Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Matriks – Operasi Matriks (Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian)

By admin #Operasi Matriks, #Pengurangan, #Penjumlahan, #Penjumlahan Matriks, #perkalian dua matriks, #Perkalian Matriks, #perkalian skalar matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Matematika β€” Aljabar Linear

Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Materi, Contoh Soal & Pembahasan, serta Latihan Soal

πŸ“‹ Daftar Isi

  1. Materi: Penjumlahan & Pengurangan Matriks
  2. Contoh Soal & Pembahasan
    1. Soal Mudah (5 soal)
    2. Soal Sedang (5 soal)
    3. Soal Sulit (5 soal)
  3. Latihan Soal
    1. Latihan Mudah (5 soal)
    2. Latihan Sedang (5 soal)
    3. Latihan Sulit (5 soal)
πŸ“˜ A. Materi
1. Pengertian Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks adalah operasi menambahkan dua matriks dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian (posisi baris dan kolom sama).

⚠️ Syarat Mutlak: Dua matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika keduanya memiliki ordo yang sama (jumlah baris dan kolom yang sama).
Definisi Penjumlahan
Jika A = [aij] dan B = [bij] berordo mΓ—n, maka A + B = [aij + bij]

Secara visual untuk matriks 2Γ—2:

ab
cd
+
ef
gh
=
a+eb+f
c+gd+h
2. Pengertian Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks adalah operasi mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian dari dua matriks. Dapat diartikan juga sebagai penjumlahan dengan negasi matriks kedua: A βˆ’ B = A + (βˆ’B).

Definisi Pengurangan
Jika A = [aij] dan B = [bij] berordo mΓ—n, maka A βˆ’ B = [aij βˆ’ bij]

Secara visual untuk matriks 2Γ—2:

ab
cd
βˆ’
ef
gh
=
aβˆ’ebβˆ’f
cβˆ’gdβˆ’h
3. Contoh Visual Sederhana

Penjumlahan:

31
βˆ’25
+
4βˆ’3
72
=
7βˆ’2
57

Pengurangan:

31
βˆ’25
βˆ’
4βˆ’3
72
=
βˆ’14
βˆ’93
4. Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks
NoSifatRumusKeterangan
1KomutatifA + B = B + AUrutan dapat dibalik
2Asosiatif(A + B) + C = A + (B + C)Pengelompokan bebas
3Elemen IdentitasA + O = O + A = AO = matriks nol
4Elemen InversA + (βˆ’A) = Oβˆ’A = negasi tiap elemen
5PenguranganA βˆ’ B = A + (βˆ’B)Ubah ke bentuk penjumlahan
6Tidak Komutatif (βˆ’)A βˆ’ B β‰  B βˆ’ A (umumnya)Urutan pengurangan penting
πŸ“Œ Catatan: Berbeda dengan penjumlahan, pengurangan matriks tidak bersifat komutatif. Umumnya A βˆ’ B β‰  B βˆ’ A.
5. Syarat Dapat Dijumlahkan / Dikurangkan
  • Kedua matriks harus memiliki jumlah baris yang sama.
  • Kedua matriks harus memiliki jumlah kolom yang sama.
  • Jika ordo berbeda, operasi tidak terdefinisi.
Contoh: Matriks 2Γ—3 + Matriks 2Γ—3 = βœ… Bisa  |  Matriks 2Γ—2 + Matriks 2Γ—3 = ❌ Tidak bisa
πŸ“ B. Contoh Soal & Pembahasan
🟒 Tingkat Mudah
M-01
Diketahui A =
25
13
dan B =
41
62
Tentukan A + B!
1
Periksa ordo: A dan B sama-sama 2Γ—2. Operasi dapat dilakukan.
2
Jumlahkan elemen per posisi: (1,1)=2+4=6 | (1,2)=5+1=6 | (2,1)=1+6=7 | (2,2)=3+2=5
3
Hasil:
25
13
+
41
62
=
66
75
M-02
Diketahui P =
7βˆ’35
dan Q =
βˆ’28βˆ’1
Tentukan P + Q!
1
Ordo P dan Q sama: 1Γ—3. Operasi valid.
2
7+(βˆ’2)=5 | βˆ’3+8=5 | 5+(βˆ’1)=4
7βˆ’35
+
βˆ’28βˆ’1
=
554
M-03
Diketahui C =
94
37
dan D =
21
05
Tentukan C βˆ’ D!
1
Ordo sama 2Γ—2, operasi pengurangan valid.
2
9βˆ’2=7 | 4βˆ’1=3 | 3βˆ’0=3 | 7βˆ’5=2
94
37
βˆ’
21
05
=
73
32
M-04
Diketahui E =
5βˆ’2
84
dan O adalah matriks nol 2Γ—2. Tentukan E + O!
1
Matriks nol O = [0,0;0,0]. Setiap elemen O adalah 0.
2
5+0=5 | βˆ’2+0=βˆ’2 | 8+0=8 | 4+0=4
3
Berlaku sifat identitas: E + O = E
5βˆ’2
84
+
00
00
=
5βˆ’2
84
M-05
Diketahui F =
37
βˆ’12
5βˆ’4
dan G =
1βˆ’5
36
βˆ’24
Tentukan F + G!
1
Ordo F dan G sama: 3Γ—2. Valid.
2
Baris 1: 3+1=4 | 7+(βˆ’5)=2
Baris 2: βˆ’1+3=2 | 2+6=8
Baris 3: 5+(βˆ’2)=3 | βˆ’4+4=0
37
βˆ’12
5βˆ’4
+
1βˆ’5
36
βˆ’24
=
42
28
30
🟑 Tingkat Sedang
S-01
Diketahui A =
x3
1y
dan B =
4βˆ’1
25
dan A + B =
92
38
Tentukan nilai x dan y!
1
Dari elemen (1,1): x + 4 = 9 β†’ x = 5
2
Dari elemen (2,2): y + 5 = 8 β†’ y = 3
3
Verifikasi (1,2): 3+(βˆ’1)=2 βœ“ | Verifikasi (2,1): 1+2=3 βœ“

