Turunan – Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner

📑 Daftar Isi

Fungsi Naik (Fungsi Monoton Naik)
Fungsi Turun (Fungsi Monoton Turun)
Nilai Stasioner (Titik Stasioner)
Contoh Soal — Fungsi Naik
Latihan Soal — Fungsi Naik
Contoh Soal — Fungsi Turun
Latihan Soal — Fungsi Turun
Contoh Soal — Nilai Stasioner
Latihan Soal — Nilai Stasioner

📈 1. Fungsi Naik (Fungsi Monoton Naik)

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik berikut. Saat kita bergerak dari kiri ke kanan (nilai x semakin besar), nilai y juga semakin besar. Fungsi seperti ini disebut fungsi naik.

❓ Menanya

Bagaimana cara menentukan secara matematis bahwa suatu fungsi sedang naik?

Jawabannya: kita gunakan turunan pertama f'(x).

💡 Menalar

Definisi: Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval (a, b) jika untuk setiap x dalam interval tersebut berlaku: f'(x) > 0

Penjelasan detail:

Turunan pertama f'(x) menunjukkan laju perubahan fungsi.
Jika f'(x) > 0, artinya fungsi bergerak ke atas (naik) saat x bertambah.
Secara geometris, garis singgung kurva memiliki gradien positif (miring ke kanan atas).

✏️ Mencoba

Langkah-langkah menentukan interval fungsi naik:

Langkah 1: Tentukan turunan pertama f'(x).
Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan f'(x) > 0.
Langkah 3: Tentukan interval nilai x yang memenuhi.
Langkah 4: Tuliskan interval fungsi naik.

📢 Mengkomunikasikan

Contoh Cepat: Diberikan f(x) = x² - 4x + 3 f'(x) = 2x - 4 Fungsi naik jika f'(x) > 0 : 2x - 4 > 0 \to x > 2 Kesimpulan: Fungsi naik pada interval x > 2 atau (2, \infty)

📉 2. Fungsi Turun (Fungsi Monoton Turun)

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik berikut. Saat kita bergerak dari kiri ke kanan, nilai y justru semakin kecil. Fungsi seperti ini disebut fungsi turun.

❓ Menanya

Bagaimana cara menentukan secara matematis bahwa suatu fungsi sedang turun?

💡 Menalar

Definisi: Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval (a, b) jika untuk setiap x dalam interval tersebut berlaku: f'(x) < 0

Penjelasan detail:

Jika f'(x) < 0, fungsi bergerak ke bawah saat x bertambah.
Garis singgung kurva memiliki gradien negatif (miring ke kanan bawah).
Semakin negatif nilai f'(x), semakin curam penurunannya.

✏️ Mencoba

Langkah 1: Tentukan turunan pertama f'(x).
Langkah 2: Selesaikan pertidaksamaan f'(x) < 0.
Langkah 3: Tentukan interval yang memenuhi.
Langkah 4: Tuliskan interval fungsi turun.

📢 Mengkomunikasikan

Contoh Cepat: Diberikan f(x) = x² - 4x + 3 f'(x) = 2x - 4 Fungsi turun jika f'(x) < 0 : 2x - 4 < 0 \to x < 2 Kesimpulan: Fungsi turun pada interval x < 2 atau (-\infty, 2)

📊 Tabel Ringkasan Fungsi Naik & Turun

Aspek	Fungsi Naik	Fungsi Turun
Syarat	f'(x) > 0	f'(x) < 0
Grafik	Bergerak ke kanan atas ↗	Bergerak ke kanan bawah ↘
Gradien singgung	Positif (+)	Negatif (−)
Nilai f(x)	Bertambah	Berkurang

⚡ 3. Nilai Stasioner (Titik Stasioner)

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik fungsi f(x) = x³ − 3x berikut. Ada titik-titik di mana grafik berhenti naik dan mulai turun, atau sebaliknya. Titik-titik ini disebut titik stasioner.

❓ Menanya

Apa yang dimaksud nilai stasioner? Bagaimana cara menentukan titik stasioner dan jenisnya?

💡 Menalar

Definisi: Titik stasioner adalah titik pada kurva di mana turunan pertama sama dengan nol: f'(x) = 0 Nilai stasioner adalah nilai f(x) di titik stasioner tersebut.

