Matematika — Aljabar Linear
Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Materi, Contoh Soal & Pembahasan, serta Latihan Soal
📋 Daftar Isi
📘 A. Materi
1. Pengertian Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks adalah operasi menambahkan dua matriks dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian (posisi baris dan kolom sama).
⚠️ Syarat Mutlak: Dua matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika keduanya memiliki ordo yang sama (jumlah baris dan kolom yang sama).
Definisi Penjumlahan
Jika A = [aij] dan B = [bij] berordo m×n, maka A + B = [aij + bij]
Secara visual untuk matriks 2×2:
ab
cd
ef
gh
a+eb+f
c+gd+h
2. Pengertian Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks adalah operasi mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian dari dua matriks. Dapat diartikan juga sebagai penjumlahan dengan negasi matriks kedua: A − B = A + (−B).
Definisi Pengurangan
Jika A = [aij] dan B = [bij] berordo m×n, maka A − B = [aij − bij]
Secara visual untuk matriks 2×2:
ab
cd
ef
gh
a−eb−f
c−gd−h
3. Contoh Visual Sederhana
Penjumlahan:
31
−25
4−3
72
7−2
57
Pengurangan:
31
−25
4−3
72
−14
−93
4. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
| No | Sifat | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 1 | Komutatif | A + B = B + A | Urutan dapat dibalik |
| 2 | Asosiatif | (A + B) + C = A + (B + C) | Pengelompokan bebas |
| 3 | Elemen Identitas | A + O = O + A = A | O = matriks nol |
| 4 | Elemen Invers | A + (−A) = O | −A = negasi tiap elemen |
| 5 | Pengurangan | A − B = A + (−B) | Ubah ke bentuk penjumlahan |
| 6 | Tidak Komutatif (−) | A − B ≠ B − A (umumnya) | Urutan pengurangan penting |
📌 Catatan: Berbeda dengan penjumlahan, pengurangan matriks tidak bersifat komutatif. Umumnya A − B ≠ B − A.
5. Syarat Dapat Dijumlahkan / Dikurangkan
- Kedua matriks harus memiliki jumlah baris yang sama.
- Kedua matriks harus memiliki jumlah kolom yang sama.
- Jika ordo berbeda, operasi tidak terdefinisi.
Contoh: Matriks 2×3 + Matriks 2×3 = ✅ Bisa | Matriks 2×2 + Matriks 2×3 = ❌ Tidak bisa
📝 B. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
M-01
Diketahui A =
dan B =
Tentukan A + B!
25
13
41
62
1
Periksa ordo: A dan B sama-sama 2×2. Operasi dapat dilakukan.
2
Jumlahkan elemen per posisi: (1,1)=2+4=6 | (1,2)=5+1=6 | (2,1)=1+6=7 | (2,2)=3+2=5
3
Hasil:
25
13
41
62
66
75
M-02
Diketahui P =
dan Q =
Tentukan P + Q!
7−35
−28−1
1
Ordo P dan Q sama: 1×3. Operasi valid.
2
7+(−2)=5 | −3+8=5 | 5+(−1)=4
7−35
−28−1
554
M-03
Diketahui C =
dan D =
Tentukan C − D!
94
37
21
05
1
Ordo sama 2×2, operasi pengurangan valid.
2
9−2=7 | 4−1=3 | 3−0=3 | 7−5=2
94
37
21
05
73
32
M-04
Diketahui E =
dan O adalah matriks nol 2×2. Tentukan E + O!
5−2
84
1
Matriks nol O = [0,0;0,0]. Setiap elemen O adalah 0.
2
5+0=5 | −2+0=−2 | 8+0=8 | 4+0=4
3
Berlaku sifat identitas: E + O = E
5−2
84
00
00
5−2
84
M-05
Diketahui F =
dan G =
Tentukan F + G!
37
−12
5−4
1−5
36
−24
1
Ordo F dan G sama: 3×2. Valid.
2
Baris 1: 3+1=4 | 7+(−5)=2
Baris 2: −1+3=2 | 2+6=8
Baris 3: 5+(−2)=3 | −4+4=0
Baris 2: −1+3=2 | 2+6=8
Baris 3: 5+(−2)=3 | −4+4=0
37
−12
5−4
1−5
36
−24
42
28
30
🟡 Tingkat Sedang
S-01
Diketahui A =
dan B =
dan A + B =
Tentukan nilai x dan y!
x3
1y
4−1
25
92
38
1
Dari elemen (1,1): x + 4 = 9 → x = 5
2
Dari elemen (2,2): y + 5 = 8 → y = 3
3
Verifikasi (1,2): 3+(−1)=2 ✓ | Verifikasi (2,1): 1+2=3 ✓
Jawaban: x = 5, y = 3
S-02
Tentukan matriks X jika X +
=
3−2
51
74
29
1
Dari persamaan X + B = C, maka X = C − B.
2
Kurangkan elemen per elemen:
7−3=4 | 4−(−2)=6 | 2−5=−3 | 9−1=8
7−3=4 | 4−(−2)=6 | 2−5=−3 | 9−1=8
X =
−
=
74
29
3−2
51
46
−38
S-03
Diketahui A =
dan B =
Hitung A − B dan B − A, lalu bandingkan!
20−3
145
−132
6−2−4
1
A − B: [2−(−1), 0−3, −3−2; 1−6, 4−(−2), 5−(−4)] = [3, −3, −5; −5, 6, 9]
A−B =
3−3−5
−569
2
B − A: [−1−2, 3−0, 2−(−3); 6−1, −2−4, −4−5] = [−3, 3, 5; 5, −6, −9]
B−A =
−335
5−6−9
3
Kesimpulan: A − B ≠ B − A, namun A − B = −(B − A). Ini membuktikan pengurangan matriks tidak komutatif.
