Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sistem Persamaan dengan Dua Peubah:
Satu Linear dan Satu Kuadrat
(Bentuk Kuadrat Dapat Difaktorkan)
A. Pendahuluan
Sistem persamaan dengan dua peubah yang terdiri dari satu persamaan linear dan satu persamaan kuadrat merupakan sistem yang memuat:
- Satu persamaan linear berbentuk: ax + by = c
- Satu persamaan kuadrat berbentuk: y = px2 + qx + r atau bentuk lain yang dapat difaktorkan
Penyelesaian sistem ini adalah mencari pasangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Pada materi ini, kita fokus pada kasus di mana bentuk kuadratnya dapat difaktorkan, sehingga penyelesaian menjadi lebih sistematis.
Persamaan Linear: ax + by = c atau y = mx + n
Persamaan Kuadrat: ax2 + bx + c = 0 (dapat difaktorkan)
🔍 Kegiatan 1: Mengamati
Amatilah sistem persamaan berikut:
Persamaan (2): y = x2 − 3x + 3 (kuadrat)
Perhatikan hal-hal berikut:
- Persamaan (1) adalah garis lurus dengan gradien 1 dan memotong sumbu-y di titik (0, 1)
- Persamaan (2) adalah parabola terbuka ke atas
- Titik potong kedua kurva adalah penyelesaian sistem
Dengan menyamakan kedua persamaan:
0 = x2 − 4x + 2 … (belum bisa difaktorkan dengan mudah)
Sekarang amati sistem yang bentuk kuadratnya dapat difaktorkan:
Persamaan (2): y = x2 − 4x + 3
Substitusi: 2x − 1 = x2 − 4x + 3
0 = x2 − 6x + 4… hmm, coba contoh lain:
Persamaan (2): y = x2 − 2x − 3
Substitusi: x + 1 = x2 − 2x − 3
0 = x2 − 3x − 4
0 = (x − 4)(x + 1) ✓ Dapat difaktorkan!
Sehingga x = 4 atau x = −1
B. Materi: Metode Penyelesaian
1. Metode Substitusi
Langkah-langkah metode substitusi:
- Nyatakan salah satu peubah dari persamaan linear dalam bentuk peubah lainnya
- Substitusikan ke persamaan kuadrat
- Sederhanakan sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam satu peubah
- Faktorkan persamaan kuadrat tersebut
- Tentukan nilai peubah dari masing-masing faktor
- Substitusikan kembali untuk mencari nilai peubah lainnya
Diberikan: y = x + 2 … (1)
x2 + y2 − 4x − 6y + 8 = 0 … (2) — jika dapat difaktorkan setelah substitusi
Langkah 1: Dari (1), y = x + 2
Langkah 2: Substitusi ke (2):
x2 + (x+2)2 − 4x − 6(x+2) + 8 = 0
Langkah 3: Sederhanakan:
x2 + x2 + 4x + 4 − 4x − 6x − 12 + 8 = 0
2x2 − 6x + 0 = 0
2x(x − 3) = 0
Langkah 4: Faktorkan → x = 0 atau x = 3
Langkah 5: Substitusi kembali ke (1):
x = 0 → y = 2
x = 3 → y = 5
HP = {(0, 2), (3, 5)}
❓ Kegiatan 2: Menanya
Setelah mengamati metode substitusi, tanyakan pada diri sendiri:
- Bagaimana cara menentukan apakah persamaan kuadrat hasil substitusi dapat difaktorkan?
- Apakah selalu ada dua penyelesaian? Bisakah ada satu atau tidak ada penyelesaian?
- Apa syarat agar bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat difaktorkan?
- Bagaimana jika diskriminan D = b2 − 4ac merupakan bilangan kuadrat sempurna?
Bentuk kuadrat ax2 + bx + c dapat difaktorkan atas bilangan bulat jika diskriminan D = b2 − 4ac merupakan bilangan kuadrat sempurna (0, 1, 4, 9, 16, …).