Jenis-Jenis Titik Stasioner

Jenis	Syarat f'(x)	Syarat f”(x)	Keterangan
Maksimum Lokal	f'(x) = 0	f”(x) < 0	Puncak tertinggi lokal
Minimum Lokal	f'(x) = 0	f”(x) > 0	Lembah terendah lokal
Titik Belok	f'(x) = 0	f”(x) = 0	Perubahan kecekungan

✏️ Mencoba

Langkah-langkah menentukan titik stasioner dan jenisnya:

Langkah 1: Tentukan turunan pertama f'(x).
Langkah 2: Selesaikan f'(x) = 0 untuk memperoleh nilai x stasioner.
Langkah 3: Tentukan turunan kedua f”(x).
Langkah 4: Substitusikan x stasioner ke f”(x):
  • Jika f”(x) < 0 → Maksimum lokal
  • Jika f”(x) > 0 → Minimum lokal
  • Jika f”(x) = 0 → Gunakan uji tanda (perubahan tanda f'(x))
Langkah 5: Hitung f(x) di titik stasioner untuk mendapatkan nilai stasioner.

Cara Alternatif: Uji Tanda f'(x)

Jika turunan kedua sulit dihitung atau bernilai 0, gunakan uji perubahan tanda:

Perubahan tanda f'(x)	Jenis
Dari + ke −	Maksimum lokal
Dari − ke +	Minimum lokal
Dari + ke + atau − ke −	Titik belok horizontal

📢 Mengkomunikasikan

Contoh Cepat: f(x) = x³ - 3x f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1) f'(x) = 0 \to x = -1 atau x = 1 f”(x) = 6x • f”(-1) = -6 < 0 \to Maksimum lokal di x = -1 f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \to Titik maks (-1, 2) • f”(1) = 6 > 0 \to Minimum lokal di x = 1 f(1) = 1 - 3 = -2 \to Titik min (1, -2)

📝 Contoh Soal — Fungsi Naik

Mudah

Soal 1. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 3x + 5.

f'(x) = 3
Karena f'(x) = 3 > 0 untuk semua x,
Fungsi naik pada (−∞, ∞), yaitu seluruh bilangan real.

Soal 2. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x² − 6x + 1.

f'(x) = 2x − 6
Fungsi naik jika f'(x) > 0:
2x − 6 > 0
2x > 6
x > 3
Fungsi naik pada interval (3, ∞)

Soal 3. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x² + 2x − 8.

f'(x) = 2x + 2
2x + 2 > 0 → x > −1
Fungsi naik pada interval (−1, ∞)

Soal 4. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 5x − x².

f'(x) = 5 − 2x
5 − 2x > 0 → x < 2,5
Fungsi naik pada interval (−∞, 2,5)

Soal 5. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 4x² − 8x + 7.

f'(x) = 8x − 8
8x − 8 > 0 → x > 1
Fungsi naik pada interval (1, ∞)

Sedang

Soal 6. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x³ − 12x + 5.

f'(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x−2)(x+2)
f'(x) > 0 ketika (x−2)(x+2) > 0
Uji tanda:
• x < −2: (−)(−) = + ✓
• −2 < x < 2: (−)(+) = − ✗
• x > 2: (+)(+) = + ✓
Fungsi naik pada (−∞, −2) ∪ (2, ∞)

Soal 7. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4.

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2)
f'(x) > 0 ketika (x−1)(x−2) > 0
Uji tanda:
• x < 1: (−)(−) = + ✓
• 1 < x < 2: (+)(−) = − ✗
• x > 2: (+)(+) = + ✓
Fungsi naik pada (−∞, 1) ∪ (2, ∞)

Soal 8. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = −x³ + 6x² − 9x + 2.

f'(x) = −3x² + 12x − 9 = −3(x² − 4x + 3) = −3(x−1)(x−3)
f'(x) > 0 ketika −3(x−1)(x−3) > 0 → (x−1)(x−3) < 0
Ini berlaku saat 1 < x < 3
Fungsi naik pada (1, 3)

Soal 9. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁴ − 8x² + 3.

