Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV adalah suatu sistem yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel (biasanya x dan y). Bentuk umum SPLDV:
a₂x + b₂y = c₂
dengan a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ adalah bilangan real dan a₁, b₁ tidak keduanya nol, demikian juga a₂, b₂ tidak keduanya nol.
Penyelesaian SPLDV adalah pasangan nilai (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan. Ada empat metode utama untuk menyelesaikan SPLDV:
- Metode Grafik
- Metode Substitusi
- Metode Eliminasi
- Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
1. Metode Grafik
Menyelesaikan SPLDV dengan menggambar grafik kedua persamaan
Perhatikan dua persamaan berikut:
x − y = 1
Jika kedua persamaan tersebut digambarkan dalam bidang koordinat Kartesius, maka masing-masing persamaan akan membentuk sebuah garis lurus. Titik potong kedua garis tersebut merupakan penyelesaian SPLDV.
Grafik SPLDV: Titik potong (3, 2) adalah penyelesaian
Pertanyaan untuk dipikirkan:
- Bagaimana cara menentukan titik-titik pada grafik garis lurus?
- Apa yang terjadi jika kedua garis sejajar? Apakah SPLDV memiliki penyelesaian?
- Apa yang terjadi jika kedua garis berimpit?
- Bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari grafik?
Langkah-langkah Metode Grafik
Untuk setiap persamaan, cari titik potong sumbu-x (substitusi y = 0) dan titik potong sumbu-y (substitusi x = 0).
Pilih beberapa nilai x, lalu hitung nilai y yang bersesuaian.
📝 Catatan Penting:
- Satu titik potong → SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian (konsisten independen)
- Tidak ada titik potong (garis sejajar) → SPLDV tidak memiliki penyelesaian (inkonsisten)
- Garis berimpit → SPLDV memiliki tak hingga banyak penyelesaian (konsisten dependen)
Contoh Tabel Nilai
Untuk persamaan x + y = 5:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Untuk persamaan x − y = 1:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Contoh Soal Metode Grafik
x − y = 2
• Jika x = 0 → y = 4, titik (0, 4)
• Jika y = 0 → x = 4, titik (4, 0)
• Jika x = 0 → y = −2, titik (0, −2)
• Jika y = 0 → x = 2, titik (2, 0)
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 1 atau (3, 1).
2x + y = 8
Penyelesaian: (2, 4)
x − y = 1
Penyelesaian: (2, 1)
x + y = 7
Penyelesaian: (3, 4)
x + y = 5
Penyelesaian: (2, 3)
y = −x + 5
Penyelesaian: (2, 3)
x − y = 4
Penyelesaian: (7, 3)
x − y = 0
Penyelesaian: (2, 2)
x + y = 5
Penyelesaian: (3, 2)
x + y = 6
Penyelesaian: (2, 4)
x − y = 1
Penyelesaian: (3, 2)
x + 2y = 8
Penyelesaian: (2, 3)
x + 2y = 8
Penyelesaian: (2, 3)
x + 2y = 4
Penyelesaian: (2, 1)
2x + 3y = 10
Penyelesaian: (2, 2)
x − ⅓y = 2
½(22/7) + 24/7 = 11/7 + 24/7 = 35/7 = 5 ✓
22/7 − ⅓(24/7) = 22/7 − 8/7 = 14/7 = 2 ✓
Penyelesaian: (22/7, 24/7)
5x − 2y = 6
Penyelesaian: (36/13, 51/13)
Misalkan x = harga buku tulis (ribu), y = harga pensil (ribu).
x + 4y = 12
Harga buku tulis = Rp4.000, harga pensil = Rp2.000
0,2x + 0,7y = 3,8
Penyelesaian: (103/29, 128/29) ≈ (3.55, 4.41)
Misalkan x = umur ayah, y = umur anak.