2. Teknik Pemfaktoran
Beberapa teknik memfaktorkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0:
| Teknik | Kondisi | Contoh |
|---|---|---|
| Faktor bersama | Ada faktor yang sama | 2x2 − 6x = 2x(x − 3) |
| Trinomial (a=1) | Cari dua bilangan yang jika dijumlah = b, dikali = c | x2 − 5x + 6 = (x−2)(x−3) |
| Trinomial (a≠1) | Cari dua bilangan yang jika dijumlah = b, dikali = ac | 2x2 + 5x + 3 = (2x+3)(x+1) |
| Selisih kuadrat | Bentuk a2 − b2 | x2 − 9 = (x+3)(x−3) |
💡 Kegiatan 3: Menalar
Mari kita nalar hubungan antara jumlah penyelesaian dan posisi garis terhadap parabola:
| Kondisi Diskriminan | Jumlah Penyelesaian | Posisi Garis |
|---|---|---|
| D > 0 (kuadrat sempurna) | 2 titik potong | Garis memotong parabola di 2 titik |
| D = 0 | 1 titik potong (singgung) | Garis menyinggung parabola |
| D < 0 | Tidak ada titik potong | Garis tidak memotong parabola |
Kesimpulan: Karena kita fokus pada kasus yang dapat difaktorkan, maka D ≥ 0 dan merupakan kuadrat sempurna, sehingga selalu ada 1 atau 2 penyelesaian bilangan bulat/rasional.
✏️ Kegiatan 4: Mencoba
Cobalah selesaikan sistem berikut dengan langkah-langkah yang telah dipelajari:
y = x2 − x − 5 … (2)
Petunjuk: Samakan (1) dan (2), lalu faktorkan.
Klik untuk melihat penyelesaian
3x − 5 = x2 − x − 5
0 = x2 − 4x
0 = x(x − 4)
x = 0 atau x = 4
Untuk x = 0: y = 3(0) − 5 = −5
Untuk x = 4: y = 3(4) − 5 = 7
HP = {(0, −5), (4, 7)}
📢 Kegiatan 5: Mengkomunikasikan
Komunikasikan pemahamanmu dengan melengkapi ringkasan berikut:
1. Dari persamaan linear, nyatakan y dalam x (atau sebaliknya)
2. Substitusikan ke persamaan kuadrat
3. Sederhanakan menjadi bentuk ax2 + bx + c = 0
4. Pastikan dapat difaktorkan: cek D = b2 − 4ac adalah kuadrat sempurna
5. Faktorkan dan tentukan nilai-nilai x
6. Substitusi kembali untuk mendapatkan nilai y
7. Tuliskan himpunan penyelesaian: HP = {(x₁, y₁), (x₂, y₂)}
C. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
y = x2 … (2)
Pembahasan
Substitusi (1) ke (2):
x + 2 = x2
x2 − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = −1
Untuk x = 2: y = 2 + 2 = 4
Untuk x = −1: y = −1 + 2 = 1
HP = {(2, 4), (−1, 1)}
Contoh 2 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
y = x2 − 3x … (2)
Pembahasan
2x = x2 − 3x
x2 − 5x = 0
x(x − 5) = 0
x = 0 atau x = 5
Untuk x = 0: y = 0
Untuk x = 5: y = 10
HP = {(0, 0), (5, 10)}
Contoh 3 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
y = x2 − 3x + 1 … (2)
Pembahasan
x − 1 = x2 − 3x + 1
0 = x2 − 4x + 2… Diskriminan: 16 − 8 = 8 (bukan kuadrat sempurna)
Mari perbaiki soalnya agar dapat difaktorkan:
x − 1 = x2 − 3x + 1
Koreksi: gunakan y = x2 − 4x + 2
Sebenarnya mari gunakan: y = x2 − 5x + 5
x − 1 = x2 − 5x + 5
0 = x2 − 6x + 6… D=12, belum.
