Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sistem Persamaan dengan Dua Variabel:
Satu Linear dan Satu Kuadrat
(Bentuk Kuadrat Tak Dapat Difaktorkan)
A. Pendahuluan
Pada materi ini, kita akan mempelajari Sistem Persamaan dengan Dua Variabel yang terdiri dari satu persamaan linear dan satu persamaan kuadrat, di mana bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan.
Bentuk umum sistem ini adalah:
Persamaan Linear: ax + by = c
Persamaan Kuadrat: x² + y² = r² atau ax² + bx + c = y (dengan b² − 4ac < 0 atau diskriminan tidak menghasilkan bilangan bulat sederhana)
Karena bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan, maka penyelesaiannya menggunakan:
- Metode Substitusi dikombinasikan dengan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)
- Rumus ABC: x = −b ± √(b² − 4ac)2a
Langkah penyelesaian:
1. Nyatakan salah satu variabel dari persamaan linear dalam variabel lain.
2. Substitusikan ke persamaan kuadrat.
3. Selesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk menggunakan rumus ABC karena tidak dapat difaktorkan.
4. Substitusikan kembali nilai yang diperoleh untuk mencari variabel lainnya.
B. Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Amatilah sistem persamaan berikut:
x + y = 5 … (persamaan linear)
x² + y² = 13 … (persamaan kuadrat)
Jika kita substitusikan y = 5 − x ke persamaan kuadrat:
x² + (5 − x)² = 13
x² + 25 − 10x + x² = 13
2x² − 10x + 12 = 0
x² − 5x + 6 = 0 → Ini dapat difaktorkan menjadi (x−2)(x−3) = 0
Sekarang amati sistem persamaan berikut:
x + y = 4 … (persamaan linear)
x² + y² = 10 … (persamaan kuadrat)
Substitusi y = 4 − x:
x² + (4 − x)² = 10
x² + 16 − 8x + x² = 10
2x² − 8x + 6 = 0
x² − 4x + 3 = 0 → Ini dapat difaktorkan menjadi (x−1)(x−3) = 0
Sekarang amati yang ini:
x + y = 3 … (persamaan linear)
x² + y² = 7 … (persamaan kuadrat)
Substitusi y = 3 − x:
x² + (3 − x)² = 7
x² + 9 − 6x + x² = 7
2x² − 6x + 2 = 0
x² − 3x + 1 = 0 → Ini TIDAK DAPAT difaktorkan (D = 9 − 4 = 5, bukan kuadrat sempurna)
Perhatikan! Persamaan kuadrat x² − 3x + 1 = 0 memiliki diskriminan D = 5 (bukan kuadrat sempurna), sehingga harus diselesaikan dengan Rumus ABC.
2. Menanya
Setelah mengamati, muncul pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara mengetahui bahwa suatu persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan?
- Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan SPLDV jika bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan?
- Apakah sistem persamaan yang kuadratnya tak dapat difaktorkan selalu memiliki penyelesaian?
- Bagaimana menyajikan penyelesaian dalam bentuk akar (bilangan irasional)?
Jawaban Kunci:
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 tidak dapat difaktorkan jika:
- Diskriminan D = b² − 4ac bukan merupakan kuadrat sempurna (tetapi D ≥ 0 agar ada penyelesaian real)
- Contoh: D = 5, D = 7, D = 2, D = 3, dll.
- Jika D < 0, maka tidak ada penyelesaian real (himpunan penyelesaian kosong)
3. Menalar
Mari kita analisis prosedur penyelesaian secara sistematis:
PROSEDUR PENYELESAIAN:
Langkah 1: Dari persamaan linear ax + by = c, nyatakan salah satu variabel.
Misalnya: y = c − axb
Langkah 2: Substitusikan ke persamaan kuadrat.
Langkah 3: Sederhanakan menjadi bentuk ax² + bx + c = 0.
Langkah 4: Hitung diskriminan D = b² − 4ac.
Langkah 5: Jika D ≥ 0 dan bukan kuadrat sempurna, gunakan rumus ABC:
x = −b ± √D2a
Langkah 6: Substitusikan kembali untuk mencari variabel kedua.
Catatan Penting tentang Diskriminan:
| Nilai D | Sifat Akar | Metode | Jumlah Penyelesaian |
|---|---|---|---|
| D > 0, kuadrat sempurna | Real, rasional, berbeda | Faktorisasi | 2 titik potong |
| D > 0, bukan kuadrat sempurna | Real, irasional, berbeda | Rumus ABC | 2 titik potong |
| D = 0 | Real, sama (kembar) | Rumus ABC / Faktorisasi | 1 titik singgung |
| D < 0 | Tidak real | Tidak ada penyelesaian real | Tidak berpotongan |
4. Mencoba
Selesaikan sistem persamaan berikut langkah demi langkah:
x + y = 3
x² + y² = 7
Penyelesaian Langkah demi Langkah:
Langkah 1: Dari persamaan linear: y = 3 − x
Langkah 2: Substitusi ke persamaan kuadrat:
x² + (3 − x)² = 7
x² + 9 − 6x + x² = 7
2x² − 6x + 9 − 7 = 0
2x² − 6x + 2 = 0
x² − 3x + 1 = 0 (bagi semua dengan 2)
Langkah 3: Hitung diskriminan: D = (−3)² − 4(1)(1) = 9 − 4 = 5
Karena D = 5 (bukan kuadrat sempurna), gunakan rumus ABC.
Langkah 4: Rumus ABC:
x = −(−3) ± √52(1) = 3 ± √52
x₁ = 3 + √52 ≈ 2,618
x₂ = 3 − √52 ≈ 0,382
Langkah 5: Cari nilai y:
y₁ = 3 − x₁ = 3 − 3 + √52 = 3 − √52 ≈ 0,382
y₂ = 3 − x₂ = 3 − 3 − √52 = 3 + √52 ≈ 2,618
HP = {(3 + √52 , 3 − √52) , (3 − √52 , 3 + √52)}
5. Mengkomunikasikan
Berdasarkan kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
KESIMPULAN:
- Sistem persamaan linear dan kuadrat diselesaikan dengan metode substitusi.
- Jika setelah substitusi diperoleh persamaan kuadrat dengan diskriminan yang bukan kuadrat sempurna, maka bentuk kuadrat tersebut tidak dapat difaktorkan.
- Penyelesaiannya menggunakan Rumus ABC (rumus kuadrat).
- Penyelesaian biasanya berupa bilangan irasional (mengandung bentuk akar).
- Selalu periksa apakah D ≥ 0 sebelum menggunakan rumus ABC. Jika D < 0, maka sistem tidak memiliki penyelesaian real.
C. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Selesaikan sistem persamaan:
x + y = 5
x² + y² = 15
Pembahasan:
Dari persamaan linear: y = 5 − x
Substitusi: x² + (5 − x)² = 15
x² + 25 − 10x + x² = 15
2x² − 10x + 10 = 0
x² − 5x + 5 = 0
D = 25 − 20 = 5 (bukan kuadrat sempurna → tidak dapat difaktorkan)
x = 5 ± √52
x₁ = 5 + √52, maka y₁ = 5 − 5 + √52 = 5 − √52
x₂ = 5 − √52, maka y₂ = 5 + √52
HP = {(5+√52, 5−√52), (5−√52, 5+√52)}
Contoh Soal 2
Selesaikan sistem persamaan:
x − y = 1
x² + y² = 9
Pembahasan:
Dari persamaan linear: x = y + 1
Substitusi: (y + 1)² + y² = 9
y² + 2y + 1 + y² = 9
2y² + 2y − 8 = 0
y² + y − 4 = 0
D = 1 + 16 = 17 (bukan kuadrat sempurna)
y = −1 ± √172
y₁ = −1 + √172, maka x₁ = −1 + √172 + 1 = 1 + √172
y₂ = −1 − √172, maka x₂ = 1 − √172
HP = {(1+√172, −1+√172), (1−√172, −1−√172)}
Contoh Soal 3
Selesaikan sistem persamaan:
x + y = 4
x² + y² = 11
Pembahasan:
y = 4 − x
x² + (4−x)² = 11
x² + 16 − 8x + x² = 11
2x² − 8x + 5 = 0
D = 64 − 40 = 24 (bukan kuadrat sempurna, √24 = 2√6)
x = 8 ± 2√64 = 4 ± √62
x₁ = 4 + √62, y₁ = 4 − √62
x₂ = 4 − √62, y₂ = 4 + √62
HP = {(4+√62, 4−√62), (4−√62, 4+√62)}
Contoh Soal 4
Selesaikan sistem persamaan:
2x + y = 6
x² + y² = 10
Pembahasan:
y = 6 − 2x
x² + (6−2x)² = 10
x² + 36 − 24x + 4x² = 10
5x² − 24x + 26 = 0
D = 576 − 520 = 56 (bukan kuadrat sempurna, √56 = 2√14)
x = 24 ± 2√1410 = 12 ± √145
x₁ = 12 + √145, y₁ = 6 − 2·12 + √145 = 6 − 2√145
x₂ = 12 − √145, y₂ = 6 + 2√145
HP = {(12+√145, 6−2√145), (12−√145, 6+2√145)}
Contoh Soal 5
Selesaikan sistem persamaan:
x + 2y = 7
x² + y² = 13
Pembahasan:
x = 7 − 2y
(7−2y)² + y² = 13
49 − 28y + 4y² + y² = 13
5y² − 28y + 36 = 0
D = 784 − 720 = 64 = 8² (kuadrat sempurna!)
Ternyata ini BISA difaktorkan. y = 28 ± 810
y₁ = 3610 = 185, y₂ = 2010 = 2
Catatan: Contoh ini menunjukkan pentingnya menghitung D terlebih dahulu. Meski koefisiennya rumit, D = 64 adalah kuadrat sempurna, sehingga sebenarnya dapat difaktorkan. Namun karena tidak mudah terlihat faktornya, rumus ABC tetap bisa digunakan.
Untuk y₂ = 2: x₂ = 7 − 4 = 3
Untuk y₁ = 18/5: x₁ = 7 − 36/5 = −1/5
HP = {(3, 2), (−1/5, 18/5)}
📙 Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Selesaikan sistem persamaan:
x − 2y = 1
x² + 3y² = 11
Pembahasan:
x = 2y + 1
(2y+1)² + 3y² = 11
4y² + 4y + 1 + 3y² = 11
7y² + 4y − 10 = 0
D = 16 + 280 = 296 (bukan kuadrat sempurna, √296 = 2√74)
y = −4 ± 2√7414 = −2 ± √747
y₁ = −2 + √747 ≈ 0,945
x₁ = 2·−2 + √747 + 1 = −4 + 2√74 + 77 = 3 + 2√747 ≈ 2,890
y₂ = −2 − √747 ≈ −1,517
x₂ = 3 − 2√747 ≈ −2,034
HP = {(3+2√747, −2+√747), (3−2√747, −2−√747)}
Contoh Soal 7
Selesaikan sistem persamaan:
x + y = 6
xy = 7
Pembahasan:
y = 6 − x
Substitusi ke xy = 7:
x(6 − x) = 7
6x − x² = 7
x² − 6x + 7 = 0
D = 36 − 28 = 8 (bukan kuadrat sempurna, √8 = 2√2)
x = 6 ± 2√22 = 3 ± √2
x₁ = 3 + √2, y₁ = 6 − (3+√2) = 3 − √2
x₂ = 3 − √2, y₂ = 3 + √2
HP = {(3+√2, 3−√2), (3−√2, 3+√2)}
Contoh Soal 8
Selesaikan sistem persamaan:
y = 2x − 1
x² + xy = 5
Pembahasan:
Substitusi y = 2x − 1 ke persamaan kedua:
x² + x(2x − 1) = 5
x² + 2x² − x = 5
3x² − x − 5 = 0
D = 1 + 60 = 61 (bukan kuadrat sempurna)
x = 1 ± √616
x₁ = 1 + √616 ≈ 1,468
y₁ = 2·1 + √616 − 1 = 2 + 2√61 − 66 = −4 + 2√616 = −2 + √613 ≈ 1,937
x₂ = 1 − √616 ≈ −1,135
y₂ = −2 − √613 ≈ −3,270
HP = {(1+√616, −2+√613), (1−√616, −2−√613)}
Contoh Soal 9
Selesaikan sistem persamaan:
3x − y = 2
x² + 2y² = 6
Pembahasan:
y = 3x − 2
x² + 2(3x−2)² = 6
x² + 2(9x² − 12x + 4) = 6
x² + 18x² − 24x + 8 = 6
19x² − 24x + 2 = 0
D = 576 − 152 = 424 (bukan kuadrat sempurna, √424 = 2√106)
x = 24 ± 2√10638 = 12 ± √10619
x₁ = 12 + √10619 ≈ 1,173
y₁ = 3x₁ − 2 = 36 + 3√106 − 3819 = −2 + 3√10619 ≈ 1,520
x₂ = 12 − √10619 ≈ 0,090
y₂ = −2 − 3√10619 ≈ −1,730
HP = {(12+√10619, −2+3√10619), (12−√10619, −2−3√10619)}
Contoh Soal 10
Selesaikan sistem persamaan:
x − y = 2
x² − xy + y² = 7
Pembahasan:
x = y + 2
(y+2)² − (y+2)y + y² = 7
y² + 4y + 4 − y² − 2y + y² = 7
y² + 2y + 4 = 7
y² + 2y − 3 = 0
D = 4 + 12 = 16 = 4² (kuadrat sempurna!)
Ternyata ini dapat difaktorkan: (y+3)(y−1) = 0
y₁ = 1, x₁ = 3
y₂ = −3, x₂ = −1
Catatan: Meski persamaan kuadrat awalnya terlihat kompleks (x² − xy + y²), setelah substitusi ternyata hasilnya dapat difaktorkan. Ini menunjukkan pentingnya selalu memeriksa diskriminan.
HP = {(3, 1), (−1, −3)}
📕 Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Selesaikan sistem persamaan:
2x + 3y = 5
x² + 2xy − y² = 3
Pembahasan:
Dari persamaan linear: x = 5 − 3y2
Substitusi:
(5−3y2)² + 2(5−3y2)y − y² = 3
(5−3y)²4 + 2y(5−3y)2 − y² = 3
Kalikan semua dengan 4:
(5−3y)² + 4y(5−3y) − 4y² = 12
25 − 30y + 9y² + 20y − 12y² − 4y² = 12
−7y² − 10y + 25 = 12
−7y² − 10y + 13 = 0
7y² + 10y − 13 = 0
D = 100 + 364 = 464 (bukan kuadrat sempurna, √464 = 4√29)
y = −10 ± 4√2914 = −5 ± 2√297
y₁ = −5 + 2√297 ≈ 0,824
x₁ = 5 − 3·−5+2√2972 = 35 − 3(−5+2√29)14 = 50 − 6√2914 = 25 − 3√297 ≈ 1,264
HP = {(25−3√297, −5+2√297), (25+3√297, −5−2√297)}
Contoh Soal 12
Selesaikan sistem persamaan:
x + y = 5
x² + xy + y² = 19
Pembahasan:
y = 5 − x
x² + x(5−x) + (5−x)² = 19
x² + 5x − x² + 25 − 10x + x² = 19
x² − 5x + 25 = 19
x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1 (kuadrat sempurna!)
Dapat difaktorkan: (x−2)(x−3) = 0
x₁ = 2, y₁ = 3 dan x₂ = 3, y₂ = 2
Catatan: Persamaan x² + xy + y² terlihat rumit tetapi setelah substitusi menghasilkan bentuk sederhana yang dapat difaktorkan. Selalu sederhanakan dulu sebelum memutuskan metode.
