Vektor – Vektor dalam Ruang

Matematika Peminatan Kelas XII

1. Sistem Koordinat Ruang

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan ruangan kelasmu. Tentukan satu sudut ruangan sebagai titik asal (O). Dari titik tersebut, terdapat tiga arah yang saling tegak lurus: panjang ruangan (sumbu x), lebar ruangan (sumbu y), dan tinggi ruangan (sumbu z). Setiap titik di dalam ruangan dapat ditentukan posisinya dengan tiga bilangan (x, y, z).

A. Pengertian Sistem Koordinat Ruang

Sistem koordinat ruang (koordinat Kartesius tiga dimensi) adalah sistem yang digunakan untuk menentukan posisi suatu titik dalam ruang menggunakan tiga sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.

Gambar 1: Sistem Koordinat Ruang (3 Dimensi)

B. Oktan dalam Sistem Koordinat Ruang

Ketiga sumbu koordinat membagi ruang menjadi 8 bagian (oktan):

Oktan	x	y	z	Contoh Titik
I	+	+	+	(2, 3, 4)
II	−	+	+	(−1, 2, 5)
III	−	−	+	(−3, −2, 1)
IV	+	−	+	(4, −1, 3)
V	+	+	−	(1, 2, −3)
VI	−	+	−	(−2, 1, −4)
VII	−	−	−	(−1, −2, −3)
VIII	+	−	−	(3, −2, −1)

C. Titik pada Sumbu dan Bidang Koordinat

Titik pada sumbu:

Sumbu x: (a, 0, 0)
Sumbu y: (0, b, 0)
Sumbu z: (0, 0, c)

Titik pada bidang koordinat:

Bidang xy: (a, b, 0)
Bidang xz: (a, 0, c)
Bidang yz: (0, b, c)

Kegiatan: Menanya

Bagaimana cara menentukan posisi suatu titik dalam ruang?
Apa perbedaan koordinat 2D dan 3D?
Bagaimana menentukan oktan suatu titik?

Kegiatan: Menalar

Jika titik A(3, −2, 5) berada di oktan IV (x positif, y negatif, z positif), maka titik bayangan A terhadap bidang xy adalah A'(3, −2, −5) yang berada di oktan VIII. Mengapa demikian? Karena pencerminan terhadap bidang xy hanya mengubah tanda komponen z.

Kegiatan: Mencoba

Gambarlah sistem koordinat ruang di buku tulismu. Tentukan dan tandai posisi titik-titik berikut:

A(2, 3, 4)
B(−1, 2, 3)
C(0, 4, −2)

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Presentasikan hasil kerjamu di depan kelas. Jelaskan bagaimana kamu menentukan posisi setiap titik dan di oktan mana titik tersebut berada.

Contoh Soal: Sistem Koordinat Ruang

Level Mudah

1. Tentukan oktan dari titik A(2, 3, 5)!

Pembahasan: x = 2 (positif), y = 3 (positif), z = 5 (positif). Karena x > 0, y > 0, z > 0, maka titik A berada di Oktan I.

2. Tentukan oktan dari titik B(−4, 1, 3)!

Pembahasan: x = −4 (negatif), y = 1 (positif), z = 3 (positif). Karena x < 0, y > 0, z > 0, maka titik B berada di Oktan II.

3. Titik C(0, 5, 0) terletak pada sumbu apa?

Pembahasan: Komponen x = 0 dan z = 0, hanya y ≠ 0. Maka titik C terletak pada sumbu y.

4. Titik D(3, 0, 7) terletak pada bidang koordinat apa?

Pembahasan: Komponen y = 0, sedangkan x ≠ 0 dan z ≠ 0. Maka titik D terletak pada bidang xz.

5. Tentukan oktan dari titik E(1, −2, −4)!

Pembahasan: x = 1 (positif), y = −2 (negatif), z = −4 (negatif). Maka titik E berada di Oktan VIII.

6. Sebutkan koordinat titik yang terletak 3 satuan di sumbu x positif!

Pembahasan: Titik pada sumbu x memiliki y = 0, z = 0. Jadi koordinatnya adalah (3, 0, 0).

7. Titik F(0, 0, −6) terletak pada sumbu apa?

Pembahasan: x = 0, y = 0, hanya z ≠ 0. Maka titik F terletak pada sumbu z (bagian negatif).

8. Tentukan oktan dari titik G(−1, −3, 2)!

Pembahasan: x = −1 (negatif), y = −3 (negatif), z = 2 (positif). Maka titik G berada di Oktan III.

9. Titik H(4, 2, 0) terletak pada bidang apa?

Pembahasan: z = 0, sedangkan x ≠ 0 dan y ≠ 0. Maka titik H terletak pada bidang xy.

10. Tentukan oktan dari titik I(−2, 4, −1)!

Pembahasan: x = −2 (negatif), y = 4 (positif), z = −1 (negatif). Maka titik I berada di Oktan VI.

Level Sedang

11. Tentukan bayangan titik P(3, −2, 5) terhadap bidang xy!

Pembahasan: Pencerminan terhadap bidang xy mengubah tanda komponen z. Maka bayangan P’ = (3, −2, −5).

12. Tentukan bayangan titik Q(−1, 4, 2) terhadap sumbu y!

Pembahasan: Pencerminan terhadap sumbu y mengubah tanda komponen x dan z. Maka bayangan Q’ = (1, 4, −2).

13. Tentukan bayangan titik R(2, −3, 1) terhadap titik asal O!

Pembahasan: Pencerminan terhadap titik asal mengubah tanda semua komponen. Maka bayangan R’ = (−2, 3, −1).

14. Diketahui titik A(1, 2, 3) dan B(4, 6, 3). Tentukan titik tengah AB!

Pembahasan: Titik tengah M = ((1+4)/2, (2+6)/2, (3+3)/2) = (2.5, 4, 3).

15. Titik P membagi ruas garis A(2, 0, 4) dan B(6, 4, 8) dengan perbandingan 1:3 dari A. Tentukan koordinat P!

Pembahasan: P = A + (1/4)(B − A) = (2 + 1, 0 + 1, 4 + 1) = (3, 1, 5).
Detail: x = 2 + (1/4)(6−2) = 3, y = 0 + (1/4)(4−0) = 1, z = 4 + (1/4)(8−4) = 5.

Level Sulit

16. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,4,0), E(0,0,4). Tentukan koordinat titik G!

Pembahasan: G adalah titik yang berhadapan diagonal dengan A. G = B + D + E − 2A = (4,0,0) + (0,4,0) + (0,0,4) − (0,0,0) = (4, 4, 4).

17. Tentukan titik yang membagi diagonal ruang AG pada kubus di soal 16 dengan perbandingan 2:1 dari A!

Pembahasan: P = A + (2/3)(G − A) = (0,0,0) + (2/3)(4,4,4) = (8/3, 8/3, 8/3) ≈ (2.67, 2.67, 2.67).

18. Diketahui limas T.ABCD dengan A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), T(3,3,8). Tentukan titik tengah rusuk TC!

Pembahasan: Titik tengah M = ((3+6)/2, (3+6)/2, (8+0)/2) = (4.5, 4.5, 4).

