Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian
Matematika — Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
1. Pengertian Kalimat Terbuka
Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini:
- 5 + 3 = 8 → Kalimat tertutup (bernilai benar)
- 4 + 2 = 9 → Kalimat tertutup (bernilai salah)
- x + 3 = 7 → Kalimat terbuka
- 2y − 1 = 5 → Kalimat terbuka
Menanya
- Apa perbedaan kalimat terbuka dengan kalimat tertutup?
- Mengapa kalimat terbuka memerlukan variabel?
- Bagaimana menentukan nilai variabel agar kalimat menjadi benar?
Menalar
Definisi: Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang memuat variabel (peubah) dan belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah) sebelum variabelnya diganti dengan suatu nilai tertentu.
Komponen kalimat terbuka:
- Variabel (peubah): simbol yang mewakili bilangan yang belum diketahui, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti x, y, z, p, q
- Konstanta: bilangan tetap yang nilainya sudah pasti
- Operator: tanda operasi (+, −, ×, ÷) dan relasi (=, ≠, <, >, ≤, ≥)
Perbedaan Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup:
| Aspek | Kalimat Terbuka | Kalimat Tertutup |
|---|---|---|
| Variabel | Ada | Tidak ada |
| Nilai kebenaran | Belum bisa ditentukan | Bisa ditentukan (benar/salah) |
| Contoh | x + 5 = 12 | 3 + 5 = 8 |
Mencoba
Tentukan mana yang merupakan kalimat terbuka dari kalimat berikut:
- 7 × 3 = 21
- 2x + 1 = 9
- 15 − 8 = 6
- y − 4 > 10
- 12 ÷ 4 = 3
Jawaban: Nomor 2 dan 4 adalah kalimat terbuka karena mengandung variabel.
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang memuat satu atau lebih variabel sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Kalimat terbuka baru bernilai benar atau salah setelah variabelnya digantikan dengan suatu bilangan.
2. Himpunan Penyelesaian
Mengamati
Perhatikan kalimat terbuka: x + 3 = 7
Jika himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, mari kita coba substitusi:
| Nilai x | Kalimat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | 1 + 3 = 7 → 4 = 7 | Salah |
| 2 | 2 + 3 = 7 → 5 = 7 | Salah |
| 3 | 3 + 3 = 7 → 6 = 7 | Salah |
| 4 | 4 + 3 = 7 → 7 = 7 | Benar ✓ |
| 5 | 5 + 3 = 7 → 8 = 7 | Salah |
Menanya
- Apa yang dimaksud dengan himpunan penyelesaian?
- Apa hubungan antara himpunan semesta dengan himpunan penyelesaian?
- Bagaimana cara menuliskan himpunan penyelesaian?
Menalar
Definisi:
- Himpunan Semesta (S): himpunan semua bilangan yang mungkin menggantikan variabel dalam kalimat terbuka. Disebut juga semesta pembicaraan.
- Penyelesaian (akar): anggota himpunan semesta yang jika disubstitusikan ke variabel membuat kalimat terbuka menjadi kalimat yang benar.
- Himpunan Penyelesaian (HP): himpunan semua penyelesaian dari suatu kalimat terbuka. Dilambangkan dengan HP atau {x | …}.
Notasi Himpunan Penyelesaian:
Contoh: x + 3 = 7, S = {bilangan asli}
HP = {4}
Catatan penting:
- Himpunan penyelesaian bergantung pada himpunan semesta yang digunakan.
- Jika tidak ada anggota himpunan semesta yang memenuhi, maka HP = { } = ∅ (himpunan kosong).
- Satu kalimat terbuka bisa memiliki HP yang berbeda jika himpunan semestanya berbeda.
Contoh pengaruh himpunan semesta:
Kalimat terbuka: x + 2 = 5
| Himpunan Semesta | HP |
|---|---|
| S = {bilangan asli} | HP = {3} |
| S = {bilangan genap} | HP = { } = ∅ |
| S = {1, 2, 3, 4, 5} | HP = {3} |
| S = {6, 7, 8, 9} | HP = { } = ∅ |
Mencoba
Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka 2x = 10 jika:
- S = {bilangan cacah}
- S = {bilangan ganjil}
- S = {bilangan prima}
Jawaban:
2x = 10 → x = 5
- HP = {5} (5 ∈ bilangan cacah ✓)
- HP = {5} (5 ∈ bilangan ganjil ✓)
- HP = {5} (5 ∈ bilangan prima ✓)
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua nilai pengganti variabel dari himpunan semesta yang membuat kalimat terbuka bernilai benar. Himpunan penyelesaian selalu merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta (HP ⊆ S).
3. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat terbuka berikut:
3x − 2 = 10
2x + 1 = x + 6
4(x − 3) = 8
Semua kalimat di atas memiliki kesamaan: menggunakan tanda “=” dan variabelnya berpangkat 1.
Menanya
- Apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel?
- Bagaimana cara menyelesaikan PLSV?
- Apa saja sifat-sifat kesamaan yang digunakan?
Menalar
Definisi: Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung “=” (sama dengan) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu (derajat 1).
Bentuk umum:
dengan a ≠ 0, a, b, c adalah konstanta
Sifat-sifat kesamaan untuk menyelesaikan PLSV:
| Sifat | Penjelasan | Contoh |
|---|---|---|
| Penjumlahan | Kedua ruas ditambah bilangan yang sama | x − 3 = 5 → x − 3 + 3 = 5 + 3 |
| Pengurangan | Kedua ruas dikurangi bilangan yang sama | x + 4 = 9 → x + 4 − 4 = 9 − 4 |
| Perkalian | Kedua ruas dikali bilangan yang sama (≠ 0) | x/2 = 6 → x/2 × 2 = 6 × 2 |
| Pembagian | Kedua ruas dibagi bilangan yang sama (≠ 0) | 3x = 15 → 3x/3 = 15/3 |
Langkah-langkah menyelesaikan PLSV:
- Kelompokkan suku yang mengandung variabel di ruas kiri
- Kelompokkan konstanta di ruas kanan
- Sederhanakan kedua ruas
- Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel
Contoh penyelesaian bertahap:
Langkah 1: Kurangi 7 pada kedua ruas
3x + 7 − 7 = 22 − 7
3x = 15
Langkah 2: Bagi kedua ruas dengan 3
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
x = 5
Jadi HP = {5}
Mencoba
Selesaikan persamaan berikut:
Penyelesaian:
2x + 5 = 13
2x = 13 − 5 = 8
x = 8 ÷ 2 = 4
HP = {4}
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: PLSV diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat kesamaan untuk mengisolasi variabel pada satu ruas sehingga diperoleh nilai variabel. Himpunan penyelesaian PLSV memiliki tepat satu anggota.
4. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)
Mengamati
Perhatikan kalimat-kalimat terbuka berikut:
3x − 1 < 8
2x + 4 ≤ 10
x − 7 ≥ 3
Semua kalimat di atas menggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan variabelnya berpangkat 1.
Menanya
- Apa perbedaan persamaan dan pertidaksamaan?
- Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan?
- Apa yang terjadi jika kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif?
Menalar
Definisi: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan memiliki satu variabel berpangkat satu.
Tanda ketidaksamaan:
| Simbol | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| < | kurang dari | x < 5 |
| > | lebih dari | x > 3 |
| ≤ | kurang dari atau sama dengan | x ≤ 7 |
| ≥ | lebih dari atau sama dengan | x ≥ 2 |
⚠️ Aturan penting:
Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan NEGATIF, maka tanda ketidaksamaan DIBALIK!
−2x > 6
x < −3 (tanda > berubah menjadi <)
Sifat-sifat pertidaksamaan:
- Kedua ruas boleh ditambah/dikurangi bilangan yang sama (tanda tetap)
- Kedua ruas boleh dikali/dibagi bilangan positif (tanda tetap)
- Kedua ruas dikali/dibagi bilangan negatif → tanda DIBALIK
Representasi pada garis bilangan:
Notasi himpunan penyelesaian PtLSV:
x > 3, S = {bilangan real} → HP = {x | x > 3, x ∈ ℝ}
x ≤ 5, S = {bilangan asli} → HP = {1, 2, 3, 4, 5}
Mencoba
Selesaikan: 2x − 3 < 7, S = {bilangan asli}
Penyelesaian:
2x − 3 < 7
2x < 7 + 3
2x < 10
x < 5
Karena S = {bilangan asli}, maka HP = {1, 2, 3, 4}
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: PtLSV diselesaikan seperti PLSV, namun perlu diperhatikan bahwa jika mengalikan/membagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik. HP pertidaksamaan biasanya memiliki lebih dari satu anggota.
5. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Tentukan HP dari x + 4 = 9, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
x + 4 = 9
x = 9 − 4
x = 5
Karena 5 ∈ bilangan asli, maka HP = {5}
2. Tentukan HP dari x − 3 = 7, jika S = {bilangan cacah}
Pembahasan:
x − 3 = 7
x = 7 + 3
x = 10
Karena 10 ∈ bilangan cacah, maka HP = {10}
3. Tentukan HP dari 2x = 8, jika S = {bilangan bulat}
Pembahasan:
2x = 8
x = 8 ÷ 2
x = 4
Karena 4 ∈ bilangan bulat, maka HP = {4}
4. Tentukan HP dari x + 6 = 6, jika S = {bilangan cacah}
Pembahasan:
x + 6 = 6
x = 6 − 6
x = 0
Karena 0 ∈ bilangan cacah, maka HP = {0}
5. Tentukan HP dari 3x = 12, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
3x = 12
x = 12 ÷ 3
x = 4
Karena 4 ∈ bilangan asli, maka HP = {4}
6. Tentukan HP dari x > 3, jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Pembahasan:
Kita cari anggota S yang lebih dari 3:
4 > 3 ✓, 5 > 3 ✓, 6 > 3 ✓, 7 > 3 ✓
HP = {4, 5, 6, 7}
7. Tentukan HP dari x ≤ 5, jika S = {bilangan asli kurang dari 10}
Pembahasan:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Anggota S yang ≤ 5: 1, 2, 3, 4, 5
HP = {1, 2, 3, 4, 5}
8. Manakah yang merupakan kalimat terbuka: (a) 5 + 3 = 8, (b) x − 2 = 6, (c) 9 > 4?
Pembahasan:
(a) 5 + 3 = 8 → kalimat tertutup (benar, tidak ada variabel)
(b) x − 2 = 6 → kalimat terbuka (ada variabel x)
(c) 9 > 4 → kalimat tertutup (benar, tidak ada variabel)
Jawaban: (b)
9. Tentukan HP dari x/2 = 3, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
x/2 = 3
x = 3 × 2
x = 6
Karena 6 ∈ bilangan asli, maka HP = {6}
10. Tentukan HP dari x + 5 = 3, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
x + 5 = 3
x = 3 − 5
x = −2
Karena −2 ∉ bilangan asli, maka HP = { } = ∅
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Tentukan HP dari 3x + 5 = 2x + 9, jika S = {bilangan bulat}
Pembahasan:
3x + 5 = 2x + 9
3x − 2x = 9 − 5
x = 4
Karena 4 ∈ bilangan bulat, maka HP = {4}
2. Tentukan HP dari 2(x + 3) = 14, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
2(x + 3) = 14
2x + 6 = 14 (distributif)
2x = 14 − 6 = 8
x = 4
Karena 4 ∈ bilangan asli, maka HP = {4}
3. Tentukan HP dari 2x + 1 < 9, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
2x + 1 < 9
2x < 9 − 1 = 8
x < 4
Bilangan asli yang kurang dari 4: 1, 2, 3
HP = {1, 2, 3}
4. Tentukan HP dari −3x ≥ −12, jika S = {bilangan asli kurang dari 8}
Pembahasan:
−3x ≥ −12
Bagi kedua ruas dengan −3 (tanda DIBALIK karena dibagi negatif):
x ≤ 4
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Anggota S yang ≤ 4: 1, 2, 3, 4
HP = {1, 2, 3, 4}
5. Tentukan HP dari 4x − 7 = 2x + 5, jika S = {bilangan cacah}
Pembahasan:
4x − 7 = 2x + 5
4x − 2x = 5 + 7
2x = 12
x = 6
Karena 6 ∈ bilangan cacah, maka HP = {6}
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Tentukan HP dari (3x + 1)/2 = (x + 7)/2, jika S = {bilangan bulat}
Pembahasan:
(3x + 1)/2 = (x + 7)/2
Kalikan kedua ruas dengan 2:
3x + 1 = x + 7
3x − x = 7 − 1
2x = 6
x = 3
Karena 3 ∈ bilangan bulat, maka HP = {3}
2. Tentukan HP dari 2(3x − 4) + 5 > 3(x + 1), jika S = {bilangan asli kurang dari 10}
Pembahasan:
2(3x − 4) + 5 > 3(x + 1)
6x − 8 + 5 > 3x + 3
6x − 3 > 3x + 3
6x − 3x > 3 + 3
3x > 6
x > 2
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Anggota S yang > 2: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
HP = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
3. Tentukan HP dari (x + 3)/4 − (x − 1)/3 = 1, jika S = {bilangan bulat}
Pembahasan:
KPK dari 4 dan 3 adalah 12. Kalikan kedua ruas dengan 12:
12 × (x + 3)/4 − 12 × (x − 1)/3 = 12 × 1
3(x + 3) − 4(x − 1) = 12
3x + 9 − 4x + 4 = 12
−x + 13 = 12
−x = 12 − 13 = −1
x = 1
Karena 1 ∈ bilangan bulat, maka HP = {1}
4. Tentukan HP dari 5 − 2(1 − x) ≤ 3(x + 2) − x, jika S = {bilangan bulat positif kurang dari 6}
Pembahasan:
5 − 2(1 − x) ≤ 3(x + 2) − x
5 − 2 + 2x ≤ 3x + 6 − x
3 + 2x ≤ 2x + 6
2x − 2x ≤ 6 − 3
0 ≤ 3 (selalu benar!)
Karena pertidaksamaan selalu benar, maka semua anggota S memenuhi.
S = {1, 2, 3, 4, 5}
HP = {1, 2, 3, 4, 5}
5. Tentukan HP dari 3 < 2x − 1 ≤ 9, jika S = {bilangan asli}
Pembahasan:
Ini adalah pertidaksamaan gabungan. Selesaikan secara terpisah:
Bagian kiri: 3 < 2x − 1 → 4 < 2x → 2 < x → x > 2
Bagian kanan: 2x − 1 ≤ 9 → 2x ≤ 10 → x ≤ 5
Gabungan: 2 < x ≤ 5
Bilangan asli yang memenuhi: 3, 4, 5
HP = {3, 4, 5}
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tulis jawabanmu di buku latihan!