Koreksi soal:
Soal yang benar:
y = x − 1 dan y = x2 − 5x + 5
Hmm, mari kita pakai soal yang pasti bisa difaktorkan:
Soal diperbaiki:
y = x + 1 … (1)
y = x2 + 3x + 1 … (2)
x + 1 = x2 + 3x + 1
0 = x2 + 2x
0 = x(x + 2)
x = 0 atau x = −2
Untuk x = 0: y = 1
Untuk x = −2: y = −1
HP = {(0, 1), (−2, −1)}
Contoh 4 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
y = x2 − 4x + 1 … (2)
Pembahasan
Dari (1): y = 5 − x
Substitusi ke (2): 5 − x = x2 − 4x + 1
0 = x2 − 3x − 4
0 = (x − 4)(x + 1)
x = 4 atau x = −1
Untuk x = 4: y = 5 − 4 = 1
Untuk x = −1: y = 5 − (−1) = 6
HP = {(4, 1), (−1, 6)}
Contoh 5 (Mudah)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
y = x2 + 2x … (2)
Pembahasan
3x = x2 + 2x
0 = x2 − x
0 = x(x − 1)
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0: y = 0
Untuk x = 1: y = 3
HP = {(0, 0), (1, 3)}
📙 Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6 (Sedang)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 − xy + y2 = 7 … (2)
Pembahasan
Dari (1): y = 2x − 1
Substitusi ke (2):
x2 − x(2x−1) + (2x−1)2 = 7
x2 − 2x2 + x + 4x2 − 4x + 1 = 7
3x2 − 3x + 1 = 7
3x2 − 3x − 6 = 0
x2 − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = −1
Untuk x = 2: y = 2(2) − 1 = 3
Untuk x = −1: y = 2(−1) − 1 = −3
HP = {(2, 3), (−1, −3)}
Contoh 7 (Sedang)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 + y2 = 25 … (2)
Pembahasan
Dari (1): x = y − 3
Substitusi ke (2):
(y − 3)2 + y2 = 25
y2 − 6y + 9 + y2 = 25
2y2 − 6y − 16 = 0
y2 − 3y − 8 = 0… D = 9+32 = 41 (bukan kuadrat sempurna)
Koreksi — gunakan lingkaran berbeda:
Soal diperbaiki:
x − y + 1 = 0 dan x2 + y2 = 5
Dari (1): x = y − 1
(y−1)2 + y2 = 5
y2 − 2y + 1 + y2 = 5
2y2 − 2y − 4 = 0
y2 − y − 2 = 0
(y − 2)(y + 1) = 0
y = 2 atau y = −1
Untuk y = 2: x = 1
Untuk y = −1: x = −2
HP = {(1, 2), (−2, −1)}
Contoh 8 (Sedang)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
xy = 6 … (2)
Pembahasan
Dari (1): x = 7 − 2y
Substitusi ke (2):
(7 − 2y)y = 6
7y − 2y2 = 6
2y2 − 7y + 6 = 0
(2y − 3)(y − 2) = 0
y = 3/2 atau y = 2
Untuk y = 3/2: x = 7 − 3 = 4
Untuk y = 2: x = 7 − 4 = 3
HP = {(4, 3/2), (3, 2)}
Contoh 9 (Sedang)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 + y2 − 2x − 4y = 0 … (2)
Pembahasan
Substitusi y = x + 3 ke (2):
x2 + (x+3)2 − 2x − 4(x+3) = 0
x2 + x2 + 6x + 9 − 2x − 4x − 12 = 0
2x2 + 0x − 3 = 0… D = 0+24 = 24 (bukan kuadrat sempurna)
Soal diperbaiki:
y = x + 1 dan x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0
Substitusi:
x2 + (x+1)2 − 2x − 4(x+1) + 1 = 0
x2 + x2 + 2x + 1 − 2x − 4x − 4 + 1 = 0
2x2 − 4x − 2 = 0
x2 − 2x − 1 = 0… D=8, bukan.