19. Buktikan bahwa titik-titik A(1,2,3), B(4,6,9), C(7,10,15) segaris (kolinear)!

Pembahasan: Vektor AB = (3,4,6), Vektor AC = (6,8,12) = 2 × (3,4,6) = 2 × AB. Karena AC = 2·AB, maka A, B, C segaris (kolinear).

20. Tentukan koordinat titik P pada sumbu z sehingga jarak P ke titik A(3, 4, 0) adalah 13 satuan!

Pembahasan: P = (0, 0, c). Jarak PA = √(9 + 16 + c²) = √(25 + c²) = 13. Maka 25 + c² = 169, c² = 144, c = ±12. Jadi P = (0, 0, 12) atau (0, 0, −12).

Latihan Soal: Sistem Koordinat Ruang

Level Mudah

Tentukan oktan dari titik (5, 2, 1)!
Tentukan oktan dari titik (−3, 1, −2)!
Titik (0, 0, 8) terletak pada sumbu apa?
Titik (2, 0, 5) terletak pada bidang apa?
Tentukan oktan dari titik (−1, −4, −3)!
Sebutkan koordinat titik 7 satuan di sumbu y negatif!
Titik (0, 3, −1) terletak pada bidang apa?
Tentukan oktan dari titik (4, −3, 6)!
Titik (−2, 0, 0) terletak pada sumbu apa?
Tentukan oktan dari titik (−5, 2, 7)!

Level Sedang

Tentukan bayangan titik (4, −1, 3) terhadap bidang xz!
Tentukan bayangan titik (−2, 5, 1) terhadap sumbu z!
Tentukan titik tengah ruas garis A(1, 3, 5) dan B(7, −1, 3)!
Titik P membagi AB dengan A(2, 4, 6) dan B(8, 10, 12) perbandingan 1:2 dari A. Tentukan P!
Tentukan bayangan titik (3, −4, 2) terhadap titik asal!

Level Sulit

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan A(0,0,0) dan panjang rusuk 5. Tentukan semua koordinat titik sudut kubus!
Tentukan koordinat titik pada sumbu x yang berjarak 10 dari titik (0, 6, 8)!
Buktikan bahwa titik A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,7,10) segaris!
Tentukan titik pada bidang xy yang berjarak sama dari titik P(1,2,3) dan Q(3,4,1)!
Diketahui limas T.ABC dengan A(0,0,0), B(4,0,0), C(0,4,0), T(2,2,6). Tentukan titik berat alas dan jarak T ke titik berat alas!

2. Komponen Vektor dalam Ruang

Kegiatan: Mengamati

Bayangkan seekor burung terbang dari titik A(1, 2, 3) ke titik B(4, 6, 7). Perpindahan burung tersebut dapat dinyatakan sebagai vektor dengan tiga komponen: seberapa jauh ke kanan/kiri (x), ke depan/belakang (y), dan ke atas/bawah (z).

A. Pengertian Vektor dalam Ruang

Vektor dalam ruang adalah besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah dalam ruang tiga dimensi. Vektor ruang dinyatakan dengan tiga komponen.

Notasi Vektor:

Vektor a = (a₁, a₂, a₃) atau ditulis:

a = a₁i + a₂j + a₃k

dimana:

i = (1, 0, 0) → vektor satuan arah sumbu x
j = (0, 1, 0) → vektor satuan arah sumbu y
k = (0, 0, 1) → vektor satuan arah sumbu z

Gambar 2: Vektor dan Komponen-komponennya dalam Ruang

B. Vektor Posisi

Vektor posisi titik P(x, y, z) adalah vektor dari titik asal O ke titik P:

OP = (x, y, z)

C. Vektor dari Titik A ke Titik B

Jika A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka:

AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁)

D. Operasi Vektor dalam Ruang

Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

Penjumlahan: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
Pengurangan: a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)
Perkalian skalar: ka = (ka₁, ka₂, ka₃)

E. Vektor Sama dan Vektor Negatif

Vektor sama: a = b jika a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃

Vektor negatif: −a = (−a₁, −a₂, −a₃)

Kegiatan: Menanya

Apa perbedaan vektor posisi dan vektor perpindahan?
Bagaimana cara menentukan komponen vektor jika diketahui dua titik?
Kapan dua vektor dikatakan sama?

Kegiatan: Menalar

Jika a = (2, −1, 3) dan b = (−4, 2, −6), maka b = −2a. Ini berarti vektor b sejajar dengan a tetapi berlawanan arah dan panjangnya 2 kali panjang a.

Kegiatan: Mencoba

Diketahui a = (1, 2, 3) dan b = (4, −1, 2). Hitunglah:

a + b
2a − 3b
a + b + (−a)

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sebangkumu: Mengapa vektor AB = −BA? Jelaskan dengan contoh koordinat titik yang konkret.

Contoh Soal: Komponen Vektor Ruang

Level Mudah

1. Tentukan vektor AB jika A(1, 2, 3) dan B(4, 5, 6)!

Pembahasan: AB = B − A = (4−1, 5−2, 6−3) = (3, 3, 3).

2. Jika a = (2, −1, 4) dan b = (1, 3, −2), tentukan a + b!

Pembahasan: a + b = (2+1, −1+3, 4+(−2)) = (3, 2, 2).

3. Tentukan 3a jika a = (−1, 2, 5)!

Pembahasan: 3a = (3×(−1), 3×2, 3×5) = (−3, 6, 15).

4. Tentukan a − b jika a = (5, 3, 1) dan b = (2, 1, 4)!

Pembahasan: a − b = (5−2, 3−1, 1−4) = (3, 2, −3).

5. Nyatakan vektor v = (2, −3, 7) dalam bentuk vektor satuan i, j, k!

Pembahasan: v = 2i − 3j + 7k.

6. Tentukan vektor posisi titik P(−4, 0, 6)!

Pembahasan: Vektor posisi OP = (−4, 0, 6) = −4i + 6k.

7. Jika AB = (3, −2, 1) dan A(1, 4, 2), tentukan koordinat B!

Pembahasan: B = A + AB = (1+3, 4+(−2), 2+1) = (4, 2, 3).

8. Tentukan vektor negatif dari a = (7, −3, 2)!

Pembahasan: −a = (−7, 3, −2).

9. Tentukan 2a + 3b jika a = (1, 0, −2) dan b = (−1, 2, 1)!

Pembahasan: 2a = (2, 0, −4), 3b = (−3, 6, 3). Maka 2a + 3b = (2−3, 0+6, −4+3) = (−1, 6, −1).

10. Apakah vektor a = (2, 4, 6) dan b = (1, 2, 3) sejajar?

Pembahasan: a = 2(1, 2, 3) = 2b. Karena a = k·b dengan k = 2, maka ya, sejajar.

Level Sedang

11. Diketahui a = (2, −1, 3), b = (1, 4, −2), c = (−3, 2, 1). Tentukan 2a − b + 3c!

Pembahasan: 2a = (4, −2, 6), −b = (−1, −4, 2), 3c = (−9, 6, 3).
Hasil = (4−1−9, −2−4+6, 6+2+3) = (−6, 0, 11).