f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4) = 4x(x−2)(x+2)
f'(x) = 0 di x = −2, 0, 2
Uji tanda f'(x):
• x < −2: 4(−)(+)(−) = + … cek: x=−3 → 4(−3)(9−4)=4(−3)(5)=−60 < 0 ✗
Koreksi: f'(x) = 4x(x−2)(x+2)
• x = −3: 4(−3)(−5)(−1) = 4(−3)(5) = −60 < 0 ✗
• x = −1: 4(−1)(−3)(1) = 12 > 0 ✓
• x = 1: 4(1)(−1)(3) = −12 < 0 ✗
• x = 3: 4(3)(1)(5) = 60 > 0 ✓
Fungsi naik pada (−2, 0) ∪ (2, ∞)

Soal 10. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 13x³ − x² − 3x + 5.

f'(x) = x² − 2x − 3 = (x−3)(x+1)
f'(x) > 0 ketika (x−3)(x+1) > 0
• x < −1: (−)(−) = + ✓
• −1 < x < 3: (−)(+) = − ✗
• x > 3: (+)(+) = + ✓
Fungsi naik pada (−∞, −1) ∪ (3, ∞)

Sulit

Soal 11. Tentukan nilai a agar f(x) = x³ + ax² + 3x + 1 selalu naik untuk semua x.

f'(x) = 3x² + 2ax + 3
Agar selalu naik: f'(x) > 0 untuk semua x.
Kuadratik 3x² + 2ax + 3 selalu positif jika:
• Koefisien x² positif: 3 > 0 ✓
• Diskriminan < 0: D = (2a)² − 4(3)(3) < 0
4a² − 36 < 0
a² < 9
−3 < a < 3
Nilai a yang memenuhi: −3 < a < 3

Soal 12. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.

Perhatikan bahwa f(x) = (x − 1)⁴
f'(x) = 4(x − 1)³
f'(x) > 0 ketika (x−1)³ > 0 → x > 1
Fungsi naik pada (1, ∞)

Soal 13. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1.

f(x) = (x − 1)³
f'(x) = 3(x − 1)²
Karena (x−1)² ≥ 0 selalu, maka f'(x) ≥ 0 untuk semua x.
f'(x) = 0 hanya di x = 1 (titik belok).
Fungsi naik pada (−∞, 1) ∪ (1, ∞), yaitu seluruh x ≠ 1.

Soal 14. Diberikan f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + k. Tentukan interval fungsi naik dan tentukan rentang nilai k agar nilai maksimum lokal positif.

f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x² + x − 2) = 6(x+2)(x−1)
f'(x) > 0: (x+2)(x−1) > 0
→ x < −2 atau x > 1
Fungsi naik pada (−∞, −2) ∪ (1, ∞)

Maksimum lokal di x = −2 (f’ berubah dari + ke −):
f(−2) = 2(−8) + 3(4) − 12(−2) + k = −16 + 12 + 24 + k = 20 + k
Agar maks lokal positif: 20 + k > 0 → k > −20
k > −20

Soal 15. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁵ − 5x⁴ + 5x³ + 10.

f'(x) = 5x⁴ − 20x³ + 15x² = 5x²(x² − 4x + 3) = 5x²(x−1)(x−3)
f'(x) = 0 di x = 0, 1, 3
Uji tanda:
• x < 0: 5(+)(−)(−) = + → x = −1: 5(1)(−2)(−4) = 40 > 0 ✓
• 0 < x < 1: 5(+)(−)(−) = + → x = 0.5: 5(0.25)(−0.5)(−2.5) = 1.5625 > 0 ✓
• 1 < x < 3: 5(+)(+)(−) = − ✗
• x > 3: 5(+)(+)(+) = + ✓
Fungsi naik pada (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (3, ∞)
Atau dapat ditulis: (−∞, 1) ∪ (3, ∞) (karena di x=0, f’=0 saja, bukan berubah tanda).

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Naik

Mudah

1. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 7x − 3.

2. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x² − 10x + 4.

3. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = −x² + 8x − 1.

4. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 2x² + 4x + 5.

5. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = −3x² + 6x + 2.

Sedang

6. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.

7. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = −2x³ + 3x² + 12x − 5.

8. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x³ + 3x² − 9x + 2.

9. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁴ − 2x².

10. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = 14x⁴ − 2x² + 3.