Soal final:
y = x + 2 dan x2 + y2 = 10
x2 + (x+2)2 = 10
x2 + x2 + 4x + 4 = 10
2x2 + 4x − 6 = 0
x2 + 2x − 3 = 0
(x + 3)(x − 1) = 0
x = −3 atau x = 1
Untuk x = −3: y = −1
Untuk x = 1: y = 3
HP = {(−3, −1), (1, 3)}
Contoh 10 (Sedang)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 − 4y + 8 = 0 … (2)
Pembahasan
Dari (1): x = 2y − 4
Substitusi ke (2):
(2y−4)2 − 4y + 8 = 0
4y2 − 16y + 16 − 4y + 8 = 0
4y2 − 20y + 24 = 0
y2 − 5y + 6 = 0
(y − 2)(y − 3) = 0
y = 2 atau y = 3
Untuk y = 2: x = 0
Untuk y = 3: x = 2
HP = {(0, 2), (2, 3)}
📕 Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11 (Sulit)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
2x2 + xy − y2 = 8 … (2)
Pembahasan
Dari (1): y = 10 − 3x
Substitusi ke (2):
2x2 + x(10−3x) − (10−3x)2 = 8
2x2 + 10x − 3x2 − (100 − 60x + 9x2) = 8
2x2 + 10x − 3x2 − 100 + 60x − 9x2 = 8
−10x2 + 70x − 100 = 8
−10x2 + 70x − 108 = 0
10x2 − 70x + 108 = 0
5x2 − 35x + 54 = 0
D = 1225 − 1080 = 145… tidak kuadrat sempurna.
Soal diperbaiki:
x + y = 5 dan 2x2 − xy = 3
Dari (1): y = 5 − x
2x2 − x(5−x) = 3
2x2 − 5x + x2 = 3
3x2 − 5x − 3 = 3… hmm
Soal final:
x + y = 4 dan x2 − xy + y2 = 3
Dari (1): y = 4 − x
x2 − x(4−x) + (4−x)2 = 3
x2 − 4x + x2 + 16 − 8x + x2 = 3
3x2 − 12x + 16 = 3
3x2 − 12x + 13 = 0… D=144−156 < 0, tidak ada solusi real.
Soal final (benar):
x + y = 5 dan x2 + xy − 2y2 = 0
Perhatikan: x2 + xy − 2y2 = (x + 2y)(x − y) = 0
Kasus 1: x + 2y = 0 → x = −2y
Substitusi ke x + y = 5: −2y + y = 5 → y = −5, x = 10
Kasus 2: x − y = 0 → x = y
Substitusi: y + y = 5 → y = 5/2, x = 5/2
HP = {(10, −5), (5/2, 5/2)}
Contoh 12 (Sulit)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 + 2xy + y2 − 5x − 5y = 0 … (2)
Pembahasan
Perhatikan (2): (x+y)2 − 5(x+y) = 0
Misalkan s = x + y, maka: s2 − 5s = 0 → s(s−5) = 0
x + y = 0 atau x + y = 5
Kasus 1: x + y = 0 dan x − y = 2
Jumlahkan: 2x = 2 → x = 1, y = −1
Kasus 2: x + y = 5 dan x − y = 2
Jumlahkan: 2x = 7 → x = 7/2, y = 3/2
HP = {(1, −1), (7/2, 3/2)}
Contoh 13 (Sulit)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 − y2 = −5 … (2)
Pembahasan
Persamaan (2) dapat difaktorkan: (x−y)(x+y) = −5
Dari (1): y = 7 − 2x
Substitusi ke (2):
x2 − (7−2x)2 = −5
x2 − 49 + 28x − 4x2 = −5
−3x2 + 28x − 44 = 0
3x2 − 28x + 44 = 0
(3x − 22)(x − 2) = 0
Cek: 3×2=6… 6×44=264… cari dua bilangan: hmm, (3)(44)=132. Cari faktor 132 yang jumlahnya 28: 6+22=28, 6×22=132 ✓
3x2 − 6x − 22x + 44 = 0
3x(x−2) − 22(x−2) = 0
(3x−22)(x−2) = 0
x = 22/3 atau x = 2
Untuk x = 2: y = 7 − 4 = 3
Untuk x = 22/3: y = 7 − 44/3 = −23/3
HP = {(2, 3), (22/3, −23/3)}
Contoh 14 (Sulit)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
x2 + 4y2 − 2xy = 16 … (2)
Pembahasan
Perhatikan (2): (x − 2y)2 + 4xy − 2xy = 16… hmm, mari coba langsung.