12. Tentukan nilai m agar vektor a = (2, m, 6) sejajar dengan b = (1, 3, 3)!

Pembahasan: Sejajar berarti a = k·b. Dari komponen x: 2 = k·1, maka k = 2. Dari komponen z: 6 = k·3 = 6 ✓. Dari komponen y: m = k·3 = 2·3 = 6.

13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 0, 1). Tentukan AB + BC dan buktikan hasilnya = AC!

Pembahasan: AB = (2, 2, 2), BC = (−1, −4, −4). AB + BC = (1, −2, −2). AC = C − A = (1, −2, −2). Terbukti AB + BC = AC.

14. Tentukan nilai a dan b jika (a, 2, b) + (3, b, 4) = (5, 5, 7)!

Pembahasan: a + 3 = 5 → a = 2. 2 + b = 5 → b = 3. Verifikasi: b + 4 = 3 + 4 = 7 ✓. Jadi a = 2, b = 3.

15. Titik P membagi ruas garis AB secara internal dengan perbandingan 2:3. Jika A(1, −2, 4) dan B(6, 3, −1), tentukan vektor posisi P!

Pembahasan: P = (3A + 2B) / 5… Rumus: P = A + (2/5)(B−A).
P = (1 + 2/5·5, −2 + 2/5·5, 4 + 2/5·(−5)) = (1+2, −2+2, 4−2) = (3, 0, 2).

Level Sulit

16. Diketahui a = (1, 2, −1), b = (3, 0, 2). Tentukan vektor c yang tegak lurus a dan b (perkalian silang)!

Pembahasan: c = a × b = (2·2 − (−1)·0, (−1)·3 − 1·2, 1·0 − 2·3) = (4, −5, −6). Jadi c = (4, −5, −6).

17. Tentukan nilai p agar vektor a = (p, 2, 1), b = (1, p, 2), c = (2, 1, p) sebidang (koplanar)!

Pembahasan: Tiga vektor sebidang jika determinan = 0.
|p 2 1; 1 p 2; 2 1 p| = p(p²−2) − 2(p−4) + 1(1−2p) = p³−2p−2p+8+1−2p = p³−6p+9 = 0… Hmm, let me recalculate. Det = p(p²−2)−2(p−4)+1(1−2p) = p³−2p−2p+8+1−2p = p³−6p+9. Coba p=−3: −27+18+9=0 ✓. Jadi (p+3)(p²−3p+3)=0. Nilai real: p = −3.

18. Diketahui segitiga dengan A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Tentukan vektor yang mewakili median dari A ke titik tengah BC!

Pembahasan: Titik tengah BC = M = ((0+0)/2, (2+0)/2, (0+3)/2) = (0, 1, 3/2). Vektor median AM = M − A = (0−1, 1−0, 3/2−0) = (−1, 1, 3/2).

19. Tentukan vektor v = (x, y, z) yang tegak lurus a = (1, 1, 0) dan b = (0, 1, 1), dengan |v| = √3!

Pembahasan: v ⊥ a: x + y = 0 → y = −x. v ⊥ b: y + z = 0 → z = −y = x. Maka v = (x, −x, x) = x(1, −1, 1). |v| = |x|√3 = √3, jadi |x| = 1. v = (1, −1, 1) atau (−1, 1, −1).

20. Diketahui a + 2b = (7, 1, 5) dan 2a − b = (4, 7, 0). Tentukan a dan b!

Pembahasan: Dari pers. 1: a = (7,1,5) − 2b. Substitusi ke pers. 2: 2((7,1,5)−2b) − b = (4,7,0). (14,2,10) − 5b = (4,7,0). 5b = (10,−5,10). b = (2,−1,2). a = (7,1,5)−(4,−2,4) = (3, 3, 1). b = (2, −1, 2).

Latihan Soal: Komponen Vektor Ruang

Level Mudah

Tentukan AB jika A(2, 1, 0) dan B(5, 3, 4)!
Hitung a + b jika a = (3, −2, 1) dan b = (−1, 4, 2)!
Tentukan 4v jika v = (−2, 1, 3)!
Hitung a − b jika a = (6, 0, 3) dan b = (2, −1, 5)!
Nyatakan (−3, 5, −1) dalam bentuk i, j, k!
Jika PQ = (2, −4, 6) dan P(1, 3, −2), tentukan Q!
Tentukan vektor negatif dari (−4, 7, −2)!
Hitung a + b + c jika a = (1,1,1), b = (2,0,−1), c = (−3,2,0)!
Apakah (4, −6, 10) sejajar dengan (−2, 3, −5)?
Tentukan vektor posisi titik M(0, −5, 8)!

Level Sedang

Tentukan 3a − 2b + c jika a = (1, −1, 2), b = (3, 0, −1), c = (−2, 4, 1)!
Tentukan nilai k agar (k, 6, 9) sejajar dengan (2, 3, k+1)!
Diketahui A(2,1,3), B(4,3,5), C(6,5,7). Tunjukkan A, B, C segaris!
Tentukan p dan q jika 2(p, 1, q) − (3, q, 1) = (1, −1, 5)!
Vektor posisi titik P membagi AB (A(0,0,0), B(9,6,3)) dengan perbandingan 2:1 dari A. Tentukan P!

Level Sulit

Tentukan a × b jika a = (2, 1, −3) dan b = (1, −2, 1)!
Tentukan a dan b jika a + b = (5, 1, 4) dan a − b = (1, 3, 2)!
Tentukan vektor satuan dari (2, −2, 1) lalu verifikasi panjangnya = 1!
Tentukan m agar vektor (1, m, 2), (2, 1, m), (m, 2, 1) sebidang!
Diketahui titik A, B, C, D membentuk jajargenjang ABCD. Jika A(1,2,3), B(4,5,6), C(6,5,7), tentukan D!

3. Panjang Vektor dalam Ruang

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan sebuah balok dengan panjang 3, lebar 4, dan tinggi 12. Jika kita ingin mengukur panjang diagonal ruang balok tersebut, kita perlu menggabungkan tiga dimensi sekaligus menggunakan teorema Pythagoras yang diperluas ke 3D.

A. Rumus Panjang Vektor dalam Ruang

Panjang (besar/modulus) vektor a = (a₁, a₂, a₃) adalah:

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Gambar 3: Panjang Vektor sebagai Diagonal Ruang

B. Jarak Dua Titik dalam Ruang

Jarak antara titik A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂):

|AB| = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

C. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 yang searah dengan vektor aslinya:

â = a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|, a₃/|a|)

D. Sifat-sifat Panjang Vektor

|a| ≥ 0, dan |a| = 0 hanya jika a = 0
|ka| = |k| · |a|
|a + b| ≤ |a| + |b| (ketaksamaan segitiga)

Kegiatan: Menanya

Bagaimana hubungan rumus jarak 2D dengan rumus jarak 3D?
Mengapa vektor satuan penting dalam matematika dan fisika?
Apa arti geometris dari ketaksamaan segitiga?

Kegiatan: Menalar

Panjang vektor (3, 4, 12) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. Perhatikan bahwa ini merupakan perluasan tripel Pythagoras: dari 3²+4²=5² di 2D, menjadi 3²+4²+12² = 5²+12² = 13² di 3D.