Sulit

11. Tentukan nilai p agar f(x) = x³ + px² + 5x − 2 selalu naik.

12. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁵ − 5x³ + 4x.

13. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = (x² − 4)².

14. Tentukan interval fungsi naik dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 4x².

15. Diberikan f(x) = ax³ − 6x² + 9x + b selalu naik pada (1, 3). Tentukan nilai a.

📝 Contoh Soal — Fungsi Turun

Mudah

Soal 1. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −2x + 7.

f'(x) = −2
Karena f'(x) = −2 < 0 untuk semua x,
Fungsi turun pada (−∞, ∞)

Soal 2. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x² − 6x + 1.

f'(x) = 2x − 6
2x − 6 < 0 → x < 3
Fungsi turun pada (−∞, 3)

Soal 3. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −x² + 4x + 5.

f'(x) = −2x + 4
−2x + 4 < 0 → x > 2
Fungsi turun pada (2, ∞)

Soal 4. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 3x² + 12x − 7.

f'(x) = 6x + 12
6x + 12 < 0 → x < −2
Fungsi turun pada (−∞, −2)

Soal 5. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −5x² + 10x + 3.

f'(x) = −10x + 10
−10x + 10 < 0 → x > 1
Fungsi turun pada (1, ∞)

Sedang

Soal 6. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x³ − 3x + 2.

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)
f'(x) < 0: (x−1)(x+1) < 0 → −1 < x < 1
Fungsi turun pada (−1, 1)

Soal 7. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 2x³ − 3x² − 36x + 10.

f'(x) = 6x² − 6x − 36 = 6(x² − x − 6) = 6(x−3)(x+2)
f'(x) < 0: (x−3)(x+2) < 0 → −2 < x < 3
Fungsi turun pada (−2, 3)

Soal 8. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −x³ + 3x² + 9x − 5.

f'(x) = −3x² + 6x + 9 = −3(x² − 2x − 3) = −3(x−3)(x+1)
f'(x) < 0: −3(x−3)(x+1) < 0 → (x−3)(x+1) > 0
→ x < −1 atau x > 3
Fungsi turun pada (−∞, −1) ∪ (3, ∞)

Soal 9. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁴ − 4x³.

f'(x) = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3)
f'(x) < 0: 4x²(x−3) < 0. Karena 4x² ≥ 0, kita butuh x − 3 < 0 dan x ≠ 0:
→ x < 3 dan x ≠ 0
Fungsi turun pada (−∞, 0) ∪ (0, 3), atau secara praktis (−∞, 3) karena f'(0)=0 saja.

Soal 10. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 13x³ + 12x² − 6x + 4.

f'(x) = x² + x − 6 = (x+3)(x−2)
f'(x) < 0: (x+3)(x−2) < 0 → −3 < x < 2
Fungsi turun pada (−3, 2)

Sulit

Soal 11. Tentukan nilai m agar f(x) = −x³ + mx² − 3x + 2 selalu turun untuk semua x.

f'(x) = −3x² + 2mx − 3
Agar selalu turun: f'(x) < 0 untuk semua x.
Koefisien x² = −3 < 0 ✓ (parabola terbuka ke bawah).
Agar selalu negatif, diskriminan < 0:
D = (2m)² − 4(−3)(−3) < 0
4m² − 36 < 0
m² < 9 → −3 < m < 3
Nilai m: −3 < m < 3

Soal 12. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁵ − 5x³ + 4x.

f'(x) = 5x⁴ − 15x² + 4
Misalkan u = x²: 5u² − 15u + 4 = 0
u = 15 ± √(225−80)10 = 15 ± √14510
√145 ≈ 12.04
u₁ ≈ 0.296, u₂ ≈ 2.704
x² = 0.296 → x ≈ ±0.544
x² = 2.704 → x ≈ ±1.644
Titik kritis: x ≈ −1.644, −0.544, 0.544, 1.644
Dengan uji tanda, fungsi turun pada interval:
(−1.644, −0.544) ∪ (0.544, 1.644) (kurang lebih)

Soal 13. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = (x² − 1)³.

f'(x) = 3(x²−1)² · 2x = 6x(x²−1)²
f'(x) < 0: karena (x²−1)² ≥ 0 selalu, tanda ditentukan oleh 6x:
f'(x) < 0 ketika x < 0 (dan x ≠ ±1)
Fungsi turun pada (−∞, 0) (titik x = −1 hanya membuat f’=0, bukan berubah tanda)

Soal 14. Diberikan f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + k. Tentukan interval fungsi turun dan nilai k agar nilai minimum lokal = 0.

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x−1)(x−2)
f'(x) < 0: (x−1)(x−2) < 0 → 1 < x < 2
Fungsi turun pada (1, 2)

Minimum lokal di x = 2:
f(2) = 2(8) − 9(4) + 12(2) + k = 16 − 36 + 24 + k = 4 + k
4 + k = 0 → k = −4
k = −4

Soal 15. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁴ − 8x³ + 18x² − 2.

f'(x) = 4x³ − 24x² + 36x = 4x(x² − 6x + 9) = 4x(x−3)²
f'(x) < 0: karena (x−3)² ≥ 0, tanda bergantung pada 4x:
f'(x) < 0 ketika x < 0
(di x=3, f’=0 tapi tidak berubah tanda, bukan titik ekstrem)
Fungsi turun pada (−∞, 0)

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Turun

Mudah

1. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −4x + 9.

2. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x² − 8x + 3.

3. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −2x² + 12x − 1.

4. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 5x² + 20x + 6.

5. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −x² + 2x + 8.

Sedang

6. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x³ − 12x + 1.

7. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = −x³ + 3x² + 24x − 8.

8. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1.

9. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁴ − 8x² + 7.

10. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = 13x³ − 2x² + 3x + 1.

Sulit

11. Tentukan nilai a agar f(x) = −2x³ + ax² − 4x + 1 selalu turun.

12. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = (x² − 9)².

13. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x.

14. Diberikan f(x) = −x³ + 6x² − 9x + k. Tentukan interval turun dan nilai k agar nilai minimum lokal = −5.

15. Tentukan interval fungsi turun dari f(x) = x⁵ − 5x⁴ + 5x³ + 5.

📝 Contoh Soal — Nilai Stasioner

Mudah

Soal 1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x² − 4x + 7.

f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2
f”(x) = 2 > 0 → Minimum lokal
f(2) = 4 − 8 + 7 = 3
Titik stasioner (2, 3) — minimum lokal. Nilai stasioner = 3.

Soal 2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −x² + 6x − 2.

f'(x) = −2x + 6 = 0 → x = 3
f”(x) = −2 < 0 → Maksimum lokal
f(3) = −9 + 18 − 2 = 7
Titik stasioner (3, 7) — maksimum lokal. Nilai stasioner = 7.

Soal 3. Tentukan titik stasioner dari f(x) = x² + 2x + 5.

f'(x) = 2x + 2 = 0 → x = −1
f”(x) = 2 > 0 → Minimum lokal
f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4
Titik stasioner (−1, 4) — minimum lokal. Nilai stasioner = 4.

Soal 4. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 3x² − 12x + 10.

f'(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2
f”(x) = 6 > 0 → Minimum lokal
f(2) = 12 − 24 + 10 = −2
Titik stasioner (2, −2) — minimum lokal. Nilai stasioner = −2.

Soal 5. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −4x² + 8x + 1.

f'(x) = −8x + 8 = 0 → x = 1
f”(x) = −8 < 0 → Maksimum lokal
f(1) = −4 + 8 + 1 = 5
Titik stasioner (1, 5) — maksimum lokal. Nilai stasioner = 5.

Sedang

Soal 6. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.

f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x−1)(x−3) = 0
→ x = 1 atau x = 3

f”(x) = 6x − 12
• f”(1) = 6 − 12 = −6 < 0 → Maksimum lokal
f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 → Titik (1, 5)
• f”(3) = 18 − 12 = 6 > 0 → Minimum lokal
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 → Titik (3, 1)

Soal 7. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 5.

f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x+2)(x−1) = 0
→ x = −2 atau x = 1

f”(x) = 12x + 6
• f”(−2) = −24 + 6 = −18 < 0 → Maks lokal
f(−2) = −16 + 12 + 24 + 5 = 25 → (−2, 25)
• f”(1) = 12 + 6 = 18 > 0 → Min lokal
f(1) = 2 + 3 − 12 + 5 = −2 → (1, −2)