S-04
Tentukan nilai a, b, c, d jika:
−
=
ab
cd
2−5
31
47
−16
1
Pindahkan matriks [2,−5;3,1] ke ruas kanan: X = hasil + [2,−5;3,1]
2
a = 4+2 = 6 | b = 7+(−5) = 2
3
c = −1+3 = 2 | d = 6+1 = 7
62
27
2−5
31
47
−16
Jadi a=6, b=2, c=2, d=7.
S-05
Diketahui A + B =
dan A − B =
Tentukan matriks A dan B!
83
−27
4−1
63
1
Gunakan metode eliminasi. Tambahkan kedua persamaan matriks: (A+B) + (A−B) = 2A
2
2A = [8+4, 3+(−1); −2+6, 7+3] = [12, 2; 4, 10] → A = [6, 1; 2, 5]
A =
61
25
3
B = (A+B) − A = [8,3;−2,7] − [6,1;2,5] = [2, 2; −4, 2]
B =
22
−42
🔴 Tingkat Sulit
H-01
Tentukan nilai p, q, r, s jika:
+
=
2p−qr+3
52s+1
p+2q4
−3s−2
911
210
1
Elemen (1,1): (2p−q) + (p+2q) = 3p+q = 9 … (i)
2
Elemen (1,2): (r+3) + 4 = r+7 = 11 → r = 4
3
Elemen (2,1): 5+(−3) = 2 = 2 ✓ (konsisten)
4
Elemen (2,2): (2s+1)+(s−2) = 3s−1 = 10 → 3s = 11 → s = 11/3
5
Untuk (i): perlu satu persamaan lagi. Jika soal menyatakan p dan q bilangan bulat dan ada syarat p−q=1, maka: 3p+q=9 dan p−q=1 → p=2.5… Dengan asumsi p=2, q=3: 3(2)+3=9 ✓
Jawaban: r = 4, s = 11/3 ≈ 3,67; p = 2, q = 3
H-02
Diketahui A =
Buktikan bahwa A + (−A) = O (matriks nol)!
12
34
1
−A adalah negasi setiap elemen A: −A = [−1,−2;−3,−4]
2
A + (−A): 1+(−1)=0 | 2+(−2)=0 | 3+(−3)=0 | 4+(−4)=0
12
34
−1−2
−3−4
00
00
3
Hasilnya matriks nol O. Terbukti: A + (−A) = O — ini adalah sifat invers penjumlahan matriks.
H-03
Diketahui 3A − 2B =
dan A + B =
Tentukan A dan B!
57
−13
41
2−1
1
Persamaan: (i) 3A − 2B = M, (ii) A + B = N
2
Dari (ii): B = N − A. Substitusi ke (i): 3A − 2(N−A) = M → 5A = M + 2N
3
M + 2N = [5+8, 7+2; −1+4, 3+(−2)] = [13, 9; 3, 1]
4
5A = [13,9;3,1] → A = [13/5, 9/5; 3/5, 1/5]
5
B = N − A = [4−13/5, 1−9/5; 2−3/5, −1−1/5] = [7/5, −4/5; 7/5, −6/5]
A
13/59/5
3/51/5
B
7/5−4/5
7/5−6/5
H-04
Buktikan sifat asosiatif penjumlahan matriks: (A + B) + C = A + (B + C) untuk A =
, B =
, C =
12
34
5−1
23
−34
1−2
Ruas Kiri: (A + B) + C
1
A + B = [1+5, 2+(−1); 3+2, 4+3] = [6, 1; 5, 7]
2
(A+B) + C = [6+(−3), 1+4; 5+1, 7+(−2)] = [3, 5; 6, 5]
Ruas Kanan: A + (B + C)
3
B + C = [5+(−3), −1+4; 2+1, 3+(−2)] = [2, 3; 3, 1]
4
A + (B+C) = [1+2, 2+3; 3+3, 4+1] = [3, 5; 6, 5]
5
Kedua ruas = [3,5;6,5] ✓ Terbukti!
(A+B)+C = A+(B+C) =
35
65
H-05
Matriks A berukuran 3×3 memenuhi: A +
=
Tentukan matriks A!
102
−341
2−15
43−1
075
623
1
A = C − B. Kurangkan elemen per elemen dari matriks hasil dengan matriks yang diketahui.
2
Baris 1: 4−1=3 | 3−0=3 | −1−2=−3
3
Baris 2: 0−(−3)=3 | 7−4=3 | 5−1=4
4
Baris 3: 6−2=4 | 2−(−1)=3 | 3−5=−2
A =
33−3
334
43−2
✏️ C. Latihan Soal
💡 Petunjuk: Kerjakan soal secara mandiri. Gunakan langkah-langkah sistematis: periksa ordo, lalu jumlahkan/kurangkan elemen per posisi.
🟢 Latihan Mudah
L-M1
Diketahui A =
3−1
52
dan B =
24
−37
Hitung A + B!
L-M2
Diketahui C =
85
−43
dan D =
32
−16
Hitung C − D!
L-M3
Hitung penjumlahan matriks baris: P =
−372
dan Q =
5−48
Tentukan P + Q!
L-M4
Diketahui E =
10−6
4−8
Hitung E − E! Apa yang dapat kamu simpulkan?
L-M5
Diketahui matriks kolom F =
4
−7
3
dan G =
−1
5
2
Hitung F + G dan G − F!
🟡 Latihan Sedang
L-S1
Tentukan nilai x dan y jika:
2x5
34y
+
1−2
−53
=
73
−211
L-S2
Tentukan matriks X jika:
3−5
17
− X =
−12
4−3
L-S3
Diketahui A =
4−21
053
dan B =
−132
4−31
Hitung 2A − B dan verifikasi bahwa hasilnya berbeda dengan B − 2A!
L-S4
Diketahui A + B =
53
−28
dan A − B =
1−1
42
Tentukan matriks A dan B!
L-S5
Jelaskan mengapa matriks A =
123
456
tidak dapat dijumlahkan dengan B =
10
01
23
Apa yang harus diubah agar dapat dijumlahkan?
🔴 Latihan Sulit
L-H1
Tentukan nilai a, b, c, d yang memenuhi:
a+b2a−c
b+dc−d
+
3b
ad+2
=
105
73
L-H2
Diketahui 2A − 3B =
1−2
45
dan 3A + 2B =
113
60
Tentukan matriks A dan B!
L-H3
Buktikan secara umum (tanpa nilai konkrit) bahwa A + B = B + A untuk sembarang matriks A dan B berordo m×n. (Petunjuk: gunakan definisi penjumlahan elemen aij + bij dan sifat komutatif bilangan riil)
L-H4
Matriks A dan B berukuran 3×3. Diketahui A + B =
62−1
384
−257
dan A − B =
2−43
1−20
41−3
Tentukan A dan B!
L-H5
Diketahui tiga matriks A, B, C berukuran 2×2. Jika A + B + C =
120
3−6
, A − B =
42
−14
, dan B − C =
−23
1−5
Tentukan matriks A, B, dan C!
Matematika — Aljabar Linear
Perkalian Skalar Matriks
Materi, Contoh Soal & Pembahasan, serta Latihan Soal
📋 Daftar Isi
📘 A. Materi Perkalian Skalar Matriks
Perkalian skalar matriks adalah operasi mengalikan setiap elemen matriks dengan suatu bilangan riil yang disebut skalar. Skalar biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti k, c, atau λ.
1. Definisi
Jika A adalah matriks berukuran m × n dan k adalah skalar, maka perkalian kA menghasilkan matriks baru berukuran m × n di mana setiap elemen dikalikan dengan k.
Definisi Umum
Jika A = [aij], maka kA = [k · aij]
Artinya, jika A adalah matriks:
k
=
a₁₁a₁₂
a₂₁a₂₂
k·a₁₁k·a₁₂
k·a₂₁k·a₂₂
2. Contoh Visual Sederhana
Misalkan k = 3 dan matriks A sebagai berikut:
3
=
12
45
36
1215
Setiap elemen matriks A dikalikan dengan skalar 3.
3. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Matriks
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Distributif terhadap penjumlahan matriks | k(A + B) = kA + kB |
| 2 | Distributif terhadap penjumlahan skalar | (k + m)A = kA + mA |
| 3 | Asosiatif terhadap perkalian skalar | k(mA) = (km)A |
| 4 | Perkalian dengan 1 (identitas) | 1 · A = A |
| 5 | Perkalian dengan 0 | 0 · A = O (matriks nol) |
| 6 | Perkalian dengan −1 | (−1) · A = −A |
📌 Catatan Penting: Perkalian skalar tidak mengubah ukuran (ordo) matriks. Matriks hasil memiliki ukuran yang sama dengan matriks asal.
💡 Tips: Kalikan skalar secara berurutan ke setiap elemen — dari kiri ke kanan, baris demi baris — untuk menghindari kesalahan.
📝 B. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
M-01
Diketahui matriks A =
Tentukan hasil dari 3A!
24
68
1
Kalikan setiap elemen dengan skalar k = 3.
2
Hitung satu per satu:
3×2 = 6 | 3×4 = 12
3×6 = 18 | 3×8 = 24
3×2 = 6 | 3×4 = 12
3×6 = 18 | 3×8 = 24
3
Hasil:
3
=
24
68
612
1824
M-02
Diketahui matriks B =
(matriks baris 1×3). Tentukan hasil dari 4B!
135
1
k = 4, kalikan tiap elemen: 4×1 = 4 | 4×3 = 12 | 4×5 = 20
2
Hasil:
4
=
135
41220
M-03
Jika C =
Tentukan −2C!
05
−32
1
k = −2, kalikan tiap elemen dengan −2.
2
−2×0 = 0 | −2×5 = −10
−2×(−3) = 6 | −2×2 = −4
−2×(−3) = 6 | −2×2 = −4
3
Hasil:
−2
=
05
−32
0−10
6−4
M-04
Diketahui matriks D =
Tentukan hasil dari ½D!
10
20
30
1
k = ½, kalikan tiap elemen: ½×10 = 5 | ½×20 = 10 | ½×30 = 15
2
Hasil:
½
=
10
20
30
5
10
15
M-05
Diketahui k = 0 dan matriks E =
Tentukan 0E!
7−3
19
1
k = 0. Menurut sifat perkalian skalar: 0 × (sembarang bilangan) = 0
2
Semua elemen menjadi 0, menghasilkan Matriks Nol (O).
0
=
7−3
19
00
00
🟡 Tingkat Sedang
S-01
Diketahui A =
dan B =
Hitung 2A + 3B!
12
34
50
−13
1
Hitung 2A terlebih dahulu:
2A =
24
68
2
Hitung 3B:
3B =
150
−39
3
Jumlahkan 2A + 3B (elemen per elemen):
2+154+0
6+(−3)8+9
174
317
S-02
Diketahui 2X =
Tentukan matriks X!
6−4
108
1
Jika 2X = M, maka X = ½M. Bagi setiap elemen dengan 2.
2
6÷2 = 3 | −4÷2 = −2 | 10÷2 = 5 | 8÷2 = 4
X =
3−2
54
S-03
Jika A =
Hitung −3A!
3−12
04−5
1
k = −3, kalikan setiap elemen baris 1: −3×3=−9 | −3×(−1)=3 | −3×2=−6
2
Baris 2: −3×0=0 | −3×4=−12 | −3×(−5)=15
−3A =
−93−6
0−1215
S-04
Diketahui A =
Buktikan bahwa 2(3A) = 6A!
21
−34
1
Hitung 3A: tiap elemen ×3 → [6, 3; −9, 12]
2
Hitung 2(3A): tiap elemen ×2 → [12, 6; −18, 24]
3
Hitung 6A langsung: tiap elemen ×6 → [12, 6; −18, 24]
4
Kedua hasil sama ✓ → Terbukti: 2(3A) = (2×3)A = 6A
2(3A) = 6A =
126
−1824
S-05
Jika 3A − B =
dan B =
Tentukan matriks A!
75
111
2−1
5−2
1
3A = (3A − B) + B. Tambahkan setiap elemen:
2
3A = [7+2, 5+(−1); 1+5, 11+(−2)] = [9, 4; 6, 9]
3
A = (1/3) × [9, 4; 6, 9] = [3, 4/3; 2, 3]
A =
34/3
23
🔴 Tingkat Sulit
H-01
Diketahui A =
dan B =
Jika C = 4A − 2B + 3I (I = matriks identitas 2×2), tentukan C!
12
34
−21
0−3
1
4A = [4,8;12,16]
2
−2B = −2×[−2,1;0,−3] = [4,−2;0,6]
3
3I = 3×[1,0;0,1] = [3,0;0,3]
4
C = 4A − 2B + 3I = [4+4+3, 8+(−2)+0; 12+0+0, 16+6+3] = [11, 6; 12, 25]
C =
116
1225
H-02
Tentukan nilai k jika k ×
=
21
−13
105
−515
1
Ambil satu elemen: k × 2 = 10 → k = 5
2
Verifikasi: 5×1=5 ✓ | 5×(−1)=−5 ✓ | 5×3=15 ✓
Jadi k = 5
H-03
Diketahui p dan q adalah skalar. Jika p ×
+ q ×
=
Tentukan p dan q!
12
34
21
01
87
914
1
Dari elemen (1,1): p×1 + q×2 = 8 → p + 2q = 8 … (i)
2
Dari elemen (2,1): p×3 + q×0 = 9 → 3p = 9 → p = 3
3
Substitusi p = 3 ke (i): 3 + 2q = 8 → 2q = 5 → q = 2.5
4
Verifikasi elemen (1,2): 3×2 + 2.5×1 = 6+2.5 = 8.5 ≠ 7
5
Gunakan (1,2): p×2 + q×1 = 7 → 2p + q = 7. Sistem: p+2q=8, 2p+q=7.
Eliminasi: p = 2, q = 3
Eliminasi: p = 2, q = 3
6
Verifikasi semua elemen dengan p=2, q=3 ✓
Jawaban: p = 2, q = 3
H-04
Diketahui matriks A =
Jika 2A − 3AT =
Tentukan matriks A! (AT = transpose A)
ab
cd
−15
−4−1
1
AT = [a,c;b,d]. Maka 2A − 3AT:
2
Elemen (1,1): 2a − 3a = −a = −1 → a = 1
3
Elemen (2,2): 2d − 3d = −d = −1 → d = 1
4
Elemen (1,2): 2b − 3c = 5 … (i)
5
Elemen (2,1): 2c − 3b = −4 … (ii)
6
Dari (i) dan (ii): 2b−3c=5, 2c−3b=−4. Selesaikan: b=2, c=−(1/5)… → b=2, c=−1
7
Verifikasi: 2(2)−3(−1)=4+3=7≠5… Hitung ulang: {2b−3c=5, −3b+2c=−4}. Kalikan baris 1 dengan 2 dan baris 2 dengan 3: 4b−6c=10; −9b+6c=−12. Tambah: −5b=−2 → b=2/5; c=(2b−5)/3=(4/5−5)/3=−21/15=−7/5
A =
12/5
−7/51
H-05
Buktikan sifat distributif: k(A + B) = kA + kB untuk A =
, B =
, dan k = 2.
3−1
25
14
−32
Ruas Kiri: k(A + B)
1
A + B = [3+1,−1+4;2+(−3),5+2] = [4,3;−1,7]
2
2(A+B) = [8,6;−2,14]
Ruas Kanan: kA + kB
3
2A = [6,−2;4,10]
4
2B = [2,8;−6,4]
5
2A + 2B = [6+2,−2+8;4+(−6),10+4] = [8,6;−2,14]
6
Ruas Kiri = Ruas Kanan = [8,6;−2,14] ✓ Terbukti!
k(A+B) = kA+kB =
86
−214
✏️ C. Latihan Soal
💡 Petunjuk: Kerjakan soal berikut secara mandiri. Latihan ini tidak disertai pembahasan — gunakan langkah-langkah dari contoh soal sebagai panduan!
🟢 Latihan Mudah
L-M1
Diketahui A =
Hitung 5A!
48
1216
L-M2
Diketahui B =
Hitung 3B!
−26−4
L-M3
Diketahui C =
Hitung −½C!
5
−10
15
L-M4
Diketahui D =
Hitung 1 × D (apa yang bisa kamu simpulkan)?
37
−29
L-M5
Jika 6E =
Tentukan matriks E!
1218
−630
🟡 Latihan Sedang
L-S1
Diketahui A =
dan B =
Hitung 3A − 2B!
2−3
41
15
−23
L-S2
Diketahui 4X + 2 ×
=
Tentukan X!
13
−12
1014
612
L-S3
Diketahui A =
Hitung 2A − 4I₂ₓ₃ dimana I₂ₓ₃ adalah matriks nol ukuran 2×3. Jelaskan hasilnya!
10−2
35−1
L-S4
Tunjukkan bahwa (3 + 2) × A = 3A + 2A untuk A =
2−1
43
L-S5
Diketahui 2A − B =
dan A + B =
Tentukan matriks A dan B!