Kegiatan: Mencoba

Hitunglah panjang vektor-vektor berikut dan tentukan vektor satuannya:

a = (1, 2, 2)
b = (2, −1, 2)
c = (4, 4, 7)

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada temanmu mengapa panjang vektor selalu bernilai non-negatif. Berikan contoh penerapan panjang vektor dalam kehidupan sehari-hari (misalnya menghitung jarak pesawat).

Contoh Soal: Panjang Vektor dalam Ruang

Level Mudah

1. Tentukan panjang vektor a = (3, 4, 0)!

Pembahasan: |a| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

2. Tentukan panjang vektor b = (1, 2, 2)!

Pembahasan: |b| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.

3. Tentukan panjang vektor c = (2, −2, 1)!

Pembahasan: |c| = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.

4. Tentukan jarak titik A(1, 0, 0) ke titik B(4, 0, 0)!

Pembahasan: |AB| = √((4−1)² + 0 + 0) = √9 = 3.

5. Tentukan panjang vektor d = (0, 3, 4)!

Pembahasan: |d| = √(0 + 9 + 16) = √25 = 5.

6. Tentukan jarak titik O(0,0,0) ke titik P(2, 6, 9)!

Pembahasan: |OP| = √(4 + 36 + 81) = √121 = 11.

7. Tentukan panjang vektor 2a jika a = (1, 2, 2)!

Pembahasan: 2a = (2, 4, 4). |2a| = √(4+16+16) = √36 = 6. Atau: |2a| = 2|a| = 2×3 = 6.

8. Tentukan panjang vektor e = (6, 2, 3)!

Pembahasan: |e| = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7.

9. Tentukan jarak A(1, 2, 3) ke B(4, 6, 3)!

Pembahasan: |AB| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

10. Tentukan panjang vektor f = (3, 4, 12)!

Pembahasan: |f| = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Level Sedang

11. Tentukan vektor satuan dari a = (2, −1, 2)!

Pembahasan: |a| = √(4+1+4) = 3. Vektor satuan â = (2/3, −1/3, 2/3) = (⅔, −⅓, ⅔).

12. Tentukan nilai t agar |v| = 7 dengan v = (2, 3, t)!

Pembahasan: √(4 + 9 + t²) = 7. 13 + t² = 49. t² = 36. t = ±6.

13. Diketahui A(1, −2, 3) dan B(4, 2, −1). Tentukan jarak AB!

Pembahasan: |AB| = √((3)² + (4)² + (−4)²) = √(9+16+16) = √41 ≈ √41 ≈ 6,4.

14. Jika |a| = 5 dan a = (3, 4, k), tentukan nilai k!

Pembahasan: √(9 + 16 + k²) = 5. 25 + k² = 25. k² = 0. k = 0.

15. Tentukan panjang vektor a + b jika a = (1, 2, 2) dan b = (2, −2, 1)!

Pembahasan: a + b = (3, 0, 3). |a+b| = √(9+0+9) = √18 = 3√2 ≈ 4,24.

Level Sulit

16. Tentukan titik pada sumbu z yang berjarak 7 dari titik A(2, 3, 6)!

Pembahasan: Misalkan P = (0, 0, c). |PA| = √(4+9+(c−6)²) = 7. 13+(c−6)² = 49. (c−6)² = 36. c−6 = ±6. c = 12 atau c = 0. Titik: (0,0,12) atau (0,0,0).

17. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan A(0,0,0) dan rusuk 6. Tentukan panjang diagonal ruang!

Pembahasan: Diagonal ruang = AG dengan G(6,6,6). |AG| = √(36+36+36) = √108 = 6√3 = 6√3 ≈ 10,39.

18. Tentukan semua nilai m agar panjang vektor (m, m+1, m−1) sama dengan √14!

Pembahasan: m² + (m+1)² + (m−1)² = 14. m² + m²+2m+1 + m²−2m+1 = 14. 3m²+2 = 14. 3m² = 12. m² = 4. m = ±2.

19. Diketahui |a| = 3, |b| = 4, dan a·b = 0 (tegak lurus). Tentukan |a + b|!

Pembahasan: |a+b|² = |a|² + 2(a·b) + |b|² = 9 + 0 + 16 = 25. |a+b| = 5.

20. Tentukan titik-titik pada garis yang melalui A(1,2,3) dan B(4,6,3) yang berjarak 10 dari titik asal O!

Pembahasan: Parametrisasi: P = A + t(B−A) = (1+3t, 2+4t, 3). |OP|² = (1+3t)² + (2+4t)² + 9 = 100. 1+6t+9t² + 4+16t+16t² + 9 = 100. 25t²+22t−86 = 0. t = (−22±√(484+8600))/50 = (−22±√9084)/50 ≈ (−22±95.31)/50. t ≈ 1.47 atau t ≈ −2.35. Titik: P₁ ≈ (5.4, 7.9, 3) atau P₂ ≈ (−6.0, −7.4, 3).

Latihan Soal: Panjang Vektor dalam Ruang

Level Mudah

Tentukan panjang vektor (4, 0, 3)!
Tentukan panjang vektor (1, −2, 2)!
Tentukan jarak titik A(0,0,0) ke B(1, 2, 2)!
Tentukan panjang vektor (0, 5, 12)!
Tentukan panjang vektor (−2, 2, 1)!
Tentukan jarak A(1,1,1) ke B(2,3,3)!
Tentukan panjang 3v jika v = (1, 2, 2)!
Tentukan panjang vektor (8, 4, 1)!
Tentukan jarak titik P(3, 0, 4) ke titik asal!
Tentukan panjang vektor (2, 6, 9)!

Level Sedang

Tentukan vektor satuan dari (4, −4, 2)!
Tentukan t agar |(1, t, 2)| = 3!
Tentukan jarak A(2, −1, 3) ke B(−1, 3, 1)!
Tentukan panjang |a − b| jika a = (3, 1, 2) dan b = (1, −1, 0)!
Tentukan k agar vektor (k, 2k, k) memiliki panjang 6!

Level Sulit

Tentukan titik pada sumbu y yang berjarak 13 dari A(3, 0, 4)!
Diketahui balok dengan panjang 2, lebar 3, tinggi 6. Tentukan panjang diagonal ruang!
Tentukan semua nilai p agar |(p, p+2, 2p)| = 3√6!
Buktikan bahwa untuk sembarang vektor a dan b: |a+b|² + |a−b|² = 2(|a|² + |b|²)!
Tentukan himpunan semua titik P(x,y,z) yang berjarak sama dari A(1,0,0) dan B(0,1,0). Apa bentuk geometrisnya?

