Vektor Satuan dan Arah Vektor
Matematika Peminatan Kelas X
1. Pengertian Vektor Satuan
Mengamati
Perhatikan gambar berikut. Terdapat beberapa vektor dengan panjang (besar) yang berbeda-beda. Di antara vektor-vektor tersebut, ada vektor khusus yang memiliki panjang tepat 1 satuan.
Vektor yang berwarna merah dengan panjang 1 satuan disebut vektor satuan.
Menanya
- Apa yang dimaksud vektor satuan?
- Bagaimana cara menentukan vektor satuan dari suatu vektor?
- Apa simbol yang digunakan untuk vektor satuan?
Definisi
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki besar (panjang/magnitudo) tepat 1 satuan.
Jika a adalah suatu vektor, maka vektor satuan dalam arah a ditulis dengan simbol â (dibaca: “a topi” atau “a hat”).
Notasi dan Simbol
| Simbol | Nama | Keterangan |
|---|---|---|
| â | a topi / a hat | Vektor satuan dalam arah vektor a |
| |a| | Besar vektor a | Panjang/magnitudo vektor a |
| |â| = 1 | Besar vektor satuan | Panjang vektor satuan selalu 1 |
Rumus Vektor Satuan
Vektor satuan dari vektor a adalah:
â = a|a|
Artinya, vektor satuan diperoleh dengan membagi vektor dengan besarnya sendiri.
Menalar
Mengapa membagi vektor dengan besarnya menghasilkan vektor dengan panjang 1?
Karena: |â| = |a|a|| = |a||a| = 1
Jadi hasilnya selalu 1, berapapun panjang vektor asal.
Mencoba
Coba tentukan vektor satuan dari vektor a = (3, 4).
Langkah 1: Hitung |a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Langkah 2: â = (3, 4)5 = (35, 45) = (0,6 ; 0,8)
Verifikasi: |â| = √(0,6² + 0,8²) = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1 ✓
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu dengan bahasamu sendiri:
- Apa itu vektor satuan?
- Bagaimana langkah-langkah menentukan vektor satuan?
- Mengapa vektor satuan penting dalam matematika dan fisika?
Contoh Soal: Pengertian Vektor Satuan
Mudah
Contoh 1. Tentukan vektor satuan dari a = (3, 4).
Pembahasan
|a| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
â = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8)
Contoh 2. Tentukan vektor satuan dari b = (5, 12).
Pembahasan
|b| = √(25+144) = √169 = 13
b̂ = (5/13, 12/13)
Contoh 3. Tentukan vektor satuan dari c = (6, 8).
Pembahasan
|c| = √(36+64) = √100 = 10
ĉ = (6/10, 8/10) = (3/5, 4/5)
Contoh 4. Tentukan vektor satuan dari d = (1, 0).
Pembahasan
|d| = √(1+0) = 1
d̂ = (1/1, 0/1) = (1, 0). Vektor ini sudah merupakan vektor satuan.
Contoh 5. Tentukan vektor satuan dari e = (0, 7).
Pembahasan
|e| = √(0+49) = 7
ê = (0/7, 7/7) = (0, 1)
Contoh 6. Tentukan vektor satuan dari f = (8, 6).
Pembahasan
|f| = √(64+36) = √100 = 10
f̂ = (8/10, 6/10) = (4/5, 3/5)
Contoh 7. Tentukan vektor satuan dari g = (4, 3).
Pembahasan
|g| = √(16+9) = √25 = 5
ĝ = (4/5, 3/5)
Contoh 8. Apakah vektor (0,6 ; 0,8) merupakan vektor satuan?
Pembahasan
|(0,6 ; 0,8)| = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1. Ya, ini vektor satuan. ✓
Contoh 9. Apakah vektor (1, 1) merupakan vektor satuan?
Pembahasan
|(1, 1)| = √(1+1) = √2 ≈ 1,41 ≠ 1. Bukan vektor satuan.
Contoh 10. Tentukan vektor satuan dari h = (9, 12).
Pembahasan
|h| = √(81+144) = √225 = 15
ĥ = (9/15, 12/15) = (3/5, 4/5)
Sedang
Contoh 11. Tentukan vektor satuan dari a = (2, -2, 1).
Pembahasan
|a| = √(4+4+1) = √9 = 3
â = (2/3, -2/3, 1/3)
Contoh 12. Tentukan vektor satuan dari b = (1, 2, 2).
Pembahasan
|b| = √(1+4+4) = √9 = 3
b̂ = (1/3, 2/3, 2/3)
Contoh 13. Tentukan vektor satuan dari c = (1, 1). Nyatakan dalam bentuk akar.
Pembahasan
|c| = √(1+1) = √2
ĉ = (1/√2, 1/√2) = (√2/2, √2/2)
Contoh 14. Jika a = (2, -1) dan b = (4, 3), tentukan vektor satuan dari a + b.
Pembahasan
a + b = (6, 2)
|a + b| = √(36+4) = √40 = 2√10
Vektor satuan = (6/(2√10), 2/(2√10)) = (3/√10, 1/√10) = (3√10/10, √10/10)
Contoh 15. Tentukan vektor satuan dari d = (-3, 4, 12).
Pembahasan
|d| = √(9+16+144) = √169 = 13
d̂ = (-3/13, 4/13, 12/13)
Sulit
Contoh 16. Tentukan nilai k agar vektor (k, 2k, 2) merupakan vektor satuan.
Pembahasan
Syarat: |(k, 2k, 2)| = 1
√(k² + 4k² + 4) = 1
5k² + 4 = 1
5k² = -3 → Tidak ada solusi real.
Jadi tidak ada nilai k real yang memenuhi.
Contoh 17. Tentukan nilai a agar vektor (a, a, a) merupakan vektor satuan.
Pembahasan
|(a, a, a)| = 1 → √(3a²) = 1 → a√3 = 1 → a = 1/√3 = √3/3
Jika a positif, maka a = √3/3. Jika a negatif, a = -√3/3.
Contoh 18. Diketahui p = (2, -1, 2) dan q = (1, 2, -2). Tentukan vektor satuan dari 2p – q.
Pembahasan
2p – q = (4, -2, 4) – (1, 2, -2) = (3, -4, 6)
|2p – q| = √(9+16+36) = √61
Vektor satuan = (3/√61, -4/√61, 6/√61)
Contoh 19. Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus terhadap a = (3, 4) di R².
Pembahasan
Vektor tegak lurus (3,4) berbentuk (4, -3) atau (-4, 3) (karena dot product = 0).
|(4, -3)| = √(16+9) = 5
Vektor satuan: (4/5, -3/5) dan (-4/5, 3/5)
Contoh 20. Jika â dan b̂ adalah vektor satuan yang saling tegak lurus, dan c = 3â + 4b̂, tentukan |c| dan vektor satuan dari c.
Pembahasan
|c|² = |3â + 4b̂|² = 9|â|² + 24(â·b̂) + 16|b̂|²
Karena â⊥b̂: â·b̂ = 0, dan |â|=|b̂|=1
|c|² = 9 + 0 + 16 = 25 → |c| = 5
ĉ = (3â + 4b̂)/5 = (3/5)â + (4/5)b̂
Latihan Soal: Pengertian Vektor Satuan
Mudah
1. Tentukan vektor satuan dari (5, 12).
2. Tentukan vektor satuan dari (8, 15).
3. Tentukan vektor satuan dari (7, 24).
4. Tentukan vektor satuan dari (0, 5).
5. Tentukan vektor satuan dari (12, 0).
6. Apakah (3/5, 4/5) vektor satuan?
7. Apakah (1/2, 1/2) vektor satuan?
8. Tentukan vektor satuan dari (15, 20).
9. Tentukan vektor satuan dari (10, 24).
10. Tentukan vektor satuan dari (20, 21).
Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari (3, -4, 12).
2. Tentukan vektor satuan dari (2, 6, -3).
3. Jika a=(1,3) dan b=(2,-1), tentukan vektor satuan a+b.
4. Tentukan vektor satuan dari (1, 1, 1).
5. Tentukan vektor satuan dari (-2, 2, 1).
Sulit
1. Tentukan nilai p agar (p, 2p, p) merupakan vektor satuan.
2. Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus (5, 12) di R².
3. Jika â dan b̂ vektor satuan, â·b̂ = 1/2, tentukan |â – b̂|.
4. Tentukan vektor satuan dari 3a-2b jika a=(1,2,-2) dan b=(2,1,2).
5. Buktikan bahwa (cos θ, sin θ) selalu merupakan vektor satuan untuk semua θ.
2. Vektor Satuan î dan ĵ
Mengamati
Perhatikan sistem koordinat Cartesius berikut. Terdapat dua vektor satuan khusus:
Menanya
- Apa itu vektor satuan î dan ĵ?
- Bagaimana menuliskan vektor sembarang menggunakan î dan ĵ?
Definisi î dan ĵ
î (i topi) = vektor satuan searah sumbu-x positif = (1, 0)
ĵ (j topi) = vektor satuan searah sumbu-y positif = (0, 1)
Dalam ruang 3 dimensi, ditambahkan:
k̂ (k topi) = vektor satuan searah sumbu-z positif = (0, 0, 1)
Menyatakan Vektor dalam Bentuk î dan ĵ
Setiap vektor a = (a₁, a₂) dapat ditulis:
a = a₁î + a₂ĵ
Contoh: Vektor (3, -2) = 3î – 2ĵ
| Bentuk Komponen | Bentuk î, ĵ |
|---|---|
| (3, 4) | 3î + 4ĵ |
| (-2, 5) | -2î + 5ĵ |
| (0, -7) | -7ĵ |
| (6, 0) | 6î |
Menalar
Mengapa setiap vektor di bidang bisa dinyatakan sebagai kombinasi î dan ĵ?
Karena î dan ĵ membentuk basis untuk ruang R². Setiap titik (a₁, a₂) di bidang dapat dicapai dengan bergerak a₁ satuan searah î dan a₂ satuan searah ĵ.
Mencoba
Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk î dan ĵ, lalu gambarkan:
(a) (5, -3) → 5î – 3ĵ
(b) (-1, 4) → -î + 4ĵ
Mengkomunikasikan
Diskusikan: Apa keuntungan menuliskan vektor dalam bentuk î dan ĵ dibandingkan bentuk komponen (a, b)?
Contoh Soal: Vektor Satuan î dan ĵ
Mudah
Contoh 1. Nyatakan (4, 7) dalam bentuk î dan ĵ.
Pembahasan
4î + 7ĵ
Contoh 2. Nyatakan (-3, 2) dalam bentuk î dan ĵ.
Pembahasan
-3î + 2ĵ
Contoh 3. Tuliskan 5î – 8ĵ dalam bentuk komponen.
Pembahasan
(5, -8)
Contoh 4. Hitung 2î + 3ĵ + 4î – ĵ.
Pembahasan
(2+4)î + (3-1)ĵ = 6î + 2ĵ
Contoh 5. Tentukan besar vektor 3î + 4ĵ.
Pembahasan
|3î + 4ĵ| = √(9+16) = 5
Contoh 6. Tentukan besar vektor -5î + 12ĵ.
Pembahasan
√(25+144) = √169 = 13
Contoh 7. Jika a = 2î + ĵ dan b = 3î – 2ĵ, tentukan a + b.
Pembahasan
(2+3)î + (1-2)ĵ = 5î – ĵ
Contoh 8. Tentukan 3(2î – ĵ).
Pembahasan
6î – 3ĵ
Contoh 9. Nyatakan (0, -4) dalam bentuk î dan ĵ.
Pembahasan
-4ĵ
Contoh 10. Tentukan vektor satuan dari 6î + 8ĵ.
Pembahasan
|6î+8ĵ| = √(36+64) = 10. Vektor satuan = (6/10)î + (8/10)ĵ = 0,6î + 0,8ĵ
Sedang
Contoh 11. Jika a = î + 2ĵ + 3k̂ dan b = 2î – ĵ + k̂, tentukan vektor satuan dari a – b.
Pembahasan
a – b = -î + 3ĵ + 2k̂
|a–b| = √(1+9+4) = √14
Vektor satuan = (-1/√14)î + (3/√14)ĵ + (2/√14)k̂
Contoh 12. Tentukan nilai m agar vektor mî + (m+1)ĵ memiliki besar 5.
Pembahasan
√(m² + (m+1)²) = 5 → m² + m² + 2m + 1 = 25
2m² + 2m – 24 = 0 → m² + m – 12 = 0 → (m+4)(m-3) = 0
m = -4 atau m = 3
Contoh 13. Tentukan vektor satuan yang berlawanan arah dengan 2î – 3ĵ + 6k̂.
Pembahasan
|2î-3ĵ+6k̂| = √(4+9+36) = √49 = 7
Vektor satuan searah = (2/7)î – (3/7)ĵ + (6/7)k̂
Berlawanan arah = -(2/7)î + (3/7)ĵ – (6/7)k̂
Contoh 14. Tentukan a·b jika a = 3î + 4ĵ dan b = 2î – 5ĵ.
Pembahasan
a·b = (3)(2) + (4)(-5) = 6 – 20 = -14
Contoh 15. Tentukan vektor yang besarnya 10 dan searah dengan 3î + 4ĵ.
Pembahasan
Vektor satuan searah = (3/5)î + (4/5)ĵ
Vektor besarnya 10 = 10 × ((3/5)î + (4/5)ĵ) = 6î + 8ĵ
Sulit
Contoh 16. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut sama besar dengan sumbu x dan y positif di R².
Pembahasan
Sudut sama = 45°. Vektor satuan = cos45°î + sin45°ĵ = (√2/2)î + (√2/2)ĵ
Atau di kuadran III: -(√2/2)î – (√2/2)ĵ
Contoh 17. Jika a = 2î – ĵ + 2k̂, tentukan vektor yang besarnya 6 dan tegak lurus terhadap a serta terletak di bidang xy.
Pembahasan
Vektor di bidang xy: b = xî + yĵ. Tegak lurus: a·b = 0
2x – y = 0 → y = 2x
|b| = 6: √(x²+4x²) = 6 → x√5 = 6 → x = 6/√5
b = (6/√5)î + (12/√5)ĵ atau -(6/√5)î – (12/√5)ĵ
Contoh 18. Tentukan vektor satuan yang membagi sudut antara î dan ĵ sama besar (bisector).
Pembahasan
Bisector antara î dan ĵ: arahnya î + ĵ = (1,1)
|(1,1)| = √2
Vektor satuan = (1/√2)î + (1/√2)ĵ = (√2/2)î + (√2/2)ĵ
Contoh 19. Jika a=î+ĵ dan b=î-ĵ, nyatakan vektor (5,3) sebagai kombinasi linear dari a dan b.
Pembahasan
(5,3) = α(1,1) + β(1,-1) = (α+β, α-β)
α+β = 5 dan α-β = 3 → α = 4, β = 1
(5,3) = 4a + b
Contoh 20. Buktikan bahwa |a+b|² + |a–b|² = 2(|a|² + |b|²) untuk a=aî+bĵ, b=cî+dĵ.
Pembahasan
a+b = (a+c)î + (b+d)ĵ → |a+b|² = (a+c)²+(b+d)²
a–b = (a-c)î + (b-d)ĵ → |a–b|² = (a-c)²+(b-d)²
Jumlah = (a²+2ac+c²)+(b²+2bd+d²)+(a²-2ac+c²)+(b²-2bd+d²)
= 2a²+2c²+2b²+2d² = 2(a²+b²)+2(c²+d²) = 2|a|²+2|b|² ✓
Latihan Soal: Vektor Satuan î dan ĵ
Mudah
1. Nyatakan (7, -3) dalam bentuk î dan ĵ.
2. Nyatakan -2î + 9ĵ dalam bentuk komponen.
3. Hitung |4î – 3ĵ|.
4. Hitung (2î+ĵ) + (3î-4ĵ).
5. Hitung 5(î – 2ĵ).
6. Tentukan vektor satuan dari î + ĵ.
7. Nyatakan (0, 6) dalam bentuk î dan ĵ.
8. Hitung |5î + 12ĵ|.
9. Tentukan a–b jika a=4î+ĵ, b=2î+3ĵ.
10. Hitung 2(3î-ĵ) + (î+4ĵ).
Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari 2î – 2ĵ + k̂.
2. Tentukan nilai t agar |tî + 2ĵ| = 5.
3. Tentukan vektor berukuran 13 searah 5î + 12ĵ.
4. Hitung (î+2ĵ+3k̂)·(2î-ĵ+k̂).
5. Tentukan vektor satuan berlawanan arah dengan î – 2ĵ + 2k̂.
Sulit
1. Tentukan sudut antara 3î+4ĵ dan 4î-3ĵ.
2. Nyatakan (7,1) sebagai kombinasi linear dari (2,1) dan (1,3).
3. Tentukan proyeksi a=3î+4ĵ pada b=î+ĵ.
4. Tentukan vektor satuan tegak lurus î+2ĵ-2k̂ dan 2î-ĵ+2k̂.
5. Jika |a|=3, |b|=4, a·b=0, tentukan |a+b|.
3. Menentukan Vektor Satuan
Mengamati
Perhatikan langkah-langkah sistematis berikut untuk menentukan vektor satuan:
Menanya
- Bagaimana jika vektor memiliki komponen negatif?
- Bagaimana untuk vektor 3 dimensi?
- Apa gunanya menentukan vektor satuan?
Prosedur Lengkap
Untuk vektor 2D: a = (x, y)
- Hitung besar: |a| = √(x² + y²)
- Bagi tiap komponen: â = (x/|a|, y/|a|)
Untuk vektor 3D: a = (x, y, z)
- Hitung besar: |a| = √(x² + y² + z²)
- Bagi tiap komponen: â = (x/|a|, y/|a|, z/|a|)
Kegunaan Vektor Satuan
- Menunjukkan arah tanpa mempermasalahkan besar vektor
- Membuat vektor baru dengan besar tertentu: v = r × â
- Dalam fisika: gaya, kecepatan, percepatan sering dinyatakan sebagai besar × arah
Menalar
Membuat vektor dengan besar tertentu:
Jika ingin vektor berukuran r searah a, maka:
v = r × â = r × a|a|
Contoh: Vektor berukuran 10 searah (3,4): v = 10 × (3/5, 4/5) = (6, 8)
Mencoba
Tentukan vektor satuan dan vektor berukuran 15 searah (2, -1, 2):
|a| = √(4+1+4) = 3
â = (2/3, -1/3, 2/3)
v = 15â = (10, -5, 10)
Mengkomunikasikan
Berikan contoh penggunaan vektor satuan dalam kehidupan sehari-hari (navigasi, gaya pada benda, arah angin, dll).
Contoh Soal: Menentukan Vektor Satuan
Mudah
Contoh 1. Tentukan vektor satuan dari (12, 5).
Pembahasan
|(12,5)| = √(144+25) = 13. â = (12/13, 5/13)
Contoh 2. Tentukan vektor satuan dari (-4, 3).
Pembahasan
|(-4,3)| = √(16+9) = 5. â = (-4/5, 3/5)
Contoh 3. Tentukan vektor satuan dari (0, -3).
Pembahasan
|(0,-3)| = 3. â = (0, -1)
Contoh 4. Tentukan vektor satuan dari (24, 7).
Pembahasan
|(24,7)| = √(576+49) = √625 = 25. â = (24/25, 7/25)
Contoh 5. Tentukan vektor berukuran 10 searah (3, 4).
Pembahasan
â = (3/5, 4/5). Vektor = 10×(3/5, 4/5) = (6, 8)
Contoh 6. Tentukan vektor berukuran 26 searah (5, 12).
Pembahasan
â = (5/13, 12/13). Vektor = 26×(5/13, 12/13) = (10, 24)
Contoh 7. Tentukan vektor satuan dari (1, 1).
Pembahasan
|(1,1)| = √2. â = (1/√2, 1/√2) = (√2/2, √2/2)
Contoh 8. Tentukan vektor satuan dari (2, 0).
Pembahasan
|(2,0)| = 2. â = (1, 0) = î
Contoh 9. Tentukan vektor satuan dari (-6, 8).
Pembahasan
|(-6,8)| = √(36+64) = 10. â = (-3/5, 4/5)
Contoh 10. Tentukan vektor satuan dari (15, 20).
Pembahasan
|(15,20)| = √(225+400) = √625 = 25. â = (3/5, 4/5)
Sedang
Contoh 11. Tentukan vektor satuan dari (3, -6, 6).
Pembahasan
|(3,-6,6)| = √(9+36+36) = √81 = 9. â = (1/3, -2/3, 2/3)
Contoh 12. Tentukan vektor berukuran 7 searah (2, 3, 6).
Pembahasan
|(2,3,6)| = √(4+9+36) = 7. â = (2/7, 3/7, 6/7). Vektor = 7â = (2, 3, 6)
Contoh 13. Jika a=(3,4) dan b=(1,-2), tentukan vektor satuan dari 2a–b.
Pembahasan
2a–b = (6,8)-(1,-2) = (5, 10)
|(5,10)| = √(25+100) = √125 = 5√5
â = (5/(5√5), 10/(5√5)) = (1/√5, 2/√5) = (√5/5, 2√5/5)
Contoh 14. Tentukan vektor berukuran 3 berlawanan arah dengan (4, -4, 2).
Pembahasan
|(4,-4,2)| = √(16+16+4) = √36 = 6
â searah = (4/6, -4/6, 2/6) = (2/3, -2/3, 1/3)
Berlawanan: -3 × â = (-2, 2, -1)
Contoh 15. Tentukan vektor satuan dari A(1,2,3) ke B(4,6,3).
Pembahasan
AB = B – A = (3, 4, 0). |AB| = √(9+16+0) = 5
Vektor satuan = (3/5, 4/5, 0)
Sulit
Contoh 16. Tentukan vektor satuan dari titik A(1,2) ke titik B(4,6) kemudian buat vektor berukuran 20 dalam arah tersebut.
Pembahasan
AB = (3, 4). |AB| = 5. â = (3/5, 4/5)
Vektor berukuran 20 = 20â = (12, 16)
Contoh 17. Dua buah gaya F₁ = 3î + 4ĵ dan F₂ = -5î + 12ĵ bekerja pada suatu benda. Tentukan vektor satuan resultan gaya.
Pembahasan
R = F₁ + F₂ = -2î + 16ĵ
|R| = √(4+256) = √260 = 2√65
R̂ = (-2/(2√65), 16/(2√65)) = (-1/√65, 8/√65)
Contoh 18. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 60° terhadap sumbu x positif.
Pembahasan
â = (cos 60°, sin 60°) = (1/2, √3/2)
Contoh 19. Tentukan vektor satuan di bidang xy yang tegak lurus (3, 4) dan mengarah ke kuadran II.
Pembahasan
Tegak lurus (3,4): bisa (4,-3) atau (-4,3). Kuadran II: x<0, y>0 → (-4, 3)
|(-4,3)| = 5. â = (-4/5, 3/5) ✓ (kuadran II)
Contoh 20. Sebuah partikel bergerak dari A(1,1,1) ke B(3,5,4). Tentukan vektor satuan arah gerak dan posisi setelah menempuh jarak 14 satuan dari A.
Pembahasan
AB = (2, 4, 3). |AB| = √(4+16+9) = √29
â = (2/√29, 4/√29, 3/√29)
Posisi = A + 14â = (1 + 28/√29, 1 + 56/√29, 1 + 42/√29)
Latihan Soal: Menentukan Vektor Satuan
Mudah
1. Tentukan vektor satuan dari (10, 24).
2. Tentukan vektor satuan dari (-3, 4).
3. Tentukan vektor satuan dari (7, 0).
4. Tentukan vektor satuan dari (0, -9).
5. Tentukan vektor berukuran 15 searah (4, 3).
6. Tentukan vektor berukuran 20 searah (8, 6).
7. Tentukan vektor satuan dari (6, -8).
8. Tentukan vektor satuan dari (20, 15).
9. Tentukan vektor satuan dari (-5, 12).
10. Tentukan vektor berukuran 10 searah (1, 0).
Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari (4, 4, -2).
2. Tentukan vektor berukuran 9 searah (1, 2, 2).
3. Tentukan vektor satuan dari A(2,1) ke B(5,5).
4. Tentukan vektor berukuran 6√2 searah (1, 1, 0).
5. Jika a=(1,-2) dan b=(3,4), tentukan vektor satuan dari a+2b.
Sulit
1. Tentukan semua vektor satuan di bidang xy yang tegak lurus (5, 12).
2. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 135° terhadap sumbu x positif.
3. Resultan gaya F₁=(2,3,-6) dan F₂=(-1,4,2). Tentukan vektor satuan resultan.
4. Partikel dari A(0,0,0) ke B(1,2,2). Posisi setelah menempuh 9 satuan?
5. Tentukan nilai k agar |(k,k+1,k-1)| = 3.
4. Sudut dan Arah Vektor
Mengamati
Perhatikan vektor pada gambar berikut. Sudut θ diukur dari sumbu-x positif berlawanan arah jarum jam.
Sudut θ menentukan arah vektor di bidang koordinat.
Menanya
- Bagaimana cara menentukan sudut arah suatu vektor?
- Apa yang dimaksud sudut arah vektor?
- Bagaimana jika vektor berada di kuadran II, III, atau IV?
Definisi Sudut Arah Vektor
Sudut arah vektor (θ) adalah sudut yang dibentuk oleh vektor terhadap sumbu-x positif, diukur berlawanan arah jarum jam (counter-clockwise).
Untuk vektor a = (x, y):
tan θ = y/x
θ = arctan(y/x)
Sudut di Setiap Kuadran
| Kuadran | Tanda (x, y) | Rentang θ | Rumus θ |
|---|---|---|---|
| I | (+, +) | 0° < θ < 90° | θ = arctan(y/x) |
| II | (-, +) | 90° < θ < 180° | θ = 180° + arctan(y/x) |
| III | (-, -) | 180° < θ < 270° | θ = 180° + arctan(y/x) |
| IV | (+, -) | 270° < θ < 360° | θ = 360° + arctan(y/x) |
*Catatan: arctan(y/x) pada kuadran II dan III menghasilkan nilai negatif dari kalkulator, sehingga perlu ditambah 180°.
Menalar
Mengapa perlu memperhatikan kuadran saat menentukan sudut?
Karena fungsi arctan hanya menghasilkan sudut antara -90° hingga 90°. Untuk vektor di kuadran II dan III, hasil arctan perlu disesuaikan dengan menambahkan 180°.
Mencoba
Contoh: Tentukan sudut arah vektor a = (-3, 3).
tan θ = 3/(-3) = -1. Vektor di kuadran II (x<0, y>0).
arctan(-1) = -45°. θ = 180° + (-45°) = 135°.
Mengkomunikasikan
Jelaskan mengapa vektor (1, 1) dan (-1, -1) memiliki sudut yang berbeda 180° meski tan θ keduanya = 1.
Contoh Soal: Sudut dan Arah Vektor
Mudah
Contoh 1. Tentukan sudut arah vektor (1, √3).
Pembahasan
tan θ = √3/1 = √3. θ = 60° (kuadran I)
Contoh 2. Tentukan sudut arah vektor (1, 1).
Pembahasan
tan θ = 1/1 = 1. θ = 45° (kuadran I)
Contoh 3. Tentukan sudut arah vektor (√3, 1).
Pembahasan
tan θ = 1/√3. θ = 30° (kuadran I)
Contoh 4. Tentukan sudut arah vektor (0, 5).
Pembahasan
Vektor searah sumbu-y positif. θ = 90°
Contoh 5. Tentukan sudut arah vektor (4, 0).
Pembahasan
Vektor searah sumbu-x positif. θ = 0°
Contoh 6. Tentukan sudut arah vektor (-1, 0).
Pembahasan
Vektor searah sumbu-x negatif. θ = 180°
Contoh 7. Tentukan sudut arah vektor (0, -2).
Pembahasan
Vektor searah sumbu-y negatif. θ = 270°
Contoh 8. Tentukan sudut arah vektor (1, -1).
Pembahasan
tan θ = -1/1 = -1. Kuadran IV (x>0, y<0). θ = 360° – 45° = 315°
Contoh 9. Tentukan sudut arah vektor (√3, -1).
Pembahasan
tan θ = -1/√3. Kuadran IV. θ = 360° – 30° = 330°
Contoh 10. Tentukan sudut arah vektor (-1, √3).
Pembahasan
tan θ = √3/(-1) = -√3. Kuadran II. arctan(-√3) = -60°. θ = 180° – 60° = 120°
Sedang
Contoh 11. Tentukan sudut arah vektor (-3, -3√3).
Pembahasan
tan θ = -3√3/(-3) = √3. Kuadran III (x<0, y<0).
arctan(√3) = 60°. θ = 180° + 60° = 240°
Contoh 12. Tentukan sudut arah vektor (5, -5√3).
Pembahasan
tan θ = -5√3/5 = -√3. Kuadran IV. θ = 360° – 60° = 300°
Contoh 13. Jika sudut arah vektor adalah 150° dan besarnya 10, tentukan komponen vektor.
Pembahasan
x = 10 cos 150° = 10 × (-√3/2) = -5√3
y = 10 sin 150° = 10 × (1/2) = 5
Vektor = (-5√3, 5)
Contoh 14. Tentukan sudut arah vektor (-2, -2).
Pembahasan
tan θ = -2/(-2) = 1. Kuadran III. θ = 180° + 45° = 225°
Contoh 15. Tentukan sudut antara dua vektor a=(1,0) dan b=(1,1).
Pembahasan
cos α = (a·b)/(|a||b|) = (1+0)/(1×√2) = 1/√2
α = 45°
Sulit
Contoh 16. Tentukan sudut antara vektor a=3î+4ĵ dan b=4î-3ĵ.
Pembahasan
a·b = 12 + (-12) = 0
cos α = 0/(5×5) = 0 → α = 90°. Kedua vektor saling tegak lurus.
Contoh 17. Tentukan sudut antara vektor (1, 1, 1) dan (1, -1, 0).
Pembahasan
Dot product = 1-1+0 = 0. |a|=√3, |b|=√2
cos α = 0 → α = 90°
Contoh 18. Tentukan sudut antara vektor (2, 1, -1) dan (1, -1, 2).
Pembahasan
Dot = 2-1-2 = -1. |a| = √6, |b| = √6
cos α = -1/6 → α = arccos(-1/6) ≈ 99,6°
Contoh 19. Tentukan vektor yang membuat sudut 30° terhadap a=(1,0) dan memiliki besar 4.
Pembahasan
Sudut terhadap sumbu x = 30°.
v = 4(cos 30°, sin 30°) = 4(√3/2, 1/2) = (2√3, 2)
Atau sudut -30°: (2√3, -2)
Contoh 20. Dua vektor a dan b masing-masing berukuran 5 dan 8. Jika sudut antaranya 60°, tentukan |a+b|.
Pembahasan
|a+b|² = |a|² + 2a·b + |b|²
= 25 + 2(5)(8)cos60° + 64 = 25 + 40 + 64 = 129
|a+b| = √129 ≈ 11,36
Latihan Soal: Sudut dan Arah Vektor
Mudah
1. Tentukan sudut arah vektor (3, 3).
2. Tentukan sudut arah vektor (0, -7).
3. Tentukan sudut arah vektor (-5, 0).
4. Tentukan sudut arah vektor (1, √3).
5. Tentukan sudut arah vektor (√3, -1).
6. Tentukan sudut arah vektor (-1, -1).
7. Tentukan sudut arah vektor (2, 0).
8. Tentukan sudut arah vektor (-√3, 1).
9. Tentukan sudut arah vektor (1, -√3).
10. Tentukan sudut arah vektor (-1, √3).
Sedang
1. Jika sudut arah 210° dan besar 8, tentukan komponen vektor.
2. Tentukan sudut antara (3,4) dan (4,3).
3. Tentukan sudut arah vektor (-5, 5√3).
4. Tentukan sudut arah resultan (3,4) + (-1,2).
5. Tentukan sudut antara (1,2,-2) dan (2,-1,2).
Sulit
1. Dua vektor berukuran 6 dan 10 membentuk sudut 120°. Hitung |a–b|.
2. Tentukan sudut antara diagonal ruang kubus dengan salah satu rusuknya.
3. Vektor a membuat sudut 30° dan b membuat sudut 120° terhadap sumbu x. |a|=6, |b|=4. Tentukan |a+b|.
4. Tentukan sudut antara (1,1,1) dan (1,1,0).
5. Tentukan vektor berukuran 12 yang membuat sudut 45° terhadap (3,4).
5. Hubungan Sudut dengan Komponen Vektor
Mengamati
Perhatikan hubungan trigonometri pada segitiga yang terbentuk dari vektor dan komponen-komponennya:
Menanya
- Bagaimana hubungan antara sudut, besar, dan komponen vektor?
- Bagaimana menguraikan vektor menjadi komponen x dan y?
- Bagaimana menentukan besar dan sudut dari komponen?
Rumus Dasar
Menguraikan vektor (dari besar dan sudut ke komponen):
aₓ = |a| cos θ
aᵧ = |a| sin θ
Menyusun vektor (dari komponen ke besar dan sudut):
|a| = √(aₓ² + aᵧ²)
θ = arctan(aᵧ / aₓ)
Bentuk Vektor Menggunakan Sudut
Vektor dengan besar r dan sudut arah θ:
a = r cos θ · î + r sin θ · ĵ
Atau dalam bentuk komponen: a = (r cos θ, r sin θ)
Tabel Hubungan Sudut Istimewa
| θ | cos θ | sin θ | Vektor satuan (cos θ, sin θ) |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 | (1, 0) |
| 30° | √3/2 | 1/2 | (√3/2, 1/2) |
| 45° | √2/2 | √2/2 | (√2/2, √2/2) |
| 60° | 1/2 | √3/2 | (1/2, √3/2) |
| 90° | 0 | 1 | (0, 1) |
| 120° | -1/2 | √3/2 | (-1/2, √3/2) |
| 135° | -√2/2 | √2/2 | (-√2/2, √2/2) |
| 150° | -√3/2 | 1/2 | (-√3/2, 1/2) |
| 180° | -1 | 0 | (-1, 0) |
Menalar
Mengapa cos θ untuk komponen x dan sin θ untuk komponen y?
Dari definisi trigonometri pada segitiga siku-siku: cos θ = sisi samping/hipotenusa = aₓ/r, sehingga aₓ = r cos θ. Demikian juga sin θ = sisi depan/hipotenusa = aᵧ/r, sehingga aᵧ = r sin θ.
Mencoba
Contoh 1: Uraikan vektor berukuran 10 dengan sudut arah 53° (sin 53° ≈ 0,8; cos 53° ≈ 0,6).
aₓ = 10 cos 53° = 10 × 0,6 = 6
aᵧ = 10 sin 53° = 10 × 0,8 = 8
a = (6, 8) = 6î + 8ĵ
Contoh 2: Dari vektor (5, 5√3), tentukan besar dan sudut arah.
|a| = √(25 + 75) = √100 = 10
tan θ = 5√3/5 = √3 → θ = 60°
Mengkomunikasikan
Diskusikan aplikasi hubungan sudut dan komponen vektor dalam:
- Gerak peluru (fisika)
- Navigasi kapal/pesawat
- Gaya pada bidang miring
Contoh Soal: Hubungan Sudut dengan Komponen Vektor
Mudah
Contoh 1. Uraikan vektor berukuran 8 dengan sudut arah 30°.
Pembahasan
aₓ = 8cos30° = 8(√3/2) = 4√3. aᵧ = 8sin30° = 8(1/2) = 4. Vektor = (4√3, 4)
Contoh 2. Uraikan vektor berukuran 10 dengan sudut arah 60°.
Pembahasan
aₓ = 10cos60° = 5. aᵧ = 10sin60° = 5√3. Vektor = (5, 5√3)
Contoh 3. Uraikan vektor berukuran 6 dengan sudut arah 45°.
Pembahasan
aₓ = 6cos45° = 3√2. aᵧ = 6sin45° = 3√2. Vektor = (3√2, 3√2)
Contoh 4. Uraikan vektor berukuran 12 dengan sudut arah 90°.
Pembahasan
aₓ = 12cos90° = 0. aᵧ = 12sin90° = 12. Vektor = (0, 12)
Contoh 5. Tentukan besar dan sudut arah vektor (3, 3√3).
Pembahasan
|a| = √(9+27) = √36 = 6. tan θ = 3√3/3 = √3 → θ = 60°
Contoh 6. Tentukan besar dan sudut arah vektor (5, 5).
Pembahasan
|a| = √(25+25) = 5√2. tan θ = 1 → θ = 45°
Contoh 7. Uraikan vektor berukuran 20 dengan sudut 0°.
Pembahasan
aₓ = 20cos0° = 20. aᵧ = 20sin0° = 0. Vektor = (20, 0)
Contoh 8. Uraikan vektor berukuran 14 dengan sudut 180°.
Pembahasan
aₓ = 14cos180° = -14. aᵧ = 14sin180° = 0. Vektor = (-14, 0)
Contoh 9. Tentukan besar dan sudut arah vektor (4√3, 4).
Pembahasan
|a| = √(48+16) = √64 = 8. tan θ = 4/(4√3) = 1/√3 → θ = 30°
Contoh 10. Tentukan besar dan sudut arah vektor (0, -8).
Pembahasan
|a| = 8. Arah: sumbu y negatif → θ = 270°
Sedang
Contoh 11. Uraikan vektor berukuran 16 dengan sudut arah 120°.
Pembahasan
aₓ = 16cos120° = 16(-1/2) = -8
aᵧ = 16sin120° = 16(√3/2) = 8√3
Vektor = (-8, 8√3)
Contoh 12. Tentukan besar dan sudut arah vektor (-5, 5√3).
Pembahasan
|a| = √(25+75) = 10. tan θ = 5√3/(-5) = -√3. Kuadran II.
θ = 180° – 60° = 120°
Contoh 13. Dua gaya: F₁ = 10N arah 30°, F₂ = 6N arah 150°. Tentukan resultan.