Perhatikan: x2 + 4y2 − 2xy = (x+2y)2 − 4xy − 2xy = (x+2y)2 − 6xy
Hmm, coba: (x−2y)2 = x2 − 4xy + 4y2. Beda.
Langsung substitusi: Dari (1): x = 8 − 2y
(8−2y)2 + 4y2 − 2(8−2y)y = 16
64 − 32y + 4y2 + 4y2 − 16y + 4y2 = 16
12y2 − 48y + 64 = 16
12y2 − 48y + 48 = 0
y2 − 4y + 4 = 0
(y − 2)2 = 0
y = 2 (akar kembar → garis menyinggung kurva)
Untuk y = 2: x = 8 − 4 = 4
HP = {(4, 2)}
(Hanya ada satu titik penyelesaian karena garis menyinggung kurva kuadrat)
Contoh 15 (Sulit)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem:
2x2 + 3xy − 2y2 = 7 … (2)
Pembahasan
Perhatikan (2): 2x2 + 3xy − 2y2 = (2x − y)(x + 2y)
Verifikasi: (2x−y)(x+2y) = 2x2 + 4xy − xy − 2y2 = 2x2 + 3xy − 2y2 ✓
Jadi: (2x − y)(x + 2y) = 7
Dari (1): x = 3y − 5
Substitusi ke persamaan yang sudah difaktorkan:
(2(3y−5) − y)((3y−5) + 2y) = 7
(6y − 10 − y)(3y − 5 + 2y) = 7
(5y − 10)(5y − 5) = 7
5(y − 2) · 5(y − 1) = 7
25(y − 2)(y − 1) = 7
25(y2 − 3y + 2) = 7
25y2 − 75y + 50 = 7
25y2 − 75y + 43 = 0
D = 5625 − 4300 = 1325… tidak kuadrat sempurna.
Soal diperbaiki:
x − y + 1 = 0 dan 2x2 + 3xy − 2y2 = 0
Faktorkan (2): (2x − y)(x + 2y) = 0
Kasus 1: 2x − y = 0 → y = 2x
Substitusi ke (1): x − 2x + 1 = 0 → x = 1, y = 2
Kasus 2: x + 2y = 0 → x = −2y
Substitusi ke (1): −2y − y + 1 = 0 → y = 1/3, x = −2/3
HP = {(1, 2), (−2/3, 1/3)}
D. Latihan Soal
📗 Latihan Tingkat Mudah
1. Tentukan HP dari sistem: y = x + 3 dan y = x2 + x
2. Tentukan HP dari sistem: y = 2x + 1 dan y = x2 − x + 1
3. Tentukan HP dari sistem: y = x − 2 dan y = x2 − 6x + 8
4. Tentukan HP dari sistem: x + y = 4 dan y = x2 − 2x
5. Tentukan HP dari sistem: y = 4x dan y = x2 + 3x
📙 Latihan Tingkat Sedang
6. Tentukan HP dari sistem: x − y = 1 dan x2 + y2 = 13
7. Tentukan HP dari sistem: x + 3y = 10 dan xy = 3
8. Tentukan HP dari sistem: 2x − y = 3 dan x2 + xy − 2y2 = 0
9. Tentukan HP dari sistem: y = 2x − 1 dan x2 + y2 = 2
10. Tentukan HP dari sistem: x + y = 6 dan x2 − xy + y2 = 12
📕 Latihan Tingkat Sulit
11. Tentukan HP dari sistem: 2x + y = 3 dan 4x2 − y2 + 4x + 2y = 3
12. Tentukan HP dari sistem: x − 2y = 1 dan x2 + 3xy + 2y2 = 6
13. Tentukan HP dari sistem: 3x − y = 2 dan 9x2 + y2 − 6xy − 9x + 3y = 0
14. Tentukan HP dari sistem: x + y = 3 dan x3 − y3 = 9
(Petunjuk: faktorkan selisih kubik menjadi bentuk yang memuat x+y)
15. Tentukan HP dari sistem: x + 2y = 5 dan x2 − 4y2 + 3x + 6y = 0