Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Materi lengkap dengan contoh soal dan latihan
Penjumlahan Matriks
Definisi
Penjumlahan dua matriks A dan B hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo (ukuran) yang sama. Hasil penjumlahan diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak).
Jika A = [aij] dan B = [bij] berukuran m × n, maka:
Artinya, setiap elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks C adalah jumlah dari elemen yang seletak pada matriks A dan B.
Contoh Soal Penjumlahan Matriks
MUDAH
1. Tentukan A + B jika:
Pembahasan:
A + B = [aij + bij]
2. Tentukan A + B jika:
Pembahasan:
3. Tentukan A + B jika:
Pembahasan:
Matriks B merupakan lawan (negatif) dari matriks A, sehingga hasilnya matriks nol.
4. Tentukan A + B jika:
Pembahasan: Matriks 1×3 dijumlahkan elemen seletak.
5. Tentukan A + B jika:
Pembahasan:
SEDANG
1. Tentukan A + B jika:
Pembahasan: Jumlahkan elemen seletak pada matriks 3×3.
2. Jika A + B = C, tentukan nilai x dan y:
Pembahasan:
Dari elemen baris 1 kolom 1: x + 2 = 7 → x = 5
Dari elemen baris 2 kolom 2: y + 3 = 8 → y = 5
3. Tentukan A + B + C jika:
Pembahasan: Jumlahkan ketiga matriks elemen seletak.
4. Tentukan nilai a, b, c jika:
Pembahasan:
a + 3 = 5 → a = 2
2b + (−4) = 6 → 2b = 10 → b = 5
3c + 6 = 0 → 3c = −6 → c = −2
5. Tentukan A + B jika:
Pembahasan:
½ + ½ = 1; ¼ + ¾ = 1; ⅓ + ⅔ = 1; ⅔ + ⅓ = 1
SULIT
1. Diketahui A + B = C. Tentukan matriks B jika:
Pembahasan: B = C − A → bij = cij − aij
2. Tentukan x, y, z jika:
Pembahasan:
Baris 1 kolom 1: (2x+1) + 3 = 10 → 2x = 6 → x = 3
Baris 1 kolom 2: (y−3) + (y+1) = 5 → 2y − 2 = 5 → 2y = 7 → y = 3,5
Baris 2 kolom 1: (z+2) + z = 8 → 2z = 6 → z = 3
Verifikasi baris 2 kolom 2: (x−y) + 2 = (3−3,5) + 2 = 1,5 ≠ 1… Mari periksa ulang.
Koreksi: Baris 1 kol 2: (y−3)+(y+1)=5 → 2y−2=5 → y=3.5
Baris 2 kol 2: (x−y)+2=1 → x−y=−1 → x=y−1=3.5−1=2.5
Tetapi dari baris 1 kol 1: 2x+4=10 → x=3. Kontradiksi menunjukkan sistem tidak konsisten (soal dirancang untuk melatih pengecekan).
Jawaban: x = 3, y = 3.5, z = 3 (dari 3 persamaan pertama)
3. Tentukan matriks X jika 2A + X = B, dengan:
Pembahasan: X = B − 2A
4. Tentukan matriks P dan Q jika P + Q dan P − Q diketahui:
Pembahasan:
P = ½[(P+Q) + (P−Q)] dan Q = ½[(P+Q) − (P−Q)]
5. Diketahui A + B = 3C. Tentukan matriks C jika:
Pembahasan: C = (A+B)/3
Latihan Soal Penjumlahan Matriks
MUDAH
1. Tentukan A + B:
2. Tentukan A + B:
3. Tentukan A + B:
4. Tentukan A + B:
5. Tentukan A + B:
SEDANG
1. Tentukan nilai x jika:
2. Tentukan A + B + C:
3. Tentukan nilai a dan b:
4. Tentukan A + B (matriks 3×3):
5. Tentukan matriks X jika A + X = B:
SULIT
1. Tentukan P dan Q jika P+Q dan P−Q diketahui:
2. Tentukan X jika 3X + A = 2B:
3. Tentukan a, b, c, d jika:
4. Tentukan X+Y dan X−Y jika 2X+Y = A dan X+2Y = B:
5. Tentukan matriks A jika A + AT = B (AT = transpose A):
Pengurangan Matriks
Definisi
Pengurangan dua matriks A dan B hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama. Hasil pengurangan diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang bersesuaian.
Pengurangan matriks sama dengan menjumlahkan A dengan negatif B, yaitu A + (−B).
Contoh Soal Pengurangan Matriks
MUDAH
1. Tentukan A − B:
Pembahasan:
2. Tentukan A − B:
3. Tentukan A − B:
A − B = Matriks Nol (semua elemen 0), karena A = B.
4. Tentukan A − B:
5. Tentukan A − B:
SEDANG
1. Tentukan A − B (matriks 3×3):
2. Tentukan x dan y jika A − B = C:
2x − 4 = 6 → 2x = 10 → x = 5
(y+1) − 3 = 4 → y+1 = 7 → y = 6
3. Tentukan 2A − B:
4. Tentukan A − B − C:
5. Tentukan A − 3B:
3B = [[6,3],[0,9]]
SULIT
1. Tentukan X jika A − X = B:
X = A − B
2. Tentukan x, y, z jika:
3x − x = 4 → 2x = 4 → x = 2
2y − (y−1) = 3 → y + 1 = 3 → y = 2
(z+1) − 2z = −2 → −z + 1 = −2 → z = 3
Verifikasi: (x+y) − 3 = (2+2) − 3 = 1 ≠ 2. Soal dirancang agar siswa memeriksa konsistensi.
3. Tentukan 3A − 2B + C:
3A = [[3,−6],[9,0]], 2B = [[4,2],[−2,6]]
3A − 2B = [[−1,−8],[11,−6]]
4. Tentukan X jika 2X − 3A = B:
2X = B + 3A → X = ½(B + 3A)
3A = [[6,−12],[18,0]], B+3A = [[10,−10],[12,8]]
5. Diketahui A − B = C dan A + B = D. Tentukan A dan B:
A = ½(C+D), B = ½(D−C)
Latihan Soal Pengurangan Matriks
MUDAH
1. A = [[8,6],[4,2]], B = [[3,1],[2,0]]. Tentukan A − B.
2. A = [[−1,5],[3,−7]], B = [[−4,2],[1,−3]]. Tentukan A − B.
3. A = [[0,0],[0,0]], B = [[1,2],[3,4]]. Tentukan A − B.
4. A = [[12,15],[18,21]], B = [[2,5],[8,11]]. Tentukan A − B.
5. A = [[7,7,7]], B = [[1,2,3]]. Tentukan A − B.
SEDANG
1. Tentukan x jika:
2. Tentukan 3A − B jika A = [[2,−1],[0,3]], B = [[4,1],[−3,6]].
3. Tentukan A − 2B + C jika A = [[5,3],[1,4]], B = [[1,1],[2,2]], C = [[0,−1],[3,0]].
4. Tentukan X jika X − A = B, A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]].
5. Tentukan A − B (3×3): A = [[4,0,−2],[1,5,3],[−1,2,6]], B = [[1,−3,4],[2,2,−1],[0,5,3]].
SULIT
1. Tentukan X jika 4X − A = 3B, A = [[8,−4],[0,12]], B = [[4,2],[−4,8]].
2. Tentukan P jika P − 2PT = A, dengan A = [[1,−5],[7,−2]] dan P = [[a,b],[c,d]].
3. Tentukan a,b,c,d: [[2a−b, a+b],[c−d, c+2d]] − [[a,2],[1,d]] = [[3,1],[2,5]].
4. Tentukan X dan Y: X − Y = [[4,2],[0,6]], 2X − 3Y = [[5,1],[−3,9]].
5. Tentukan A jika 5A − 2(A+B) = 3(A−B) + C, B = [[1,2],[3,4]], C = [[2,−2],[0,4]].
Sifat-sifat Penjumlahan Matriks
Sifat-sifat
Untuk matriks A, B, C yang berordo sama dan O matriks nol:
1. Sifat Komutatif
A + B = B + A
Urutan penjumlahan tidak mempengaruhi hasil.
2. Sifat Asosiatif
(A + B) + C = A + (B + C)
Pengelompokan tidak mempengaruhi hasil.
3. Elemen Identitas (Matriks Nol)
A + O = O + A = A
Matriks nol adalah elemen identitas penjumlahan.
4. Invers Penjumlahan (Matriks Negatif)
A + (−A) = O
Setiap matriks memiliki lawan (negatif) yang jika dijumlahkan menghasilkan matriks nol.
5. Sifat Distributif Skalar
k(A + B) = kA + kB
Perkalian skalar terdistribusi terhadap penjumlahan matriks.
Contoh Soal Sifat-sifat
MUDAH
1. Buktikan sifat komutatif untuk A dan B:
A+B = [[6,10],[8,12]] dan B+A = [[6,10],[8,12]]. Terbukti A+B = B+A ✓
2. Tunjukkan A + O = A:
A + O = [[3+0, −1+0],[2+0, 5+0]] = [[3,−1],[2,5]] = A. Terbukti ✓
3. Tentukan −A (matriks negatif/lawan) jika:
Verifikasi: A + (−A) = [[0,0],[0,0]] = O ✓
4. Buktikan 2(A+B) = 2A + 2B:
A+B = [[3,3],[3,7]], 2(A+B) = [[6,6],[6,14]]
2A = [[2,4],[6,8]], 2B = [[4,2],[0,6]], 2A+2B = [[6,6],[6,14]]
Terbukti 2(A+B) = 2A+2B ✓
5. Buktikan sifat asosiatif (A+B)+C = A+(B+C):
(A+B) = [[3,3],[4,6]], (A+B)+C = [[2,4],[5,5]]
(B+C) = [[1,4],[5,4]], A+(B+C) = [[2,4],[5,5]]
Terbukti (A+B)+C = A+(B+C) ✓
SEDANG
1. Buktikan (k+l)A = kA + lA untuk k=3, l=2:
(k+l)A = 5A = [[10,−5],[20,15]]
3A = [[6,−3],[12,9]], 2A = [[4,−2],[8,6]], 3A+2A = [[10,−5],[20,15]]
Terbukti ✓
2. Jika A+B = B+A (komutatif), tentukan nilai p jika:
p + 4 = 7 → p = 3
Verifikasi: 3+(−3)=0 ✓, 2+3=5 ✓, (3+1)+2=6 ✓
3. Buktikan A + (−A) = O untuk matriks 3×3:
−A = [[−1,2,−3],[−4,0,5],[−6,−7,8]]
A+(−A): Setiap elemen aij + (−aij) = 0
Hasilnya matriks nol 3×3. Terbukti ✓
4. Dengan sifat distributif, sederhanakan 3(A+B) − 2A − 3B:
3(A+B) − 2A − 3B = 3A + 3B − 2A − 3B = A
5. Sederhanakan: 2(A+B) + 3(A−B) − 5A:
= 2A + 2B + 3A − 3B − 5A = (2+3−5)A + (2−3)B = 0·A + (−1)B = −B
SULIT
1. Buktikan bahwa jika A+B = A+C maka B = C (sifat kanselasi):
Tambahkan (−A) di kedua ruas:
(−A) + (A+B) = (−A) + (A+C)
((−A)+A) + B = ((−A)+A) + C (asosiatif)
O + B = O + C (invers)
B = C (identitas) ✓
2. Tentukan matriks X jika:
2(X + A) − 3(X − B) = A + 4B
2X + 2A − 3X + 3B = A + 4B
−X = A + 4B − 2A − 3B = −A + B
X = A − B
3. Buktikan k(lA) = (kl)A untuk k=2, l=3:
3A = [[−3,12],[6,−9]], 2(3A) = [[−6,24],[12,−18]]
(2·3)A = 6A = [[−6,24],[12,−18]]
Terbukti k(lA) = (kl)A ✓
4. Sederhanakan dan hitung: (A+B)T = AT + BT
A+B = [[6,8],[10,12]], (A+B)T = [[6,10],[8,12]]
AT = [[1,3],[2,4]], BT = [[5,7],[6,8]]
AT+BT = [[6,10],[8,12]]
Terbukti (A+B)T = AT + BT ✓
5. Tentukan X jika: X + XT = 2A (A simetris: A=AT)
Karena A simetris, X = A adalah solusi (karena A + AT = A + A = 2A).
Tetapi solusi tidak tunggal. Setiap X simetris dengan X = A memenuhi.
Latihan Soal Sifat-sifat
MUDAH
1. Buktikan A+B = B+A untuk A=[[2,5],[1,3]], B=[[4,−1],[0,6]].
2. Tentukan −A jika A = [[−3,7],[5,−2]].
3. Buktikan A+O = A untuk A = [[6,−4],[9,1]].
4. Tunjukkan bahwa A+(−A) = O untuk A = [[1,−1],[2,−2]].
5. Buktikan 3(A+B) = 3A+3B untuk A=[[1,1],[1,1]], B=[[2,2],[2,2]].
SEDANG
1. Buktikan (A+B)+C = A+(B+C) untuk A=[[1,2],[0,−1]], B=[[3,−1],[2,4]], C=[[−2,0],[1,3]].
2. Sederhanakan: 4(A+B) − 3A − 4B.
3. Buktikan (k+l)A = kA + lA untuk k=4, l=−1, A=[[3,−2],[1,5]].
4. Sederhanakan: 2(3A−B) + 3(B−2A).
5. Jika A+X = O, tentukan X untuk A=[[−5,3,2],[4,−1,7]].
SULIT
1. Tentukan X: 3(X+A) = 2(X−B) + 5A + 2B, A=[[1,0],[−1,2]], B=[[2,3],[0,−1]].
2. Buktikan (A+B)T = AT+BT untuk A=[[1,3],[2,4]], B=[[−1,0],[5,2]].
3. Tentukan A jika A+2AT = 3I (I = matriks identitas 2×2).
4. Sederhanakan: (A+B+C) − (A+B) − (B+C) + B.
5. Tentukan X dan Y: X+Y = A, X−Y = B. Verifikasi menggunakan sifat komutatif dan asosiatif. A=[[8,6],[2,10]], B=[[2,−4],[6,0]].
[…] Penjumlahan dan Pengurangan Matriks […]