📐 Persamaan & Pertidaksamaan Linear
📋 Tabel Simbol Matematika
| Simbol | Nama | Arti | Contoh |
|---|---|---|---|
| = | Sama dengan | Ruas kiri = Ruas kanan | x + 2 = 5 |
| ≠ | Tidak sama dengan | Ruas kiri ≠ Ruas kanan | x ≠ 3 |
| < | Kurang dari | Ruas kiri lebih kecil | x < 5 |
| > | Lebih dari | Ruas kiri lebih besar | x > 2 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | Ruas kiri ≤ Ruas kanan | x ≤ 7 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | Ruas kiri ≥ Ruas kanan | x ≥ 1 |
📘 Bagian 1: Bentuk Umum Persamaan Linear
Perhatikan situasi berikut:
Pak Budi membeli 3 buku tulis dengan harga yang sama. Ia membayar Rp15.000. Berapa harga satu buku tulis?
Jika harga satu buku tulis = x, maka:
3x = 15.000
Pernyataan 3x = 15.000 adalah contoh persamaan linear satu variabel. Persamaan ini memiliki tanda “=” dan variabel x berpangkat 1.
Pertanyaan yang muncul:
- Apa yang dimaksud persamaan linear?
- Bagaimana bentuk umumnya?
- Apa perbedaan persamaan linear satu variabel dan dua variabel?
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear?
A. Pengertian Persamaan Linear
Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan variabelnya berpangkat satu (pangkat tertinggi = 1).
Ciri-ciri Persamaan Linear:
- Menggunakan tanda = (sama dengan)
- Variabel berpangkat 1 (tidak ada x², x³, dll.)
- Tidak ada perkalian antar variabel (tidak ada xy)
- Grafiknya berupa garis lurus
B. Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
ax + b = 0
dengan a ≠ 0, a dan b adalah konstanta, x adalah variabel
Atau bisa juga ditulis:
ax = c
dengan a ≠ 0
| Komponen | Keterangan | Contoh pada 3x + 6 = 0 |
|---|---|---|
| a | Koefisien (bilangan di depan variabel) | 3 |
| x | Variabel (yang dicari nilainya) | x |
| b | Konstanta (bilangan tanpa variabel) | 6 |
C. Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
ax + by = c
dengan a dan b tidak keduanya nol, x dan y adalah variabel
| Komponen | Keterangan | Contoh pada 2x + 3y = 12 |
|---|---|---|
| a | Koefisien variabel x | 2 |
| b | Koefisien variabel y | 3 |
| x, y | Variabel | x, y |
| c | Konstanta | 12 |
D. Cara Menyelesaikan Persamaan Linear
Prinsip utama: Lakukan operasi yang sama pada kedua ruas agar kesetimbangan tetap terjaga.
| Operasi | Contoh |
|---|---|
| Tambah kedua ruas | x − 3 = 7 → x − 3 + 3 = 7 + 3 → x = 10 |
| Kurang kedua ruas | x + 5 = 12 → x + 5 − 5 = 12 − 5 → x = 7 |
| Kali kedua ruas | x/4 = 3 → x/4 × 4 = 3 × 4 → x = 12 |
| Bagi kedua ruas | 5x = 20 → 5x/5 = 20/5 → x = 4 |
E. Grafik Persamaan Linear
Grafik persamaan linear y = mx + c adalah garis lurus.
Grafik dua persamaan linear: y = x + 1 dan y = 2x
Kegiatan:
Tentukan mana yang merupakan persamaan linear dan mana yang bukan:
- 3x + 5 = 11 → ✓ Persamaan linear (variabel pangkat 1)
- x² + 2 = 6 → ✗ Bukan (variabel pangkat 2)
- 2x − y = 4 → ✓ Persamaan linear dua variabel
- xy = 10 → ✗ Bukan (perkalian antar variabel)
- 7 − 4x = 0 → ✓ Persamaan linear
Kesimpulan:
- Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel berpangkat 1.
- Bentuk umum PLSV: ax + b = 0 dengan a ≠ 0
- Bentuk umum PLDV: ax + by = c
- Penyelesaian dicari dengan operasi yang sama pada kedua ruas.