Soal 8. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −x³ + 3x² + 9x − 10.

f'(x) = −3x² + 6x + 9 = −3(x² − 2x − 3) = −3(x−3)(x+1) = 0
→ x = 3 atau x = −1

f”(x) = −6x + 6
• f”(−1) = 6 + 6 = 12 > 0 → Min lokal
f(−1) = 1 + 3 − 9 − 10 = −15 → (−1, −15)
• f”(3) = −18 + 6 = −12 < 0 → Maks lokal
f(3) = −27 + 27 + 27 − 10 = 17 → (3, 17)

Soal 9. Tentukan titik stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x² + 3.

f'(x) = 4x³ − 8x = 4x(x² − 2) = 0
→ x = 0, x = √2, x = −√2

f”(x) = 12x² − 8
• f”(0) = −8 < 0 → Maks lokal. f(0) = 3 → (0, 3)
• f”(√2) = 24 − 8 = 16 > 0 → Min lokal. f(√2) = 4 − 8 + 3 = −1 → (√2, −1)
• f”(−√2) = 24 − 8 = 16 > 0 → Min lokal. f(−√2) = −1 → (−√2, −1)

Soal 10. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 13x³ − 12x² − 6x + 8.

f'(x) = x² − x − 6 = (x−3)(x+2) = 0
→ x = 3 atau x = −2

f”(x) = 2x − 1
• f”(−2) = −5 < 0 → Maks lokal
f(−2) = −83 − 2 + 12 + 8 = −83 + 18 = 463 ≈ 15,33
• f”(3) = 5 > 0 → Min lokal
f(3) = 9 − 4,5 − 18 + 8 = −5,5

Sulit

Soal 11. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ − 3x² + 3x + 1.

f(x) = (x−1)³ + 2 (bisa diverifikasi)
f'(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x−1)² = 0 → x = 1
f”(x) = 6x − 6, f”(1) = 0

Gunakan uji tanda:
• x < 1: f'(x) = 3(x−1)² > 0 (naik)
• x > 1: f'(x) = 3(x−1)² > 0 (naik)
Tidak ada perubahan tanda → Titik belok horizontal, bukan ekstrem.
f(1) = 1 − 3 + 3 + 1 = 2 → Titik belok (1, 2)

Soal 12. Tentukan semua titik stasioner dari f(x) = 3x⁵ − 20x³ + 36x.

f'(x) = 15x⁴ − 60x² + 36
Misalkan u = x²: 15u² − 60u + 36 = 0
Bagi 3: 5u² − 20u + 12 = 0
u = 20 ± √(400−240)10 = 20 ± √16010 = 20 ± 4√1010
u₁ = 2 − 2√105 ≈ 0.735, u₂ = 2 + 2√105 ≈ 3.265
x = ±√0.735 ≈ ±0.857 dan x = ±√3.265 ≈ ±1.807
Ada 4 titik stasioner. Gunakan f”(x) untuk menentukan jenisnya:
f”(x) = 60x³ − 120x
Substitusi masing-masing untuk mendapatkan jenis (maks/min lokal).

Soal 13. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.

f(x) = (x−1)⁴
f'(x) = 4(x−1)³ = 0 → x = 1
f”(x) = 12(x−1)², f”(1) = 0

Gunakan uji tanda:
• x < 1: f'(x) = 4(x−1)³ < 0 (turun)
• x > 1: f'(x) = 4(x−1)³ > 0 (naik)
Berubah dari − ke + → Minimum lokal
f(1) = 0 → Titik min (1, 0)

Soal 14. Diberikan f(x) = ax³ + bx² + cx + d memiliki titik stasioner di (1, 5) dan (−1, 9). Tentukan nilai a, b, c, d.

