Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak (Modulus)
Materi lengkap disertai contoh soal dan latihan
A. Pengertian Nilai Mutlak
Nilai mutlak (modulus) dari suatu bilangan real x ditulis |x|, didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan. Karena jarak selalu bernilai non-negatif, maka |x| ≥ 0 untuk setiap bilangan real x.
Definisi Nilai Mutlak
|x| = x, jika x ≥ 0
|x| = −x, jika x < 0
🔍 Kegiatan: Mengamati
Amatilah garis bilangan berikut dan perhatikan nilai mutlak beberapa bilangan:
Dari pengamatan: |−2| = 2 dan |2| = 2. Keduanya berjarak 2 dari nol.
B. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk nilai mutlak. Berikut sifat-sifat utama yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:
Sifat 1: Bentuk |f(x)| < a (dengan a > 0)
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a
Artinya: Nilai f(x) berada di antara −a dan a.
Sifat 2: Bentuk |f(x)| ≤ a (dengan a > 0)
|f(x)| ≤ a ⟺ −a ≤ f(x) ≤ a
Sama seperti Sifat 1 tetapi termasuk batasnya (titik solid).
Sifat 3: Bentuk |f(x)| > a (dengan a > 0)
|f(x)| > a ⟺ f(x) < −a atau f(x) > a
Artinya: Nilai f(x) berada di luar interval (−a, a).
Sifat 4: Bentuk |f(x)| ≥ a (dengan a > 0)
|f(x)| ≥ a ⟺ f(x) ≤ −a atau f(x) ≥ a
Sifat 5: Bentuk |f(x)| < |g(x)|
|f(x)| < |g(x)| ⟺ [f(x)]² < [g(x)]²
⟺ [f(x)]² − [g(x)]² < 0
⟺ [f(x) − g(x)][f(x) + g(x)] < 0
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati sifat-sifat di atas, tanyakan pada dirimu:
- Mengapa pada |f(x)| < a, nilai a harus positif?
- Apa yang terjadi jika a = 0 atau a < 0?
- Bagaimana perbedaan penyelesaian antara tanda “<” dan “>” pada pertidaksamaan nilai mutlak?
- Kapan kita menggunakan metode kuadrat (Sifat 5)?
Jawaban singkat:
- Jika a < 0: |f(x)| < a tidak memiliki penyelesaian (karena nilai mutlak selalu ≥ 0).
- Jika a < 0: |f(x)| > a selalu benar untuk semua x real.
- Tanda “<” menghasilkan irisan (penyelesaian di antara), tanda “>” menghasilkan gabungan (penyelesaian di luar).
- Metode kuadrat digunakan ketika kedua ruas memuat nilai mutlak.
C. Langkah-Langkah Penyelesaian
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita nalar langkah-langkah sistematis menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak:
Langkah untuk |f(x)| < a atau |f(x)| ≤ a
- Pastikan a > 0 (jika tidak, analisis khusus).
- Ubah menjadi: −a < f(x) < a (atau dengan ≤).
- Selesaikan pertidaksamaan ganda tersebut.
- Tulis himpunan penyelesaian dalam notasi himpunan atau interval.
Langkah untuk |f(x)| > a atau |f(x)| ≥ a
- Pastikan a > 0.
- Ubah menjadi dua pertidaksamaan: f(x) < −a ATAU f(x) > a.
- Selesaikan masing-masing pertidaksamaan.
- Gabungkan kedua penyelesaian (union).
Langkah untuk |f(x)| < |g(x)|
- Kuadratkan kedua ruas: [f(x)]² < [g(x)]².
- Pindahkan ke satu ruas: [f(x)]² − [g(x)]² < 0.
- Faktorkan: [f(x) − g(x)][f(x) + g(x)] < 0.
- Gunakan garis bilangan atau tabel tanda untuk menentukan interval penyelesaian.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Sekarang, mari kita coba terapkan langkah-langkah di atas melalui contoh soal berikut!
D. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| < 4
Lihat Pembahasan
Gunakan Sifat 1: |x| < a ⟺ −a < x < a
|x| < 4 ⟺ −4 < x < 4
HP = {x | −4 < x < 4} = (−4, 4)
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x| ≥ 3
Lihat Pembahasan
Gunakan Sifat 4: |x| ≥ a ⟺ x ≤ −a atau x ≥ a
|x| ≥ 3 ⟺ x ≤ −3 atau x ≥ 3
HP = {x | x ≤ −3 atau x ≥ 3} = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 1| < 5
Lihat Pembahasan
|x − 1| < 5 ⟺ −5 < x − 1 < 5
Tambahkan 1 ke semua ruas:
−5 + 1 < x < 5 + 1
−4 < x < 6
HP = {x | −4 < x < 6} = (−4, 6)
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 2| ≤ 3
Lihat Pembahasan
|x + 2| ≤ 3 ⟺ −3 ≤ x + 2 ≤ 3
Kurangi 2 ke semua ruas:
−3 − 2 ≤ x ≤ 3 − 2
−5 ≤ x ≤ 1
HP = {x | −5 ≤ x ≤ 1} = [−5, 1]
Contoh 5
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x| > 6
Lihat Pembahasan
|2x| > 6 ⟺ 2x < −6 atau 2x > 6
Bagi dengan 2:
x < −3 atau x > 3
HP = {x | x < −3 atau x > 3} = (−∞, −3) ∪ (3, ∞)
📙 Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x − 3| < 7
Lihat Pembahasan
|2x − 3| < 7 ⟺ −7 < 2x − 3 < 7
Tambah 3: −7 + 3 < 2x < 7 + 3
−4 < 2x < 10
Bagi 2: −2 < x < 5
HP = (−2, 5)
Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x + 1| ≥ 8
Lihat Pembahasan
|3x + 1| ≥ 8 ⟺ 3x + 1 ≤ −8 atau 3x + 1 ≥ 8
Kasus 1: 3x + 1 ≤ −8 → 3x ≤ −9 → x ≤ −3
Kasus 2: 3x + 1 ≥ 8 → 3x ≥ 7 → x ≥ 7/3
HP = (−∞, −3] ∪ [7/3, ∞)
Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 4| > 2x + 1
Lihat Pembahasan
Gunakan definisi nilai mutlak. Titik kritis: x − 4 = 0 → x = 4
Kasus 1: x ≥ 4 → |x − 4| = x − 4
x − 4 > 2x + 1 → −5 > x → x < −5
Irisan dengan x ≥ 4: Tidak ada penyelesaian (∅)
Kasus 2: x < 4 → |x − 4| = −(x − 4) = 4 − x
4 − x > 2x + 1 → 3 > 3x → x < 1
Irisan dengan x < 4: x < 1
HP = (−∞, 1)
Contoh 9
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 3| < |2x − 1|
Lihat Pembahasan
Kuadratkan kedua ruas (sah karena kedua ruas non-negatif):
(x + 3)² < (2x − 1)²
(x + 3)² − (2x − 1)² < 0
Faktorkan: [(x + 3) − (2x − 1)][(x + 3) + (2x − 1)] < 0
[x + 3 − 2x + 1][x + 3 + 2x − 1] < 0
(−x + 4)(3x + 2) < 0
atau (4 − x)(3x + 2) < 0
Titik kritis: x = 4 dan x = −2/3
| Interval | (4 − x) | (3x + 2) | Hasil |
|---|---|---|---|
| x < −2/3 | + | − | − ✓ |
| −2/3 < x < 4 | + | + | + |
| x > 4 | − | + | − ✓ |
HP = (−∞, −2/3) ∪ (4, ∞)
Contoh 10
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2|x − 1| + 3 ≤ 11
Lihat Pembahasan
Isolasi nilai mutlak terlebih dahulu:
2|x − 1| + 3 ≤ 11
2|x − 1| ≤ 8
|x − 1| ≤ 4
Gunakan sifat: −4 ≤ x − 1 ≤ 4
Tambah 1: −3 ≤ x ≤ 5
HP = [−3, 5]
📕 Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x² − 5x + 4| < 2
Lihat Pembahasan
|x² − 5x + 4| < 2 ⟺ −2 < x² − 5x + 4 < 2
Bagian kiri: x² − 5x + 4 > −2
x² − 5x + 6 > 0
(x − 2)(x − 3) > 0
Penyelesaian: x < 2 atau x > 3 … (i)
Bagian kanan: x² − 5x + 4 < 2
x² − 5x + 2 < 0
Akar: x = (5 ± √(25−8))/2 = (5 ± √17)/2
x₁ = (5 − √17)/2 ≈ 0,44 dan x₂ = (5 + √17)/2 ≈ 4,56
Penyelesaian: (5 − √17)/2 < x < (5 + √17)/2 … (ii)
HP = (i) ∩ (ii):
HP = ((5 − √17)/2, 2) ∪ (3, (5 + √17)/2)
Contoh 12
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 2| + |x + 1| < 5
Lihat Pembahasan
Titik kritis: x = 2 dan x = −1. Bagi menjadi 3 interval:
Kasus 1: x < −1
|x−2| = 2−x, |x+1| = −x−1
(2−x) + (−x−1) < 5 → 1 − 2x < 5 → −2x < 4 → x > −2
Irisan dengan x < −1: −2 < x < −1
Kasus 2: −1 ≤ x < 2
|x−2| = 2−x, |x+1| = x+1
(2−x) + (x+1) < 5 → 3 < 5 ✓ (selalu benar)
Semua x di [−1, 2) memenuhi.