HP = {(2, 3), (3, 2)}
Contoh Soal 13
Selesaikan sistem persamaan:
x − 3y = 1
2x² + xy − y² = 10
Pembahasan:
x = 3y + 1
2(3y+1)² + (3y+1)y − y² = 10
2(9y² + 6y + 1) + 3y² + y − y² = 10
18y² + 12y + 2 + 3y² + y − y² = 10
20y² + 13y + 2 = 10
20y² + 13y − 8 = 0
D = 169 + 640 = 809 (bukan kuadrat sempurna)
y = −13 ± √80940
y₁ = −13 + √80940 ≈ 0,386
x₁ = 3y₁ + 1 = 3(−13+√809) + 4040 = 1 + 3√80940 ≈ 2,158
y₂ = −13 − √80940 ≈ −1,036
x₂ = 1 − 3√80940 ≈ −2,108
HP = {(1+3√80940, −13+√80940), (1−3√80940, −13−√80940)}
Contoh Soal 14
Selesaikan sistem persamaan:
y = x + 1
x² + y² + xy = 13
Pembahasan:
Substitusi y = x + 1:
x² + (x+1)² + x(x+1) = 13
x² + x² + 2x + 1 + x² + x = 13
3x² + 3x + 1 = 13
3x² + 3x − 12 = 0
x² + x − 4 = 0
D = 1 + 16 = 17 (bukan kuadrat sempurna)
x = −1 ± √172
x₁ = −1 + √172 ≈ 1,561, y₁ = 1 + √172 ≈ 2,561
x₂ = −1 − √172 ≈ −2,561, y₂ = 1 − √172 ≈ −1,561
HP = {(−1+√172, 1+√172), (−1−√172, 1−√172)}
Contoh Soal 15
Selesaikan sistem persamaan:
2x − y = 3
x² − 3xy + 2y² = 1
Pembahasan:
y = 2x − 3
x² − 3x(2x−3) + 2(2x−3)² = 1
x² − 6x² + 9x + 2(4x² − 12x + 9) = 1
x² − 6x² + 9x + 8x² − 24x + 18 = 1
3x² − 15x + 18 = 1
3x² − 15x + 17 = 0
D = 225 − 204 = 21 (bukan kuadrat sempurna)
x = 15 ± √216
x₁ = 15 + √216 ≈ 3,264
y₁ = 2·15+√216 − 3 = 30+2√21−186 = 12+2√216 = 6+√213 ≈ 3,528
x₂ = 15 − √216 ≈ 1,736
y₂ = 6 − √213 ≈ 0,472
HP = {(15+√216, 6+√213), (15−√216, 6−√213)}
D. Latihan Soal
Selesaikan sistem persamaan berikut. Gunakan rumus ABC jika bentuk kuadratnya tidak dapat difaktorkan.
📗 Tingkat Mudah
- x + y = 7 dan x² + y² = 29
- x − y = 3 dan x² + y² = 17
- x + y = 6 dan x² + y² = 22
- 2x + y = 5 dan x² + y² = 7
- x + y = 8 dan xy = 14
📙 Tingkat Sedang
- x − 2y = 3 dan x² + 2y² = 15
- 3x + y = 7 dan x² + y² = 11
- x + 2y = 4 dan x² − xy + y² = 7
- y = 3x − 2 dan x² + xy = 4
- x − y = 1 dan 2x² + xy + y² = 11
📕 Tingkat Sulit
- 2x + 3y = 7 dan x² + 2xy − y² = 5
- x − 2y = −1 dan 3x² + xy + 2y² = 20
- 3x − y = 4 dan x² + 3y² − xy = 8
- x + y = 4 dan x² + 2xy + 3y² = 28
- 2x − 3y = 1 dan x² − xy + 2y² = 7
E. Ringkasan
- Sistem persamaan linear dan kuadrat diselesaikan dengan metode substitusi.
- Jika diskriminan (D = b² − 4ac) bukan kuadrat sempurna tetapi D ≥ 0, maka persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan dan harus diselesaikan dengan rumus ABC.
- Rumus ABC: x = −b ± √(b² − 4ac)2a
- Penyelesaian berupa bilangan irasional (bentuk akar).
- Jika D < 0, sistem tidak memiliki penyelesaian real.
- Selalu sederhanakan persamaan kuadrat terlebih dahulu (bagi dengan FPB jika ada) sebelum menghitung diskriminan.
- Selalu periksa kembali penyelesaian dengan substitusi ke kedua persamaan asal.