MATERI KALKULUS
Turunan Logaritma Natural
Panduan lengkap dengan materi, contoh soal, dan latihan — disusun runtut dan mudah dipahami
📑 Daftar Isi
1. Pendahuluan & Konsep Dasar
👁️ Mengamati
Perhatikan fungsi berikut:
f(x) = ln x
Fungsi ln x (dibaca: logaritma natural dari x) adalah logaritma dengan basis bilangan Euler e ≈ 2,71828…. Artinya:
ln x = loge x
Logaritma natural hanya terdefinisi untuk x > 0.
❓ Menanya
“Bagaimana cara mencari turunan (laju perubahan) dari fungsi yang melibatkan ln?”
🧠 Menalar
Dari definisi turunan menggunakan limit:
f'(x) = limh→0 f(x+h) − f(x)h
Jika f(x) = ln x, maka:
f'(x) = limh→0 ln(x+h) − ln xh = 1x
Inilah hasil fundamental yang akan kita gunakan sepanjang materi ini.
2. Rumus-Rumus Turunan ln
🧠 Menalar 📢 Mengkomunikasikan
Rumus 1 — Turunan Dasar
Jika f(x) = ln x, maka f'(x) = 1x , x > 0
Rumus 2 — Aturan Rantai (Chain Rule)
Jika f(x) = ln u(x), maka f'(x) = u'(x)u(x)
Di mana u(x) adalah fungsi yang terdiferensialkan dan u(x) > 0.
Rumus 3 — Turunan ln |x|
ddx ln |x| = 1x , x ≠ 0
Tabel Ringkasan
| Fungsi f(x) | Turunan f'(x) | Syarat |
|---|---|---|
| ln x | 1x | x > 0 |
| ln u(x) | u’u | u > 0 |
| a · ln x | ax | x > 0 |
| [ln x]n | n(ln x)n−1x | x > 0 |
| ln |x| | 1x | x ≠ 0 |
3. Pembuktian Rumus
🧠 Menalar
Pembuktian: turunan ln x = 1/x
f'(x) = limh→0 ln(x+h) − ln xh
= limh→0 1h · lnx+hx
= limh→0 1h · ln(1 + hx)
Substitusi t = h/x, sehingga h = tx, saat h→0 maka t→0:
= limt→0 1tx · ln(1 + t)
= 1x · limt→0 ln(1 + t)t
Karena limt→0 ln(1 + t)t = 1, maka:
f'(x) = 1x ∎
= limh→0 1h · lnx+hx
= limh→0 1h · ln(1 + hx)
Substitusi t = h/x, sehingga h = tx, saat h→0 maka t→0:
= limt→0 1tx · ln(1 + t)
= 1x · limt→0 ln(1 + t)t
Karena limt→0 ln(1 + t)t = 1, maka:
f'(x) = 1x ∎
4. Turunan ln dengan Aturan Rantai
🔬 Mencoba 📢 Mengkomunikasikan
Jika argumen ln bukan sekadar x, melainkan fungsi u(x), gunakan aturan rantai:
ddx [ln u] = 1u · dudx = u’u
Langkah Penyelesaian
- Identifikasi fungsi dalam u(x)
- Hitung turunan u'(x)
- Terapkan rumus: hasil = u’/u
- Sederhanakan hasilnya
Ilustrasi Cepat
f(x) = ln(3x + 1)
u = 3x + 1 → u’ = 3
f'(x) = 33x + 1
u = 3x + 1 → u’ = 3
f'(x) = 33x + 1
5. Memanfaatkan Sifat-Sifat ln untuk Menyederhanakan
🧠 Menalar 🔬 Mencoba
Sebelum menurunkan, sering kali lebih mudah menyederhanakan dulu menggunakan sifat logaritma:
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Logaritma Perkalian | ln(ab) = ln a + ln b |
| Logaritma Pembagian | ln(a/b) = ln a − ln b |
| Logaritma Pangkat | ln(an) = n · ln a |
Contoh Pemanfaatan
f(x) = ln(x2 · √(x+1))
Sederhanakan dahulu:
f(x) = ln(x2) + ln(√(x+1))
f(x) = 2 ln x + 12 ln(x+1)
Turunkan:
f'(x) = 2x + 12(x+1)
Sederhanakan dahulu:
f(x) = ln(x2) + ln(√(x+1))
f(x) = 2 ln x + 12 ln(x+1)
Turunkan:
f'(x) = 2x + 12(x+1)
6. Contoh Soal & Pembahasan
🔬 Mencoba 📢 Mengkomunikasikan
🟢 Tingkat Mudah MUDAH
Soal 1. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln x
Pembahasan:
Langsung gunakan rumus dasar:
f'(x) = 1x
Langsung gunakan rumus dasar:
f'(x) = 1x
Soal 2. Tentukan f'(x) jika f(x) = 5 ln x
Pembahasan:
Konstanta bisa dikeluarkan:
f'(x) = 5 · 1x = 5x
Konstanta bisa dikeluarkan:
f'(x) = 5 · 1x = 5x
Soal 3. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(2x)
Pembahasan:
u = 2x → u’ = 2
f'(x) = 22x = 1x
u = 2x → u’ = 2
f'(x) = 22x = 1x
Soal 4. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(x + 3)
Pembahasan:
u = x + 3 → u’ = 1
f'(x) = 1x + 3
u = x + 3 → u’ = 1
f'(x) = 1x + 3
Soal 5. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(4x − 1)
Pembahasan:
u = 4x − 1 → u’ = 4
f'(x) = 44x − 1
u = 4x − 1 → u’ = 4
f'(x) = 44x − 1
🟡 Tingkat Sedang SEDANG
Soal 6. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(x2 + 1)
Pembahasan:
u = x² + 1 → u’ = 2x
f'(x) = 2xx² + 1
u = x² + 1 → u’ = 2x
f'(x) = 2xx² + 1
Soal 7. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(√x) = ln(x1/2)
Pembahasan:
Sederhanakan: f(x) = 12 ln x
f'(x) = 12 · 1x = 12x
Sederhanakan: f(x) = 12 ln x
f'(x) = 12 · 1x = 12x
Soal 8. Tentukan f'(x) jika f(x) = x · ln x
Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian (product rule):
f'(x) = (1)(ln x) + (x)(1x)
f'(x) = ln x + 1
Gunakan aturan perkalian (product rule):
f'(x) = (1)(ln x) + (x)(1x)
f'(x) = ln x + 1
Soal 9. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln xx
Pembahasan:
Gunakan aturan pembagian (quotient rule):
f'(x) = (1x)(x) − (ln x)(1)x²
f'(x) = 1 − ln xx²
Gunakan aturan pembagian (quotient rule):
f'(x) = (1x)(x) − (ln x)(1)x²
f'(x) = 1 − ln xx²
Soal 10. Tentukan f'(x) jika f(x) = (ln x)2
Pembahasan:
Gunakan aturan rantai dengan u = ln x:
f'(x) = 2(ln x) · 1x = 2 ln xx
Gunakan aturan rantai dengan u = ln x:
f'(x) = 2(ln x) · 1x = 2 ln xx
🔴 Tingkat Sulit SULIT
Soal 11. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln x²(x+1)3
Pembahasan:
Sederhanakan dahulu:
f(x) = ln(x²) − ln(x+1)³ = 2 ln x − 3 ln(x+1)
Turunkan:
f'(x) = 2x − 3x+1
Samakan penyebut:
f'(x) = 2(x+1) − 3xx(x+1) = 2 − xx(x+1)
Sederhanakan dahulu:
f(x) = ln(x²) − ln(x+1)³ = 2 ln x − 3 ln(x+1)
Turunkan:
f'(x) = 2x − 3x+1
Samakan penyebut:
f'(x) = 2(x+1) − 3xx(x+1) = 2 − xx(x+1)
Soal 12. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(ln x)
Pembahasan:
Aturan rantai berlapis:
u = ln x → u’ = 1x
f'(x) = 1ln x · 1x = 1x · ln x
Aturan rantai berlapis:
u = ln x → u’ = 1x
f'(x) = 1ln x · 1x = 1x · ln x
Soal 13. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(x + √(x² + 1))
Pembahasan:
u = x + √(x²+1), cari u’:
u’ = 1 + 2x2√(x²+1) = 1 + x√(x²+1)
u’ = √(x²+1) + x√(x²+1)
f'(x) = u’u = √(x²+1) + x√(x²+1) · 1x + √(x²+1)
f'(x) = 1√(x²+1)
u = x + √(x²+1), cari u’:
u’ = 1 + 2x2√(x²+1) = 1 + x√(x²+1)
u’ = √(x²+1) + x√(x²+1)
f'(x) = u’u = √(x²+1) + x√(x²+1) · 1x + √(x²+1)
f'(x) = 1√(x²+1)
Soal 14. Tentukan f'(x) jika f(x) = x2 ln(x3 − 2)
Pembahasan:
Product rule: f = g · h, g = x², h = ln(x³−2)
g’ = 2x
h’ = 3x²x³−2
f'(x) = 2x · ln(x³−2) + x² · 3x²x³−2
f'(x) = 2x ln(x³−2) + 3x⁴x³−2
Product rule: f = g · h, g = x², h = ln(x³−2)
g’ = 2x
h’ = 3x²x³−2
f'(x) = 2x · ln(x³−2) + x² · 3x²x³−2
f'(x) = 2x ln(x³−2) + 3x⁴x³−2
Soal 15. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln √(x − 1x + 1)
Pembahasan:
Sederhanakan:
f(x) = 12 [ln(x−1) − ln(x+1)]
Turunkan:
f'(x) = 12 [1x−1 − 1x+1]
f'(x) = 12 · (x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
f'(x) = 1x²−1
Sederhanakan:
f(x) = 12 [ln(x−1) − ln(x+1)]
Turunkan:
f'(x) = 12 [1x−1 − 1x+1]
f'(x) = 12 · (x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
f'(x) = 1x²−1
7. Latihan Soal
🔬 Mencoba
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat berlatih!
🟢 Mudah MUDAH
1. Tentukan f'(x) jika f(x) = 3 ln x
2. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(5x)
3. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(x − 7)
4. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(3x + 2)
5. Tentukan f'(x) jika f(x) = −2 ln x
🟡 Sedang SEDANG
6. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(x3 − 4x)
7. Tentukan f'(x) jika f(x) = x2 ln x
8. Tentukan f'(x) jika f(x) = (ln x)3
9. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln xx2
10. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(sin x), untuk sin x > 0
🔴 Sulit SULIT
11. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln x3(2x+1)2
12. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln(ln(ln x))
13. Tentukan f'(x) jika f(x) = ex · ln(x2 + 1)
14. Tentukan f'(x) jika f(x) = ln √((x+2)3(x−1)2)
15. Tentukan f'(x) jika f(x) = [ln(x2 + x)]2