 dan x² + y² = 2

10. Tentukan HP dari sistem: x + y = 6 dan x² − xy + y² = 12

📕 Latihan Tingkat Sulit

11. Tentukan HP dari sistem: 2x + y = 3 dan 4x² − y² + 4x + 2y = 3

12. Tentukan HP dari sistem: x − 2y = 1 dan x² + 3xy + 2y² = 6

13. Tentukan HP dari sistem: 3x − y = 2 dan 9x² + y² − 6xy − 9x + 3y = 0

14. Tentukan HP dari sistem: x + y = 3 dan x³ − y³ = 9
(Petunjuk: faktorkan selisih kubik menjadi bentuk yang memuat x+y)

15. Tentukan HP dari sistem: x + 2y = 5 dan x² − 4y² + 3x + 6y = 0

A. Pendahuluan

🔍 Kegiatan 1: Mengamati

B. Materi: Metode Penyelesaian

1. Metode Substitusi

❓ Kegiatan 2: Menanya

2. Teknik Pemfaktoran

💡 Kegiatan 3: Menalar

✏️ Kegiatan 4: Mencoba

📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan

C. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Contoh Soal Tingkat Mudah

Contoh 1 (Mudah)

Contoh 2 (Mudah)

Contoh 3 (Mudah)

Contoh 4 (Mudah)

Contoh 5 (Mudah)

📙 Contoh Soal Tingkat Sedang

Contoh 6 (Sedang)

Contoh 7 (Sedang)

Contoh 8 (Sedang)

Contoh 9 (Sedang)

Contoh 10 (Sedang)

📕 Contoh Soal Tingkat Sulit

Contoh 11 (Sulit)

Contoh 12 (Sulit)

Contoh 13 (Sulit)

Contoh 14 (Sulit)

Contoh 15 (Sulit)

D. Latihan Soal

📗 Latihan Tingkat Mudah

📙 Latihan Tingkat Sedang

📕 Latihan Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed