Determinan Matriks
Materi lengkap ordo 2×2 dan 3×3 — Contoh Soal & Latihan
📐 Determinan Matriks Ordo 2×2
Diberikan matriks A berukuran 2×2:
Maka determinan matriks A dinotasikan:
🔑 Rumus Kunci:
det(A) = ad − bc
Diagonal utama (a×d) dikurangi diagonal sekunder (b×c)
📌 Sifat Penting:
- Jika det(A) ≠ 0, matriks A memiliki invers.
- Jika det(A) = 0, matriks A disebut singular (tidak punya invers).
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(AB) = det(A) × det(B)
✏️ Contoh Soal — Determinan 2×2
Mudah
1. Tentukan determinan matriks A = 3124
det(A) = (3)(4) − (1)(2)
= 12 − 2
= 10
2. Tentukan determinan matriks B = 5231
det(B) = (5)(1) − (2)(3)
= 5 − 6
= −1
3. Tentukan determinan matriks C = 4072
det(C) = (4)(2) − (0)(7)
= 8 − 0
= 8
4. Tentukan determinan matriks D = 1326
det(D) = (1)(6) − (3)(2)
= 6 − 6
= 0 (matriks singular)
5. Tentukan determinan matriks E = 6−132
det(E) = (6)(2) − (−1)(3)
= 12 − (−3) = 12 + 3
= 15
Sedang
1. Jika A = 2x43x dan det(A) = 8, tentukan nilai x.
det(A) = (2x)(x) − (4)(3) = 8
2x² − 12 = 8
2x² = 20
x² = 10
x = √10 atau x = −√10
2. Tentukan determinan A = −357−2
det(A) = (−3)(−2) − (5)(7)
= 6 − 35
= −29
3. Jika det a25a+1 = 0, tentukan nilai a.
a(a+1) − (2)(5) = 0
a² + a − 10 = 0
Gunakan rumus abc: a = (−1 ± √(1+40))/2
a = (−1 + √41)/2 atau a = (−1 − √41)/2
4. Tentukan determinan matriks ½⅓¼⅕
det = (½)(⅕) − (⅓)(¼)
= 1/10 − 1/12
= 6/60 − 5/60
= 1/60
5. Jika A = 2314 dan B = 1025 , tentukan det(AB).
det(A) = (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3 = 5
det(B) = (1)(5) − (0)(2) = 5 − 0 = 5
det(AB) = det(A) × det(B)
= 5 × 5 = 25
Sulit
1. Jika A = sin θcos θ−cos θsin θ , tentukan det(A).
det(A) = (sin θ)(sin θ) − (cos θ)(−cos θ)
= sin²θ − (−cos²θ)
= sin²θ + cos²θ
= 1 (identitas trigonometri)
2. Tentukan semua nilai x agar matriks x−13x+2x singular.
Matriks singular → det = 0
(x−1)(x) − (3)(x+2) = 0
x² − x − 3x − 6 = 0
x² − 4x − 6 = 0
x = (4 ± √(16+24))/2 = (4 ± √40)/2
x = 2 + √10 atau x = 2 − √10
3. Jika A² = 7634 , tentukan det(A).
det(A²) = (7)(4) − (6)(3) = 28 − 18 = 10
det(A²) = [det(A)]²
[det(A)]² = 10
det(A) = √10 atau det(A) = −√10
4. Jika det(A) = 3 dan A berukuran 2×2, tentukan det(2A).
Untuk matriks n×n: det(kA) = kⁿ · det(A)
n = 2, k = 2:
det(2A) = 2² · det(A) = 4 · 3
= 12
5. Jika A = abcd dengan det(A) = 5, tentukan det(A⁻¹).
Sifat: det(A⁻¹) = 1/det(A)
det(A⁻¹) = 1/5
📝 Latihan Soal — Determinan 2×2
Mudah
1. Tentukan det 2513
2. Tentukan det 7241
3. Tentukan det 0352
4. Tentukan det −1423
5. Tentukan det 8053
Sedang
1. Tentukan det −46−35
2. Jika det x23x = 10, tentukan x.
3. Tentukan det ⅔½¾⅕
4. Jika det(A) = 4 dan det(B) = −3, tentukan det(AB).
5. Tentukan det 2+i312−i (i = √−1)
Sulit
1. Jika A berukuran 2×2 dengan det(A) = −2, tentukan det(3A²).
2. Tentukan semua nilai k agar k+1kk−1k+2 singular.
3. Jika A = cos α−sin αsin αcos α , buktikan det(A) = 1.
4. Jika det(A³) = 27, tentukan det(A).
5. Jika A = abcd , buktikan det(A) = det(Aᵀ) dimana Aᵀ = acbd .
📐 Determinan Matriks Ordo 3×3
Diberikan matriks A berukuran 3×3:
🔑 Metode Sarrus:
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
Langkah:
- Tulis kembali kolom 1 dan 2 di sebelah kanan matriks
- Jumlahkan hasil kali 3 diagonal dari kiri atas ke kanan bawah → aei + bfg + cdh
- Jumlahkan hasil kali 3 diagonal dari kiri bawah ke kanan atas → ceg + bdi + afh
- Hasilnya = (langkah 2) − (langkah 3)
📌 Metode Ekspansi Kofaktor (Baris 1):
det(A) = a·(ei − fh) − b·(di − fg) + c·(dh − eg)
Tanda: +, −, + bergantian mengikuti pola papan catur.