- Grafiknya berupa garis lurus.
✏️ Contoh Soal — Persamaan Linear
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Selesaikan: x + 3 = 7
Lihat Pembahasan
Kurangkan 3 pada kedua ruas:
x + 3 − 3 = 7 − 3
x = 4
Jawaban: x = 4 ✓
2. Selesaikan: x − 5 = 2
Lihat Pembahasan
Tambahkan 5 pada kedua ruas:
x − 5 + 5 = 2 + 5
x = 7
Jawaban: x = 7 ✓
3. Selesaikan: 2x = 10
Lihat Pembahasan
Bagi kedua ruas dengan 2:
2x / 2 = 10 / 2
x = 5
Jawaban: x = 5 ✓
4. Selesaikan: x / 3 = 4
Lihat Pembahasan
Kalikan kedua ruas dengan 3:
(x / 3) × 3 = 4 × 3
x = 12
Jawaban: x = 12 ✓
5. Selesaikan: 3x + 1 = 10
Lihat Pembahasan
Kurangkan 1: 3x = 10 − 1 = 9
Bagi dengan 3: x = 9 / 3 = 3
Jawaban: x = 3 ✓
6. Selesaikan: 5x = 35
Lihat Pembahasan
Bagi kedua ruas dengan 5:
x = 35 / 5 = 7
Jawaban: x = 7 ✓
7. Selesaikan: x + 8 = 15
Lihat Pembahasan
x = 15 − 8 = 7
Jawaban: x = 7 ✓
8. Selesaikan: 4x − 8 = 0
Lihat Pembahasan
Tambahkan 8: 4x = 8
Bagi dengan 4: x = 2
Jawaban: x = 2 ✓
9. Selesaikan: x / 2 + 1 = 4
Lihat Pembahasan
Kurangkan 1: x / 2 = 3
Kalikan 2: x = 6
Jawaban: x = 6 ✓
10. Selesaikan: −2x = 14
Lihat Pembahasan
Bagi kedua ruas dengan −2:
x = 14 / (−2) = −7
Jawaban: x = −7 ✓
🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Selesaikan: 3x + 4 = 2x + 9
Lihat Pembahasan
Pindahkan variabel ke kiri, konstanta ke kanan:
3x − 2x = 9 − 4
x = 5
Cek: 3(5) + 4 = 19 dan 2(5) + 9 = 19 ✓
Jawaban: x = 5 ✓
2. Selesaikan: 2(x + 3) = 14
Lihat Pembahasan
Distribusikan: 2x + 6 = 14
Kurangkan 6: 2x = 8
Bagi dengan 2: x = 4
Cek: 2(4 + 3) = 2(7) = 14 ✓
Jawaban: x = 4 ✓
3. Selesaikan: 5x − 3 = 2x + 12
Lihat Pembahasan
5x − 2x = 12 + 3
3x = 15
x = 5
Jawaban: x = 5 ✓
4. Selesaikan: (x + 1) / 2 = (x − 1) / 3
Lihat Pembahasan
Kalikan kedua ruas dengan KPK (6):
3(x + 1) = 2(x − 1)
3x + 3 = 2x − 2
3x − 2x = −2 − 3
x = −5
Jawaban: x = −5 ✓
5. Umur Ani 3 tahun lebih tua dari Budi. Jumlah umur mereka 29 tahun. Berapa umur masing-masing?
Lihat Pembahasan
Misal umur Budi = x, maka umur Ani = x + 3
x + (x + 3) = 29
2x + 3 = 29
2x = 26 → x = 13
Umur Budi = 13 tahun, Umur Ani = 16 tahun
Jawaban: Budi 13 tahun, Ani 16 tahun ✓
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Selesaikan: 3(2x − 1) − 2(x + 4) = 5(x − 3)
Lihat Pembahasan
Distribusikan:
6x − 3 − 2x − 8 = 5x − 15
4x − 11 = 5x − 15
4x − 5x = −15 + 11
−x = −4 → x = 4
Cek: Kiri = 3(7) − 2(8) = 21 − 16 = 5. Kanan = 5(1) = 5. ✓
Jawaban: x = 4 ✓
2. Selesaikan: (2x + 3) / 4 − (x − 1) / 3 = 2
Lihat Pembahasan
KPK penyebut = 12. Kalikan kedua ruas dengan 12:
3(2x + 3) − 4(x − 1) = 24
6x + 9 − 4x + 4 = 24
2x + 13 = 24
2x = 11 → x = 11/2 = 5,5
Jawaban: x = 5,5 ✓
3. Selesaikan SPLDV:
2x + 3y = 12
x − y = 1
Lihat Pembahasan
Dari pers. 2: x = y + 1
Substitusi ke pers. 1: 2(y + 1) + 3y = 12
2y + 2 + 3y = 12
5y = 10 → y = 2
x = 2 + 1 = 3
Jawaban: x = 3, y = 2 ✓
4. Harga 4 buku dan 3 pensil adalah Rp23.000. Harga 2 buku dan 5 pensil adalah Rp21.000. Tentukan harga masing-masing.
Lihat Pembahasan
Misal buku = x, pensil = y
4x + 3y = 23.000 … (1)
2x + 5y = 21.000 … (2)
Pers. (2) × 2: 4x + 10y = 42.000 … (3)
(3) − (1): 7y = 19.000 → y = 19.000/7 ≈ 2.714
Hmm, supaya bulat kita gunakan eliminasi lain:
Sebenarnya (3)−(1): 4x + 10y − 4x − 3y = 42.000 − 23.000
7y = 19.000 → y = 19.000/7
Karena hasil tidak bulat, mari gunakan: buku = b, pensil = p
Dari (1): 4b = 23.000 − 3p → b = (23.000 − 3p)/4
Substitusi ke (2): 2(23.000 − 3p)/4 + 5p = 21.000
(23.000 − 3p)/2 + 5p = 21.000
23.000 − 3p + 10p = 42.000
7p = 19.000 → Harga pensil ≈ Rp2.714
Harga buku: b = (23.000 − 3(2.714))/4 ≈ Rp3.714
Jawaban: Buku ≈ Rp3.714, Pensil ≈ Rp2.714 ✓
(Catatan: Soal ini sengaja menghasilkan bilangan tidak bulat untuk melatih ketelitian)
5. Selesaikan: |2x − 6| = 10 (persamaan linear dengan nilai mutlak)
Lihat Pembahasan
Definisi nilai mutlak: |A| = B berarti A = B atau A = −B
Kasus 1: 2x − 6 = 10 → 2x = 16 → x = 8
Kasus 2: 2x − 6 = −10 → 2x = −4 → x = −2
Jawaban: x = 8 atau x = −2 ✓
📝 Latihan Soal — Persamaan Linear
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawaban di buku latihan.
🟢 Mudah
🟡 Sedang
🔴 Sulit
📗 Bagian 2: Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear
Perhatikan situasi berikut:
Rina memiliki uang Rp20.000. Ia ingin membeli es krim yang harganya Rp5.000 per buah. Berapa paling banyak es krim yang bisa dibeli?
Jika banyak es krim = x, maka:
5.000x ≤ 20.000
Pernyataan 5.000x ≤ 20.000 adalah contoh pertidaksamaan linear. Berbeda dengan persamaan, di sini digunakan tanda ≤ (kurang dari atau sama dengan).
Pertanyaan yang muncul:
- Apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan linear?
- Apa saja tanda ketidaksamaan yang digunakan?
- Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan linear?
- Kapan tanda pertidaksamaan berubah (berbalik)?