Vektor dalam Ruang

Matematika Peminatan Kelas XII

Daftar Isi

Operasi Vektor dalam Ruang
- Pengertian Vektor dalam Ruang (R³)
- Penjumlahan Vektor
- Pengurangan Vektor
- Perkalian Skalar dengan Vektor
- Perkalian Dot (Skalar) Dua Vektor
- Perkalian Cross (Silang) Dua Vektor
- Contoh Soal & Latihan
Penerapan Vektor Ruang
- Vektor Posisi dan Titik dalam Ruang
- Jarak Titik, Garis, dan Bidang
- Sudut Antara Dua Vektor
- Proyeksi Vektor
- Penerapan dalam Geometri dan Fisika
- Contoh Soal & Latihan

BAB 1: Operasi Vektor dalam Ruang

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan benda-benda di sekitarmu yang berada dalam ruang tiga dimensi. Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kecepatan tertentu ke arah tertentu (timur, utara, dan naik). Gerakan ini memiliki besar (kecepatan) dan arah — inilah yang disebut vektor dalam ruang.

Amati juga bagaimana GPS menentukan posisi dengan tiga koordinat: lintang, bujur, dan ketinggian — representasi titik dalam ruang 3D.

1.1 Pengertian Vektor dalam Ruang (R³)

Vektor dalam ruang adalah besaran yang memiliki besar (magnitudo) dan arah dalam ruang tiga dimensi. Vektor dalam ruang dinyatakan dengan tiga komponen: komponen-x, komponen-y, dan komponen-z.

Notasi Vektor:

Vektor a dalam ruang ditulis sebagai:

a = (a₁, a₂, a₃) = a₁i + a₂j + a₃k

dimana:

i = vektor satuan arah sumbu-x = (1, 0, 0)
j = vektor satuan arah sumbu-y = (0, 1, 0)
k = vektor satuan arah sumbu-z = (0, 0, 1)
a₁, a₂, a₃ = komponen vektor pada masing-masing sumbu

Besar (Panjang/Magnitudo) Vektor:

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Ilustrasi Vektor dalam Ruang 3D:

❓ Kegiatan: Menanya

Dari pengamatan di atas, coba ajukan pertanyaan:

Bagaimana cara menjumlahkan dua vektor dalam ruang?
Apa perbedaan perkalian dot dan perkalian cross?
Bagaimana menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang?

1.2 Penjumlahan Vektor dalam Ruang

Penjumlahan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.

Rumus Penjumlahan Vektor:

Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

Sifat-sifat Penjumlahan Vektor:

Komutatif: a + b = b + a
Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c)
Elemen identitas: a + 0 = a
Invers: a + (−a) = 0

1.3 Pengurangan Vektor dalam Ruang

Rumus Pengurangan Vektor:

Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃)

💡 Kegiatan: Menalar

Perhatikan bahwa pengurangan vektor adalah penjumlahan dengan vektor negatif:

a − b = a + (−b)

Artinya, kita membalik arah vektor b lalu menjumlahkannya dengan a.

1.4 Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar adalah mengalikan sebuah bilangan real (skalar) dengan vektor. Hasilnya adalah vektor dengan arah yang sama (atau berlawanan jika skalar negatif) dan besar yang berubah.

Rumus Perkalian Skalar:

Jika k adalah skalar dan a = (a₁, a₂, a₃), maka:

k · a = (k·a₁, k·a₂, k·a₃)

Sifat-sifat:

|k · a| = |k| · |a|
Jika k > 0, arah sama dengan a
Jika k < 0, arah berlawanan dengan a
Jika k = 0, hasilnya vektor nol

1.5 Perkalian Dot (Perkalian Skalar Dua Vektor)

Perkalian dot menghasilkan bilangan skalar (bukan vektor). Perkalian ini sangat berguna untuk menghitung sudut antara dua vektor dan proyeksi vektor.

Rumus Perkalian Dot:

Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Bentuk alternatif (menggunakan sudut):

a · b = |a| · |b| · cos θ

dimana θ adalah sudut antara vektor a dan b

Sifat-sifat Perkalian Dot:

Komutatif: a · b = b · a
Distributif: a · (b + c) = a · b + a · c
Skalar: (ka) · b = k(a · b)
Dot dengan diri sendiri: a · a = |a|²
Tegak lurus: Jika a · b = 0, maka a ⊥ b

1.6 Perkalian Cross (Perkalian Silang)

Perkalian cross menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor asal. Perkalian ini hanya berlaku di ruang 3D.

Rumus Perkalian Cross:

Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

Dalam bentuk determinan:

i	j	k
a₁	a₂	a₃
b₁	b₂	b₃

Besar hasil cross product:

|a × b| = |a| · |b| · sin θ

Sifat-sifat Perkalian Cross:

Anti-komutatif: a × b = −(b × a)
Distributif: a × (b + c) = a × b + a × c
Skalar: (ka) × b = k(a × b)
Sejajar: Jika a × b = 0, maka a ∥ b
Cross dengan diri sendiri: a × a = 0

✋ Kegiatan: Mencoba

Cobalah hitung sendiri:

Diketahui a = (2, 1, 3) dan b = (1, −2, 1)

Hitung a + b
Hitung a − b
Hitung 3a
Hitung a · b
Hitung a × b

Tabel Ringkasan Operasi Vektor

Operasi	Rumus	Hasil
Penjumlahan	(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)	Vektor
Pengurangan	(a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)	Vektor
Perkalian Skalar	(ka₁, ka₂, ka₃)	Vektor
Perkalian Dot	a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃	Skalar
Perkalian Cross	(a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)	Vektor
Panjang Vektor	√(a₁² + a₂² + a₃²)	Skalar

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman sekelompokmu:

Jelaskan perbedaan antara perkalian dot dan perkalian cross kepada temanmu.
Berikan contoh penerapan perkalian dot dalam kehidupan sehari-hari.
Presentasikan hasil perhitungan dari Kegiatan Mencoba di atas.

📝 Contoh Soal — Operasi Vektor dalam Ruang

Tingkat Mudah (1–10)

Contoh 1. Diketahui a = (3, 1, 2) dan b = (1, 4, 3). Tentukan a + b.

Pembahasan:

a + b = (3+1, 1+4, 2+3) = (4, 5, 5)

Contoh 2. Diketahui a = (5, −2, 4) dan b = (2, 3, −1). Tentukan a − b.

Pembahasan:

a − b = (5−2, −2−3, 4−(−1)) = (3, −5, 5)

Contoh 3. Diketahui a = (2, −1, 3). Tentukan 4a.

Pembahasan:

4a = 4(2, −1, 3) = (4·2, 4·(−1), 4·3) = (8, −4, 12)

Contoh 4. Tentukan panjang vektor a = (3, 4, 0).

Pembahasan:

|a| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

Contoh 5. Tentukan panjang vektor b = (1, 2, 2).

Pembahasan:

|b| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

Contoh 6. Diketahui a = (1, 0, 2) dan b = (3, 1, −1). Hitung a · b.

Pembahasan:

a · b = (1)(3) + (0)(1) + (2)(−1) = 3 + 0 − 2 = 1

Contoh 7. Diketahui a = (2, 3, 1) dan b = (1, −1, 2). Hitung a · b.

Pembahasan:

a · b = (2)(1) + (3)(−1) + (1)(2) = 2 − 3 + 2 = 1

Contoh 8. Diketahui p = (1, 2, 3) dan q = (4, 5, 6). Tentukan 2p + 3q.

Pembahasan:

2p = (2, 4, 6)

3q = (12, 15, 18)

2p + 3q = (2+12, 4+15, 6+18) = (14, 19, 24)

Contoh 9. Tentukan vektor satuan dari a = (2, 1, 2).

Pembahasan:

|a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Vektor satuan = a / |a| = (2/3, 1/3, 2/3) = (⅔, ⅓, ⅔)

Contoh 10. Apakah vektor a = (1, 2, −3) dan b = (6, −3, 0) saling tegak lurus?

Pembahasan:

a · b = (1)(6) + (2)(−3) + (−3)(0) = 6 − 6 + 0 = 0

Karena hasilnya = 0, maka a ⊥ b (saling tegak lurus)

Tingkat Sedang (11–15)

Contoh 11. Diketahui a = (1, 2, 3) dan b = (2, −1, 1). Tentukan a × b.

Pembahasan:

Komponen-i: a₂b₃ − a₃b₂ = (2)(1) − (3)(−1) = 2 + 3 = 5

Komponen-j: a₃b₁ − a₁b₃ = (3)(2) − (1)(1) = 6 − 1 = 5

Komponen-k: a₁b₂ − a₂b₁ = (1)(−1) − (2)(2) = −1 − 4 = −5

a × b = (5, 5, −5)

Contoh 12. Tentukan sudut antara a = (1, 1, 0) dan b = (0, 1, 1).

Pembahasan:

a · b = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1

|a| = √(1 + 1 + 0) = √2

|b| = √(0 + 1 + 1) = √2

cos θ = 1 / (√2 · √2) = 1/2

θ = arccos(1/2) = 60°

Contoh 13. Tentukan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh a = (3, 0, 1) dan b = (1, 2, 0).

Pembahasan:

a × b:

i: (0)(0) − (1)(2) = −2

j: (1)(1) − (3)(0) = 1

k: (3)(2) − (0)(1) = 6

a × b = (−2, 1, 6)

Luas = |a × b| = √(4 + 1 + 36) = √41 ≈ 6,4 satuan luas

Contoh 14. Diketahui titik A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), dan C(2, −1, 0). Tentukan vektor AB + AC.

Pembahasan:

AB = B − A = (4−1, 5−2, 6−3) = (3, 3, 3)

AC = C − A = (2−1, −1−2, 0−3) = (1, −3, −3)

AB + AC = (3+1, 3+(−3), 3+(−3)) = (4, 0, 0)

Contoh 15. Tentukan nilai k agar vektor a = (2, k, 1) tegak lurus dengan b = (1, 3, −5).

Pembahasan:

Syarat tegak lurus: a · b = 0

(2)(1) + (k)(3) + (1)(−5) = 0

2 + 3k − 5 = 0

3k − 3 = 0

k = 1

Tingkat Sulit (16–20)

Contoh 16. Diketahui a = (1, 2, −1), b = (3, 0, 2), dan c = (1, 1, 1). Tentukan (a × b) · c (triple scalar product).

Pembahasan:

Langkah 1: Hitung a × b

i: (2)(2) − (−1)(0) = 4

j: (−1)(3) − (1)(2) = −3 − 2 = −5

k: (1)(0) − (2)(3) = −6

a × b = (4, −5, −6)

Langkah 2: Dot dengan c

(4)(1) + (−5)(1) + (−6)(1) = 4 − 5 − 6 = −7

Contoh 17. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap a = (1, 1, 0) dan b = (0, 1, 1), kemudian tentukan vektor satuan dari hasilnya.

Pembahasan:

a × b:

i: (1)(1) − (0)(1) = 1

j: (0)(0) − (1)(1) = −1

k: (1)(1) − (1)(0) = 1

a × b = (1, −1, 1)

|a × b| = √(1 + 1 + 1) = √3

Vektor satuan = (1/√3, −1/√3, 1/√3) = (√3/3, −√3/3, √3/3)

Contoh 18. Buktikan bahwa (a + b) × (a − b) = 2(b × a).

Pembahasan:

(a + b) × (a − b)

= a × a − a × b + b × a − b × b

= 0 − a × b + b × a − 0

Karena b × a = −(a × b):

= −a × b + (−a × b)

= −2(a × b) = 2(b × a) ✓ Terbukti

Contoh 19. Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor a = (1, 0, 2), b = (3, 1, 0), c = (0, 2, 1).

Pembahasan:

Volume = |(a × b) · c|

a × b:

i: (0)(0) − (2)(1) = −2

j: (2)(3) − (1)(0) = 6

k: (1)(1) − (0)(3) = 1

a × b = (−2, 6, 1)

(a × b) · c = (−2)(0) + (6)(2) + (1)(1) = 0 + 12 + 1 = 13

Volume = |13| = 13 satuan volume

Contoh 20. Diketahui a = (2, 1, −1) dan b = (1, −1, 2). Tentukan vektor c yang sejajar dengan a × b dan memiliki panjang 3√3.

Pembahasan:

a × b:

i: (1)(2) − (−1)(−1) = 2 − 1 = 1

j: (−1)(1) − (2)(2) = −1 − 4 = −5

k: (2)(−1) − (1)(1) = −2 − 1 = −3

a × b = (1, −5, −3)

|a × b| = √(1 + 25 + 9) = √35

Vektor satuan = (1/√35, −5/√35, −3/√35)

c = 3√3 · (1/√35, −5/√35, −3/√35) = (3√3/√35, −15√3/√35, −9√3/√35)

= (3√(3/35), −15√(3/35), −9√(3/35))

✏️ Latihan Soal — Operasi Vektor dalam Ruang

Tingkat Mudah (1–10)

Diketahui a = (4, 2, 1) dan b = (1, 3, 5). Tentukan a + b.
Diketahui a = (6, −1, 3) dan b = (2, 4, −2). Tentukan a − b.
Tentukan 5a jika a = (1, −3, 2).
Tentukan panjang vektor a = (2, 6, 3).
Tentukan panjang vektor b = (4, 0, 3).
Hitung a · b jika a = (2, 1, 3) dan b = (1, 0, −2).
Hitung a · b jika a = (4, −1, 2) dan b = (2, 3, 1).
Tentukan vektor satuan dari a = (0, 3, 4).
Tentukan 3a − 2b jika a = (1, 2, 3) dan b = (2, 1, 0).
Apakah a = (2, −1, 3) dan b = (3, 0, −2) tegak lurus?

Tingkat Sedang (11–15)

Tentukan a × b jika a = (2, 1, −1) dan b = (1, 3, 2).
Tentukan sudut antara a = (1, 0, 1) dan b = (0, 1, 1).
Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
Tentukan nilai m agar a = (m, 2, 1) sejajar dengan b = (6, 4, 2).
Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap a = (1, 2, 1) dan b = (2, 1, −1).

Tingkat Sulit (16–20)

Tentukan volume paralelepiped yang dibentuk oleh a = (2, 1, 0), b = (0, 3, 1), c = (1, 0, 2).
Buktikan bahwa |a × b|² + (a · b)² = |a|² · |b|² untuk a = (1, 2, 3) dan b = (2, 0, 1).
Tentukan vektor c yang tegak lurus terhadap a = (1, 1, 1) dan b = (1, −1, 0), dengan |c| = √6.
Diketahui a = (2, −1, 3) dan b = (−1, 2, 1). Tentukan (a + 2b) × (a − b).
Tentukan luas segitiga dengan titik sudut P(1, 2, 3), Q(4, 0, 5), R(2, 1, −1).

BAB 2: Penerapan Vektor Ruang

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan struktur atap rumah, jembatan, atau rangka bangunan. Gaya-gaya yang bekerja pada struktur tersebut memiliki arah dan besar tertentu dalam ruang 3D. Insinyur menggunakan vektor untuk menghitung gaya, sudut, dan jarak agar bangunan kokoh.

Dalam navigasi udara, pilot perlu mengetahui sudut pendekatan (approach angle) untuk mendarat dengan aman — ini adalah sudut antara dua vektor dalam ruang.

2.1 Vektor Posisi dan Titik dalam Ruang

Vektor posisi adalah vektor yang menghubungkan titik asal O(0,0,0) dengan suatu titik dalam ruang.

Vektor Posisi Titik A(x, y, z):

OA = (x, y, z)

Vektor dari Titik A ke Titik B:

Jika A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka:

AB = B − A = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁)

Titik Tengah M dari AB:

M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)

❓ Kegiatan: Menanya

Bagaimana menentukan jarak antara dua titik dalam ruang?
Bagaimana menghitung proyeksi vektor pada vektor lain?
Apa penerapan vektor dalam fisika dan geometri ruang?

2.2 Jarak dalam Ruang

Jarak Dua Titik:

Jarak antara A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂):

d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)

Jarak Titik ke Garis:

Jarak titik P ke garis melalui titik A dengan arah u:

d = |AP × u| / |u|

Jarak Titik ke Bidang:

Jarak titik P(x₀, y₀, z₀) ke bidang ax + by + cz + d = 0:

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

2.3 Sudut Antara Dua Vektor

Rumus Sudut Antara Dua Vektor:

cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)

Kasus Khusus:

θ = 0° → vektor searah (cos θ = 1)
θ = 90° → vektor tegak lurus (cos θ = 0)
θ = 180° → vektor berlawanan arah (cos θ = −1)
0° < θ < 90° → sudut lancip (cos θ > 0)
90° < θ < 180° → sudut tumpul (cos θ < 0)

💡 Kegiatan: Menalar

Perhatikan hubungan antara perkalian dot dan sudut:

Jika a · b > 0 → sudut lancip
Jika a · b = 0 → sudut siku-siku
Jika a · b < 0 → sudut tumpul

Bagaimana hal ini bisa membantu kita menentukan jenis sudut tanpa menghitung arccos?

2.4 Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah komponen vektor a yang searah dengan b.

Proyeksi Skalar (Panjang Proyeksi):

proj_skalar = (a · b) / |b|

Proyeksi Vektor (Vektor Proyeksi):

proj_b a = [(a · b) / |b|²] · b

Ilustrasi Proyeksi Vektor:

2.5 Penerapan dalam Geometri dan Fisika

Penerapan Geometri:

Luas Segitiga: L = ½|AB × AC|
Luas Jajaran Genjang: L = |a × b|
Volume Paralelepiped: V = |(a × b) · c|
Volume Tetrahedron: V = ⅙|(a × b) · c|
Persamaan Bidang: n · (r − r₀) = 0, dimana n = normal bidang

Penerapan Fisika:

Usaha (Work): W = F · d = |F||d| cos θ
Torsi (Momen Gaya): τ = r × F
Kecepatan Sudut: v = ω × r

✋ Kegiatan: Mencoba

Sebuah gaya F = (3, 2, 1) Newton bekerja pada benda yang berpindah sejauh d = (2, 0, 4) meter.

Hitung usaha (kerja) yang dilakukan gaya tersebut.
Tentukan sudut antara gaya dan perpindahan.
Tentukan proyeksi vektor gaya pada arah perpindahan.

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah presentasi singkat menjelaskan:

Bagaimana vektor digunakan dalam navigasi GPS.
Berikan contoh penerapan cross product dalam fisika (torsi).
Jelaskan mengapa proyeksi vektor penting dalam perhitungan usaha/kerja.

📝 Contoh Soal — Penerapan Vektor Ruang

Tingkat Mudah (1–10)

Contoh 1. Tentukan jarak antara titik A(1, 2, 3) dan B(4, 6, 3).

Pembahasan:

d = √((4−1)² + (6−2)² + (3−3)²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5

Contoh 2. Tentukan titik tengah ruas garis AB jika A(2, 4, 6) dan B(8, 2, 10).

Pembahasan:

M = ((2+8)/2, (4+2)/2, (6+10)/2) = (5, 3, 8)

Contoh 3. Tentukan vektor AB jika A(1, 3, 2) dan B(4, 1, 5).

Pembahasan:

AB = B − A = (4−1, 1−3, 5−2) = (3, −2, 3)

Contoh 4. Tentukan sudut antara a = (1, 0, 0) dan b = (1, 1, 0).

Pembahasan:

a · b = 1(1) + 0(1) + 0(0) = 1

|a| = 1, |b| = √2

cos θ = 1/(1·√2) = 1/√2

θ = 45°

Contoh 5. Hitung usaha jika gaya F = (5, 0, 3) N dan perpindahan d = (2, 1, 0) m.

Pembahasan:

W = F · d = (5)(2) + (0)(1) + (3)(0) = 10 + 0 + 0 = 10 Joule

Contoh 6. Tentukan proyeksi skalar a = (3, 4, 0) pada b = (1, 0, 0).

Pembahasan:

Proj skalar = (a · b) / |b| = (3·1 + 4·0 + 0·0) / 1 = 3

Contoh 7. Tentukan jarak antara titik P(0, 0, 0) dan Q(1, 2, 2).

Pembahasan:

d = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

Contoh 8. Tentukan vektor posisi titik tengah segmen dari A(0, 0, 4) ke B(6, 2, 0).

Pembahasan:

M = ((0+6)/2, (0+2)/2, (4+0)/2) = (3, 1, 2)

Contoh 9. Apakah sudut antara a = (1, 1, 1) dan b = (−1, −1, −1) lancip, siku-siku, atau tumpul?

Pembahasan:

a · b = (1)(−1) + (1)(−1) + (1)(−1) = −3

Karena dot product < 0, maka sudutnya tumpul (180°)

(Sebenarnya keduanya berlawanan arah, jadi θ = 180°)

Contoh 10. Tentukan proyeksi vektor a = (2, 2, 1) pada b = (1, 2, 2).

Pembahasan:

a · b = 2(1) + 2(2) + 1(2) = 2 + 4 + 2 = 8

|b|² = 1 + 4 + 4 = 9

Proj vektor = (8/9)(1, 2, 2) = (8/9, 16/9, 16/9)

Tingkat Sedang (11–15)

Contoh 11. Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3).

Pembahasan:

AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3)

AB × AC:

i: (2)(3) − (0)(0) = 6

j: (0)(−1) − (−1)(3) = 3

k: (−1)(0) − (2)(−1) = 2

= (6, 3, 2)

|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

Luas = ½ × 7 = 3,5 satuan luas

Contoh 12. Tentukan jarak titik P(1, 2, 3) ke bidang 2x + 2y + z − 10 = 0.