Pembahasan
F₁ₓ = 10cos30° = 5√3 ≈ 8,66. F₁ᵧ = 10sin30° = 5
F₂ₓ = 6cos150° = -3√3 ≈ -5,20. F₂ᵧ = 6sin150° = 3
Rₓ = 5√3 – 3√3 = 2√3 ≈ 3,46. Rᵧ = 5 + 3 = 8
|R| = √(12+64) = √76 ≈ 8,72N
θ = arctan(8/(2√3)) ≈ arctan(2,31) ≈ 66,6°
Contoh 14. Uraikan vektor berukuran 5 dengan sudut 225°.
Pembahasan
aₓ = 5cos225° = 5(-√2/2) = -5√2/2
aᵧ = 5sin225° = 5(-√2/2) = -5√2/2
Vektor = (-5√2/2, -5√2/2)
Contoh 15. Tentukan besar dan sudut arah vektor (-4, -4√3).
Pembahasan
|a| = √(16+48) = √64 = 8
tan θ = -4√3/(-4) = √3. Kuadran III. θ = 180°+60° = 240°
Sulit
Contoh 16. Tiga gaya bekerja pada sebuah titik: F₁=8N arah 0°, F₂=6N arah 90°, F₃=4N arah 210°. Tentukan resultan (besar dan arah).
Pembahasan
F₁ₓ=8, F₁ᵧ=0. F₂ₓ=0, F₂ᵧ=6. F₃ₓ=4cos210°=-2√3, F₃ᵧ=4sin210°=-2
Rₓ = 8+0-2√3 = 8-2√3 ≈ 4,54. Rᵧ = 0+6-2 = 4
|R| = √(4,54²+16) = √(20,6+16) = √36,6 ≈ 6,05N
θ = arctan(4/4,54) ≈ 41,4°
Contoh 17. Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 100 m/s membentuk sudut 37° terhadap horizontal (sin37°=0,6, cos37°=0,8). Tentukan komponen kecepatan horizontal dan vertikal awal.
Pembahasan
vₓ = 100 cos37° = 100(0,8) = 80 m/s
vᵧ = 100 sin37° = 100(0,6) = 60 m/s
Contoh 18. Vektor a berukuran 10 membuat sudut 53° dengan sumbu x. Vektor b berukuran 6 membuat sudut 143° dengan sumbu x. Tentukan sudut arah a+b.
Pembahasan
aₓ=10cos53°=6, aᵧ=10sin53°=8
bₓ=6cos143°≈-4,79, bᵧ=6sin143°≈3,61
Rₓ=6-4,79=1,21, Rᵧ=8+3,61=11,61
θ = arctan(11,61/1,21) ≈ 84°
Contoh 19. Tentukan sudut antara vektor berukuran r dengan sudut arah α dan vektor berukuran s dengan sudut arah β. Buktikan bahwa cos(sudut) = cos(α-β).
Pembahasan
a = (r cosα, r sinα), b = (s cosβ, s sinβ)
a·b = rs cosα cosβ + rs sinα sinβ = rs(cosα cosβ + sinα sinβ) = rs cos(α-β)
cos(sudut) = a·b/(|a||b|) = rs cos(α-β)/(rs) = cos(α-β) ✓
Contoh 20. Sebuah kapal berlayar dengan kecepatan 20 km/jam ke arah N30°E (30° dari Utara ke Timur). Tentukan komponen kecepatan ke arah Timur dan Utara.
Pembahasan
Dalam koordinat biasa (x=Timur, y=Utara), sudut dari sumbu y (Utara) = 30°.
Sudut dari sumbu x = 90° – 30° = 60°
vTimur = 20 sin30° = 10 km/jam
vUtara = 20 cos30° = 10√3 ≈ 17,3 km/jam
Latihan Soal: Hubungan Sudut dengan Komponen Vektor
Mudah
1. Uraikan vektor berukuran 12 dengan sudut 45°.
2. Uraikan vektor berukuran 6 dengan sudut 60°.
3. Uraikan vektor berukuran 10 dengan sudut 30°.
4. Tentukan besar dan sudut vektor (2, 2).
5. Tentukan besar dan sudut vektor (3√3, 3).
6. Uraikan vektor berukuran 4 dengan sudut 90°.
7. Uraikan vektor berukuran 8 dengan sudut 0°.
8. Tentukan besar dan sudut vektor (5, 5√3).
9. Uraikan vektor berukuran 16 dengan sudut 150°.
10. Tentukan besar vektor (6cos40°, 6sin40°).
Sedang
1. F₁=12N arah 60°, F₂=8N arah 150°. Tentukan resultan.
2. Tentukan besar dan sudut arah (-3√3, 3).
3. Uraikan vektor berukuran 20 dengan sudut 315°.
4. Benda bergerak 50m/s sudut 53° (sin53°=0,8). Tentukan vₓ dan vᵧ.
5. Tentukan sudut yang dibentuk vektor (2, 2√3) terhadap sumbu x.
Sulit
1. Empat gaya: F₁=10N (0°), F₂=8N (90°), F₃=6N (180°), F₄=4N (270°). Tentukan resultan.
2. Pesawat terbang ke arah N60°W dengan kecepatan 300km/jam. Tentukan komponen ke Barat dan Utara.
3. Peluru ditembak 80m/s sudut 45°. Tentukan jarak horizontal saat ketinggian maksimum (g=10m/s²).
4. Tiga vektor berukuran sama (r) membentuk sudut 120° satu sama lain. Buktikan resultannya nol.
5. Vektor a (sudut α) dan b (sudut β) sama besar. Buktikan resultan membuat sudut (α+β)/2 terhadap sumbu x.