(x − 5) = 3(y − 5)
Pers. 2: x − 5 = 3y − 15 → x − 3y = −10
Umur ayah = 44 tahun, umur anak = 18 tahun
Latihan Soal Metode Grafik
Kerjakan soal-soal berikut dengan metode grafik. Gambarkan grafik pada kertas berpetak.
Mudah (10 Soal):
Sedang (5 Soal):
Sulit (5 Soal):
2. Metode Substitusi
Menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu variabel
Kata “substitusi” berarti mengganti. Dalam metode ini, kita menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lain, kemudian menggantikannya (mensubstitusikannya) ke persamaan yang lain.
Dari pers. (1): x = 5 − y ← nyatakan x dalam y
Substitusikan ke pers. (2): 2(5 − y) + 3y = 12
- Variabel mana yang sebaiknya dinyatakan terlebih dahulu?
- Apakah hasilnya sama jika kita menyatakan y dalam x terlebih dahulu?
- Kapan metode substitusi lebih mudah digunakan dibanding metode lain?
Langkah-langkah Metode Substitusi
💡 Tips: Metode substitusi paling mudah digunakan ketika salah satu persamaan sudah dalam bentuk y = … atau x = …, atau salah satu koefisien adalah 1.
Contoh Soal Metode Substitusi
x + y = 5 … (2)
HP = {(2, 3)}
2x + y = 12 … (2)
HP = {(5, 2)}
x − y = 2 … (2)
HP = {(5, 3)}
3x + 2y = 17 … (2)
HP = {(5, 1)}
x − y = 1 … (2)
HP = {(4, 3)}
x + y = 12 … (2)
HP = {(3, 9)}
2x + y = 15 … (2)
HP = {(4, 7)}
3x − y = 10 … (2)
HP = {(4, 2)}
x + 3y = 9 … (2)
HP = {(6, 1)}
2x + y = 14 … (2)
HP = {(4, 6)}
x − y = 2 … (2)
HP = {(4,4 ; 2,4)}
x + 4y = 18 … (2)
HP = {(2, 4)}
2x + 3y = 7 … (2)
HP = {(2, 1)}
Misalkan x = harga baju, y = harga celana (dalam ribuan).
x + 3y = 400 … (2)
Harga baju = Rp70.000, harga celana = Rp110.000
x + y = 7 … (2)
HP = {(10/3, 11/3)}
5x − 2y = 12 … (2)
HP = {(50/13, 47/13)}
¼x + ⅕y = 2 … (2)
HP = {(0, 10)}
x + 30 = 2y … (2)
Uang Ani = Rp90.000, Uang Budi = Rp60.000
0,3x − 0,2y = 0,1 … (2)
HP = {(63/13, 88/13)}
2x + 3y = 95 … (2)
Tiket dewasa = Rp10.000 (satuan ribu, jadi Rp10.000), tiket anak = Rp25.000
Catatan: dalam ribuan, x=10 berarti Rp10.000 dan y=25 berarti Rp25.000. Cek: 3(10)+5(25)=30+125=155 ✓
Latihan Soal Metode Substitusi
Mudah (10 Soal):
Sedang (5 Soal):
Sulit (5 Soal):
3. Metode Eliminasi
Menyelesaikan SPLDV dengan menghilangkan salah satu variabel
Kata “eliminasi” berarti menghilangkan. Dalam metode ini, kita menghilangkan salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan (setelah koefisien variabel yang akan dieliminasi disamakan).
x + y = 5 … (2)
────────────── −
x = 3 ← variabel y tereliminasi
- Kapan kita menjumlahkan dan kapan mengurangkan kedua persamaan?
- Bagaimana jika koefisien variabel yang akan dieliminasi berbeda?
- Apakah hasilnya sama jika kita mengeliminasi x terlebih dahulu atau y terlebih dahulu?
Langkah-langkah Metode Eliminasi
• Jika tanda koefisien sama → kurangkan
• Jika tanda koefisien berbeda → jumlahkan
💡 Tips: Ingat aturan tanda: “Sama dikurang, beda dijumlah” (tanda koefisien variabel yang akan dieliminasi).
Contoh Soal Metode Eliminasi
x − y = 3 … (2)
Eliminasi y: Koefisien y sudah sama (1 dan −1, tanda beda → jumlahkan):
Eliminasi x: Koefisien x sudah sama (1 dan 1, tanda sama → kurangkan):
HP = {(5, 2)}
x + y = 6 … (2)
Eliminasi y (koefisien sama, tanda sama → kurangkan):
Eliminasi x: Kalikan (2)×2: 2x+2y=12. Kurangkan dari (1):
HP = {(4, 2)}
x − y = 1 … (2)
(1)−(2): 2y = 8 → y = 4
HP = {(5, 4)}
x + y = 5 … (2)
Eliminasi x: (2)×3: 3x+3y=15. (1)−(2′): −2y = −4 → y = 2
HP = {(3, 2)}
x + y = 5 … (2)
Eliminasi y: (2)×2: 2x+2y=10. (1)−(2′): −x=−2 → x = 2
HP = {(2, 3)}
2x − y = 4 … (2)
(1)−(2): 2y = 4 → y = 2
HP = {(3, 2)}
3x + y = 18 … (2)
Substitusi: 4+y=10 → y = 6
HP = {(4, 6)}
x + y = 7 … (2)
HP = {(4, 3)}
2x + y = 8 … (2)
Dari (2): 2x+2=8 → 2x=6 → x = 3
HP = {(3, 2)}
x − y = 6 … (2)
(1)−(2): 2y = 8 → y = 4
HP = {(10, 4)}
3x + 2y = 14 … (2)
Eliminasi x: (1)×3: 6x+9y=48, (2)×2: 6x+4y=28
Eliminasi y: (1)×2: 4x+6y=32, (2)×3: 9x+6y=42
HP = {(2, 4)}
2x + 5y = 18 … (2)
Eliminasi x: (2)×2: 4x+10y=36. Kurangkan (1):
Eliminasi y: (1)×5: 20x+15y=110, (2)×3: 6x+15y=54
HP = {(4, 2)}
2x + y = 4 … (2)
Eliminasi y: (2)×2: 4x+2y=8. Jumlahkan dengan (1) (tanda beda):
Hmm, mari eliminasi x: (1)×2: 6x−4y=14, (2)×3: 6x+3y=12
Cek: Let’s re-examine. (1)×2=6x−4y=14, (2)×3=6x+3y=12. Subtract: −7y=2 → y=−2/7. x=(4−(−2/7))/2 = (30/7)/2 = 15/7
HP = {(15/7, −2/7)}
3x + 4y = 20 … (2)
Eliminasi y: (1)×2: 10x+4y=48. Kurangkan (2):
Substitusi: 5(4)+2y=24 → 2y=4 → y = 2
HP = {(4, 2)}
2x − 3y = 1 … (2)
Eliminasi x: (1)×2: 6x+8y=50, (2)×3: 6x−9y=3
Hmm, let me use nicer approach. (1)×3: 9x+12y=75, (2)×4: 8x−12y=4. Jumlahkan:
y = (25−3(79/17))/4 = (425/17−237/17)/4 = (188/17)/4 = 47/17
HP = {(79/17, 47/17)}
3x + 7y = 37 … (2)
Eliminasi x: (1)×3: 15x+9y=93, (2)×5: 15x+35y=185
Hmm, periksa: 5(31−3y)/… Mari coba angka bulat. 5x+3y=31 dan 3x+7y=37.
(1)×7: 35x+21y=217, (2)×3: 9x+21y=111. Kurang: 26x=106 → x=106/26=53/13
y=(31−5(53/13))/3=(403/13−265/13)/3=(138/13)/3=46/13
Cek ulang: Coba x=4, y=31−20/3… Tidak bulat.
HP = {(53/13, 46/13)}
3x + 2y = 58 … (2)
Eliminasi y: (1)×2: 10x+6y=190, (2)×3: 9x+6y=174
Substitusi: 5(16)+3y=95 → 3y=15 → y = 5
Harga beras = Rp16.000/kg, harga gula = Rp5.000/kg
7x + 3y = 22 … (2)
Eliminasi y: (1)×3: 12x−15y=−9, (2)×5: 35x+15y=110. Jumlahkan:
Hmm, coba cek x=1: 4−5y=−3 → y=7/5. 7+21/5=56/5≠22. x=2: 8−5y=−3→y=11/5. 14+33/5=103/5≠22. x=1: not integer solution.
x=101/47, y=(22−7(101/47))/3=(1034/47−707/47)/3=(327/47)/3=109/47
HP = {(101/47, 109/47)}
0,3x + 0,8y = 4,5 … (2)
HP = {(55/9, 10/3)}
x = mobil (4 roda), y = motor (2 roda)
4x + 2y = 84 … (2)
Eliminasi y: (1)×2: 2x+2y=60. Kurangkan dari (2):
y = 30 − 12 = 18
Banyak mobil = 12, banyak motor = 18
Latihan Soal Metode Eliminasi
Mudah (10 Soal):
Sedang (5 Soal):
Sulit (5 Soal):
4. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Menggabungkan metode eliminasi dan substitusi
Metode campuran menggabungkan kelebihan metode eliminasi dan substitusi. Pertama, eliminasi untuk mendapatkan nilai satu variabel, lalu substitusi nilai tersebut ke salah satu persamaan untuk mendapatkan variabel lainnya.
Langkah 2 (Substitusi): Masukkan nilai tersebut ke persamaan → dapat nilai variabel kedua
Metode ini adalah metode yang paling sering digunakan karena efisien dan praktis.
- Mengapa metode campuran lebih efisien dibandingkan eliminasi murni?
- Bagaimana memilih variabel mana yang dieliminasi terlebih dahulu?
- Kapan sebaiknya menggunakan metode campuran?
Langkah-langkah Metode Campuran
💡 Keunggulan: Metode campuran hanya perlu satu kali eliminasi (bukan dua kali seperti eliminasi murni), sehingga lebih cepat dan efisien.
Perbandingan Efisiensi Metode
| Metode | Langkah Utama | Cocok Untuk |
|---|---|---|
| Grafik | Gambar 2 garis | Solusi bilangan bulat |
| Substitusi | Nyatakan + ganti | Ada koef. 1 atau bentuk y=… |
| Eliminasi | Samakan + hapus (2×) | Koefisien mudah disamakan |
| Campuran | Hapus 1× + ganti | Semua jenis SPLDV |
Contoh Soal Metode Campuran
2x + y = 13 … (2)
Eliminasi y:
Substitusi x = 5 ke (1):
Cek: 2(5)+3=13 ✓
HP = {(5, 3)}
x − y = 4 … (2)
HP = {(7, 3)}
x + y = 7 … (2)
HP = {(4, 3)}
x + y = 7 … (2)
HP = {(3, 4)}
x + y = 7 … (2)
HP = {(3, 4)}
2x + y = 10 … (2)
HP = {(3,5 ; 3)}
3x + y = 17 … (2)
HP = {(4, 5)}
x − y = 2 … (2)
HP = {(7, 5)}
x + y = 10 … (2)
HP = {(5, 5)}
x + y = 8 … (2)
HP = {(5, 3)}
2x + 3y = 20 … (2)
Eliminasi x: (1)×2: 6x+4y=40, (2)×3: 6x+9y=60
Substitusi y=4 ke (1): 3x+8=20 → 3x=12 → x = 4
HP = {(4, 4)}
3x + 2y = 16 … (2)
Eliminasi y: (1)×2: 8x+6y=46, (2)×3: 9x+6y=48
Substitusi: 4(2)+3y=23 → 3y=15 → y = 5
HP = {(2, 5)}
5x + 2y = 13 … (2)
(dalam ribuan)
Eliminasi y: (2)×2: 10x+4y=26. Kurangkan (1):
Hmm, coba eliminasi x: (1)×5: 15x+20y=55, (2)×3: 15x+6y=39.
Mari periksa soal. 3(15/7)+4(8/7)=45/7+32/7=77/7=11 ✓
Harga pensil = Rp15.000/7 ≈ Rp2.143, harga penghapus ≈ Rp1.143
Catatan: Soal ini menghasilkan bilangan pecahan. Dalam konteks soal cerita nyata, mungkin ada pembulatan.
3x + 4y = 23 … (2)
Eliminasi y: (1)×2: 10x−4y=22. Jumlahkan dengan (2):
Hmm, coba cek: x=3: 15−2y=11→y=2. Cek(2): 9+8=17≠23. x=45/13.
y=(23−3(45/13))/4=(299/13−135/13)/4=(164/13)/4=41/13
HP = {(45/13, 41/13)}
3x + 2y = 14 … (2)
Eliminasi x: (1)×3: 6x+15y=72, (2)×2: 6x+4y=28
Substitusi: 2x+20=24 → 2x=4 → x = 2
HP = {(2, 4)}
3x + 4y = 26 … (2)
Eliminasi x: (1)×3: 21x+15y=129, (2)×7: 21x+28y=182
Coba: x=4,y=3: 28+15=43 ✓, 12+12=24≠26. x=2,y=5: 14+25=39≠43.
Hmm, (1)×4: 28x+20y=172, (2)×5: 15x+20y=130. Kurang: 13x=42 → x=42/13.
y=(43−7(42/13))/5=(559/13−294/13)/5=265/(13×5)=265/65=53/13
Hmm coba x=4,y=3 lagi: 7(4)+5(3)=28+15=43 ✓ dan 3(4)+4(3)=12+12=24≠26.
x=42/13≈3.23, y=53/13≈4.08
HP = {(42/13, 53/13)}
(x+18) = 2(y+18) → x − 2y = 18 … (2)
Eliminasi x:
Substitusi: x−2(7)=18 → x=32 → x = 32
Cek: 2 tahun lalu: 30 dan 5 → 30=6×5 ✓. 18 tahun kemudian: 50 dan 25 → 50=2×25 ✓
Umur ayah = 32 tahun, umur anak = 7 tahun
½x + ⅓y = 3 … (2)
HP = {(−6/11, 108/11)}
Misalkan x = kecepatan kapal, y = kecepatan arus (km/jam).
x − y = 80/4 = 20 … (2)
Eliminasi y (jumlahkan):
Substitusi: 25+y=30 → y = 5
Kecepatan kapal = 25 km/jam, kecepatan arus = 5 km/jam
Misalkan x = angka puluhan, y = angka satuan. Bilangan = 10x + y.
(10y + x) − (10x + y) = 36 → 9y − 9x = 36 → y − x = 4 … (2)
Eliminasi: (1)+(2): 2y = 16 → y = 8
Substitusi: x + 8 = 12 → x = 4
Bilangan = 10(4) + 8 = 48. Dibalik: 84. Selisih: 84−48 = 36 ✓
Bilangan semula adalah 48
Latihan Soal Metode Campuran
Mudah (10 Soal):
Sedang (5 Soal):
Sulit (5 Soal):
📋 Rangkuman
| Metode | Konsep Utama | Kelebihan | Kekurangan |
|---|---|---|---|
| Grafik | Titik potong 2 garis | Visual, mudah dipahami | Kurang akurat untuk pecahan |
| Substitusi | Ganti variabel | Baik jika ada koef. 1 | Rumit jika koefisien besar |
| Eliminasi | Hilangkan variabel | Sistematis | Perlu 2x eliminasi |
| Campuran | Eliminasi + Substitusi | Efisien, praktis | Perlu menguasai 2 metode |