📐 Perkalian Titik (Dot Product)
Matematika SMK | Materi Lengkap dengan Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Dot Product
👁️
Mengamati
Amati dua vektor a⃗ dan b⃗ yang membentuk sudut θ. Perhatikan bagaimana dua besaran vektor bisa menghasilkan bilangan skalar.
❓
Menanya
Mengapa hasil perkalian titik berupa bilangan, bukan vektor? Apa beda dot product dengan perkalian biasa?
🧠
Menalar
Pikirkan: jika dua vektor searah, bagaimana nilai dot product-nya? Bagaimana jika tegak lurus?
✏️
Mencoba
Hitung a⃗ · b⃗ untuk beberapa pasang vektor dan amati hasilnya.
🗣️
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman apa yang kamu temukan tentang hubungan dot product dan arah dua vektor.
📖 Definisi Dot Product
Dot product (perkalian titik / perkalian skalar) adalah operasi perkalian antara dua vektor yang menghasilkan bilangan skalar (bukan vektor).
Dot product vektor a⃗ dan b⃗ ditulis: a⃗ · b⃗ (dibaca: “a titik b”)
Secara Geometri:
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos θ
di mana θ adalah sudut antara vektor a⃗ dan b⃗, dengan 0° ≤ θ ≤ 180°
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos θ
di mana θ adalah sudut antara vektor a⃗ dan b⃗, dengan 0° ≤ θ ≤ 180°
📋 Sifat-Sifat Dot Product
| Sifat | Rumus | Penjelasan |
|---|---|---|
| Komutatif | a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗ | Urutan tidak mempengaruhi hasil |
| Distributif | a⃗ · (b⃗ + c⃗) = a⃗ · b⃗ + a⃗ · c⃗ | Berlaku terhadap penjumlahan vektor |
| Asosiatif skalar | (k·a⃗) · b⃗ = k(a⃗ · b⃗) | Skalar k bisa dipindah keluar |
| Dot product sendiri | a⃗ · a⃗ = |a⃗|² | Menghasilkan kuadrat panjang vektor |
| Tegak lurus | a⃗ · b⃗ = 0 | Jika a⃗ ⊥ b⃗ (sudut 90°) |
| Searah | a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| | Jika a⃗ dan b⃗ searah (sudut 0°) |
| Berlawanan | a⃗ · b⃗ = −|a⃗||b⃗| | Jika a⃗ dan b⃗ berlawanan arah (sudut 180°) |
💡 Ingat: Hasil dot product adalah bilangan skalar (bisa positif, nol, atau negatif), bukan vektor!
🟢 Contoh Soal Mudah — Pengertian Dot Product (10 Soal)
Soal 1. Diketahui |a⃗| = 5, |b⃗| = 4, dan sudut antara a⃗ dan b⃗ adalah 60°. Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
Rumus: a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos θ
= 5 × 4 × cos 60°
= 20 × ½
✅ a⃗ · b⃗ = 10
Soal 2. Diketahui |a⃗| = 6, |b⃗| = 3, dan sudut antara keduanya 90°. Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos 90°
= 6 × 3 × 0
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (karena cos 90° = 0, dua vektor tegak lurus)
Soal 3. Diketahui |a⃗| = 8 dan sudut antara a⃗ dengan dirinya sendiri adalah 0°. Hitung a⃗ · a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · a⃗ = |a⃗| × |a⃗| × cos 0°
= 8 × 8 × 1
✅ a⃗ · a⃗ = 64 = |a⃗|²
Soal 4. Dua vektor a⃗ dan b⃗ searah (θ = 0°). Jika |a⃗| = 7 dan |b⃗| = 5, hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos 0°
= 7 × 5 × 1
✅ a⃗ · b⃗ = 35
Soal 5. Dua vektor berlawanan arah (θ = 180°). Jika |a⃗| = 4 dan |b⃗| = 6, hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos 180°
= 4 × 6 × (−1)
✅ a⃗ · b⃗ = −24
Soal 6. Diketahui |a⃗| = 10, |b⃗| = 2, θ = 30°. Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = 10 × 2 × cos 30°
= 20 × (½√3)
✅ a⃗ · b⃗ = 10√3 ≈ 17,32
Soal 7. Diketahui |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, θ = 45°. Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = 3 × 4 × cos 45°
= 12 × (½√2)
✅ a⃗ · b⃗ = 6√2 ≈ 8,49
Soal 8. Apakah a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗? Tunjukkan dengan |a⃗| = 5, |b⃗| = 3, θ = 60°.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = 5 × 3 × cos 60° = 15 × ½ = 7,5
b⃗ · a⃗ = 3 × 5 × cos 60° = 15 × ½ = 7,5
✅ a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗ = 7,5 → Sifat komutatif terbukti!
Soal 9. Diketahui a⃗ · b⃗ = 0. Apa yang dapat disimpulkan tentang hubungan kedua vektor?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos θ = 0
Karena |a⃗| ≠ 0 dan |b⃗| ≠ 0, maka cos θ = 0
cos θ = 0 ⟹ θ = 90°
✅ Kedua vektor saling tegak lurus (perpendicular/ortogonal)
Soal 10. Diketahui |a⃗| = √5. Hitung a⃗ · a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
Gunakan sifat: a⃗ · a⃗ = |a⃗|²
= (√5)² = 5
✅ a⃗ · a⃗ = 5
🟠 Contoh Soal Sedang — Pengertian Dot Product (5 Soal)
Soal 11. Diketahui a⃗ · b⃗ = 20, |a⃗| = 5, |b⃗| = 8. Tentukan cos θ dan sudut θ.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = |a⃗| × |b⃗| × cos θ
20 = 5 × 8 × cos θ
20 = 40 cos θ
cos θ = 20/40 = ½
✅ θ = 60°
Soal 12. Diketahui |a⃗| = 6, |b⃗| = 4, dan a⃗ · b⃗ = −12. Tentukan sudut antara a⃗ dan b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
cos θ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| × |b⃗|)
cos θ = −12 / (6 × 4) = −12/24 = −½
✅ θ = 120°
Soal 13. Diketahui a⃗ · b⃗ = 15√3, |a⃗| = 6, θ = 30°. Tentukan |b⃗|.
💡 Lihat Pembahasan
15√3 = 6 × |b⃗| × cos 30°
15√3 = 6 × |b⃗| × (½√3)
15√3 = 3√3 × |b⃗|
|b⃗| = 15√3 / 3√3 = 5
✅ |b⃗| = 5
Soal 14. Tiga vektor: a⃗ · a⃗ = 9, b⃗ · b⃗ = 16, a⃗ · b⃗ = 12. Hitung (a⃗ + b⃗) · (a⃗ + b⃗).
💡 Lihat Pembahasan
(a⃗ + b⃗) · (a⃗ + b⃗) = a⃗·a⃗ + 2(a⃗·b⃗) + b⃗·b⃗
= 9 + 2(12) + 16
= 9 + 24 + 16
✅ = 49, sehingga |a⃗ + b⃗| = 7
Soal 15. Diketahui |a⃗| = 5, |b⃗| = 5, dan sudut antara keduanya 60°. Hitung (2a⃗) · (3b⃗).
💡 Lihat Pembahasan
(2a⃗) · (3b⃗) = 2 × 3 × (a⃗ · b⃗)
a⃗ · b⃗ = 5 × 5 × cos 60° = 25 × ½ = 12,5
(2a⃗) · (3b⃗) = 6 × 12,5
✅ = 75
🟣 Contoh Soal Sulit — Pengertian Dot Product (5 Soal)
Soal 16. Diketahui |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, dan a⃗ · b⃗ = 6. Hitung |a⃗ − b⃗|.
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗ − b⃗|² = (a⃗ − b⃗) · (a⃗ − b⃗)
= a⃗·a⃗ − 2(a⃗·b⃗) + b⃗·b⃗
= 3² − 2(6) + 4²
= 9 − 12 + 16 = 13
✅ |a⃗ − b⃗| = √13
Soal 17. Jika a⃗ · b⃗ = |a⃗|·|b⃗|·cos θ dan diketahui a⃗ · b⃗ = 12, a⃗ · c⃗ = 8. Berapa nilai a⃗ · (3b⃗ − 2c⃗)?