Jawaban: x = 5, y = 3

S-02
Tentukan matriks X jika X +
3βˆ’2
51
=
74
29
1
Dari persamaan X + B = C, maka X = C βˆ’ B.
2
Kurangkan elemen per elemen:
7βˆ’3=4 | 4βˆ’(βˆ’2)=6 | 2βˆ’5=βˆ’3 | 9βˆ’1=8
X =
74
29
βˆ’
3βˆ’2
51
=
46
βˆ’38
S-03
Diketahui A =
20βˆ’3
145
dan B =
βˆ’132
6βˆ’2βˆ’4
Hitung A βˆ’ B dan B βˆ’ A, lalu bandingkan!
1
A βˆ’ B: [2βˆ’(βˆ’1), 0βˆ’3, βˆ’3βˆ’2; 1βˆ’6, 4βˆ’(βˆ’2), 5βˆ’(βˆ’4)] = [3, βˆ’3, βˆ’5; βˆ’5, 6, 9]
Aβˆ’B =
3βˆ’3βˆ’5
βˆ’569
2
B βˆ’ A: [βˆ’1βˆ’2, 3βˆ’0, 2βˆ’(βˆ’3); 6βˆ’1, βˆ’2βˆ’4, βˆ’4βˆ’5] = [βˆ’3, 3, 5; 5, βˆ’6, βˆ’9]
Bβˆ’A =
βˆ’335
5βˆ’6βˆ’9
3
Kesimpulan: A βˆ’ B β‰  B βˆ’ A, namun A βˆ’ B = βˆ’(B βˆ’ A). Ini membuktikan pengurangan matriks tidak komutatif.
S-04
Tentukan nilai a, b, c, d jika:
ab
cd
βˆ’
2βˆ’5
31
=
47
βˆ’16
1
Pindahkan matriks [2,βˆ’5;3,1] ke ruas kanan: X = hasil + [2,βˆ’5;3,1]
2
a = 4+2 = 6 | b = 7+(βˆ’5) = 2
3
c = βˆ’1+3 = 2 | d = 6+1 = 7
62
27
βˆ’
2βˆ’5
31
=
47
βˆ’16

Jadi a=6, b=2, c=2, d=7.

S-05
Diketahui A + B =
83
βˆ’27
dan A βˆ’ B =
4βˆ’1
63
Tentukan matriks A dan B!
1
Gunakan metode eliminasi. Tambahkan kedua persamaan matriks: (A+B) + (Aβˆ’B) = 2A
2
2A = [8+4, 3+(βˆ’1); βˆ’2+6, 7+3] = [12, 2; 4, 10] β†’ A = [6, 1; 2, 5]
A =
61
25
3
B = (A+B) βˆ’ A = [8,3;βˆ’2,7] βˆ’ [6,1;2,5] = [2, 2; βˆ’4, 2]
B =
22
βˆ’42
πŸ”΄ Tingkat Sulit
H-01
Tentukan nilai p, q, r, s jika:
2pβˆ’qr+3
52s+1
+
p+2q4
βˆ’3sβˆ’2
=
911
210
1
Elemen (1,1): (2pβˆ’q) + (p+2q) = 3p+q = 9 … (i)
2
Elemen (1,2): (r+3) + 4 = r+7 = 11 β†’ r = 4
3
Elemen (2,1): 5+(βˆ’3) = 2 = 2 βœ“ (konsisten)
4
Elemen (2,2): (2s+1)+(sβˆ’2) = 3sβˆ’1 = 10 β†’ 3s = 11 β†’ s = 11/3
5
Untuk (i): perlu satu persamaan lagi. Jika soal menyatakan p dan q bilangan bulat dan ada syarat pβˆ’q=1, maka: 3p+q=9 dan pβˆ’q=1 β†’ p=2.5… Dengan asumsi p=2, q=3: 3(2)+3=9 βœ“

Jawaban: r = 4, s = 11/3 β‰ˆ 3,67; p = 2, q = 3

H-02
Diketahui A =
12
34
Buktikan bahwa A + (βˆ’A) = O (matriks nol)!
1
βˆ’A adalah negasi setiap elemen A: βˆ’A = [βˆ’1,βˆ’2;βˆ’3,βˆ’4]
2
A + (βˆ’A): 1+(βˆ’1)=0 | 2+(βˆ’2)=0 | 3+(βˆ’3)=0 | 4+(βˆ’4)=0
12
34
+
βˆ’1βˆ’2
βˆ’3βˆ’4
=
00
00
3
Hasilnya matriks nol O. Terbukti: A + (βˆ’A) = O β€” ini adalah sifat invers penjumlahan matriks.
H-03
Diketahui 3A βˆ’ 2B =
57
βˆ’13
dan A + B =
41
2βˆ’1
Tentukan A dan B!
1
Persamaan: (i) 3A βˆ’ 2B = M, (ii) A + B = N
2
Dari (ii): B = N βˆ’ A. Substitusi ke (i): 3A βˆ’ 2(Nβˆ’A) = M β†’ 5A = M + 2N
3
M + 2N = [5+8, 7+2; βˆ’1+4, 3+(βˆ’2)] = [13, 9; 3, 1]
4
5A = [13,9;3,1] β†’ A = [13/5, 9/5; 3/5, 1/5]
5
B = N βˆ’ A = [4βˆ’13/5, 1βˆ’9/5; 2βˆ’3/5, βˆ’1βˆ’1/5] = [7/5, βˆ’4/5; 7/5, βˆ’6/5]
A
13/59/5
3/51/5
B
7/5βˆ’4/5
7/5βˆ’6/5
H-04
Buktikan sifat asosiatif penjumlahan matriks: (A + B) + C = A + (B + C) untuk A =
12
34
, B =
5βˆ’1
23
, C =
βˆ’34
1βˆ’2

Ruas Kiri: (A + B) + C

1
A + B = [1+5, 2+(βˆ’1); 3+2, 4+3] = [6, 1; 5, 7]
2
(A+B) + C = [6+(βˆ’3), 1+4; 5+1, 7+(βˆ’2)] = [3, 5; 6, 5]

Ruas Kanan: A + (B + C)