Kasus 3: x ≥ 2
|x−2| = x−2, |x+1| = x+1
(x−2) + (x+1) < 5 → 2x − 1 < 5 → x < 3
Irisan dengan x ≥ 2: 2 ≤ x < 3
Gabungan:
HP = (−2, −1) ∪ [−1, 2) ∪ [2, 3) = (−2, 3)
Contoh 13
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x + 1| / |x − 2| < 2, dengan x ≠ 2
Lihat Pembahasan
Karena |x − 2| > 0 (≠ 0), kalikan kedua ruas:
|x + 1| < 2|x − 2|
Kuadratkan: (x + 1)² < 4(x − 2)²
(x + 1)² − 4(x − 2)² < 0
Ekspansi: (x² + 2x + 1) − 4(x² − 4x + 4) < 0
x² + 2x + 1 − 4x² + 16x − 16 < 0
−3x² + 18x − 15 < 0
Kalikan (−1), tanda balik: 3x² − 18x + 15 > 0
Bagi 3: x² − 6x + 5 > 0
(x − 1)(x − 5) > 0
Penyelesaian: x < 1 atau x > 5
Ingat syarat x ≠ 2 (sudah tercakup karena 2 ∈ (1, 5) yang bukan solusi).
HP = (−∞, 1) ∪ (5, ∞)
Contoh 14
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x² − 4| ≥ |3x|
Lihat Pembahasan
Kuadratkan: (x² − 4)² ≥ (3x)²
(x² − 4)² − 9x² ≥ 0
[(x² − 4) − 3x][(x² − 4) + 3x] ≥ 0
(x² − 3x − 4)(x² + 3x − 4) ≥ 0
Faktorkan masing-masing:
x² − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1)
x² + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)
Jadi: (x − 4)(x + 1)(x + 4)(x − 1) ≥ 0
Titik kritis: −4, −1, 1, 4
| Interval | Tanda |
|---|---|
| x < −4 | + ✓ |
| −4 < x < −1 | − |
| −1 < x < 1 | + ✓ |
| 1 < x < 4 | − |
| x > 4 | + ✓ |
Termasuk titik kritis (karena ≥).
HP = (−∞, −4] ∪ [−1, 1] ∪ [4, ∞)
Contoh 15
Tentukan himpunan penyelesaian dari |x − 1| + |x − 3| ≤ |2x − 6|
Lihat Pembahasan
Titik kritis: x = 1, x = 3. Perhatikan |2x − 6| = 2|x − 3|.
Pertidaksamaan menjadi: |x − 1| + |x − 3| ≤ 2|x − 3|
|x − 1| ≤ |x − 3|
Kuadratkan: (x − 1)² ≤ (x − 3)²
x² − 2x + 1 ≤ x² − 6x + 9
4x ≤ 8
x ≤ 2
HP = (−∞, 2]
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri perbedaan penyelesaian |f(x)| < a dan |f(x)| > a.
- Buat rangkuman langkah-langkah penyelesaian dalam bentuk peta konsep.
- Diskusikan dengan temanmu: kapan metode definisi (kasus per kasus) lebih efisien dibanding metode kuadrat?
- Presentasikan satu contoh soal sulit beserta pembahasannya di depan kelas.
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi interval.
📗 Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan HP dari |x| ≤ 5
- Tentukan HP dari |x + 4| < 2
- Tentukan HP dari |x − 3| > 1
- Tentukan HP dari |2x| ≤ 10
- Tentukan HP dari |x − 5| ≥ 4
📙 Latihan Tingkat Sedang
- Tentukan HP dari |3x − 2| < 10
- Tentukan HP dari |4x + 5| ≥ 7
- Tentukan HP dari 3|x − 2| − 5 < 7
- Tentukan HP dari |x + 2| < |3x − 4|
- Tentukan HP dari |x − 1| > 2x − 3
📕 Latihan Tingkat Sulit
- Tentukan HP dari |x² − 3x − 4| ≤ 6
- Tentukan HP dari |x + 2| + |x − 4| < 8
- Tentukan HP dari |x + 1| / |x − 3| ≥ 1, x ≠ 3
- Tentukan HP dari |x² − 9| > |4x|
- Tentukan HP dari |x − 2| + |x + 3| ≤ |2x + 4|
F. Ringkasan
| Bentuk | Ekuivalen dengan | Tipe HP |
|---|---|---|
| |f(x)| < a | −a < f(x) < a | Irisan (interval tunggal) |
| |f(x)| ≤ a | −a ≤ f(x) ≤ a | Irisan (interval tunggal) |
| |f(x)| > a | f(x) < −a atau f(x) > a | Gabungan (dua interval) |
| |f(x)| ≥ a | f(x) ≤ −a atau f(x) ≥ a | Gabungan (dua interval) |
| |f(x)| < |g(x)| | [f(x)−g(x)][f(x)+g(x)] < 0 | Metode tabel tanda |