A. Pengertian Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan variabelnya berpangkat satu.
Perbedaan Persamaan dan Pertidaksamaan:
| Aspek | Persamaan | Pertidaksamaan |
|---|---|---|
| Tanda | = | < > ≤ ≥ |
| Solusi | Satu nilai (biasanya) | Himpunan nilai (interval) |
| Grafik pada garis bilangan | Satu titik | Selang/interval |
| Contoh | 2x + 1 = 5 | 2x + 1 < 5 |
B. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
ax + b < 0
atau menggunakan tanda >, ≤, ≥
dengan a ≠ 0
Bentuk-bentuk yang setara:
C. Aturan Penting Pertidaksamaan
⚠️ Aturan Kritis:
- Boleh menambah/mengurangi bilangan yang sama pada kedua ruas → tanda TIDAK berubah
- Boleh mengalikan/membagi dengan bilangan positif → tanda TIDAK berubah
- Jika mengalikan/membagi dengan bilangan negatif → tanda BERBALIK
| Operasi | Tanda | Contoh |
|---|---|---|
| Tambah/Kurang | Tetap | x + 3 < 7 → x < 4 |
| Kali/Bagi positif | Tetap | 2x > 6 → x > 3 |
| Kali/Bagi negatif | BERBALIK | −3x < 9 → x > −3 |
D. Notasi Himpunan Penyelesaian
| Pertidaksamaan | Notasi Himpunan | Notasi Interval | Garis Bilangan |
|---|---|---|---|
| x < a | {x | x < a} | (−∞, a) | ←——○ a |
| x ≤ a | {x | x ≤ a} | (−∞, a] | ←——● a |
| x > a | {x | x > a} | (a, ∞) | a ○——→ |
| x ≥ a | {x | x ≥ a} | [a, ∞) | a ●——→ |
● = titik termasuk (≤ atau ≥) ○ = titik tidak termasuk (< atau >)
E. Grafik Pertidaksamaan pada Garis Bilangan
Kegiatan:
Tentukan apakah nilai x = 2 memenuhi pertidaksamaan berikut:
- 3x + 1 < 10 → 3(2) + 1 = 7 < 10 → ✓ Memenuhi
- 5x − 4 > 8 → 5(2) − 4 = 6 > 8? → ✗ Tidak memenuhi
- 2x + 3 ≤ 7 → 2(2) + 3 = 7 ≤ 7 → ✓ Memenuhi
- x − 1 ≥ 3 → 2 − 1 = 1 ≥ 3? → ✗ Tidak memenuhi
Kesimpulan:
- Pertidaksamaan linear menggunakan tanda <, >, ≤, atau ≥.
- Bentuk umum: ax + b < 0 (atau >, ≤, ≥) dengan a ≠ 0
- Solusinya berupa himpunan/interval, bukan satu nilai.
- PENTING: Tanda berbalik jika dikali/dibagi bilangan negatif.
- Pada garis bilangan: ○ = tidak termasuk, ● = termasuk.
✏️ Contoh Soal — Pertidaksamaan Linear
🟢 Tingkat Mudah (10 Soal)
1. Selesaikan: x + 2 < 6
Lihat Pembahasan
Kurangkan 2: x < 6 − 2
x < 4
HP = {x | x < 4} atau interval (−∞, 4)
2. Selesaikan: x − 3 > 1
Lihat Pembahasan
Tambahkan 3: x > 1 + 3
x > 4
HP = {x | x > 4} atau interval (4, ∞)
3. Selesaikan: 2x ≤ 8
Lihat Pembahasan
Bagi dengan 2 (positif, tanda tetap): x ≤ 4
HP = {x | x ≤ 4} atau interval (−∞, 4]
4. Selesaikan: 3x > 15
Lihat Pembahasan
Bagi dengan 3: x > 5
HP = {x | x > 5}
5. Selesaikan: x + 5 ≥ 10
Lihat Pembahasan
Kurangkan 5: x ≥ 5
HP = {x | x ≥ 5} atau interval [5, ∞)
6. Selesaikan: x / 2 < 3
Lihat Pembahasan
Kalikan 2: x < 6
HP = {x | x < 6}
7. Selesaikan: 4x + 1 ≤ 13
Lihat Pembahasan
Kurangkan 1: 4x ≤ 12
Bagi 4: x ≤ 3
HP = {x | x ≤ 3}
8. Selesaikan: x − 7 < 0
Lihat Pembahasan
Tambahkan 7: x < 7
HP = {x | x < 7}
9. Selesaikan: 5x ≥ −20
Lihat Pembahasan
Bagi 5 (positif, tanda tetap): x ≥ −4
HP = {x | x ≥ −4}
10. Selesaikan: −x < 5
Lihat Pembahasan
Kalikan −1 pada kedua ruas → tanda berbalik!
x > −5
HP = {x | x > −5}
🟡 Tingkat Sedang (5 Soal)
1. Selesaikan: −3x + 6 > 0
Lihat Pembahasan
Kurangkan 6: −3x > −6
Bagi −3 → tanda berbalik: x < 2
HP = {x | x < 2} atau interval (−∞, 2)
2. Selesaikan: 2x + 3 < 5x − 6
Lihat Pembahasan
Pindahkan variabel ke kiri, konstanta ke kanan:
2x − 5x < −6 − 3
−3x < −9
Bagi −3 → tanda berbalik: x > 3
HP = {x | x > 3}
3. Selesaikan: 2(x − 1) ≤ 3(x + 2)
Lihat Pembahasan
Distribusikan: 2x − 2 ≤ 3x + 6
2x − 3x ≤ 6 + 2
−x ≤ 8
Kali −1 → berbalik: x ≥ −8
HP = {x | x ≥ −8}
4. Selesaikan: −2 < x + 1 ≤ 5 (pertidaksamaan ganda)
Lihat Pembahasan
Kurangkan 1 pada semua bagian:
−2 − 1 < x ≤ 5 − 1
−3 < x ≤ 4
HP = {x | −3 < x ≤ 4} atau interval (−3, 4]
5. Seorang siswa harus mendapat nilai minimal 75 pada ujian akhir. Jika nilai saat ini 60 dan ujian akhir berbobot 40%, berapa nilai minimum ujian akhir yang diperlukan?
Lihat Pembahasan
Misal nilai ujian akhir = x
Nilai total: 0,6(60) + 0,4x ≥ 75
36 + 0,4x ≥ 75
0,4x ≥ 39
x ≥ 97,5
Jawaban: Nilai minimum ujian akhir adalah 97,5
🔴 Tingkat Sulit (5 Soal)
1. Selesaikan: 3(2x − 1) − 4(x + 2) > 2x − 15
Lihat Pembahasan
Distribusikan: 6x − 3 − 4x − 8 > 2x − 15
2x − 11 > 2x − 15
2x − 2x > −15 + 11
0 > −4
Ini selalu benar untuk semua nilai x.
HP = {semua bilangan real} = ℝ atau interval (−∞, ∞)
2. Selesaikan: (2x + 1) / 3 − (x − 2) / 4 ≤ 1
Lihat Pembahasan
KPK = 12. Kalikan semua ruas dengan 12:
4(2x + 1) − 3(x − 2) ≤ 12
8x + 4 − 3x + 6 ≤ 12
5x + 10 ≤ 12
5x ≤ 2
x ≤ 2/5 = 0,4
HP = {x | x ≤ 0,4}
3. Selesaikan pertidaksamaan ganda: 1 ≤ 3 − 2x < 7
Lihat Pembahasan
Kurangkan 3: 1 − 3 ≤ −2x < 7 − 3
−2 ≤ −2x < 4
Bagi −2 → tanda berbalik dan urutan terbalik:
−2 > x ≥ 1 → ditulis ulang: −2 < x ≤ 1
Koreksi: bagi semua bagian dengan −2, balik semua tanda:
−2/(−2) ≥ x > 4/(−2)
1 ≥ x > −2 → −2 < x ≤ 1
HP = {x | −2 < x ≤ 1} atau interval (−2, 1]
4. Selesaikan: |x − 4| < 3
Lihat Pembahasan
Sifat nilai mutlak: |A| < B berarti −B < A < B
−3 < x − 4 < 3
Tambahkan 4: 1 < x < 7
HP = {x | 1 < x < 7} atau interval (1, 7)
5. Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan biaya tetap Rp500.000 dan biaya variabel Rp8.000/unit. Harga jual Rp12.000/unit. Berapa minimum unit yang harus dijual agar tidak rugi?
Lihat Pembahasan
Misal jumlah unit = x
Total biaya: 500.000 + 8.000x
Total pendapatan: 12.000x
Syarat tidak rugi (pendapatan ≥ biaya):
12.000x ≥ 500.000 + 8.000x
4.000x ≥ 500.000
x ≥ 125
Jawaban: Minimal 125 unit harus dijual ✓
Titik ini disebut Break Even Point (BEP).
📝 Latihan Soal — Pertidaksamaan Linear
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawaban di buku latihan.