💡 Lihat Pembahasan
Gunakan sifat distributif:
a⃗ · (3b⃗ − 2c⃗) = 3(a⃗·b⃗) − 2(a⃗·c⃗)
= 3(12) − 2(8)
= 36 − 16
✅ = 20
Soal 18. Diketahui |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|². Apa yang dapat disimpulkan?
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗ + b⃗|² = (a⃗ + b⃗)·(a⃗ + b⃗) = |a⃗|² + 2(a⃗·b⃗) + |b⃗|²
Agar sama dengan |a⃗|² + |b⃗|², maka:
2(a⃗·b⃗) = 0 ⟹ a⃗·b⃗ = 0
✅ Kedua vektor a⃗ dan b⃗ saling tegak lurus. Ini adalah Teorema Pythagoras untuk Vektor!
Soal 19. Buktikan: jika a⃗ · b⃗ = a⃗ · c⃗ dan a⃗ ≠ 0⃗, apakah berarti b⃗ = c⃗?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = a⃗·c⃗
a⃗·b⃗ − a⃗·c⃗ = 0
a⃗·(b⃗ − c⃗) = 0
Ini berarti a⃗ ⊥ (b⃗ − c⃗), BUKAN berarti b⃗ − c⃗ = 0⃗
✅ Tidak selalu! b⃗ = c⃗ hanya jika (b⃗ − c⃗) = 0⃗. Bisa saja b⃗ ≠ c⃗ namun (b⃗ − c⃗) ⊥ a⃗.
Soal 20. Diketahui |a⃗| = 5, |b⃗| = 13, |a⃗ − b⃗| = 12. Tentukan a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗ − b⃗|² = |a⃗|² − 2(a⃗·b⃗) + |b⃗|²
12² = 5² − 2(a⃗·b⃗) + 13²
144 = 25 − 2(a⃗·b⃗) + 169
144 = 194 − 2(a⃗·b⃗)
2(a⃗·b⃗) = 194 − 144 = 50
✅ a⃗ · b⃗ = 25
📝 Latihan Mudah — Pengertian Dot Product (10 Soal)
1. Diketahui |a⃗| = 4, |b⃗| = 5, θ = 60°. Hitung a⃗ · b⃗.
2. Diketahui |a⃗| = 7, |b⃗| = 2, θ = 90°. Hitung a⃗ · b⃗.
3. Diketahui |a⃗| = 6, |b⃗| = 6, θ = 0°. Hitung a⃗ · b⃗.
4. Diketahui |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, θ = 180°. Hitung a⃗ · b⃗.
5. Diketahui |a⃗| = √3. Hitung a⃗ · a⃗.
6. Diketahui |a⃗| = 10, |b⃗| = 5, θ = 30°. Hitung a⃗ · b⃗.
7. Dua vektor memiliki dot product = 0. Apa kesimpulannya?
8. Diketahui |a⃗| = 8, |b⃗| = 3, θ = 45°. Hitung a⃗ · b⃗.
9. Apakah dot product menghasilkan vektor atau skalar? Jelaskan!
10. Diketahui |a⃗| = 2, |b⃗| = 9, θ = 60°. Hitung a⃗ · b⃗.
📝 Latihan Sedang — Pengertian Dot Product (5 Soal)
11. Diketahui a⃗ · b⃗ = 15, |a⃗| = 5. Jika θ = 60°, tentukan |b⃗|.
12. Diketahui |a⃗| = 4, |b⃗| = 5, a⃗ · b⃗ = −10. Tentukan sudut θ antara a⃗ dan b⃗.
13. Diketahui a⃗·a⃗ = 25, b⃗·b⃗ = 9, a⃗·b⃗ = −15. Hitung (a⃗ + b⃗)·(a⃗ + b⃗).
14. Diketahui a⃗·b⃗ = 8 dan a⃗·c⃗ = 5. Hitung a⃗·(2b⃗ + 3c⃗).
15. Diketahui |a⃗| = 5, |b⃗| = 5, θ = 90°. Hitung |a⃗ + b⃗|.
📝 Latihan Sulit — Pengertian Dot Product (5 Soal)
16. Diketahui |a⃗| = 6, |b⃗| = 8, a⃗·b⃗ = 24. Hitung |a⃗ − b⃗|.
17. Diketahui |a⃗ + b⃗| = 10, |a⃗| = 6, |b⃗| = 8. Hitung a⃗ · b⃗.
18. Jika a⃗ · b⃗ = a⃗ · c⃗, a⃗ ≠ 0⃗, apakah b⃗ = c⃗? Berikan penjelasan dan contoh.
19. Diketahui a⃗·b⃗ = 10, a⃗·c⃗ = −6. Hitung (3a⃗)·(b⃗ − 2c⃗).
20. Buktikan bahwa |a⃗ + b⃗|² + |a⃗ − b⃗|² = 2(|a⃗|² + |b⃗|²).
2. Rumus Dot Product
👁️
Mengamati
Amati vektor a⃗ = (a₁, a₂) dan b⃗ = (b₁, b₂). Bagaimana komponen-komponen ini digunakan dalam perhitungan?
❓
Menanya
Mengapa rumus komponen lebih mudah digunakan dibanding rumus sudut? Kapan kita memerlukan masing-masing rumus?
🧠
Menalar
Dua rumus dot product — geometri dan komponen — selalu menghasilkan nilai yang sama. Mengapa?
✏️
Mencoba
Hitung dot product vektor a⃗ = (3,4) dan b⃗ = (1,2) menggunakan rumus komponen.
🗣️
Mengkomunikasikan
Presentasikan perbedaan antara rumus geometri dan rumus komponen beserta kegunaannya.
📐 Rumus Komponen (2 Dimensi)
Jika a⃗ = (a₁, a₂) dan b⃗ = (b₁, b₂), maka:
a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂
📐 Rumus Komponen (3 Dimensi)
Jika a⃗ = (a₁, a₂, a₃) dan b⃗ = (b₁, b₂, b₃), maka:
a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
📊 Panduan Penggunaan Rumus
| Kondisi | Rumus yang Digunakan | Keterangan |
|---|---|---|
| Diketahui komponen vektor | a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ (atau + a₃b₃) | Langsung kalikan komponen |
| Diketahui besar dan sudut | a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ | Gunakan nilai cos θ |
| Mencari sudut dari komponen | cos θ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|) | Hitung dot dulu, lalu bagi besar |
| Vektor 3D | a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | Tambahkan komponen ketiga |
🟢 Contoh Soal Mudah — Rumus Dot Product (10 Soal)
Soal 1. Diketahui a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (1, 2). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂
= (3)(1) + (4)(2) = 3 + 8
✅ a⃗ · b⃗ = 11
Soal 2. Diketahui a⃗ = (2, 5) dan b⃗ = (4, −1). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (2)(4) + (5)(−1) = 8 − 5
✅ a⃗ · b⃗ = 3
Soal 3. Diketahui a⃗ = (6, 0) dan b⃗ = (0, 3). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (6)(0) + (0)(3) = 0 + 0
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (vektor pada sumbu x dan y selalu tegak lurus)
Soal 4. Diketahui a⃗ = (1, 2, 3) dan b⃗ = (4, 5, 6). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (1)(4) + (2)(5) + (3)(6)
= 4 + 10 + 18
✅ a⃗ · b⃗ = 32
Soal 5. Hitung a⃗ · a⃗ jika a⃗ = (3, 4). Bandingkan dengan |a⃗|².
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · a⃗ = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
|a⃗| = √(9+16) = √25 = 5, sehingga |a⃗|² = 25
✅ a⃗ · a⃗ = |a⃗|² = 25 ✔
Soal 6. Diketahui a⃗ = (−3, 4) dan b⃗ = (4, 3). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (−3)(4) + (4)(3) = −12 + 12
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (kedua vektor tegak lurus!)
Soal 7. Diketahui a⃗ = (2, −3, 1) dan b⃗ = (1, 2, 4). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (2)(1) + (−3)(2) + (1)(4)
= 2 − 6 + 4
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (tegak lurus!)