Dari titik stasioner: f'(1) = 0 dan f'(−1) = 0
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f'(1) = 3a + 2b + c = 0 …(i)
f'(−1) = 3a − 2b + c = 0 …(ii)

Dari (i)−(ii): 4b = 0 → b = 0
Substitusi ke (i): 3a + c = 0 → c = −3a …(iii)

Dari titik kurva:
f(1) = a + b + c + d = 5 → a + 0 − 3a + d = 5 → −2a + d = 5 …(iv)
f(−1) = −a + b − c + d = 9 → −a + 0 + 3a + d = 9 → 2a + d = 9 …(v)

Dari (iv) dan (v): 4a = 4 → a = 1
c = −3, d = 7
a = 1, b = 0, c = −3, d = 7
f(x) = x³ − 3x + 7

Soal 15. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 8x² + 16 dan tentukan jenis setiap titik stasioner.

f(x) = (x² − 4)²
f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x²−4) = 4x(x−2)(x+2) = 0
→ x = 0, 2, −2

f”(x) = 12x² − 16
• f”(0) = −16 < 0 → Maks lokal. f(0) = 16 → (0, 16)
• f”(2) = 48 − 16 = 32 > 0 → Min lokal. f(2) = 0 → (2, 0)
• f”(−2) = 48 − 16 = 32 > 0 → Min lokal. f(−2) = 0 → (−2, 0)

Nilai stasioner: 16 (maks), 0 (min), 0 (min)

🏋️ Latihan Soal — Nilai Stasioner

Mudah

1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x² − 10x + 20.

2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −x² + 4x + 3.

3. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = 2x² − 8x + 11.

4. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −3x² + 18x − 5.

5. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = 5x² + 10x − 3.

Sedang

6. Tentukan semua titik stasioner dari f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.

7. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −2x³ + 6x² + 18x − 7.

8. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ + 6x² + 12x + 8.

9. Tentukan semua titik stasioner dari f(x) = x⁴ − 2x² + 1.

10. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 14x⁴ − x³ + 32x².

Sulit

11. Tentukan titik stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x³ dan tentukan jenisnya.

12. Diberikan f(x) = ax³ + bx² + cx + 1 memiliki titik stasioner di (2, −3) dan (0, 1). Tentukan a, b, c.

13. Tentukan titik stasioner dari f(x) = (x² − 2x)² dan jenisnya.

14. Tentukan semua titik stasioner dari f(x) = 3x⁴ − 16x³ + 18x².

15. Diberikan f(x) = x⁴ − 4x³ + ax² + bx + c memiliki titik stasioner di x = 1 dan nilai stasioner di x = 1 adalah 0. Tentukan hubungan antara a dan b.

📖 Ringkasan Penting

Konsep	Syarat	Makna
Fungsi Naik	f'(x) > 0	Grafik bergerak ke atas ↗
Fungsi Turun	f'(x) < 0	Grafik bergerak ke bawah ↘
Titik Stasioner	f'(x) = 0	Grafik datar sesaat —
Maks Lokal	f'(x)=0, f”(x)<0	Puncak
Min Lokal	f'(x)=0, f”(x)>0	Lembah

Turunan – Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner

Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner

📑 Daftar Isi

📈 1. Fungsi Naik (Fungsi Monoton Naik)

📉 2. Fungsi Turun (Fungsi Monoton Turun)

📊 Tabel Ringkasan Fungsi Naik & Turun

⚡ 3. Nilai Stasioner (Titik Stasioner)

Jenis-Jenis Titik Stasioner

Cara Alternatif: Uji Tanda f'(x)

📝 Contoh Soal — Fungsi Naik

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Naik

Mudah

Sedang

Sulit

📝 Contoh Soal — Fungsi Turun

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Turun

Mudah

Sedang

Sulit

📝 Contoh Soal — Nilai Stasioner

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Nilai Stasioner

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

📑 Daftar Isi

📈 1. Fungsi Naik (Fungsi Monoton Naik)

📉 2. Fungsi Turun (Fungsi Monoton Turun)

📊 Tabel Ringkasan Fungsi Naik & Turun

⚡ 3. Nilai Stasioner (Titik Stasioner)

Jenis-Jenis Titik Stasioner

Cara Alternatif: Uji Tanda f'(x)

📝 Contoh Soal — Fungsi Naik

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Naik

Mudah

Sedang

Sulit

📝 Contoh Soal — Fungsi Turun

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Fungsi Turun

Mudah

Sedang

Sulit

📝 Contoh Soal — Nilai Stasioner

Mudah

Sedang

Sulit

🏋️ Latihan Soal — Nilai Stasioner

Mudah

Sedang

Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed