Turunan Ditinjau dari Sudut Pandang Geometri
Matematika Kelas XI — Kalkulus Diferensial
1. Pengertian Turunan secara Geometri
Perhatikan grafik fungsi y = f(x) berikut. Misalkan kita memiliki sebuah kurva dan ingin mengetahui kemiringan (gradien) kurva tersebut di suatu titik tertentu.
Gambar 1: Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik P
Secara geometri, turunan fungsi f di titik x = a adalah gradien (kemiringan) garis singgung pada kurva y = f(x) di titik tersebut.
Definisi Geometri Turunan:
f'(a) = gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a))
Pertanyaan Kunci:
- Bagaimana cara menentukan gradien garis singgung jika kita hanya mengetahui satu titik singgung?
- Apa hubungan antara garis secan dan garis singgung?
- Mengapa konsep limit diperlukan untuk mendefinisikan gradien garis singgung?
2. Garis Secan dan Garis Singgung
2.1 Garis Secan (Garis Potong)
Garis secan adalah garis yang memotong kurva di dua titik. Misalkan titik P(a, f(a)) dan titik Q(a+h, f(a+h)) berada pada kurva y = f(x).
Gambar 2: Garis secan PQ pada kurva
Gradien garis secan PQ adalah:
Persamaan di atas disebut hasil bagi selisih (difference quotient).
2.2 Dari Garis Secan ke Garis Singgung
Bayangkan titik Q bergerak mendekati titik P sepanjang kurva (artinya h → 0). Maka garis secan PQ akan berputar dan semakin mendekati posisi garis singgung di titik P.
Gambar 3: Garis secan mendekati garis singgung saat h → 0
Proses Geometri:
| Kondisi | Garis | Gradien |
|---|---|---|
| h besar | Secan jauh dari singgung | Perkiraan kasar |
| h kecil | Secan mendekati singgung | Perkiraan lebih baik |
| h → 0 | Garis singgung | Gradien tepat = f'(a) |
3. Gradien Garis Singgung sebagai Limit
Karena garis singgung diperoleh sebagai posisi limit dari garis secan ketika h → 0, maka:
Rumus Turunan secara Geometri
f'(a) = lim h→0 f(a+h) − f(a) h
= gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a))
3.1 Notasi Turunan
| Notasi | Dibaca | Keterangan |
|---|---|---|
| f'(x) | f aksen x | Notasi Lagrange |
| dydx | dy per dx | Notasi Leibniz |
| dfdx | df per dx | Notasi Leibniz |
| Df(x) | D f x | Notasi Operator D |
3.2 Makna Geometris Nilai Turunan
| Nilai f'(a) | Makna Geometri | Visualisasi |
|---|---|---|
| f'(a) > 0 | Garis singgung miring ke kanan atas → fungsi naik | ↗ |
| f'(a) < 0 | Garis singgung miring ke kanan bawah → fungsi turun | ↘ |
| f'(a) = 0 | Garis singgung mendatar → titik stasioner | → |
| f'(a) besar | Kurva sangat curam di titik tersebut | ⤴ |
4. Interpretasi Geometri Turunan
4.1 Persamaan Garis Singgung
Setelah mengetahui gradien garis singgung di titik (a, f(a)), kita dapat menentukan persamaan garis singgung:
4.2 Persamaan Garis Normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung di titik singgung. Jika f'(a) ≠ 0:
4.3 Langkah-Langkah Menentukan Gradien secara Geometri
- Tentukan titik P(a, f(a)) pada kurva
- Tentukan titik Q(a+h, f(a+h)) pada kurva
- Hitung gradien secan: mPQ = f(a+h)−f(a)h
- Hitung limit: f'(a) = limh→0 f(a+h)−f(a)h
- Hasil limit adalah gradien garis singgung = turunan di titik tersebut
Gambar 4: Garis singgung dan garis normal pada kurva
5. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Soal 1
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik x = 2 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f'(2) = limh→0 f(2+h) − f(2)h
= limh→0 (2+h)² − 4h
= limh→0 4 + 4h + h² − 4h
= limh→0 4h + h²h = limh→0 (4 + h) = 4
Jadi gradien garis singgung di x = 2 adalah 4. Artinya garis singgung miring ke kanan atas dengan kemiringan 4.
Soal 2
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 3x di titik x = 1 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f'(1) = limh→0 f(1+h) − f(1)h
= limh→0 3(1+h) − 3h = limh→0 3hh = 3
Gradien garis singgung = 3. Ini masuk akal karena f(x) = 3x adalah garis lurus dengan gradien 3.
Soal 3
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x² + 1 di titik x = 0.
Pembahasan:
f'(0) = limh→0 f(0+h) − f(0)h
= limh→0 (h² + 1) − 1h = limh→0 h²h = limh→0 h = 0
Gradien = 0 artinya garis singgung mendatar. Titik (0,1) adalah titik minimum kurva.
Soal 4
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² di titik (1, 1).
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung f'(1)
f'(1) = limh→0 (1+h)² − 1h = limh→0 2h + h²h = 2
Langkah 2: Persamaan garis singgung
y − 1 = 2(x − 1) → y = 2x − 1
Jadi persamaan garis singgung adalah y = 2x − 1
Soal 5
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 2x + 5 di titik x = 3.
Pembahasan:
f'(3) = limh→0 f(3+h) − f(3)h
= limh→0 [2(3+h)+5] − [2(3)+5]h = limh→0 2hh = 2
Fungsi linear selalu memiliki gradien tetap, yaitu koefisien x = 2.