✏️ Contoh Soal — Determinan 3×3
Mudah
1. Tentukan det 100020003
Matriks diagonal → det = perkalian elemen diagonal
det = 1 × 2 × 3 = 6
2. Tentukan det 210341005
Sarrus: (2)(4)(5) + (1)(1)(0) + (0)(3)(0) − (0)(4)(0) − (1)(3)(5) − (2)(1)(0)
= 40 + 0 + 0 − 0 − 15 − 0
= 25
3. Tentukan det 123012004
Matriks segitiga atas → det = perkalian diagonal
det = 1 × 1 × 4 = 4
4. Tentukan det 100230456
Matriks segitiga bawah → det = perkalian diagonal
det = 1 × 3 × 6 = 18
5. Tentukan det 312054002
Segitiga atas → det = 3 × 5 × 2
= 30
Sedang
1. Tentukan det 23141−2352
Sarrus:
(+) = (2)(1)(2) + (3)(−2)(3) + (1)(4)(5) = 4 − 18 + 20 = 6
(−) = (1)(1)(3) + (3)(4)(2) + (2)(−2)(5) = 3 + 24 − 20 = 7
det = 6 − 7 = −1
2. Tentukan det 1−123012−13
(+) = (1)(0)(3) + (−1)(1)(2) + (2)(3)(−1) = 0 − 2 − 6 = −8
(−) = (2)(0)(2) + (−1)(3)(3) + (1)(1)(−1) = 0 − 9 − 1 = −10
det = −8 − (−10) = −8 + 10 = 2
3. Tentukan det −1234−5678−9
(+) = (−1)(−5)(−9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) = −45 + 84 + 96 = 135
(−) = (3)(−5)(7) + (2)(4)(−9) + (−1)(6)(8) = −105 − 72 − 48 = −225
det = 135 − (−225) = 135 + 225 = 360
4. Tentukan det 52−3104−231 dengan ekspansi kofaktor baris 2.
Baris 2: [1, 0, 4] dengan tanda [−, +, −]
= −1·det 2−331 + 0·(…) − 4·det 52−23
= −1·(2+9) + 0 − 4·(15+4)
= −11 − 76
= −87
5. Tentukan det 123456789
(+) = (1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8) = 45 + 84 + 96 = 225
(−) = (3)(5)(7) + (2)(4)(9) + (1)(6)(8) = 105 + 72 + 48 = 225
det = 225 − 225 = 0 (matriks singular)
Sulit
1. Jika det x123x121x = 0, tentukan semua nilai x.
(+) = x·x·x + 1·1·2 + 2·3·1 = x³ + 2 + 6 = x³ + 8
(−) = 2·x·2 + 1·3·x + x·1·1 = 4x + 3x + x = 8x
det = x³ + 8 − 8x = 0
x³ − 8x + 8 = 0
Coba x = 2: 8 − 16 + 8 = 0 ✓
Faktorisasi: (x−2)(x² + 2x − 4) = 0
x = 2, x = −1+√5, x = −1−√5
2. Jika det(A) = 4 dan A berukuran 3×3, tentukan det(3A).
det(kA) = kⁿ · det(A), n = 3, k = 3
det(3A) = 3³ · 4 = 27 · 4
= 108
3. Tentukan det a+bb+cc+a111abc
Perhatikan baris 1 = baris 3 + (baris 2 × sesuatu)
Baris 1: (a+b, b+c, c+a) = (a, b, c) + (b, c, a)
R1 = R3 + (b, c, a). Operasi: R1 → R1 − R3:
Baris baru: (b, c, a)
det baru = det bca111abc
= b(c−b) − c(c−a) + a(b−a)
= bc − b² − c² + ac + ab − a²
= ab + bc + ac − a² − b² − c²
4. Jika A berukuran 3×3, det(A) = −2. Tentukan det(A⁻¹ · Aᵀ).
det(A⁻¹ · Aᵀ) = det(A⁻¹) · det(Aᵀ)
det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/(−2) = −½
det(Aᵀ) = det(A) = −2
det(A⁻¹ · Aᵀ) = (−½)(−2) = 1
5. Tentukan det 1aa²1bb²1cc² (matriks Vandermonde).
Ini adalah matriks Vandermonde yang terkenal.
R2 → R2 − R1, R3 → R3 − R1:
det = det 1aa²0b−ab²−a²0c−ac²−a²
Ekspansi kolom 1: = 1·det b−ab²−a²c−ac²−a²
b²−a² = (b−a)(b+a), c²−a² = (c−a)(c+a)
= (b−a)(c−a) · det 1b+a1c+a
= (b−a)(c−a)(c+a−b−a) = (b−a)(c−a)(c−b)
det = (b−a)(c−a)(c−b)
📝 Latihan Soal — Determinan 3×3
Mudah
1. Tentukan det 200030004
2. Tentukan det 130020005
3. Tentukan det 100420731
4. Tentukan det 5000−10003
5. Tentukan det 120031004
Sedang
1. Tentukan det 31−20451−12
2. Tentukan det 2−1314−2−321
3. Tentukan det −23150−4123
4. Jika det(A) = 5, tentukan det(2A) untuk A berukuran 3×3.
5. Tentukan det 1112344916
Sulit
1. Tentukan semua nilai x agar det x211x301x = 0.
2. Jika det(A) = 3 dan A berukuran 3×3, tentukan det(A² · (2A)⁻¹).
3. Tentukan det aa+1a+2a+3a+4a+5a+6a+7a+8 untuk sembarang nilai a.
4. Jika A berukuran 3×3 dengan det(A³) = −27, tentukan det(A⁻²).
5. Buktikan bahwa det 111abca³b³c³ = (b−a)(c−a)(c−b)(a+b+c).
[…] Determinan Matriks […]