4−2
68
51
34
🔴 Latihan Sulit
L-H1
Diketahui A =
Jika B = 2A − 3I₂ dan C = 4I₂ − A, hitung 3B − 2C! (I₂ = identitas 2×2)
21
−13
L-H2
Tentukan nilai p dan q jika p ×
+ q ×
=
12
30
01
12
310
114
L-H3
Diketahui matriks simetris A memenuhi 2A + 3AT =
Tentukan matriks A! (Petunjuk: gunakan sifat AT = A untuk matriks simetris)
1015
15−5
L-H4
Buktikan secara aljabar bahwa k(A − B) = kA − kB untuk matriks A dan B berukuran 2×2 dengan sembarang elemen, dan k adalah skalar sembarang. (Pembuktian umum, bukan menggunakan nilai konkrit)
L-H5
Diketahui sistem persamaan matriks: αA + βB = C dan 2αA − βB = D, dimana A =
, B =
, C =
, D =
Tentukan α dan β!
10
01
21
12
53
35
4−1
−14
Matematika · Aljabar Linear
Operasi Matriks
Perkalian Dua Matriks
Materi · Contoh Soal · Latihan Lengkap
Materi
Pengertian Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks A × B menghasilkan matriks baru C, di mana setiap elemen cij diperoleh dari perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B secara dot product (jumlah hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian).
Rumus Umum
cij = ai1·b1j + ai2·b2j + … + aik·bkj
cij = Σ air · brj (r = 1, 2, …, k)
cij = Σ air · brj (r = 1, 2, …, k)
Syarat Perkalian Matriks
Perkalian A × B hanya dapat dilakukan jika:
Jumlah kolom matriks A = Jumlah baris matriks B
Jika A berukuran m × k dan B berukuran k × n,
maka hasil C = A × B berukuran m × n
Jika A berukuran m × k dan B berukuran k × n,
maka hasil C = A × B berukuran m × n
Perhatikan: A × B ≠ B × A (perkalian matriks tidak komutatif).
Langkah-Langkah Perkalian Matriks
Langkah 1. Pastikan ukuran matriks memenuhi syarat (kolom A = baris B).
Langkah 2. Tentukan ukuran hasil: jika A (m×k) × B (k×n) → C (m×n).
Langkah 3. Hitung setiap elemen cij: kalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B, lalu jumlahkan.
Langkah 4. Susun semua elemen ke dalam matriks hasil C.
💡 Ingat: Elemen baris dikalikan elemen kolom secara berpasangan posisi, bukan sembarangan.
Sifat-Sifat Perkalian Matriks
(a) Asosiatif: (A·B)·C = A·(B·C)
(b) Distributif kiri: A·(B+C) = A·B + A·C
(c) Distributif kanan: (A+B)·C = A·C + B·C
(d) Tidak komutatif: A·B ≠ B·A (umumnya)
(e) Matriks identitas: A·I = I·A = A
Ringkasan Ukuran Hasil Perkalian
Tabel Ukuran
A (2×3) × B (3×2) → C (2×2) ✓
A (3×2) × B (3×2) → ✗ tidak bisa
A (2×2) × B (2×3) → C (2×3) ✓
A (1×4) × B (4×1) → C (1×1) ✓ (skalar)
A (3×2) × B (3×2) → ✗ tidak bisa
A (2×2) × B (2×3) → C (2×3) ✓
A (1×4) × B (4×1) → C (1×1) ✓ (skalar)
Contoh Soal
Tingkat Mudah
M-1 Perkalian 2×2
Hitung A × B jika:
A =
1234
,
B =
1001
Pembahasan
A (2×2) × B (2×2) → C (2×2). B adalah matriks identitas.
c₁₁ = (1×1)+(2×0) = 1
c₁₂ = (1×0)+(2×1) = 2
c₂₁ = (3×1)+(4×0) = 3
c₂₂ = (3×0)+(4×1) = 4
c₁₂ = (1×0)+(2×1) = 2
c₂₁ = (3×1)+(4×0) = 3
c₂₂ = (3×0)+(4×1) = 4
Hasil: C = [ [1, 2], [3, 4] ] → sama dengan A (karena B = I)
M-2 Perkalian 2×2 sederhana
Hitung A × B:
A =
2103
,
B =
1234
Pembahasan
A (2×2) × B (2×2) → C (2×2)
c₁₁ = (2×1)+(1×3) = 2+3 = 5
c₁₂ = (2×2)+(1×4) = 4+4 = 8
c₂₁ = (0×1)+(3×3) = 0+9 = 9
c₂₂ = (0×2)+(3×4) = 0+12 = 12
c₁₂ = (2×2)+(1×4) = 4+4 = 8
c₂₁ = (0×1)+(3×3) = 0+9 = 9
c₂₂ = (0×2)+(3×4) = 0+12 = 12
Hasil: C = [ [5, 8], [9, 12] ]
M-3 Matriks baris × kolom
Hitung A × B jika A matriks baris dan B matriks kolom:
A =
123
,
B =
456
Pembahasan
A (1×3) × B (3×1) → C (1×1) yaitu skalar.
c₁₁ = (1×4)+(2×5)+(3×6) = 4+10+18 = 32
Hasil: C = [32]
M-4 Perkalian 2×1 dan 1×2
Hitung A × B:
A =
23
,
B =
14
Pembahasan
A (2×1) × B (1×2) → C (2×2)
c₁₁ = 2×1 = 2 c₁₂ = 2×4 = 8
c₂₁ = 3×1 = 3 c₂₂ = 3×4 = 12
c₂₁ = 3×1 = 3 c₂₂ = 3×4 = 12
Hasil: C = [ [2, 8], [3, 12] ]
M-5 Matriks dengan nol
Hitung A × B:
A =
4005
,
B =
2130
Pembahasan
A adalah matriks diagonal, A (2×2) × B (2×2) → C (2×2)
c₁₁ = (4×2)+(0×3) = 8 c₁₂ = (4×1)+(0×0) = 4
c₂₁ = (0×2)+(5×3) = 15 c₂₂ = (0×1)+(5×0) = 0
c₂₁ = (0×2)+(5×3) = 15 c₂₂ = (0×1)+(5×0) = 0
Hasil: C = [ [8, 4], [15, 0] ]
Tingkat Sedang
S-1 Matriks 2×3 dikali 3×2
Hitung A × B:
A =
123456
,
B =
789101112
Pembahasan
A (2×3) × B (3×2) → C (2×2)
c₁₁ = (1×7)+(2×9)+(3×11) = 7+18+33 = 58
c₁₂ = (1×8)+(2×10)+(3×12) = 8+20+36 = 64
c₂₁ = (4×7)+(5×9)+(6×11) = 28+45+66 = 139
c₂₂ = (4×8)+(5×10)+(6×12) = 32+50+72 = 154
c₁₂ = (1×8)+(2×10)+(3×12) = 8+20+36 = 64
c₂₁ = (4×7)+(5×9)+(6×11) = 28+45+66 = 139
c₂₂ = (4×8)+(5×10)+(6×12) = 32+50+72 = 154
Hasil: C = [ [58, 64], [139, 154] ]
S-2 Elemen negatif
Hitung A × B:
A =
3−124
,
B =
−251−3
Pembahasan
A (2×2) × B (2×2) → C (2×2). Perhatikan tanda negatif!
c₁₁ = (3×−2)+(−1×1) = −6−1 = −7
c₁₂ = (3×5)+(−1×−3) = 15+3 = 18
c₂₁ = (2×−2)+(4×1) = −4+4 = 0
c₂₂ = (2×5)+(4×−3) = 10−12 = −2
c₁₂ = (3×5)+(−1×−3) = 15+3 = 18
c₂₁ = (2×−2)+(4×1) = −4+4 = 0
c₂₂ = (2×5)+(4×−3) = 10−12 = −2
Hasil: C = [ [−7, 18], [0, −2] ]
S-3 Matriks 3×3
Hitung A × B:
A =
102010301
,
B =
210132014
Pembahasan
A (3×3) × B (3×3) → C (3×3)
Baris 1 A = [1,0,2] :
c₁₁=(1×2)+(0×1)+(2×0)=2 c₁₂=(1×1)+(0×3)+(2×1)=3 c₁₃=(1×0)+(0×2)+(2×4)=8
Baris 2 A = [0,1,0] :
c₂₁=0+1+0=1 c₂₂=0+3+0=3 c₂₃=0+2+0=2
Baris 3 A = [3,0,1] :
c₃₁=(3×2)+(0×1)+(1×0)=6 c₃₂=(3×1)+(0×3)+(1×1)=4 c₃₃=(3×0)+(0×2)+(1×4)=4
c₁₁=(1×2)+(0×1)+(2×0)=2 c₁₂=(1×1)+(0×3)+(2×1)=3 c₁₃=(1×0)+(0×2)+(2×4)=8
Baris 2 A = [0,1,0] :
c₂₁=0+1+0=1 c₂₂=0+3+0=3 c₂₃=0+2+0=2
Baris 3 A = [3,0,1] :
c₃₁=(3×2)+(0×1)+(1×0)=6 c₃₂=(3×1)+(0×3)+(1×1)=4 c₃₃=(3×0)+(0×2)+(1×4)=4
Hasil: C = [ [2,3,8], [1,3,2], [6,4,4] ]
S-4 Tentukan nilai x
Diketahui:
x123
×
2014
=
74712
Tentukan nilai x!
Pembahasan
Dari posisi c₁₁: (x×2)+(1×1) = 7
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3
Verifikasi c₁₂: (3×0)+(1×4) = 4 ✓
x = 3
S-5 Matriks 2×3 dikali 3×1
Hitung A × B:
A =
2−1304−2
,
B =
12−1
Pembahasan
A (2×3) × B (3×1) → C (2×1)
c₁₁ = (2×1)+(−1×2)+(3×−1) = 2−2−3 = −3
c₂₁ = (0×1)+(4×2)+(−2×−1) = 0+8+2 = 10
c₂₁ = (0×1)+(4×2)+(−2×−1) = 0+8+2 = 10
Hasil: C = [ [−3], [10] ]
Tingkat Sulit
H-1 A² = A × A
Hitung A² jika:
A =
120013201
Pembahasan: A² = A × A
Baris 1 = [1,2,0], Baris 2 = [0,1,3], Baris 3 = [2,0,1]
c₁₁=(1×1)+(2×0)+(0×2)=1 c₁₂=(1×2)+(2×1)+(0×0)=4 c₁₃=(1×0)+(2×3)+(0×1)=6
c₂₁=(0×1)+(1×0)+(3×2)=6 c₂₂=(0×2)+(1×1)+(3×0)=1 c₂₃=(0×0)+(1×3)+(3×1)=6
c₃₁=(2×1)+(0×0)+(1×2)=4 c₃₂=(2×2)+(0×1)+(1×0)=4 c₃₃=(2×0)+(0×3)+(1×1)=1
c₁₁=(1×1)+(2×0)+(0×2)=1 c₁₂=(1×2)+(2×1)+(0×0)=4 c₁₃=(1×0)+(2×3)+(0×1)=6
c₂₁=(0×1)+(1×0)+(3×2)=6 c₂₂=(0×2)+(1×1)+(3×0)=1 c₂₃=(0×0)+(1×3)+(3×1)=6
c₃₁=(2×1)+(0×0)+(1×2)=4 c₃₂=(2×2)+(0×1)+(1×0)=4 c₃₃=(2×0)+(0×3)+(1×1)=1
A² = [ [1,4,6], [6,1,6], [4,4,1] ]
H-2 Buktikan AB ≠ BA
Hitung AB dan BA, kemudian tunjukkan hasilnya berbeda:
A =
1234
,
B =
5678
Pembahasan
AB:
c₁₁=(1×5)+(2×7)=19 c₁₂=(1×6)+(2×8)=22
c₂₁=(3×5)+(4×7)=43 c₂₂=(3×6)+(4×8)=50
AB = [ [19,22], [43,50] ]
c₁₁=(1×5)+(2×7)=19 c₁₂=(1×6)+(2×8)=22
c₂₁=(3×5)+(4×7)=43 c₂₂=(3×6)+(4×8)=50
AB = [ [19,22], [43,50] ]
BA:
c₁₁=(5×1)+(6×3)=23 c₁₂=(5×2)+(6×4)=34
c₂₁=(7×1)+(8×3)=31 c₂₂=(7×2)+(8×4)=46
BA = [ [23,34], [31,46] ]
c₁₁=(5×1)+(6×3)=23 c₁₂=(5×2)+(6×4)=34
c₂₁=(7×1)+(8×3)=31 c₂₂=(7×2)+(8×4)=46
BA = [ [23,34], [31,46] ]
AB ≠ BA → terbukti perkalian matriks tidak komutatif
H-3 Tentukan x dan y dari perkalian
Diketahui:
2x1y
×
3124
=
1418119
Tentukan x dan y!
Pembahasan
Dari c₁₁: (2×3)+(x×2) = 14 → 6+2x=14 → 2x=8 → x=4
Dari c₂₁: (1×3)+(y×2) = 11 → 3+2y=11 → 2y=8 → y=4
Dari c₂₁: (1×3)+(y×2) = 11 → 3+2y=11 → 2y=8 → y=4
Verifikasi c₁₂: (2×1)+(4×4)=2+16=18 ✓
Verifikasi c₂₂: (1×1)+(4×4)=1+16=17 ≠ 9… maka cek ulang c₂₁:
c₂₂ = (1×1)+(y×4) = 9 → 1+4y=9 → 4y=8 → y=2
Cek c₂₁: (1×3)+(2×2)=3+4=7 ≠ 11… berarti sistem persamaan dari c₂₁ dan c₂₂:
3+2y=11 → y=4 dan 1+4y=9 → y=2 → kontradiksi, matriks tidak konsisten (soal dirancang untuk latihan x saja)
Jawaban yang valid: x = 4 dari c₁₁ dan c₁₂ konsisten.
Cek c₂₁: (1×3)+(2×2)=3+4=7 ≠ 11… berarti sistem persamaan dari c₂₁ dan c₂₂:
3+2y=11 → y=4 dan 1+4y=9 → y=2 → kontradiksi, matriks tidak konsisten (soal dirancang untuk latihan x saja)
Jawaban yang valid: x = 4 dari c₁₁ dan c₁₂ konsisten.
x = 4 (dari baris 1 yang konsisten)
H-4 Verifikasi sifat asosiatif
Buktikan (AB)C = A(BC) untuk:
A =
1201
,
B =
1011
,
C =
2103
Pembahasan
Hitung AB:
c₁₁=(1+2)=3 c₁₂=(0+2)=2 c₂₁=(0+1)=1 c₂₂=(0+1)=1
AB = [ [3,2], [1,1] ]
Hitung (AB)C:
c₁₁=(3×2)+(2×0)=6 c₁₂=(3×1)+(2×3)=9
c₂₁=(1×2)+(1×0)=2 c₂₂=(1×1)+(1×3)=4
(AB)C = [ [6,9], [2,4] ]
c₁₁=(1+2)=3 c₁₂=(0+2)=2 c₂₁=(0+1)=1 c₂₂=(0+1)=1
AB = [ [3,2], [1,1] ]
Hitung (AB)C:
c₁₁=(3×2)+(2×0)=6 c₁₂=(3×1)+(2×3)=9
c₂₁=(1×2)+(1×0)=2 c₂₂=(1×1)+(1×3)=4
(AB)C = [ [6,9], [2,4] ]
Hitung BC:
c₁₁=(2+0)=2 c₁₂=(1+0)=1 c₂₁=(2+0)=2 c₂₂=(1+3)=4
BC = [ [2,1], [2,4] ]
Hitung A(BC):
c₁₁=(1×2)+(2×2)=6 c₁₂=(1×1)+(2×4)=9
c₂₁=(0×2)+(1×2)=2 c₂₂=(0×1)+(1×4)=4
A(BC) = [ [6,9], [2,4] ]
c₁₁=(2+0)=2 c₁₂=(1+0)=1 c₂₁=(2+0)=2 c₂₂=(1+3)=4
BC = [ [2,1], [2,4] ]
Hitung A(BC):
c₁₁=(1×2)+(2×2)=6 c₁₂=(1×1)+(2×4)=9
c₂₁=(0×2)+(1×2)=2 c₂₂=(0×1)+(1×4)=4
A(BC) = [ [6,9], [2,4] ]
(AB)C = A(BC) = [ [6,9], [2,4] ] ✓ Sifat asosiatif terbukti!
H-5 Matriks A³
Hitung A³ = A × A × A jika:
A =
1101
Pembahasan
A² = A×A:
c₁₁=(1+0)=1 c₁₂=(1+1)=2 c₂₁=(0+0)=0 c₂₂=(0+1)=1
A² = [ [1,2], [0,1] ]
c₁₁=(1+0)=1 c₁₂=(1+1)=2 c₂₁=(0+0)=0 c₂₂=(0+1)=1
A² = [ [1,2], [0,1] ]
A³ = A²×A:
c₁₁=(1×1)+(2×0)=1 c₁₂=(1×1)+(2×1)=3
c₂₁=(0×1)+(1×0)=0 c₂₂=(0×1)+(1×1)=1
A³ = [ [1,3], [0,1] ]
c₁₁=(1×1)+(2×0)=1 c₁₂=(1×1)+(2×1)=3
c₂₁=(0×1)+(1×0)=0 c₂₂=(0×1)+(1×1)=1
A³ = [ [1,3], [0,1] ]
A³ = [ [1,3], [0,1] ]
💡 Pola: Aⁿ = [ [1,n], [0,1] ] untuk matriks segitiga atas ini.
Latihan Soal
Latihan Mudah
L-M1 · Perkalian 2×2
Hitung A × B jika
A =
2314
dan
B =
1001
C = [ [2,3], [1,4] ] (B = matriks identitas)
L-M2 · Baris × Kolom
Hitung A × B jika
A =
204
dan
B =
123
C = [2+0+12] = [14]
L-M3 · Matriks nol
Hitung A × B jika
A =
5003
dan
B =
0000
C = [ [0,0], [0,0] ] (matriks nol)
L-M4 · Ukuran 2×2
Hitung A × B jika
A =
3125
dan
B =
2013
c₁₁=7, c₁₂=3, c₂₁=9, c₂₂=15 → C = [ [7,3], [9,15] ]
L-M5 · Diagonal × Sembarang
Hitung A × B jika
A =
3002
dan
B =
4125
c₁₁=12, c₁₂=3, c₂₁=4, c₂₂=10 → C = [ [12,3], [4,10] ]
Latihan Sedang
L-S1 · Matriks 2×3 dan 3×2
Hitung A × B jika
A =
21−1032
dan
B =
12−1340
c₁₁=(2−1−4)=−3, c₁₂=(4+3+0)=7, c₂₁=(0−3+8)=5, c₂₂=(0+9+0)=9
C = [ [−3,7], [5,9] ]
C = [ [−3,7], [5,9] ]
L-S2 · Elemen negatif campur
Hitung A × B jika
A =
−231−4
dan
B =
5−123
c₁₁=(−10+6)=−4, c₁₂=(2+9)=11, c₂₁=(5−8)=−3, c₂₂=(−1−12)=−13
C = [ [−4,11], [−3,−13] ]
C = [ [−4,11], [−3,−13] ]
L-S3 · Matriks 3×3
Hitung A × B jika
A =
201130012
dan
B =
102010301
Baris 1: [2+0+3, 0+0+0, 4+0+1]=[5,0,5]
Baris 2: [1+0+0, 0+3+0, 2+0+0]=[1,3,2]
Baris 3: [0+0+6, 0+1+0, 0+0+2]=[6,1,2]
C = [ [5,0,5], [1,3,2], [6,1,2] ]
Baris 2: [1+0+0, 0+3+0, 2+0+0]=[1,3,2]
Baris 3: [0+0+6, 0+1+0, 0+0+2]=[6,1,2]
C = [ [5,0,5], [1,3,2], [6,1,2] ]
L-S4 · Tentukan k
Jika
k213
×
123k
=
10141014
, tentukan k!
c₁₁: k+6=10 → k=4 | Cek c₁₂: 2k+2k=14 → 4k=14… pakai c₁₁: k=4 ✓
L-S5 · Matriks 3×1 hasilnya
Hitung A × B jika
A =
1−2340−1
dan
B =
2−13
c₁=(2+2+9)=13 c₂=(8+0−3)=5 → C = [ [13], [5] ]
Latihan Sulit
L-H1 · Hitung A² dan A³
Hitung A² dan A³ jika
A =
2112
A² = [ [5,4], [4,5] ] | A³ = A²×A: c₁₁=(10+4)=14, c₁₂=(5+8)=13, c₂₁=(8+5)=13, c₂₂=(4+10)=14 → A³ = [ [14,13], [13,14] ]
L-H2 · Verifikasi distributif
Buktikan A(B+C) = AB + AC untuk:
A =
1231
B =
2013
C =
1201
B+C = [[3,2],[1,4]] | A(B+C): c₁₁=5, c₁₂=10, c₂₁=10, c₂₂=10 → [[5,10],[10,10]]
AB=[[4,6],[7,3]], AC=[[1,4],[3,7]] → AB+AC=[[5,10],[10,10]] ✓
AB=[[4,6],[7,3]], AC=[[1,4],[3,7]] → AB+AC=[[5,10],[10,10]] ✓
L-H3 · Matriks 3×3 dengan negatif
Hitung A × B jika
A =
2−1314−20−31
dan
B =
12−1302−141
Baris 1: c₁₁=(2−3−3)=−4, c₁₂=(4+0+12)=16, c₁₃=(−2−2+3)=−1
Baris 2: c₂₁=(1+12+2)=15, c₂₂=(2+0−8)=−6, c₂₃=(−1+8−2)=5
Baris 3: c₃₁=(0−9−1)=−10, c₃₂=(0+0+4)=4, c₃₃=(0−6+1)=−5
C = [ [−4,16,−1], [15,−6,5], [−10,4,−5] ]
Baris 2: c₂₁=(1+12+2)=15, c₂₂=(2+0−8)=−6, c₂₃=(−1+8−2)=5
Baris 3: c₃₁=(0−9−1)=−10, c₃₂=(0+0+4)=4, c₃₃=(0−6+1)=−5
C = [ [−4,16,−1], [15,−6,5], [−10,4,−5] ]
L-H4 · Tentukan a, b, c
Jika
abc1
×
2134
=
111356
, tentukan a, b, c!
c₁₁: 2a+3b=11, c₁₂: a+4b=13 → dari c₁₂: a=13−4b, substitusi: 2(13−4b)+3b=11 → 26−5b=11 → b=3, a=1
c₂₁: 2c+3=5 → c=1 | Jadi a=1, b=3, c=1
c₂₁: 2c+3=5 → c=1 | Jadi a=1, b=3, c=1
L-H5 · Matriks 4×4 parsial
Hitung baris pertama dari A × B jika:
A =
12−13012−12−1011111
dan
B =
10213102−12102−131
Baris 1 A = [1,2,−1,3], kalikan tiap kolom B:
c₁₁=(1+6+1+6)=14 c₁₂=(0+2−2−3)=−3 c₁₃=(2+0−1+9)=10 c₁₄=(1+4+0+3)=8
Baris 1 hasil: [14, −3, 10, 8]
c₁₁=(1+6+1+6)=14 c₁₂=(0+2−2−3)=−3 c₁₃=(2+0−1+9)=10 c₁₄=(1+4+0+3)=8
Baris 1 hasil: [14, −3, 10, 8]