📙 Tingkat Sedang
Soal 6
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x³ di titik x = 1 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f'(1) = limh→0 (1+h)³ − 1h
= limh→0 1 + 3h + 3h² + h³ − 1h
= limh→0 3h + 3h² + h³h = limh→0 (3 + 3h + h²) = 3
Soal 7
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² − 4x + 3 di titik dengan absis x = 3.
Pembahasan:
f(3) = 9 − 12 + 3 = 0, jadi titik singgung = (3, 0)
f'(3) = limh→0 [(3+h)² − 4(3+h) + 3] − 0h
= limh→0 9+6h+h²−12−4h+3h = limh→0 2h+h²h = 2
Persamaan: y − 0 = 2(x − 3) → y = 2x − 6
Soal 8
Tentukan persamaan garis normal kurva f(x) = x² di titik (2, 4).
Pembahasan:
f'(2) = 4 (dari soal 1)
Gradien normal = −1/f'(2) = −1/4
Persamaan: y − 4 = −¼(x − 2)
y = −¼x + ½ + 4 → y = −¼x + 9/2
Soal 9
Diketahui f(x) = x² + 2x. Tentukan titik pada kurva di mana garis singgung memiliki gradien 6.
Pembahasan:
f'(a) = limh→0 [(a+h)²+2(a+h)] − [a²+2a]h
= limh→0 2ah + h² + 2hh = 2a + 2
Syarat: 2a + 2 = 6 → a = 2
f(2) = 4 + 4 = 8
Titiknya adalah (2, 8)
Soal 10
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 1x di titik x = 2.
Pembahasan:
f'(2) = limh→0 12+h − 12h
= limh→0 2 − (2+h)2(2+h)h = limh→0 −h2h(2+h)
= limh→0 −12(2+h) = −14 = −¼
📕 Tingkat Sulit
Soal 11
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x³ − 3x yang sejajar dengan garis y = 9x + 1.
Pembahasan:
Garis y = 9x + 1 memiliki gradien 9. Kita cari titik di mana f'(a) = 9.
f'(a) = limh→0 [(a+h)³−3(a+h)] − [a³−3a]h
= limh→0 3a²h + 3ah² + h³ − 3hh = 3a² − 3
3a² − 3 = 9 → a² = 4 → a = 2 atau a = −2
Untuk a = 2: f(2) = 8 − 6 = 2 → y − 2 = 9(x − 2) → y = 9x − 16
Untuk a = −2: f(−2) = −8 + 6 = −2 → y + 2 = 9(x + 2) → y = 9x + 16
Soal 12
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = √x di titik x = 4 menggunakan definisi limit.
Pembahasan:
f'(4) = limh→0 √(4+h) − √4h
Kalikan dengan sekawan:
= limh→0 (4+h) − 4h(√(4+h) + 2) = limh→0 1√(4+h) + 2
= 12 + 2 = ¼
Soal 13
Tentukan titik pada kurva f(x) = x³ − 3x² + 2 di mana garis singgung mendatar.
Pembahasan:
Garis singgung mendatar berarti f'(a) = 0.
f'(a) = limh→0 [(a+h)³−3(a+h)²+2]−[a³−3a²+2]h
Setelah ekspansi dan penyederhanaan:
= limh→0 (3a² − 6a + 3ah + h² − 3h) = 3a² − 6a
3a² − 6a = 0 → 3a(a − 2) = 0 → a = 0 atau a = 2
f(0) = 2, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2
Titik-titiknya: (0, 2) dan (2, −2)
Soal 14
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = xx+1 di titik x = 1.
Pembahasan:
f(1) = ½, titik singgung = (1, ½)
f'(1) = limh→0 1+h2+h − 12h
= limh→0 2(1+h) − (2+h)2h(2+h) = limh→0 h2h(2+h)
= limh→0 12(2+h) = ¼
Persamaan: y − ½ = ¼(x − 1) → y = ¼x + ¼
Soal 15
Diketahui kurva f(x) = x² − 2x + 1. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (0, −3) yang bukan titik pada kurva.
Pembahasan:
Misalkan titik singgung = (a, (a−1)²). Gradien di x = a:
f'(a) = 2a − 2 (diperoleh dari definisi limit)
Garis singgung: y − (a−1)² = (2a−2)(x − a)
Karena melalui (0, −3):
−3 − (a−1)² = (2a−2)(0−a)
−3 − a² + 2a − 1 = −2a² + 2a
−4 − a² + 2a = −2a² + 2a
a² = 4 → a = 2 atau a = −2
Untuk a=2: m = 2, titik (2,1): y−1 = 2(x−2) → y = 2x − 3
Untuk a=−2: m = −6, titik (−2,9): y−9 = −6(x+2) → y = −6x − 3
6. Latihan Soal
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik x = 3 menggunakan definisi limit.
2. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 4x − 1 di titik x = 5.
3. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x² + 3 di titik x = 1.
4. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² di titik (3, 9).
5. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² di titik x = −1.
📙 Tingkat Sedang
6. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva f(x) = x² − 2x di titik x = 3.
7. Tentukan titik pada kurva f(x) = x² − 4x + 1 di mana gradien garis singgung sama dengan 2.
8. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x³ di titik x = −1 menggunakan definisi limit.
9. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = 1/x di titik (1, 1).
10. Di titik mana kurva f(x) = x² + x memiliki garis singgung yang sejajar dengan garis y = 5x − 2?
📕 Tingkat Sulit
11. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x³ − 6x² + 9x yang sejajar dengan garis y = −3x + 1.
12. Tentukan semua titik pada kurva f(x) = x³ − 3x + 1 di mana garis singgung mendatar.
13. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = √(2x+1) di titik x = 4 menggunakan definisi limit.
14. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x/(x−1) di titik x = 2.
15. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x² yang melalui titik (2, 0) di luar kurva.