Soal 8. Diketahui a⃗ = (5, 12). Hitung |a⃗| dan a⃗ · a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗| = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13
a⃗ · a⃗ = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²
✅ |a⃗| = 13, a⃗ · a⃗ = 169
Soal 9. Diketahui a⃗ = (7, −1) dan b⃗ = (1, 7). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (7)(1) + (−1)(7) = 7 − 7
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (vektor (a,−b) dan (b,a) selalu tegak lurus!)
Soal 10. Diketahui a⃗ = (0, 0, 5) dan b⃗ = (2, 3, 0). Hitung a⃗ · b⃗.
💡 Lihat Pembahasan
= (0)(2) + (0)(3) + (5)(0) = 0
✅ a⃗ · b⃗ = 0 (vektor sumbu z ⊥ vektor di bidang xy)
🟠 Contoh Soal Sedang — Rumus Dot Product (5 Soal)
Soal 11. Diketahui a⃗ = (2, k) dan b⃗ = (3, −1). Jika a⃗ · b⃗ = 10, tentukan nilai k.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = (2)(3) + (k)(−1) = 6 − k
6 − k = 10
−k = 4
✅ k = −4
Soal 12. Diketahui a⃗ = (1, 2, 3) dan b⃗ = (2, −1, k). Jika a⃗ · b⃗ = 0, tentukan k.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = (1)(2) + (2)(−1) + (3)(k) = 0
2 − 2 + 3k = 0
3k = 0
✅ k = 0
Soal 13. Diketahui a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (4, −3). Hitung a⃗ · b⃗ dan |a⃗||b⃗|. Apa yang disimpulkan?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = (3)(4) + (4)(−3) = 12 − 12 = 0
|a⃗| = √(9+16) = 5, |b⃗| = √(16+9) = 5
|a⃗||b⃗| = 25, cos θ = 0/25 = 0, θ = 90°
✅ Kedua vektor tegak lurus, walau panjangnya sama.
Soal 14. Diketahui a⃗ = (2, 3), b⃗ = (1, 4), c⃗ = (−1, 2). Hitung a⃗ · (b⃗ + c⃗).
💡 Lihat Pembahasan
b⃗ + c⃗ = (1+(−1), 4+2) = (0, 6)
a⃗ · (b⃗ + c⃗) = (2)(0) + (3)(6) = 0 + 18
✅ = 18
Soal 15. Hitung 2a⃗ · 3b⃗ jika a⃗ = (1, 2) dan b⃗ = (3, −1).
💡 Lihat Pembahasan
2a⃗ = (2, 4), 3b⃗ = (9, −3)
2a⃗ · 3b⃗ = (2)(9) + (4)(−3) = 18 − 12 = 6
Cara cepat: = 2×3 × (a⃗·b⃗) = 6 × [(1)(3)+(2)(−1)] = 6 × (3−2) = 6
✅ = 6
🟣 Contoh Soal Sulit — Rumus Dot Product (5 Soal)
Soal 16. Diketahui a⃗ = (k, 2k) dan b⃗ = (k+1, 1). Jika a⃗ · b⃗ = 14, tentukan nilai k.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗ · b⃗ = k(k+1) + 2k(1) = k² + k + 2k = k² + 3k
k² + 3k = 14
k² + 3k − 14 = 0
(k+7)(k−2) = 0
✅ k = 2 atau k = −7
Soal 17. Diketahui a⃗ = (1, 2, 2). Tentukan vektor satuan û searah a⃗ dan hitung û · a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗| = √(1+4+4) = √9 = 3
û = a⃗/|a⃗| = (1/3, 2/3, 2/3)
û · a⃗ = (1/3)(1) + (2/3)(2) + (2/3)(2) = 1/3 + 4/3 + 4/3 = 9/3
✅ û · a⃗ = 3 = |a⃗| (dot vektor satuan dengan asalnya = panjang vektor)
Soal 18. Diketahui a⃗ = (2, m, 1), b⃗ = (m, −2, 3), dan a⃗·b⃗ = 5. Tentukan m.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 2m + m(−2) + 1(3) = 2m − 2m + 3 = 3
Ternyata a⃗·b⃗ = 3 untuk semua nilai m
✅ Tidak ada nilai m yang memenuhi (a⃗·b⃗ = 3 ≠ 5). Sistem tidak konsisten.
Soal 19. Jika a⃗ = (3, 4), tentukan vektor b⃗ pada bidang yang tegak lurus a⃗ dan memiliki panjang 5.
💡 Lihat Pembahasan
b⃗ = (b₁, b₂) ⊥ a⃗ ⟹ 3b₁ + 4b₂ = 0 ⟹ b₁ = −(4/3)b₂
|b⃗|² = b₁² + b₂² = (16/9)b₂² + b₂² = (25/9)b₂² = 25
b₂² = 9 ⟹ b₂ = ±3, b₁ = ∓4
✅ b⃗ = (−4, 3) atau b⃗ = (4, −3)
Soal 20. Diketahui a⃗ = (p, q). Jika a⃗ · b⃗ = 0 untuk setiap vektor b⃗, apa yang bisa disimpulkan tentang a⃗?
💡 Lihat Pembahasan
Jika a⃗·b⃗ = 0 untuk semua b⃗, misalkan b⃗ = (1,0): a⃗·(1,0) = p = 0
Misalkan b⃗ = (0,1): a⃗·(0,1) = q = 0
Jadi p = 0 dan q = 0
✅ a⃗ = (0, 0) = vektor nol. Hanya vektor nol yang dot product-nya dengan semua vektor = 0.
📝 Latihan Mudah — Rumus Dot Product (10 Soal)
1. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (2, 7) dan b⃗ = (3, 1).
2. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (5, −2) dan b⃗ = (2, 5).
3. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (1, 1, 1) dan b⃗ = (2, 3, 4).
4. Hitung |a⃗|² menggunakan dot product jika a⃗ = (6, 8).
5. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (−1, −2) dan b⃗ = (2, −1).
6. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (4, 0, 3) dan b⃗ = (0, 5, 0).
7. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (√2, √2) dan b⃗ = (√2, −√2).
8. Diketahui a⃗ = (3, k) dan b⃗ = (2, 1). Jika a⃗·b⃗ = 8, tentukan k.
9. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (10, 0) dan b⃗ = (0, 10).
10. Hitung a⃗ · b⃗ jika a⃗ = (2, 2, 2) dan b⃗ = (1, 1, 1).
📝 Latihan Sedang — Rumus Dot Product (5 Soal)
11. Diketahui a⃗ = (k, k+1) dan b⃗ = (2, −k). Jika a⃗·b⃗ = 0, tentukan nilai k.
12. Hitung (a⃗ + b⃗)·(a⃗ − b⃗) jika a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (1, 2).
13. Diketahui a⃗ = (2, 1, −1) dan b⃗ = (1, 3, 2). Hitung a⃗·b⃗ dan tentukan apakah tegak lurus.
14. Tentukan semua vektor b⃗ = (b₁, b₂) yang tegak lurus dengan a⃗ = (2, 3) dan memiliki |b⃗| = √13.
15. Diketahui a⃗ = (p, 2) dan b⃗ = (3, p). Cari nilai p agar a⃗ · b⃗ maksimum.
📝 Latihan Sulit — Rumus Dot Product (5 Soal)
16. Diketahui a⃗ = (2, 1, k) dan b⃗ = (k, −2, 1). Cari nilai k agar a⃗ ⊥ b⃗.
17. Buktikan bahwa (a⃗ + b⃗)·(a⃗ − b⃗) = |a⃗|² − |b⃗|² menggunakan sifat dot product.
18. Diketahui a⃗ = (1, 2, 3), b⃗ = (2, 0, 1), c⃗ = (1, 1, 0). Hitung a⃗ · (2b⃗ − 3c⃗).
19. Diketahui |a⃗| = 5, |b⃗| = 4, dan a⃗·b⃗ = 10. Tentukan |2a⃗ − b⃗|.
20. Jika a⃗ = (a₁, a₂) dan b⃗ = (a₂, −a₁), buktikan bahwa a⃗ · b⃗ = 0 untuk semua nilai a₁ dan a₂.
3. Sudut antara Dua Vektor
👁️
Mengamati
Perhatikan diagram berbagai posisi dua vektor. Bagaimana nilai cos θ berubah sesuai posisi vektor?
❓
Menanya
Jika dot product positif, apakah sudutnya lancip atau tumpul? Bagaimana jika negatif?
🧠
Menalar
Mengapa sudut antara dua vektor selalu berada pada rentang 0° ≤ θ ≤ 180°?
✏️
Mencoba
Hitung sudut antara a⃗ = (1,0) dan b⃗ = (1,1) menggunakan rumus cos θ.
🗣️
Mengkomunikasikan
Gambarkan diagram vektor dan tunjukkan bagaimana menentukan sudut dengan dot product.
📐 Rumus Sudut antara Dua Vektor
Dari rumus geometri dot product, kita dapat isolasi sudut θ:
cos θ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| × |b⃗|)
dengan 0° ≤ θ ≤ 180°
dengan 0° ≤ θ ≤ 180°
Jika menggunakan komponen:
cos θ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁²+a₂²) × √(b₁²+b₂²))
📊 Klasifikasi Sudut Berdasarkan Dot Product
| Nilai a⃗ · b⃗ | Jenis Sudut | Rentang θ | cos θ |
|---|---|---|---|
| Positif > 0 | Lancip (Acute) | 0° < θ < 90° | 0 < cos θ ≤ 1 |
| = 0 | Tegak Lurus (Siku-siku) | θ = 90° | cos θ = 0 |
| Negatif < 0 | Tumpul (Obtuse) | 90° < θ < 180° | −1 ≤ cos θ < 0 |
| = |a⃗||b⃗| | Searah | θ = 0° | cos θ = 1 |
| = −|a⃗||b⃗| | Berlawanan Arah | θ = 180° | cos θ = −1 |
🟢 Contoh Soal Mudah — Sudut antara Dua Vektor (10 Soal)
Soal 1. Diketahui a⃗ = (1, 0) dan b⃗ = (0, 1). Tentukan sudut antara keduanya.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = (1)(0)+(0)(1) = 0
|a⃗| = 1, |b⃗| = 1
cos θ = 0/(1×1) = 0
✅ θ = 90° (vektor satuan sumbu x ⊥ vektor satuan sumbu y)
Soal 2. Diketahui a⃗ = (3, 0) dan b⃗ = (3, 3√3). Tentukan sudut antara keduanya.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 9 + 0 = 9
|a⃗| = 3, |b⃗| = √(9+27) = √36 = 6
cos θ = 9/(3×6) = 9/18 = ½
✅ θ = 60°
Soal 3. Diketahui a⃗ = (1, 1) dan b⃗ = (1, −1). Tentukan sudut antara keduanya.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 1−1 = 0
cos θ = 0
✅ θ = 90°
Soal 4. Diketahui a⃗ = (2, 2) dan b⃗ = (−1, 1). Tentukan sudut antara keduanya.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = −2+2 = 0
✅ θ = 90°
Soal 5. Diketahui a⃗ = (4, 3) dan b⃗ = (8, 6). Tentukan sudut antara keduanya.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 32+18 = 50
|a⃗| = 5, |b⃗| = √(64+36) = 10
cos θ = 50/(5×10) = 50/50 = 1
✅ θ = 0° (b⃗ = 2·a⃗, jadi searah)
Soal 6. Tentukan sudut antara a⃗ = (1, √3) dan b⃗ = (1, 0).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 1+0 = 1
|a⃗| = √(1+3) = 2, |b⃗| = 1
cos θ = 1/(2×1) = ½
✅ θ = 60°
Soal 7. Tentukan sudut antara a⃗ = (√3, 1) dan b⃗ = (0, 1).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 0+1 = 1
|a⃗| = √(3+1) = 2, |b⃗| = 1
cos θ = 1/2
✅ θ = 60°
Soal 8. Tentukan apakah sudut antara a⃗ = (2, 3) dan b⃗ = (−1, 4) lancip, siku-siku, atau tumpul.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = (2)(−1)+(3)(4) = −2+12 = 10 > 0
✅ Sudutnya lancip (0° < θ < 90°)
Soal 9. Tentukan apakah sudut antara a⃗ = (1, 2) dan b⃗ = (−3, 1) lancip, siku-siku, atau tumpul.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = (1)(−3)+(2)(1) = −3+2 = −1 < 0
✅ Sudutnya tumpul (90° < θ < 180°)
Soal 10. Diketahui a⃗ = (3, −4). Vektor apa yang membentuk sudut 0° dengan a⃗?
💡 Lihat Pembahasan
Sudut 0° berarti vektor searah, yaitu kelipatan positif dari a⃗.
✅ Contoh: (6, −8), (9, −12), atau k(3,−4) dengan k > 0.
🟠 Contoh Soal Sedang — Sudut antara Dua Vektor (5 Soal)
Soal 11. Hitung sudut antara a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (4, −3) (dalam derajat).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 12−12 = 0
✅ θ = 90°
Soal 12. Hitung sudut antara a⃗ = (1, 2, 2) dan b⃗ = (2, 1, −2).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 2+2−4 = 0
✅ θ = 90° (tegak lurus)
Soal 13. Hitung sudut antara diagonal persegi panjang. Diketahui sisi 3 dan 4 (gunakan vektor diagonal).
💡 Lihat Pembahasan
Diagonal 1: d⃗₁ = (3, 4), Diagonal 2: d⃗₂ = (3, −4) (dari titik yang berlawanan)
d⃗₁·d⃗₂ = 9−16 = −7
|d⃗₁| = |d⃗₂| = 5
cos θ = −7/25
✅ θ = arccos(−7/25) ≈ 106,3° (sudut tumpul antara diagonal)
Soal 14. Diketahui a⃗ = (k, 1) dan b⃗ = (2, k). Tentukan nilai k agar θ = 60°.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 2k + k = 3k
|a⃗| = √(k²+1), |b⃗| = √(4+k²)
cos 60° = ½ = 3k / (√(k²+1)·√(k²+4))
√(k²+1)·√(k²+4) = 6k (asumsi k>0)
(k²+1)(k²+4) = 36k²
k⁴ + 5k² + 4 = 36k²
k⁴ − 31k² + 4 = 0, misal u = k²: u = (31 ± √(961−16))/2
✅ Solusi numerik: k ≈ 5,5 atau k ≈ 0,36 (untuk k > 0)
Soal 15. Sudut antara vektor a⃗ = (2, 1, −2) dan b⃗ = (−3, 0, 4). Nyatakan dalam derajat.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = −6+0−8 = −14
|a⃗| = √(4+1+4) = 3, |b⃗| = √(9+0+16) = 5
cos θ = −14/(3×5) = −14/15
✅ θ = arccos(−14/15) ≈ 159°
🟣 Contoh Soal Sulit — Sudut antara Dua Vektor (5 Soal)
Soal 16. Dalam segitiga OAB, OA⃗ = a⃗ = (2, 3) dan OB⃗ = b⃗ = (5, −1). Hitung sudut AOB.
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = (2)(5)+(3)(−1) = 10−3 = 7
|a⃗| = √(4+9) = √13, |b⃗| = √(25+1) = √26
cos θ = 7/(√13·√26) = 7/√338 = 7/(13√2)
✅ θ = arccos(7/√338) ≈ arccos(0,381) ≈ 67,6°
Soal 17. Buktikan bahwa pada segitiga dengan sisi a, b, c dan sudut C di antara sisi a dan b: c² = a² + b² − 2ab cos C.
💡 Lihat Pembahasan
Misalkan vektor u⃗ dan v⃗ mewakili dua sisi yang mengapit sudut C.
Sisi ketiga = v⃗ − u⃗
|v⃗ − u⃗|² = (v⃗ − u⃗)·(v⃗ − u⃗) = |v⃗|² − 2(u⃗·v⃗) + |u⃗|²
= b² − 2ab cos C + a²
✅ c² = a² + b² − 2ab cos C (Aturan Kosinus terbukti!)
Soal 18. Tentukan semua vektor b⃗ = (b₁, b₂) yang membentuk sudut 45° dengan a⃗ = (1, 0) dan memiliki |b⃗| = √2.
💡 Lihat Pembahasan
cos 45° = a⃗·b⃗ / (|a⃗||b⃗|) = b₁/(1·√2) = b₁/√2 = 1/√2
b₁ = 1
|b⃗|² = 1 + b₂² = 2 ⟹ b₂² = 1 ⟹ b₂ = ±1
✅ b⃗ = (1, 1) atau b⃗ = (1, −1)
Soal 19. Pada kubus dengan sisi 1, hitung sudut antara diagonal ruang dan sisi alasnya.
💡 Lihat Pembahasan
Diagonal ruang: d⃗ = (1, 1, 1), panjang √3
Sisi alas: s⃗ = (1, 0, 0), panjang 1
cos θ = d⃗·s⃗ / (|d⃗||s⃗|) = 1/(√3·1) = 1/√3
✅ θ = arccos(1/√3) ≈ 54,7°
Soal 20. Hitung sudut terkecil antara diagonal bidang kubus yang bersisian. Kubus bersisi 1.
💡 Lihat Pembahasan
Diagonal bidang sisi bawah: d₁⃗ = (1, 1, 0)
Diagonal bidang sisi depan: d₂⃗ = (1, 0, 1)
cos θ = d₁⃗·d₂⃗ / (|d₁⃗||d₂⃗|) = 1/(√2·√2) = 1/2
✅ θ = 60°
📝 Latihan Mudah — Sudut antara Dua Vektor (10 Soal)
1. Tentukan sudut antara a⃗ = (1, 0) dan b⃗ = (1, 1).
2. Tentukan jenis sudut (lancip/siku/tumpul) antara a⃗ = (2, 3) dan b⃗ = (1, 4).
3. Hitung cos θ antara a⃗ = (6, 8) dan b⃗ = (3, 4).
4. Tentukan sudut antara a⃗ = (√2, √2) dan b⃗ = (1, 0).
5. Apakah a⃗ = (3, −2) dan b⃗ = (2, 3) membentuk sudut siku-siku?
6. Tentukan sudut antara a⃗ = (0, 5) dan b⃗ = (5, 0).
7. Tentukan jenis sudut antara a⃗ = (−1, 2) dan b⃗ = (3, 1).
8. Hitung sudut antara a⃗ = (2, 2, 1) dan b⃗ = (0, 0, 3).
9. Tentukan sudut antara a⃗ = (1, 1, 1) dan b⃗ = (1, 1, −2).
10. Jika a⃗·b⃗ = −|a⃗||b⃗|, berapa nilai θ?
📝 Latihan Sedang — Sudut antara Dua Vektor (5 Soal)
11. Diketahui a⃗ = (2, k) dan b⃗ = (k, 2). Tentukan nilai k agar θ = 90°.
12. Hitung sudut antara a⃗ = (1, 2, −1) dan b⃗ = (3, 0, 2).
13. Pada jajargenjang, dua vektor sisi a⃗ = (4, 0) dan b⃗ = (2, 2√3). Hitung sudut antara sisi-sisinya.
14. Tentukan nilai p agar sudut antara (p, 1) dan (1, p) adalah 45°.
15. Hitung sudut antara diagonal persegi dengan sisinya jika vektor sisi = (5, 0) dan diagonal = (5, 5).
📝 Latihan Sulit — Sudut antara Dua Vektor (5 Soal)
16. Buktikan bahwa sudut antara dua diagonal persegi selalu 90°.
17. Hitung sudut antara vektor normal bidang 2x+y−2z=0 dan sumbu z.
18. Dalam tetrahedron beraturan, hitung sudut antara dua rusuknya yang bertemu di satu titik.
19. Diketahui a⃗ = (cos α, sin α) dan b⃗ = (cos β, sin β). Buktikan a⃗·b⃗ = cos(α−β).
20. Tiga vektor a⃗, b⃗, c⃗ saling membentuk sudut 120°. Jika |a⃗|=|b⃗|=|c⃗|=1, hitung (a⃗+b⃗+c⃗)·(a⃗+b⃗+c⃗).
4. Vektor Tegak Lurus (Ortogonal)
👁️
Mengamati
Amati pasangan vektor yang saling tegak lurus. Apa yang istimewa dari nilai dot product mereka?
❓
Menanya
Bagaimana cara cepat membuat vektor yang tegak lurus dengan vektor tertentu di 2D dan 3D?
🧠
Menalar
Apakah ada hubungan antara ortogonalitas vektor dan teorema Pythagoras? Jelaskan!
✏️
Mencoba
Diberikan a⃗ = (2, 5). Temukan vektor yang tegak lurus dengannya menggunakan metode cepat.
🗣️
Mengkomunikasikan
Jelaskan ke temanmu bagaimana menguji apakah dua vektor tegak lurus menggunakan dot product.
📐 Definisi Vektor Tegak Lurus
Dua vektor a⃗ dan b⃗ disebut ortogonal / tegak lurus jika dan hanya jika:
a⃗ · b⃗ = 0 (syarat perlu dan cukup)
💡 Vektor nol dianggap tegak lurus dengan semua vektor, karena 0⃗ · b⃗ = 0 untuk semua b⃗.
🔑 Cara Cepat Membuat Vektor Tegak Lurus (2D)
Jika a⃗ = (a₁, a₂), maka vektor tegak lurusnya: b⃗ = (−a₂, a₁) atau b⃗ = (a₂, −a₁)
Contoh: a⃗ = (3, 5) → b⃗ = (−5, 3) atau b⃗ = (5, −3)
Cek: (3)(−5) + (5)(3) = −15 + 15 = 0 ✔
| Vektor a⃗ | Vektor tegak lurus (−a₂, a₁) | Verifikasi dot product |
|---|---|---|
| (1, 0) | (0, 1) | (1)(0)+(0)(1) = 0 ✔ |
| (3, 4) | (−4, 3) | (3)(−4)+(4)(3) = 0 ✔ |
| (2, −5) | (5, 2) | (2)(5)+(−5)(2) = 0 ✔ |
| (a, b) | (−b, a) | a(−b) + b(a) = 0 ✔ |
🟢 Contoh Soal Mudah — Vektor Tegak Lurus (10 Soal)
Soal 1. Apakah a⃗ = (3, 4) dan b⃗ = (4, −3) tegak lurus?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = (3)(4)+(4)(−3) = 12−12 = 0
✅ Ya, tegak lurus karena a⃗·b⃗ = 0
Soal 2. Apakah a⃗ = (2, 3) dan b⃗ = (3, 2) tegak lurus?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 6+6 = 12 ≠ 0
✅ Tidak tegak lurus
Soal 3. Tentukan vektor yang tegak lurus dengan a⃗ = (5, 3).
💡 Lihat Pembahasan
Gunakan cara cepat: b⃗ = (−a₂, a₁) = (−3, 5)
Cek: (5)(−3)+(3)(5) = −15+15 = 0 ✔
✅ b⃗ = (−3, 5) atau kelipatannya
Soal 4. Tentukan nilai k agar a⃗ = (k, 3) ⊥ b⃗ = (2, −4).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 2k − 12 = 0
2k = 12
✅ k = 6
Soal 5. Apakah a⃗ = (1, 2, 3) dan b⃗ = (1, 1, −1) tegak lurus?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 1+2−3 = 0
✅ Ya, tegak lurus!
Soal 6. Tentukan nilai p agar a⃗ = (p, 5) ⊥ b⃗ = (10, −2p).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 10p + 5(−2p) = 10p − 10p = 0
Hasilnya 0 untuk semua nilai p!
✅ Tegak lurus untuk semua nilai p ≠ 0.
Soal 7. Vektor a⃗ = (7, −1) dan b⃗ = (1, 7). Apakah tegak lurus?
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 7−7 = 0
✅ Ya, tegak lurus! (b⃗ = (a₂, −a₁) dari a⃗)
Soal 8. Tentukan vektor yang tegak lurus dengan a⃗ = (0, 1).
💡 Lihat Pembahasan
b⃗ = (−1, 0) atau (1, 0) atau kelipatan (k, 0)
✅ Semua vektor horizontal (k, 0) dengan k ≠ 0
Soal 9. Tentukan nilai m agar a⃗ = (m, 6) ⊥ b⃗ = (3, m−1).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 3m + 6(m−1) = 3m + 6m − 6 = 9m − 6 = 0
9m = 6
✅ m = 2/3
Soal 10. Apakah i⃗ = (1,0,0), j⃗ = (0,1,0), dan k⃗ = (0,0,1) saling tegak lurus satu sama lain?
💡 Lihat Pembahasan
i⃗·j⃗ = 0, i⃗·k⃗ = 0, j⃗·k⃗ = 0
✅ Ya! Vektor satuan i⃗, j⃗, k⃗ membentuk sistem ortonormal (ortogonal dan panjang 1).
🟠 Contoh Soal Sedang — Vektor Tegak Lurus (5 Soal)
Soal 11. Tentukan nilai k agar a⃗ = (k, 2k−1, 3) ⊥ b⃗ = (2, 1, −k).
💡 Lihat Pembahasan
a⃗·b⃗ = 2k + (2k−1)(1) + 3(−k) = 0
2k + 2k − 1 − 3k = 0
k − 1 = 0
✅ k = 1
Soal 12. Diberikan a⃗ = (3, 4). Tentukan semua vektor berukuran 5 yang tegak lurus dengan a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
Vektor ⊥ a⃗ berbentuk t(−4, 3) dengan t ∈ ℝ
|t(−4,3)| = |t|·√(16+9) = 5|t| = 5 ⟹ |t| = 1 ⟹ t = ±1
✅ b⃗ = (−4, 3) atau b⃗ = (4, −3)
Soal 13. Jika a⃗ = (1, 2) dan c⃗ = (2, 1), tentukan vektor b⃗ pada kombinasi b⃗ = a⃗ + t·c⃗ agar b⃗ ⊥ a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
b⃗ = (1+2t, 2+t)
b⃗·a⃗ = (1+2t)(1) + (2+t)(2) = 1+2t+4+2t = 5+4t = 0
4t = −5 ⟹ t = −5/4
b⃗ = (1 − 5/2, 2 − 5/4) = (−3/2, 3/4)
✅ b⃗ = (−3/2, 3/4) tegak lurus dengan a⃗
Soal 14. Tiga titik A(1,2), B(4,6), C(7,2). Apakah AB⃗ ⊥ AC⃗?
💡 Lihat Pembahasan
AB⃗ = B − A = (3, 4)
AC⃗ = C − A = (6, 0)
AB⃗·AC⃗ = 18 + 0 = 18 ≠ 0
✅ Tidak tegak lurus.
Soal 15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan sisi 2. Apakah AG⃗ ⊥ BH⃗?
💡 Lihat Pembahasan
Misalkan A = (0,0,0). G = (2,2,2), B = (2,0,0), H = (0,2,2)
AG⃗ = (2,2,2), BH⃗ = H−B = (−2,2,2)
AG⃗·BH⃗ = −4+4+4 = 4 ≠ 0
✅ Tidak tegak lurus. (sudut ≠ 90°)
🟣 Contoh Soal Sulit — Vektor Tegak Lurus (5 Soal)
Soal 16. Buktikan bahwa diagonalnya saling tegak lurus jika dan hanya jika ABCD adalah belah ketupat (rhombus).
💡 Lihat Pembahasan
Misalkan d₁⃗ = a⃗ + b⃗ dan d₂⃗ = b⃗ − a⃗ adalah dua diagonal.
d₁⃗ · d₂⃗ = (a⃗+b⃗)·(b⃗−a⃗) = |b⃗|² − |a⃗|²
d₁⃗ · d₂⃗ = 0 ⟺ |a⃗|² = |b⃗|² ⟺ |a⃗| = |b⃗|
✅ Diagonal saling ⊥ ⟺ kedua sisi sama panjang ⟺ belah ketupat (terbukti)
Soal 17. Dekomposisi vektor: Diberikan b⃗ = (7, 3) dan a⃗ = (2, 1). Nyatakan b⃗ = p⃗∥ + p⃗⊥ di mana p⃗∥ ∥ a⃗ dan p⃗⊥ ⊥ a⃗.
💡 Lihat Pembahasan
p⃗∥ = proyeksi b⃗ ke a⃗ = [(b⃗·a⃗)/|a⃗|²] · a⃗
b⃗·a⃗ = 14+3 = 17, |a⃗|² = 4+1 = 5
p⃗∥ = (17/5)(2, 1) = (34/5, 17/5)
p⃗⊥ = b⃗ − p⃗∥ = (7−34/5, 3−17/5) = (1/5, −2/5)
✅ b⃗ = (34/5, 17/5) + (1/5, −2/5)
Soal 18. Tentukan semua vektor 3D yang tegak lurus sekaligus dengan a⃗ = (1, 0, 1) dan b⃗ = (0, 1, 1).
💡 Lihat Pembahasan
Cari c⃗ = (x, y, z) agar c⃗·a⃗ = 0 dan c⃗·b⃗ = 0
x + z = 0 ⟹ x = −z
y + z = 0 ⟹ y = −z
Misalkan z = t: c⃗ = (−t, −t, t) = t(−1, −1, 1)
✅ c⃗ = t(−1, −1, 1) untuk t ≠ 0 (arah ini disebut hasil cross product!)
Soal 19. Apakah mungkin ada tiga vektor non-nol di ℝ² yang saling tegak lurus? Jelaskan!
💡 Lihat Pembahasan
Di ℝ², hanya ada 2 arah yang saling tegak lurus (misalnya sumbu x dan y).
Vektor ketiga pasti merupakan kombinasi linier dari dua yang pertama.
Misalkan u⃗ ⊥ v⃗, maka w⃗ = au⃗ + bv⃗. Agar w⃗ ⊥ u⃗: w⃗·u⃗ = a|u⃗|² = 0 ⟹ a = 0. Agar w⃗ ⊥ v⃗: b = 0. Jadi w⃗ = 0⃗.
✅ Tidak mungkin! Di ℝ², maksimal hanya 2 vektor non-nol yang bisa saling tegak lurus.
Soal 20. Tunjukkan bahwa jika a⃗ ⊥ b⃗, maka |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² (Teorema Pythagoras Vektor).
💡 Lihat Pembahasan
|a⃗ + b⃗|² = (a⃗ + b⃗)·(a⃗ + b⃗)
= a⃗·a⃗ + 2(a⃗·b⃗) + b⃗·b⃗
= |a⃗|² + 2(0) + |b⃗|² (karena a⃗ ⊥ b⃗ ⟹ a⃗·b⃗ = 0)
✅ |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + |b⃗|² (Teorema Pythagoras terbukti!)
📝 Latihan Mudah — Vektor Tegak Lurus (10 Soal)
1. Apakah a⃗ = (5, 0) dan b⃗ = (0, −3) tegak lurus?
2. Tentukan vektor tegak lurus dengan a⃗ = (4, 7).
3. Tentukan nilai k agar (k, 3) ⊥ (6, −k).
4. Apakah a⃗ = (2, −1, 3) dan b⃗ = (1, 4, 1) tegak lurus?
5. Tentukan vektor berukuran 1 yang tegak lurus dengan a⃗ = (3, 0).
6. Tentukan nilai p agar (p, p+1) ⊥ (1, −2).
7. Apakah (2, 3, 6) dan (3, −6, 2) tegak lurus?
8. Tentukan vektor yang tegak lurus dengan a⃗ = (−2, 5) dan memiliki komponen pertama = 10.
9. Jika a⃗ = (sin θ, cos θ), temukan vektor tegak lurusnya.
10. Tentukan nilai t agar (t, 2, 3) ⊥ (2, t, −2).
📝 Latihan Sedang — Vektor Tegak Lurus (5 Soal)
11. Titik A(0,0), B(3,4), C(7,−1). Apakah AB⃗ ⊥ BC⃗?
12. Diberikan a⃗ = (2,1) dan b⃗ = (1,3). Tentukan vektor c⃗ yang ⊥ a⃗ dan ⊥ b⃗ di ℝ².
13. Nyatakan b⃗ = (5, 2) sebagai jumlah komponen ∥ dan ⊥ terhadap a⃗ = (3, 4).
14. Diketahui a⃗ ⊥ b⃗, |a⃗| = 3, |b⃗| = 4. Hitung |2a⃗ + b⃗|.
15. Tentukan nilai k agar (k, k, 1) ⊥ (1, k, −3).
📝 Latihan Sulit — Vektor Tegak Lurus (5 Soal)
16. Buktikan bahwa diagonal persegi panjang berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika persegi panjang itu adalah persegi.
17. Temukan semua vektor 3D yang tegak lurus terhadap a⃗ = (1, 2, 0) dan b⃗ = (2, 0, 1).
18. Jika a⃗ + b⃗ ⊥ a⃗ − b⃗, buktikan bahwa |a⃗| = |b⃗|.
19. Diketahui a⃗ = (3, 4), b⃗ = (1, 0). Dekomposisikan a⃗ ke komponen ∥ b⃗ dan ⊥ b⃗.
20. Apakah mungkin ada 4 vektor non-nol di ℝ³ yang saling tegak lurus? Jelaskan!
5. Penerapan Dot Product
👁️
Mengamati
Amati bagaimana konsep dot product muncul dalam fisika (usaha), grafika komputer, dan geometri.
❓
Menanya
Mengapa usaha oleh gaya tegak lurus dengan perpindahan bernilai nol? Apa maknanya dalam kehidupan?
🧠
Menalar
Hubungkan konsep proyeksi vektor dengan bayangan cahaya. Apa kesamaannya?
✏️
Mencoba
Hitung usaha saat gaya F⃗ = (3, 4) N bekerja dan benda berpindah d⃗ = (2, 1) m.
🗣️
Mengkomunikasikan
Presentasikan minimal 2 penerapan dot product dalam kehidupan nyata atau sains.
⚡ Penerapan 1: Usaha (Fisika)
Dalam fisika, usaha (W) adalah hasil dot product antara gaya F⃗ dan perpindahan d⃗:
W = F⃗ · d⃗ = |F⃗| × |d⃗| × cos θ
di mana θ adalah sudut antara gaya dan arah perpindahan. Satuan: Joule (J) = N·m
di mana θ adalah sudut antara gaya dan arah perpindahan. Satuan: Joule (J) = N·m
Jika komponen diketahui: W = F₁d₁ + F₂d₂
💡 Gaya tegak lurus perpindahan → cos 90° = 0 → W = 0 (tidak ada usaha, contoh: gaya normal pada meja)
📐 Penerapan 2: Proyeksi Vektor
Proyeksi vektor b⃗ pada vektor a⃗:
proj_a⃗ b⃗ = [(b⃗ · a⃗) / |a⃗|²] × a⃗ (vektor proyeksi)
komp_a⃗ b⃗ = (b⃗ · a⃗) / |a⃗| (skalar proyeksi)
komp_a⃗ b⃗ = (b⃗ · a⃗) / |a⃗| (skalar proyeksi)
📊 Penerapan 3: Menentukan Jenis Segitiga
| Jenis Segitiga | Kondisi dot product |
|---|---|
| Segitiga Lancip | AB⃗·AC⃗ > 0, BA⃗·BC⃗ > 0, CA⃗·CB⃗ > 0 |
| Segitiga Siku-siku | Salah satu dot product = 0 |
| Segitiga Tumpul | Salah satu dot product < 0 |
💡 Penerapan 4: Iluminasi Grafika Komputer
Dalam rendering 3D, intensitas cahaya pada permukaan dihitung dengan dot product antara vektor normal permukaan n̂ dan vektor arah cahaya l̂ (keduanya vektor satuan):
Intensitas = n̂ · l̂ = cos θ (bernilai 0 jika gelap, 1 jika cahaya langsung tegak lurus)
🟢 Contoh Soal Mudah — Penerapan Dot Product (10 Soal)
Soal 1. Gaya F⃗ = (5, 0) N mendorong benda dengan perpindahan d⃗ = (3, 0) m. Hitung usaha W.
💡 Lihat Pembahasan
W = F⃗ · d⃗ = (5)(3) + (0)(0) = 15
✅ W = 15 Joule
Soal 2. Gaya F⃗ = (3, 4) N, perpindahan d⃗ = (4, 3) m. Hitung usaha W.
💡 Lihat Pembahasan
W = (3)(4) + (4)(3) = 12 + 12
✅ W = 24 Joule
Soal 3. Gaya tegak lurus dengan perpindahan. Berapa usahanya?
💡 Lihat Pembahasan
W = |F⃗||d⃗|cos 90° = |F⃗||d⃗| × 0
✅ W = 0 Joule (tidak ada usaha)
Soal 4. Hitung skalar proyeksi b⃗ = (4, 3) pada a⃗ = (1, 0).
💡 Lihat Pembahasan
komp = (b⃗·a⃗)/|a⃗| = [(4)(1)+(3)(0)]/1 = 4
✅ Skalar proyeksi = 4 (komponen horizontal dari b⃗)
Soal 5. Hitung skalar proyeksi b⃗ = (3, 4) pada a⃗ = (0, 1).
💡 Lihat Pembahasan
komp = (b⃗·a⃗)/|a⃗| = [(3)(0)+(4)(1)]/1 = 4
✅ Skalar proyeksi = 4 (komponen vertikal dari b⃗)
Soal 6. Gaya F⃗ = (10, 0) N, perpindahan d⃗ = (5, 5) m. Hitung W.
💡 Lihat Pembahasan
W = (10)(5)+(0)(5) = 50
✅ W = 50 Joule
Soal 7. Titik A(1,1), B(4,5), C(7,1). Tentukan jenis sudut di titik B.
💡 Lihat Pembahasan
BA⃗ = A−B = (−3,−4), BC⃗ = C−B = (3,−4)
BA⃗·BC⃗ = −9+16 = 7 > 0
✅ Sudut di B adalah sudut lancip
Soal 8. Gaya 20 N membentuk sudut 60° dengan perpindahan 10 m. Hitung W.
💡 Lihat Pembahasan
W = |F⃗||d⃗|cos 60° = 20 × 10 × ½
✅ W = 100 Joule
Soal 9. Hitung vektor proyeksi b⃗ = (6, 0) pada a⃗ = (3, 4).
💡 Lihat Pembahasan
b⃗·a⃗ = 18+0 = 18, |a⃗|² = 9+16 = 25
proj = (18/25)(3,4) = (54/25, 72/25)
✅ proj_a⃗ b⃗ = (2,16 ; 2,88)
Soal 10. Pada grafika komputer, normal permukaan n̂ = (0,0,1) dan arah cahaya l̂ = (0,0,1). Berapa intensitasnya?
💡 Lihat Pembahasan
Intensitas = n̂·l̂ = (0)(0)+(0)(0)+(1)(1) = 1
✅ Intensitas = 1 (cahaya tegak lurus permukaan, paling terang!)
🟠 Contoh Soal Sedang — Penerapan Dot Product (5 Soal)
Soal 11. Seorang anak menarik gerobak dengan gaya 50 N membentuk sudut 30° terhadap bidang datar sejauh 20 m. Hitung usaha total.
💡 Lihat Pembahasan
W = |F⃗||d⃗|cos θ = 50 × 20 × cos 30°
= 1000 × (½√3) = 500√3
✅ W = 500√3 ≈ 866 Joule
Soal 12. Diketahui F⃗ = (4, 3, 0) N dan d⃗ = (3, 0, 4) m. Hitung usaha dan sudut antara F⃗ dan d⃗.
💡 Lihat Pembahasan
W = F⃗·d⃗ = 12+0+0 = 12 J
|F⃗| = √(16+9) = 5, |d⃗| = √(9+16) = 5
cos θ = 12/25
✅ W = 12 J, θ = arccos(12/25) ≈ 61,3°
Soal 13. Tentukan apakah segitiga ABC dengan A(0,0), B(4,0), C(0,3) adalah siku-siku. Di mana sudut siku-sikunya?
💡 Lihat Pembahasan
AB⃗ = (4,0), AC⃗ = (0,3)
AB⃗·AC⃗ = 0+0 = 0
✅ Siku-siku di titik A (AB⃗ ⊥ AC⃗)
Soal 14. Hitung vektor proyeksi dan besar proyeksi vektor u⃗ = (3, 4) pada v⃗ = (1, 2).
💡 Lihat Pembahasan
u⃗·v⃗ = 3+8 = 11, |v⃗|² = 1+4 = 5
Vektor: (11/5)(1,2) = (11/5, 22/5)
Skalar: 11/√5 = 11√5/5
✅ Vektor proyeksi = (2,2 ; 4,4), Skalar = 11/√5 ≈ 4,92
Soal 15. Intensitas cahaya pada permukaan 3D: n̂ = (1/√3, 1/√3, 1/√3), l̂ = (0, 0, 1). Hitung intensitas.
💡 Lihat Pembahasan
Intensitas = n̂·l̂ = (1/√3)(0) + (1/√3)(0) + (1/√3)(1)
= 1/√3 = √3/3
✅ Intensitas ≈ 0,577 (cahaya datang dari sudut 54,7° terhadap normal)
🟣 Contoh Soal Sulit — Penerapan Dot Product (5 Soal)
Soal 16. Sebuah objek berpindah dari A(1,2) ke B(4,6) ke C(6,3). Dua gaya bekerja: F₁⃗ = (3,2) N dan F₂⃗ = (1,−1) N. Hitung total usaha sepanjang lintasan A→B→C.
💡 Lihat Pembahasan
Total gaya: F⃗ = F₁⃗ + F₂⃗ = (4, 1) N
d⃗₁ = B−A = (3, 4), W₁ = (4)(3)+(1)(4) = 12+4 = 16 J
d⃗₂ = C−B = (2,−3), W₂ = (4)(2)+(1)(−3) = 8−3 = 5 J
✅ W total = 16+5 = 21 Joule
Soal 17. Proyeksikan b⃗ = (5, 3, 2) ke arah a⃗ = (1, 1, 1) dan hitung komponen tegak lurusnya.
💡 Lihat Pembahasan
b⃗·a⃗ = 5+3+2 = 10, |a⃗|² = 3
proj = (10/3)(1,1,1) = (10/3, 10/3, 10/3)
komponen ⊥ = b⃗ − proj = (5−10/3, 3−10/3, 2−10/3) = (5/3, −1/3, −4/3)
✅ Vektor ⊥ = (5/3, −1/3, −4/3), cek: (5/3)(1)+(−1/3)(1)+(−4/3)(1) = 0 ✔
Soal 18. Jarak titik P(3,4) ke garis yang searah a⃗ = (1,2) dan melewati titik asal. Gunakan proyeksi.
💡 Lihat Pembahasan
p⃗ = (3,4), a⃗ = (1,2)
proj_a p⃗ = [(p⃗·a⃗)/|a⃗|²]·a⃗ = [(3+8)/5]·(1,2) = (11/5)(1,2) = (11/5, 22/5)
komponen ⊥ = p⃗ − proj = (3−11/5, 4−22/5) = (4/5, −2/5)
Jarak = |komponen ⊥| = √(16/25 + 4/25) = √(20/25) = 2√5/5
✅ Jarak = 2√5/5 = 2/√5 ≈ 0,894
Soal 19. Sebuah benda bergerak di bawah pengaruh gaya konservatif. Diketahui gaya F⃗ = (2x, 2y) N. Hitung usaha dari (0,0) ke (3,4).
💡 Lihat Pembahasan
Untuk gaya konservatif, usaha = selisih energi potensial.
Energi potensial U = −(x² + y²)
W = U_awal − U_akhir = −(0) − (−(9+16)) = 25
✅ W = 25 Joule
Soal 20. Dalam grafika 3D, tentukan sudut antara vektor pandang v⃗ = (1,−1,2) dan normal permukaan n⃗ = (2,1,0). Apakah permukaan tampak dari sisi depan?
💡 Lihat Pembahasan
v⃗·n⃗ = 2−1+0 = 1 > 0
|v⃗| = √6, |n⃗| = √5
cos θ = 1/√30 ≈ 0,183
θ ≈ 79,5°
✅ Karena v⃗·n⃗ > 0, sudut < 90°, permukaan tampak dari sisi depan (front-facing).
📝 Latihan Mudah — Penerapan Dot Product (10 Soal)
1. Gaya F⃗ = (6, 0) N, perpindahan d⃗ = (5, 3) m. Hitung usaha W.
2. Gaya 40 N membentuk sudut 45° dengan perpindahan 8 m. Hitung W.
3. Hitung skalar proyeksi (4, 3) pada (1, 0).
4. Tentukan apakah segitiga A(0,0), B(5,0), C(5,3) siku-siku.
5. Gaya F⃗ = (3, 4) N tegak lurus dengan perpindahan d⃗ = (−4, 3) m. Verifikasi W = 0.
6. Hitung vektor proyeksi (2, 5) pada (1, 0).
7. Gaya 100 N membentuk sudut 60° dengan perpindahan 5 m. Hitung W.
8. Titik A(2,1), B(5,5), C(8,1). Periksa jenis sudut di B.
9. n̂ = (0,1,0) dan l̂ = (0,1,0). Berapa intensitas cahaya?
10. Gaya F⃗ = (2, 3, 1) N, perpindahan d⃗ = (1, 0, 2) m. Hitung W.
📝 Latihan Sedang — Penerapan Dot Product (5 Soal)
11. Seorang mendorong meja dengan gaya 60 N pada sudut 45° sejauh 12 m. Hitung usaha yang dilakukan.
12. Proyeksikan u⃗ = (5, 1) ke v⃗ = (3, 4). Hitung vektor dan skalar proyeksinya.
13. Tentukan jenis segitiga dengan A(1,1), B(4,5), C(8,2) berdasarkan dot product.
14. Objek berpindah dari P(0,0,0) ke Q(2,3,4). Dua gaya: F₁⃗ = (1,2,1) N dan F₂⃗ = (2,−1,0) N. Hitung total usaha.
15. Hitung jarak titik P(1,3) dari garis yang melewati titik asal dengan arah v⃗ = (1,1).
📝 Latihan Sulit — Penerapan Dot Product (5 Soal)
16. Sebuah kapal berlayar dari A(0,0) ke B(100, 50) km. Angin memberikan gaya F⃗ = (40, 30) N. Berapa usaha yang dilakukan angin?
17. Dekomposisikan vektor r⃗ = (4, 2, −1) menjadi komponen sejajar dan tegak lurus terhadap a⃗ = (1, 2, 2).
18. Dalam rendering 3D, jika normal permukaan n⃗ = (1, 1, 1)/√3, tentukan intensitas untuk cahaya dari arah l⃗ = (1, 0, 0) dan l⃗ = (0, 1, 0). Mana lebih terang?
19. Buktikan bahwa usaha minimum adalah nol (saat θ = 90°) dan maksimum adalah |F||d| (saat θ = 0°) menggunakan sifat fungsi cosinus.
20. Hitunglah jarak titik Q(2, 3, 1) ke garis yang melewati P(1, 1, 1) dan memiliki arah a⃗ = (1, 0, 1) menggunakan proyeksi vektor.
📋 Rangkuman Rumus Penting
1️⃣ Definisi Dot Product
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗|cos θ
Hasil: bilangan skalar
2️⃣ Rumus Komponen
2D: a₁b₁ + a₂b₂
3D: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
3️⃣ Sudut antara Vektor
cos θ = (a⃗·b⃗) / (|a⃗||b⃗|)
0° ≤ θ ≤ 180°
4️⃣ Vektor Tegak Lurus
a⃗ ⊥ b⃗ ⟺ a⃗·b⃗ = 0
Cara cepat 2D: (a,b) → (−b,a)
5️⃣ Proyeksi Vektor
proj = [(b⃗·a⃗)/|a⃗|²]·a⃗
Skalar: (b⃗·a⃗)/|a⃗|
6️⃣ Usaha (Fisika)
W = F⃗·d⃗ = |F||d|cos θ
Satuan: Joule (J)