Pembahasan:

d = |2(1) + 2(2) + 1(3) − 10| / √(4 + 4 + 1)

= |2 + 4 + 3 − 10| / √9

= |−1| / 3 = 1/3

Contoh 13. Sebuah gaya F = (2, 3, 1) N bekerja pada titik yang berjarak r = (1, 0, 2) m dari poros. Tentukan torsi.

Pembahasan:

τ = r × F:

i: (0)(1) − (2)(3) = −6

j: (2)(2) − (1)(1) = 3

k: (1)(3) − (0)(2) = 3

τ = (−6, 3, 3) N·m

Contoh 14. Tentukan persamaan bidang melalui titik (1, 2, 3) dengan vektor normal n = (2, −1, 3).

Pembahasan:

Persamaan bidang: n · (r − r₀) = 0

2(x−1) + (−1)(y−2) + 3(z−3) = 0

2x − 2 − y + 2 + 3z − 9 = 0

2x − y + 3z − 9 = 0

Contoh 15. Tentukan sudut antara bidang x + y + z = 1 dan bidang 2x − y + z = 3.

Pembahasan:

Normal bidang 1: n₁ = (1, 1, 1)

Normal bidang 2: n₂ = (2, −1, 1)

cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)

= |2 − 1 + 1| / (√3 · √6) = 2 / √18 = 2/(3√2) = √2/3

θ = arccos(√2/3) ≈ 61,87°

Tingkat Sulit (16–20)

Contoh 16. Tentukan jarak titik P(3, 1, 2) ke garis yang melalui A(1, 0, 1) dengan vektor arah u = (1, 1, 0).

Pembahasan:

AP = P − A = (2, 1, 1)

AP × u:

i: (1)(0) − (1)(1) = −1

j: (1)(1) − (2)(0) = 1

k: (2)(1) − (1)(1) = 1

= (−1, 1, 1)

|AP × u| = √(1 + 1 + 1) = √3

|u| = √(1 + 1 + 0) = √2

d = √3/√2 = √(3/2) = √6/2 ≈ 1,22

Contoh 17. Tentukan volume tetrahedron ABCD dengan A(1,1,1), B(2,1,0), C(0,2,1), D(1,0,2).

Pembahasan:

AB = (1, 0, −1), AC = (−1, 1, 0), AD = (0, −1, 1)

AB × AC:

i: (0)(0) − (−1)(1) = 1

j: (−1)(−1) − (1)(0) = 1

k: (1)(1) − (0)(−1) = 1

= (1, 1, 1)

(AB × AC) · AD = (1)(0) + (1)(−1) + (1)(1) = 0

V = ⅙|0| = 0

Ini berarti keempat titik tersebut sebidang (coplanar).

Contoh 18. Tentukan jarak antara dua garis sejajar: garis 1 melalui A(1,0,0) arah u = (1,1,1), garis 2 melalui B(0,1,0) arah u = (1,1,1).

Pembahasan:

AB = B − A = (−1, 1, 0)

AB × u:

i: (1)(1) − (0)(1) = 1

j: (0)(1) − (−1)(1) = 1

k: (−1)(1) − (1)(1) = −2

= (1, 1, −2)

|AB × u| = √(1 + 1 + 4) = √6

|u| = √3

d = √6/√3 = √2 ≈ 1,41

Contoh 19. Tentukan persamaan bidang yang melalui tiga titik A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

Pembahasan:

AB = (−1, 2, 0), AC = (−1, 0, 3)

Normal n = AB × AC:

i: (2)(3) − (0)(0) = 6

j: (0)(−1) − (−1)(3) = 3

k: (−1)(0) − (2)(−1) = 2

n = (6, 3, 2)

Persamaan: 6(x−1) + 3(y−0) + 2(z−0) = 0

6x + 3y + 2z = 6

Atau: x/1 + y/2 + z/3 = 1 (bentuk intercept)

Contoh 20. Sebuah partikel bergerak dari A(1,1,1) ke B(3,2,4) di bawah pengaruh gaya F = (2, −1, 3) N. Tentukan usaha yang dilakukan, sudut antara gaya dan perpindahan, serta proyeksi gaya pada arah perpindahan.

Pembahasan:

d = B − A = (2, 1, 3)

Usaha: W = F · d = (2)(2) + (−1)(1) + (3)(3) = 4 − 1 + 9 = 12 Joule

Sudut:

|F| = √(4 + 1 + 9) = √14

|d| = √(4 + 1 + 9) = √14

cos θ = 12 / (√14 · √14) = 12/14 = 6/7

θ = arccos(6/7) ≈ 31,0°

Proyeksi gaya pada perpindahan:

= (F · d)/|d|² · d = (12/14)(2, 1, 3) = (12/7, 6/7, 18/7) N

✏️ Latihan Soal — Penerapan Vektor Ruang

Tingkat Mudah (1–10)

Tentukan jarak antara titik A(2, 1, 3) dan B(5, 5, 3).
Tentukan titik tengah ruas AB jika A(0, 4, 2) dan B(6, 0, 8).
Tentukan vektor PQ jika P(2, 1, 0) dan Q(5, 3, 4).
Hitung sudut antara a = (1, 1, 0) dan b = (1, 0, 0).
Hitung usaha jika F = (4, 2, 1) N dan d = (1, 1, 1) m.
Tentukan proyeksi skalar a = (6, 2, 3) pada b = (2, 1, 2).
Tentukan jarak titik O(0,0,0) ke titik A(3, 4, 12).
Tentukan vektor posisi titik tengah dari P(1, 3, 5) dan Q(7, 1, 3).
Apakah sudut antara a = (1, 2, 2) dan b = (2, 1, −2) lancip atau tumpul?
Tentukan proyeksi vektor a = (4, 3, 0) pada b = (0, 0, 1).

Tingkat Sedang (11–15)

Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4).
Tentukan jarak titik P(2, 3, 1) ke bidang x + 2y + 2z − 6 = 0.
Tentukan torsi jika r = (3, 0, 1) m dan F = (0, 2, −1) N.
Tentukan persamaan bidang melalui (2, 1, 0) dengan normal n = (1, −1, 2).
Tentukan sudut antara bidang 2x + y − z = 5 dan bidang x − y + 2z = 3.

Tingkat Sulit (16–20)

Tentukan jarak titik P(2, 1, −1) ke garis melalui A(0, 0, 0) dengan arah u = (1, 2, 2).
Tentukan volume tetrahedron dengan titik sudut A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3).
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(2,1,1), B(1,0,2), C(3,2,0).
Tentukan jarak antara dua garis bersilangan: garis 1 melalui (1,0,0) arah (0,1,0) dan garis 2 melalui (0,1,0) arah (0,0,1).
Sebuah partikel bergerak dari A(0,0,0) ke B(2,3,6) melawan gaya F = (1, −2, 2) N. Tentukan usaha, sudut antara perpindahan dan gaya, serta komponen gaya yang tegak lurus terhadap perpindahan.