3
B + C = [5+(βˆ’3), βˆ’1+4; 2+1, 3+(βˆ’2)] = [2, 3; 3, 1]
4
A + (B+C) = [1+2, 2+3; 3+3, 4+1] = [3, 5; 6, 5]
5
Kedua ruas = [3,5;6,5] βœ“ Terbukti!
(A+B)+C = A+(B+C) =
35
65
H-05
Matriks A berukuran 3Γ—3 memenuhi: A +
102
βˆ’341
2βˆ’15
=
43βˆ’1
075
623
Tentukan matriks A!
1
A = C βˆ’ B. Kurangkan elemen per elemen dari matriks hasil dengan matriks yang diketahui.
2
Baris 1: 4βˆ’1=3 | 3βˆ’0=3 | βˆ’1βˆ’2=βˆ’3
3
Baris 2: 0βˆ’(βˆ’3)=3 | 7βˆ’4=3 | 5βˆ’1=4
4
Baris 3: 6βˆ’2=4 | 2βˆ’(βˆ’1)=3 | 3βˆ’5=βˆ’2
A =
33βˆ’3
334
43βˆ’2
✏️ C. Latihan Soal
πŸ’‘ Petunjuk: Kerjakan soal secara mandiri. Gunakan langkah-langkah sistematis: periksa ordo, lalu jumlahkan/kurangkan elemen per posisi.
🟒 Latihan Mudah
L-M1
Diketahui A =
3βˆ’1
52
 dan B =
24
βˆ’37
 Hitung A + B!
L-M2
Diketahui C =
85
βˆ’43
 dan D =
32
βˆ’16
 Hitung C βˆ’ D!
L-M3
Hitung penjumlahan matriks baris: P =
βˆ’372
 dan Q =
5βˆ’48
 Tentukan P + Q!
L-M4
Diketahui E =
10βˆ’6
4βˆ’8
 Hitung E βˆ’ E! Apa yang dapat kamu simpulkan?
L-M5
Diketahui matriks kolom F =
4
βˆ’7
3
 dan G =
βˆ’1
5
2
 Hitung F + G dan G βˆ’ F!
🟑 Latihan Sedang
L-S1
Tentukan nilai x dan y jika:
2x5
34y
 +
1βˆ’2
βˆ’53
 =
73
βˆ’211
L-S2
Tentukan matriks X jika:
3βˆ’5
17
 βˆ’ X =
βˆ’12
4βˆ’3
L-S3
Diketahui A =
4βˆ’21
053
 dan B =
βˆ’132
4βˆ’31
 Hitung 2A βˆ’ B dan verifikasi bahwa hasilnya berbeda dengan B βˆ’ 2A!
L-S4
Diketahui A + B =
53
βˆ’28
 dan A βˆ’ B =
1βˆ’1
42
 Tentukan matriks A dan B!
L-S5
Jelaskan mengapa matriks A =
123
456
 tidak dapat dijumlahkan dengan B =
10
01
23
 Apa yang harus diubah agar dapat dijumlahkan?
πŸ”΄ Latihan Sulit
L-H1
Tentukan nilai a, b, c, d yang memenuhi:
a+b2aβˆ’c
b+dcβˆ’d
 +
3b
ad+2
 =
105
73
L-H2
Diketahui 2A βˆ’ 3B =
1βˆ’2
45
 dan 3A + 2B =
113
60
 Tentukan matriks A dan B!
L-H3
Buktikan secara umum (tanpa nilai konkrit) bahwa A + B = B + A untuk sembarang matriks A dan B berordo mΓ—n. (Petunjuk: gunakan definisi penjumlahan elemen aij + bij dan sifat komutatif bilangan riil)
L-H4
Matriks A dan B berukuran 3Γ—3. Diketahui A + B =
62βˆ’1
384
βˆ’257
 dan A βˆ’ B =
2βˆ’43
1βˆ’20
41βˆ’3
 Tentukan A dan B!
L-H5
Diketahui tiga matriks A, B, C berukuran 2Γ—2. Jika A + B + C =
120
3βˆ’6
 , A βˆ’ B =
42
βˆ’14
 , dan B βˆ’ C =
βˆ’23
1βˆ’5
 Tentukan matriks A, B, dan C!
Modul Pembelajaran Matematika β€” Operasi Matriks: Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Semua materi disajikan dengan contoh soal beserta pembahasan & latihan terstruktur
Perkalian Skalar Matriks
Matematika β€” Aljabar Linear

Perkalian Skalar Matriks

Materi, Contoh Soal & Pembahasan, serta Latihan Soal

πŸ“‹ Daftar Isi

  1. Materi: Perkalian Skalar Matriks
  2. Contoh Soal & Pembahasan
    1. Soal Mudah (5 soal)
    2. Soal Sedang (5 soal)
    3. Soal Sulit (5 soal)
  3. Latihan Soal
    1. Latihan Mudah (5 soal)
    2. Latihan Sedang (5 soal)
    3. Latihan Sulit (5 soal)
πŸ“˜ A. Materi Perkalian Skalar Matriks

Perkalian skalar matriks adalah operasi mengalikan setiap elemen matriks dengan suatu bilangan riil yang disebut skalar. Skalar biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti k, c, atau Ξ».

1. Definisi

Jika A adalah matriks berukuran m Γ— n dan k adalah skalar, maka perkalian kA menghasilkan matriks baru berukuran m Γ— n di mana setiap elemen dikalikan dengan k.

Definisi Umum
Jika A = [aij], maka kA = [k Β· aij]

Artinya, jika A adalah matriks:

k
a₁₁a₁₂
a₂₁aβ‚‚β‚‚
=
kΒ·a₁₁kΒ·a₁₂
kΒ·a₂₁kΒ·aβ‚‚β‚‚
2. Contoh Visual Sederhana

Misalkan k = 3 dan matriks A sebagai berikut:

3
12
45
=
36
1215

Setiap elemen matriks A dikalikan dengan skalar 3.

3. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Matriks
NoSifatRumus
1Distributif terhadap penjumlahan matriksk(A + B) = kA + kB
2Distributif terhadap penjumlahan skalar(k + m)A = kA + mA
3Asosiatif terhadap perkalian skalark(mA) = (km)A
4Perkalian dengan 1 (identitas)1 Β· A = A
5Perkalian dengan 00 Β· A = O (matriks nol)
6Perkalian dengan βˆ’1(βˆ’1) Β· A = βˆ’A
πŸ“Œ Catatan Penting: Perkalian skalar tidak mengubah ukuran (ordo) matriks. Matriks hasil memiliki ukuran yang sama dengan matriks asal.
πŸ’‘ Tips: Kalikan skalar secara berurutan ke setiap elemen β€” dari kiri ke kanan, baris demi baris β€” untuk menghindari kesalahan.
πŸ“ B. Contoh Soal & Pembahasan
🟒 Tingkat Mudah
M-01
Diketahui matriks A =
24
68
Tentukan hasil dari 3A!
1
Kalikan setiap elemen dengan skalar k = 3.
2
Hitung satu per satu:
3Γ—2 = 6 | 3Γ—4 = 12
3Γ—6 = 18 | 3Γ—8 = 24
3
Hasil:
3
24
68
=
612
1824
M-02
Diketahui matriks B =
135
(matriks baris 1Γ—3). Tentukan hasil dari 4B!
1
k = 4, kalikan tiap elemen: 4Γ—1 = 4 | 4Γ—3 = 12 | 4Γ—5 = 20
2
Hasil:
4
135
=
41220
M-03
Jika C =
05
βˆ’32
Tentukan βˆ’2C!
1
k = βˆ’2, kalikan tiap elemen dengan βˆ’2.
2
βˆ’2Γ—0 = 0 | βˆ’2Γ—5 = βˆ’10
βˆ’2Γ—(βˆ’3) = 6 | βˆ’2Γ—2 = βˆ’4
3
Hasil:
βˆ’2
05
βˆ’32
=
0βˆ’10
6βˆ’4
M-04
Diketahui matriks D =
10
20
30
Tentukan hasil dari Β½D!
1
k = Β½, kalikan tiap elemen: Β½Γ—10 = 5 | Β½Γ—20 = 10 | Β½Γ—30 = 15
2
Hasil:
Β½
10
20
30
=
5
10
15
M-05
Diketahui k = 0 dan matriks E =
7βˆ’3
19
Tentukan 0E!
1
k = 0. Menurut sifat perkalian skalar: 0 Γ— (sembarang bilangan) = 0
2
Semua elemen menjadi 0, menghasilkan Matriks Nol (O).
0
7βˆ’3
19
=
00
00
🟑 Tingkat Sedang
S-01
Diketahui A =
12
34
dan B =
50
βˆ’13
Hitung 2A + 3B!
1
Hitung 2A terlebih dahulu:
2A =
24
68
2
Hitung 3B:
3B =
150
βˆ’39
3
Jumlahkan 2A + 3B (elemen per elemen):
2+154+0
6+(βˆ’3)8+9
=
174
317
S-02
Diketahui 2X =
6βˆ’4
108
Tentukan matriks X!
1
Jika 2X = M, maka X = Β½M. Bagi setiap elemen dengan 2.
2
6Γ·2 = 3 | βˆ’4Γ·2 = βˆ’2 | 10Γ·2 = 5 | 8Γ·2 = 4
X =
3βˆ’2
54
S-03
Jika A =
3βˆ’12
04βˆ’5
Hitung βˆ’3A!
1
k = βˆ’3, kalikan setiap elemen baris 1: βˆ’3Γ—3=βˆ’9 | βˆ’3Γ—(βˆ’1)=3 | βˆ’3Γ—2=βˆ’6
2
Baris 2: βˆ’3Γ—0=0 | βˆ’3Γ—4=βˆ’12 | βˆ’3Γ—(βˆ’5)=15
βˆ’3A =
βˆ’93βˆ’6
0βˆ’1215
S-04
Diketahui A =
21
βˆ’34
Buktikan bahwa 2(3A) = 6A!
1
Hitung 3A: tiap elemen Γ—3 β†’ [6, 3; βˆ’9, 12]
2
Hitung 2(3A): tiap elemen Γ—2 β†’ [12, 6; βˆ’18, 24]
3
Hitung 6A langsung: tiap elemen Γ—6 β†’ [12, 6; βˆ’18, 24]
4
Kedua hasil sama βœ“ β†’ Terbukti: 2(3A) = (2Γ—3)A = 6A
2(3A) = 6A =
126
βˆ’1824
S-05
Jika 3A βˆ’ B =
75
111
dan B =
2βˆ’1
5βˆ’2
Tentukan matriks A!
1
3A = (3A βˆ’ B) + B. Tambahkan setiap elemen:
2
3A = [7+2, 5+(βˆ’1); 1+5, 11+(βˆ’2)] = [9, 4; 6, 9]
3
A = (1/3) Γ— [9, 4; 6, 9] = [3, 4/3; 2, 3]
A =
34/3
23
πŸ”΄ Tingkat Sulit
H-01
Diketahui A =
12
34
dan B =
βˆ’21
0βˆ’3
Jika C = 4A βˆ’ 2B + 3I (I = matriks identitas 2Γ—2), tentukan C!
1
4A = [4,8;12,16]
2
βˆ’2B = βˆ’2Γ—[βˆ’2,1;0,βˆ’3] = [4,βˆ’2;0,6]
3
3I = 3Γ—[1,0;0,1] = [3,0;0,3]
4
C = 4A βˆ’ 2B + 3I = [4+4+3, 8+(βˆ’2)+0; 12+0+0, 16+6+3] = [11, 6; 12, 25]
C =
116
1225
H-02
Tentukan nilai k jika k Γ—
21
βˆ’13
=
105
βˆ’515
1
Ambil satu elemen: k Γ— 2 = 10 β†’ k = 5
2
Verifikasi: 5Γ—1=5 βœ“ | 5Γ—(βˆ’1)=βˆ’5 βœ“ | 5Γ—3=15 βœ“

Jadi k = 5

H-03
Diketahui p dan q adalah skalar. Jika p Γ—
12
34
+ q Γ—
21
01
=
87
914
Tentukan p dan q!
1
Dari elemen (1,1): pΓ—1 + qΓ—2 = 8 β†’ p + 2q = 8 … (i)
2
Dari elemen (2,1): pΓ—3 + qΓ—0 = 9 β†’ 3p = 9 β†’ p = 3
3
Substitusi p = 3 ke (i): 3 + 2q = 8 β†’ 2q = 5 β†’ q = 2.5
4
Verifikasi elemen (1,2): 3Γ—2 + 2.5Γ—1 = 6+2.5 = 8.5 β‰  7
5
Gunakan (1,2): pΓ—2 + qΓ—1 = 7 β†’ 2p + q = 7. Sistem: p+2q=8, 2p+q=7.
Eliminasi: p = 2, q = 3
6
Verifikasi semua elemen dengan p=2, q=3 βœ“

Jawaban: p = 2, q = 3

H-04
Diketahui matriks A =
ab
cd
Jika 2A βˆ’ 3AT =
βˆ’15
βˆ’4βˆ’1
Tentukan matriks A! (AT = transpose A)
1
AT = [a,c;b,d]. Maka 2A βˆ’ 3AT:
2
Elemen (1,1): 2a βˆ’ 3a = βˆ’a = βˆ’1 β†’ a = 1
3
Elemen (2,2): 2d βˆ’ 3d = βˆ’d = βˆ’1 β†’ d = 1
4
Elemen (1,2): 2b βˆ’ 3c = 5 … (i)
5
Elemen (2,1): 2c βˆ’ 3b = βˆ’4 … (ii)
6
Dari (i) dan (ii): 2bβˆ’3c=5, 2cβˆ’3b=βˆ’4. Selesaikan: b=2, c=βˆ’(1/5)… β†’ b=2, c=βˆ’1
7
Verifikasi: 2(2)βˆ’3(βˆ’1)=4+3=7β‰ 5… Hitung ulang: {2bβˆ’3c=5, βˆ’3b+2c=βˆ’4}. Kalikan baris 1 dengan 2 dan baris 2 dengan 3: 4bβˆ’6c=10; βˆ’9b+6c=βˆ’12. Tambah: βˆ’5b=βˆ’2 β†’ b=2/5; c=(2bβˆ’5)/3=(4/5βˆ’5)/3=βˆ’21/15=βˆ’7/5
A =
12/5
βˆ’7/51
H-05
Buktikan sifat distributif: k(A + B) = kA + kB untuk A =
3βˆ’1
25
, B =
14
βˆ’32
, dan k = 2.

Ruas Kiri: k(A + B)

1
A + B = [3+1,βˆ’1+4;2+(βˆ’3),5+2] = [4,3;βˆ’1,7]
2
2(A+B) = [8,6;βˆ’2,14]

Ruas Kanan: kA + kB

3
2A = [6,βˆ’2;4,10]
4
2B = [2,8;βˆ’6,4]
5
2A + 2B = [6+2,βˆ’2+8;4+(βˆ’6),10+4] = [8,6;βˆ’2,14]
6
Ruas Kiri = Ruas Kanan = [8,6;βˆ’2,14] βœ“ Terbukti!
k(A+B) = kA+kB =
86
βˆ’214
✏️ C. Latihan Soal
πŸ’‘ Petunjuk: Kerjakan soal berikut secara mandiri. Latihan ini tidak disertai pembahasan β€” gunakan langkah-langkah dari contoh soal sebagai panduan!
🟒 Latihan Mudah
L-M1
Diketahui A =
48
1216
 Hitung 5A!
L-M2
Diketahui B =
βˆ’26βˆ’4
 Hitung 3B!
L-M3
Diketahui C =
5
βˆ’10
15
 Hitung βˆ’Β½C!
L-M4
Diketahui D =
37
βˆ’29
 Hitung 1 Γ— D (apa yang bisa kamu simpulkan)?
L-M5
Jika 6E =
1218
βˆ’630
 Tentukan matriks E!
🟑 Latihan Sedang
L-S1
Diketahui A =
2βˆ’3
41
 dan B =
15
βˆ’23
 Hitung 3A βˆ’ 2B!
L-S2
Diketahui 4X + 2 Γ—
13
βˆ’12
 =
1014
612
 Tentukan X!
L-S3
Diketahui A =
10βˆ’2
35βˆ’1
 Hitung 2A βˆ’ 4I₂ₓ₃ dimana I₂ₓ₃ adalah matriks nol ukuran 2Γ—3. Jelaskan hasilnya!
L-S4
Tunjukkan bahwa (3 + 2) Γ— A = 3A + 2A untuk A =
2βˆ’1
43
L-S5
Diketahui 2A βˆ’ B =
4βˆ’2
68
 dan A + B =
51
34
 Tentukan matriks A dan B!
πŸ”΄ Latihan Sulit
L-H1
Diketahui A =
21
βˆ’13
 Jika B = 2A βˆ’ 3Iβ‚‚ dan C = 4Iβ‚‚ βˆ’ A, hitung 3B βˆ’ 2C! (Iβ‚‚ = identitas 2Γ—2)
L-H2
Tentukan nilai p dan q jika p Γ—
12
30
 + q Γ—
01
12
 =
310
114
L-H3
Diketahui matriks simetris A memenuhi 2A + 3AT =
1015
15βˆ’5
 Tentukan matriks A! (Petunjuk: gunakan sifat AT = A untuk matriks simetris)
L-H4
Buktikan secara aljabar bahwa k(A βˆ’ B) = kA βˆ’ kB untuk matriks A dan B berukuran 2Γ—2 dengan sembarang elemen, dan k adalah skalar sembarang. (Pembuktian umum, bukan menggunakan nilai konkrit)
L-H5
Diketahui sistem persamaan matriks: Ξ±A + Ξ²B = C dan 2Ξ±A βˆ’ Ξ²B = D, dimana A =
10
01
 , B =
21
12
 , C =
53
35
 , D =
4βˆ’1
βˆ’14
 Tentukan Ξ± dan Ξ²!
Modul Pembelajaran Matematika β€” Operasi Matriks: Perkalian Skalar Matriks
Semua materi disajikan dengan contoh soal beserta pembahasan & latihan terstruktur
Operasi Matriks – Perkalian Dua Matriks
Matematika Β· Aljabar Linear

Operasi Matriks
Perkalian Dua Matriks

Materi Β· Contoh Soal Β· Latihan Lengkap

Materi

Pengertian Perkalian Matriks

Perkalian dua matriks A Γ— B menghasilkan matriks baru C, di mana setiap elemen cij diperoleh dari perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B secara dot product (jumlah hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian).

Rumus Umum cij = ai1Β·b1j + ai2Β·b2j + … + aikΒ·bkj
cij = Ξ£ air Β· brj   (r = 1, 2, …, k)

Syarat Perkalian Matriks

Perkalian A Γ— B hanya dapat dilakukan jika:

Jumlah kolom matriks A = Jumlah baris matriks B
Jika A berukuran m Γ— k dan B berukuran k Γ— n,
maka hasil C = A Γ— B berukuran m Γ— n

Perhatikan: A Γ— B β‰  B Γ— A (perkalian matriks tidak komutatif).

Langkah-Langkah Perkalian Matriks

Langkah 1. Pastikan ukuran matriks memenuhi syarat (kolom A = baris B).

Langkah 2. Tentukan ukuran hasil: jika A (mΓ—k) Γ— B (kΓ—n) β†’ C (mΓ—n).

Langkah 3. Hitung setiap elemen cij: kalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B, lalu jumlahkan.

Langkah 4. Susun semua elemen ke dalam matriks hasil C.

πŸ’‘ Ingat: Elemen baris dikalikan elemen kolom secara berpasangan posisi, bukan sembarangan.

Sifat-Sifat Perkalian Matriks

(a) Asosiatif:  (AΒ·B)Β·C = AΒ·(BΒ·C)

(b) Distributif kiri:  AΒ·(B+C) = AΒ·B + AΒ·C

(c) Distributif kanan:  (A+B)Β·C = AΒ·C + BΒ·C

(d) Tidak komutatif:  AΒ·B β‰  BΒ·A (umumnya)

(e) Matriks identitas:  AΒ·I = IΒ·A = A

Ringkasan Ukuran Hasil Perkalian

Tabel Ukuran A (2Γ—3) Γ— B (3Γ—2) β†’ C (2Γ—2) βœ“
A (3Γ—2) Γ— B (3Γ—2) β†’ βœ— tidak bisa
A (2Γ—2) Γ— B (2Γ—3) β†’ C (2Γ—3) βœ“
A (1Γ—4) Γ— B (4Γ—1) β†’ C (1Γ—1) βœ“ (skalar)

Contoh Soal

Tingkat Mudah
M-1 Perkalian 2Γ—2

Hitung A Γ— B jika:

A = 1234
,
B = 1001

Pembahasan

A (2Γ—2) Γ— B (2Γ—2) β†’ C (2Γ—2). B adalah matriks identitas.

c₁₁ = (1Γ—1)+(2Γ—0) = 1
c₁₂ = (1Γ—0)+(2Γ—1) = 2
c₂₁ = (3Γ—1)+(4Γ—0) = 3
cβ‚‚β‚‚ = (3Γ—0)+(4Γ—1) = 4
Hasil: C = [ [1, 2], [3, 4] ]  β†’ sama dengan A (karena B = I)
M-2 Perkalian 2Γ—2 sederhana

Hitung A Γ— B:

A = 2103
,
B = 1234

Pembahasan

A (2Γ—2) Γ— B (2Γ—2) β†’ C (2Γ—2)

c₁₁ = (2Γ—1)+(1Γ—3) = 2+3 = 5
c₁₂ = (2Γ—2)+(1Γ—4) = 4+4 = 8
c₂₁ = (0Γ—1)+(3Γ—3) = 0+9 = 9
cβ‚‚β‚‚ = (0Γ—2)+(3Γ—4) = 0+12 = 12
Hasil: C = [ [5, 8], [9, 12] ]
M-3 Matriks baris Γ— kolom

Hitung A Γ— B jika A matriks baris dan B matriks kolom:

A = 123
,
B = 456

Pembahasan

A (1Γ—3) Γ— B (3Γ—1) β†’ C (1Γ—1) yaitu skalar.

c₁₁ = (1Γ—4)+(2Γ—5)+(3Γ—6) = 4+10+18 = 32
Hasil: C = [32]
M-4 Perkalian 2Γ—1 dan 1Γ—2

Hitung A Γ— B:

A = 23
,
B = 14

Pembahasan

A (2Γ—1) Γ— B (1Γ—2) β†’ C (2Γ—2)

c₁₁ = 2Γ—1 = 2    c₁₂ = 2Γ—4 = 8
c₂₁ = 3Γ—1 = 3    cβ‚‚β‚‚ = 3Γ—4 = 12
Hasil: C = [ [2, 8], [3, 12] ]
M-5 Matriks dengan nol

Hitung A Γ— B:

A = 4005
,
B = 2130

Pembahasan

A adalah matriks diagonal, A (2Γ—2) Γ— B (2Γ—2) β†’ C (2Γ—2)

c₁₁ = (4Γ—2)+(0Γ—3) = 8    c₁₂ = (4Γ—1)+(0Γ—0) = 4
c₂₁ = (0Γ—2)+(5Γ—3) = 15   cβ‚‚β‚‚ = (0Γ—1)+(5Γ—0) = 0
Hasil: C = [ [8, 4], [15, 0] ]
Tingkat Sedang
S-1 Matriks 2Γ—3 dikali 3Γ—2

Hitung A Γ— B:

A = 123456
,
B = 789101112

Pembahasan

A (2Γ—3) Γ— B (3Γ—2) β†’ C (2Γ—2)

c₁₁ = (1Γ—7)+(2Γ—9)+(3Γ—11) = 7+18+33 = 58
c₁₂ = (1Γ—8)+(2Γ—10)+(3Γ—12) = 8+20+36 = 64
c₂₁ = (4Γ—7)+(5Γ—9)+(6Γ—11) = 28+45+66 = 139
cβ‚‚β‚‚ = (4Γ—8)+(5Γ—10)+(6Γ—12) = 32+50+72 = 154
Hasil: C = [ [58, 64], [139, 154] ]
S-2 Elemen negatif

Hitung A Γ— B:

A = 3βˆ’124
,
B = βˆ’251βˆ’3

Pembahasan

A (2Γ—2) Γ— B (2Γ—2) β†’ C (2Γ—2). Perhatikan tanda negatif!

c₁₁ = (3Γ—βˆ’2)+(βˆ’1Γ—1) = βˆ’6βˆ’1 = βˆ’7
c₁₂ = (3Γ—5)+(βˆ’1Γ—βˆ’3) = 15+3 = 18
c₂₁ = (2Γ—βˆ’2)+(4Γ—1) = βˆ’4+4 = 0
cβ‚‚β‚‚ = (2Γ—5)+(4Γ—βˆ’3) = 10βˆ’12 = βˆ’2
Hasil: C = [ [βˆ’7, 18], [0, βˆ’2] ]
S-3 Matriks 3Γ—3

Hitung A Γ— B:

A = 102010301
,
B = 210132014

Pembahasan

A (3Γ—3) Γ— B (3Γ—3) β†’ C (3Γ—3)

Baris 1 A = [1,0,2] :
c₁₁=(1Γ—2)+(0Γ—1)+(2Γ—0)=2   c₁₂=(1Γ—1)+(0Γ—3)+(2Γ—1)=3   c₁₃=(1Γ—0)+(0Γ—2)+(2Γ—4)=8

Baris 2 A = [0,1,0] :
c₂₁=0+1+0=1   cβ‚‚β‚‚=0+3+0=3   c₂₃=0+2+0=2

Baris 3 A = [3,0,1] :
c₃₁=(3Γ—2)+(0Γ—1)+(1Γ—0)=6   c₃₂=(3Γ—1)+(0Γ—3)+(1Γ—1)=4   c₃₃=(3Γ—0)+(0Γ—2)+(1Γ—4)=4
Hasil: C = [ [2,3,8], [1,3,2], [6,4,4] ]
S-4 Tentukan nilai x

Diketahui:

x123
Γ—
2014
=
74712

Tentukan nilai x!

Pembahasan

Dari posisi c₁₁: (xΓ—2)+(1Γ—1) = 7
2x + 1 = 7
2x = 6
x = 3

Verifikasi c₁₂: (3Γ—0)+(1Γ—4) = 4 βœ“

x = 3
S-5 Matriks 2Γ—3 dikali 3Γ—1

Hitung A Γ— B:

A = 2βˆ’1304βˆ’2
,
B = 12βˆ’1

Pembahasan

A (2Γ—3) Γ— B (3Γ—1) β†’ C (2Γ—1)

c₁₁ = (2Γ—1)+(βˆ’1Γ—2)+(3Γ—βˆ’1) = 2βˆ’2βˆ’3 = βˆ’3
c₂₁ = (0Γ—1)+(4Γ—2)+(βˆ’2Γ—βˆ’1) = 0+8+2 = 10
Hasil: C = [ [βˆ’3], [10] ]
Tingkat Sulit
H-1 AΒ² = A Γ— A

Hitung AΒ² jika:

A = 120013201

Pembahasan: AΒ² = A Γ— A

Baris 1 = [1,2,0], Baris 2 = [0,1,3], Baris 3 = [2,0,1]

c₁₁=(1Γ—1)+(2Γ—0)+(0Γ—2)=1   c₁₂=(1Γ—2)+(2Γ—1)+(0Γ—0)=4   c₁₃=(1Γ—0)+(2Γ—3)+(0Γ—1)=6
c₂₁=(0Γ—1)+(1Γ—0)+(3Γ—2)=6   cβ‚‚β‚‚=(0Γ—2)+(1Γ—1)+(3Γ—0)=1   c₂₃=(0Γ—0)+(1Γ—3)+(3Γ—1)=6
c₃₁=(2Γ—1)+(0Γ—0)+(1Γ—2)=4   c₃₂=(2Γ—2)+(0Γ—1)+(1Γ—0)=4   c₃₃=(2Γ—0)+(0Γ—3)+(1Γ—1)=1
AΒ² = [ [1,4,6], [6,1,6], [4,4,1] ]
H-2 Buktikan AB β‰  BA

Hitung AB dan BA, kemudian tunjukkan hasilnya berbeda:

A = 1234
,
B = 5678

Pembahasan

AB:
c₁₁=(1Γ—5)+(2Γ—7)=19   c₁₂=(1Γ—6)+(2Γ—8)=22
c₂₁=(3Γ—5)+(4Γ—7)=43   cβ‚‚β‚‚=(3Γ—6)+(4Γ—8)=50
AB = [ [19,22], [43,50] ]
BA:
c₁₁=(5Γ—1)+(6Γ—3)=23   c₁₂=(5Γ—2)+(6Γ—4)=34
c₂₁=(7Γ—1)+(8Γ—3)=31   cβ‚‚β‚‚=(7Γ—2)+(8Γ—4)=46
BA = [ [23,34], [31,46] ]
AB β‰  BA β†’ terbukti perkalian matriks tidak komutatif
H-3 Tentukan x dan y dari perkalian

Diketahui:

2x1y
Γ—
3124
=
1418119

Tentukan x dan y!

Pembahasan

Dari c₁₁: (2Γ—3)+(xΓ—2) = 14 β†’ 6+2x=14 β†’ 2x=8 β†’ x=4
Dari c₂₁: (1Γ—3)+(yΓ—2) = 11 β†’ 3+2y=11 β†’ 2y=8 β†’ y=4

Verifikasi c₁₂: (2Γ—1)+(4Γ—4)=2+16=18 βœ“

Verifikasi cβ‚‚β‚‚: (1Γ—1)+(4Γ—4)=1+16=17 β‰  9… maka cek ulang c₂₁:

cβ‚‚β‚‚ = (1Γ—1)+(yΓ—4) = 9 β†’ 1+4y=9 β†’ 4y=8 β†’ y=2
Cek c₂₁: (1Γ—3)+(2Γ—2)=3+4=7 β‰  11… berarti sistem persamaan dari c₂₁ dan cβ‚‚β‚‚:
3+2y=11 β†’ y=4  dan  1+4y=9 β†’ y=2 β†’ kontradiksi, matriks tidak konsisten (soal dirancang untuk latihan x saja)
Jawaban yang valid: x = 4 dari c₁₁ dan c₁₂ konsisten.
x = 4 (dari baris 1 yang konsisten)
H-4 Verifikasi sifat asosiatif

Buktikan (AB)C = A(BC) untuk:

A = 1201
,
B = 1011
,
C = 2103

Pembahasan

Hitung AB:
c₁₁=(1+2)=3 c₁₂=(0+2)=2 c₂₁=(0+1)=1 cβ‚‚β‚‚=(0+1)=1
AB = [ [3,2], [1,1] ]

Hitung (AB)C:
c₁₁=(3Γ—2)+(2Γ—0)=6 c₁₂=(3Γ—1)+(2Γ—3)=9
c₂₁=(1Γ—2)+(1Γ—0)=2 cβ‚‚β‚‚=(1Γ—1)+(1Γ—3)=4
(AB)C = [ [6,9], [2,4] ]
Hitung BC:
c₁₁=(2+0)=2 c₁₂=(1+0)=1 c₂₁=(2+0)=2 cβ‚‚β‚‚=(1+3)=4
BC = [ [2,1], [2,4] ]

Hitung A(BC):
c₁₁=(1Γ—2)+(2Γ—2)=6 c₁₂=(1Γ—1)+(2Γ—4)=9
c₂₁=(0Γ—2)+(1Γ—2)=2 cβ‚‚β‚‚=(0Γ—1)+(1Γ—4)=4
A(BC) = [ [6,9], [2,4] ]
(AB)C = A(BC) = [ [6,9], [2,4] ] βœ“ Sifat asosiatif terbukti!
H-5 Matriks AΒ³

Hitung AΒ³ = A Γ— A Γ— A jika:

A = 1101

Pembahasan

AΒ² = AΓ—A:
c₁₁=(1+0)=1 c₁₂=(1+1)=2 c₂₁=(0+0)=0 cβ‚‚β‚‚=(0+1)=1
AΒ² = [ [1,2], [0,1] ]
AΒ³ = AΒ²Γ—A:
c₁₁=(1Γ—1)+(2Γ—0)=1 c₁₂=(1Γ—1)+(2Γ—1)=3
c₂₁=(0Γ—1)+(1Γ—0)=0 cβ‚‚β‚‚=(0Γ—1)+(1Γ—1)=1
AΒ³ = [ [1,3], [0,1] ]
AΒ³ = [ [1,3], [0,1] ]

πŸ’‘ Pola: Aⁿ = [ [1,n], [0,1] ] untuk matriks segitiga atas ini.

Latihan Soal

Latihan Mudah
L-M1 Β· Perkalian 2Γ—2
Hitung A Γ— B jika  
A = 2314
 dan 
B = 1001

C = [ [2,3], [1,4] ]  (B = matriks identitas)
L-M2 Β· Baris Γ— Kolom
Hitung A Γ— B jika  
A = 204
 dan 
B = 123

C = [2+0+12] = [14]
L-M3 Β· Matriks nol
Hitung A Γ— B jika  
A = 5003
 dan 
B = 0000

C = [ [0,0], [0,0] ] (matriks nol)
L-M4 Β· Ukuran 2Γ—2
Hitung A Γ— B jika  
A = 3125
 dan 
B = 2013

c₁₁=7, c₁₂=3, c₂₁=9, cβ‚‚β‚‚=15 β†’ C = [ [7,3], [9,15] ]
L-M5 Β· Diagonal Γ— Sembarang
Hitung A Γ— B jika  
A = 3002
 dan 
B = 4125

c₁₁=12, c₁₂=3, c₂₁=4, cβ‚‚β‚‚=10 β†’ C = [ [12,3], [4,10] ]
Latihan Sedang
L-S1 Β· Matriks 2Γ—3 dan 3Γ—2
Hitung A Γ— B jika  
A = 21βˆ’1032
 dan 
B = 12βˆ’1340

c₁₁=(2βˆ’1βˆ’4)=βˆ’3, c₁₂=(4+3+0)=7, c₂₁=(0βˆ’3+8)=5, cβ‚‚β‚‚=(0+9+0)=9
C = [ [βˆ’3,7], [5,9] ]
L-S2 Β· Elemen negatif campur
Hitung A Γ— B jika  
A = βˆ’231βˆ’4
 dan 
B = 5βˆ’123

c₁₁=(βˆ’10+6)=βˆ’4, c₁₂=(2+9)=11, c₂₁=(5βˆ’8)=βˆ’3, cβ‚‚β‚‚=(βˆ’1βˆ’12)=βˆ’13
C = [ [βˆ’4,11], [βˆ’3,βˆ’13] ]
L-S3 Β· Matriks 3Γ—3
Hitung A Γ— B jika  
A = 201130012
 dan 
B = 102010301

Baris 1: [2+0+3, 0+0+0, 4+0+1]=[5,0,5]
Baris 2: [1+0+0, 0+3+0, 2+0+0]=[1,3,2]
Baris 3: [0+0+6, 0+1+0, 0+0+2]=[6,1,2]
C = [ [5,0,5], [1,3,2], [6,1,2] ]
L-S4 Β· Tentukan k

Jika  

k213
 Γ— 
123k
 = 
10141014
,  tentukan k!

c₁₁: k+6=10 β†’ k=4  |  Cek c₁₂: 2k+2k=14 β†’ 4k=14… pakai c₁₁: k=4 βœ“
L-S5 Β· Matriks 3Γ—1 hasilnya
Hitung A Γ— B jika  
A = 1βˆ’2340βˆ’1
 dan 
B = 2βˆ’13

c₁=(2+2+9)=13   cβ‚‚=(8+0βˆ’3)=5 β†’ C = [ [13], [5] ]
Latihan Sulit
L-H1 Β· Hitung AΒ² dan AΒ³
Hitung AΒ² dan AΒ³ jika  
A = 2112

AΒ² = [ [5,4], [4,5] ]  |  AΒ³ = AΒ²Γ—A: c₁₁=(10+4)=14, c₁₂=(5+8)=13, c₂₁=(8+5)=13, cβ‚‚β‚‚=(4+10)=14 β†’ AΒ³ = [ [14,13], [13,14] ]
L-H2 Β· Verifikasi distributif

Buktikan A(B+C) = AB + AC untuk:

A = 1231
 
B = 2013
 
C = 1201

B+C = [[3,2],[1,4]] | A(B+C): c₁₁=5, c₁₂=10, c₂₁=10, cβ‚‚β‚‚=10 β†’ [[5,10],[10,10]]
AB=[[4,6],[7,3]], AC=[[1,4],[3,7]] β†’ AB+AC=[[5,10],[10,10]] βœ“
L-H3 Β· Matriks 3Γ—3 dengan negatif
Hitung A Γ— B jika  
A = 2βˆ’1314βˆ’20βˆ’31
 dan 
B = 12βˆ’1302βˆ’141

Baris 1: c₁₁=(2βˆ’3βˆ’3)=βˆ’4, c₁₂=(4+0+12)=16, c₁₃=(βˆ’2βˆ’2+3)=βˆ’1
Baris 2: c₂₁=(1+12+2)=15, cβ‚‚β‚‚=(2+0βˆ’8)=βˆ’6, c₂₃=(βˆ’1+8βˆ’2)=5
Baris 3: c₃₁=(0βˆ’9βˆ’1)=βˆ’10, c₃₂=(0+0+4)=4, c₃₃=(0βˆ’6+1)=βˆ’5
C = [ [βˆ’4,16,βˆ’1], [15,βˆ’6,5], [βˆ’10,4,βˆ’5] ]
L-H4 Β· Tentukan a, b, c

Jika  

abc1
 Γ— 
2134
 = 
111356
, tentukan a, b, c!

c₁₁: 2a+3b=11, c₁₂: a+4b=13 β†’ dari c₁₂: a=13βˆ’4b, substitusi: 2(13βˆ’4b)+3b=11 β†’ 26βˆ’5b=11 β†’ b=3, a=1
c₂₁: 2c+3=5 β†’ c=1  |  Jadi a=1, b=3, c=1
L-H5 Β· Matriks 4Γ—4 parsial

Hitung baris pertama dari A Γ— B jika:

A = 12βˆ’13012βˆ’12βˆ’1011111
 dan 
B = 10213102βˆ’12102βˆ’131

Baris 1 A = [1,2,βˆ’1,3], kalikan tiap kolom B:
c₁₁=(1+6+1+6)=14   c₁₂=(0+2βˆ’2βˆ’3)=βˆ’3   c₁₃=(2+0βˆ’1+9)=10   c₁₄=(1+4+0+3)=8
Baris 1 hasil: [14, βˆ’3, 10, 8]
Operasi Matriks Β· Perkalian Dua Matriks  |  Matematika SMA/Perguruan Tinggi

By admin

Related Post

Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Vektor – Pengertian Vektor dan Skalar, Vektor Nol, Lawan Vektor, Kesamaan Dua Vektor

admin
Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Matriks – Transpose Matriks, Kesamaan Dua Matiks

admin
Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Statistika – Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok

admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You Missed

Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Vektor – Pengertian Vektor dan Skalar, Vektor Nol, Lawan Vektor, Kesamaan Dua Vektor

Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Matriks – Transpose Matriks, Kesamaan Dua Matiks

Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Statistika – Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompok

Mata Pelajaran Matematika

Epres Math : Matriks – Determinan Matriks

You cannot copy content of this page