Perkalian Matriks
Materi lengkap, contoh soal, dan latihan untuk memahami perkalian skalar dengan matriks dan perkalian antar matriks.
📐 Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
Pengertian
Jika k adalah suatu bilangan (skalar) dan A adalah suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k.
Rumus Umum:
Jika A = [abcd], maka:
k × A = [kakbkckd]
Sifat-sifat Perkalian Skalar
- k(A + B) = kA + kB (distributif)
- (k + l)A = kA + lA (distributif skalar)
- k(lA) = (kl)A (asosiatif skalar)
- 1 · A = A (elemen identitas)
📝 Contoh Soal — Perkalian Skalar
Mudah
1. Tentukan hasil dari 3 × [1234]
2. Tentukan hasil dari 2 × [50−13]
3. Tentukan hasil dari −1 × [4−271]
4. Tentukan hasil dari 4 × [102]
5. Tentukan hasil dari ½ × [6428]
Sedang
6. Jika A = [2−315], tentukan 3A − 2 × [10−12]
7. Tentukan nilai x jika 2 × [x314] = [10628]
8. Tentukan hasil dari −2 × [1−2304−1]
9. Jika 3A + [2103] = [87312], tentukan A!
10. Tentukan 5 × [20−13−4105−2]
Sulit
11. Tentukan nilai a dan b jika: 2 × [ab3−1] + 3 × [1−2ba] = [70151]
12. Jika A = [2−103] dan B = [14−25], tentukan 4A − 3B + 2(A + B)
13. Tentukan matriks X jika 2X − 3 × [12−10] = [5016]
14. Jika k × [2−1304−2] = [−63−90−126], tentukan k!
15. Tentukan matriks P jika 3P + 2 × [10−12−3401−2] = [561−2306−17]
✏️ Latihan Soal — Perkalian Skalar
Mudah
1. Tentukan 5 × [2130]
2. Tentukan −3 × [1−425]
3. Tentukan ¼ × [812420]
4. Tentukan 6 × [01−2]
5. Tentukan 0 × [73−19]
Sedang
6. Jika A = [3−124], tentukan 2A + 3 × [110−2]
7. Tentukan x jika 3 × [x21x] = [126312]
8. Tentukan −4 × [2−1035−2]
9. Jika 5A = [15−10205], tentukan A!
10. Tentukan 2 × [3102] − 3 × [1−120]
Sulit
11. Tentukan matriks X jika 4X − [62−48] = 2 × [310−2]
12. Jika A + 2B = [7315] dan A − B = [10−22], tentukan 3A!
13. Tentukan k jika k × [3−69−12] = [−12−34]
14. Tentukan 2(3A − B) + 4B jika A = [12−13] dan B = [0−121]
15. Tentukan P jika 2P + 3 × [10−12−3401−2] = 5 × [1210−12301]
✖️ Perkalian Antar Matriks
Pengertian
Perkalian matriks A × B hanya dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B.
Jika A berukuran m × n dan B berukuran n × p, maka hasil AB berukuran m × p.
Rumus:
Elemen baris-i kolom-j dari AB:
(AB)ij = Σ aik × bkj (k = 1 sampai n)
Contoh Ilustrasi (2×2):
[abcd] × [efgh] = [ae+bgaf+bhce+dgcf+dh]
Sifat-sifat Perkalian Matriks
- AB ≠ BA (tidak komutatif pada umumnya)
- A(BC) = (AB)C (asosiatif)
- A(B + C) = AB + AC (distributif kiri)
- (A + B)C = AC + BC (distributif kanan)
- AI = IA = A (matriks identitas)
📝 Contoh Soal — Perkalian Antar Matriks
Mudah
1. Tentukan AB jika A = [1234] dan B = [2013]
2. Tentukan AB jika A = [1001] dan B = [5327]
3. Tentukan AB jika A = [2103] dan B = [4−1]
4. Tentukan AB jika A = [3−125] dan B = [1102]
5. Tentukan AB jika A = [123] (1×3) dan B = [456] (3×1)
Sedang
6. Tentukan AB jika A = [2−13014] (3×2) dan B = [102−131] (2×3)
7. Jika A = [1234], tentukan A²!
8. Tentukan AB dan BA, lalu tunjukkan AB ≠ BA. A = [1201], B = [3120]
9. Tentukan AB jika A = [102−131] (2×3) dan B = [210−134] (3×2)
10. Jika A = [2111] dan B = [1−1−12], tentukan AB + BA!
Sulit
11. Tentukan AB jika A = [12−1032−114] dan B = [2011−1302−1]
12. Jika A = [1101], tentukan A³!
13. Tentukan x jika [2x13] × [14] = [1013]
14. Tentukan AB − 2C jika A = [1−120], B = [3214], C = [102−1]
15. Buktikan bahwa A × [1001] = A, untuk A = [abcd]
✏️ Latihan Soal — Perkalian Antar Matriks
Mudah
1. Tentukan AB jika A = [2103] dan B = [1420]
2. Tentukan AB jika A = [102−1] dan B = [35]
3. Tentukan AB jika A = [4213] dan B = [1001]
4. Tentukan AB jika A = [−1230] dan B = [2113]
5. Tentukan AB jika A = [201] dan B = [13−2]
Sedang
6. Jika A = [2−113], tentukan A²!
7. Tentukan AB dan BA. A = [1320], B = [01−12]
8. Tentukan AB jika A = [10−1230] (2×3) dan B = [12013−1] (3×2)
9. Tentukan x jika [1x02] × [31] = [72]
10. Tentukan 2AB − B jika A = [1002] dan B = [31−14]
Sulit
11. Tentukan AB jika A = [210−13201−1] dan B = [10−20132−11]
12. Jika A = [2111], tentukan A³!
13. Tentukan x dan y jika [x12y] × [2013] = [5386]
14. Tentukan (AB)C jika A = [1201], B = [10−11], C = [2310]
15. Buktikan A(B+C) = AB + AC untuk A = [1−120], B = [3102], C = [10−11]
[…] Perkalian Matriks […]