📑 Daftar Isi
1. Pengertian Nilai Stasioner 2. Uji Turunan Kedua 3. Langkah-langkah Penentuan 4. Tabel Ringkasan 5. Ilustrasi Grafik 6. Contoh Soal & Pembahasan 7. Latihan Soal1. Pengertian Nilai Stasioner
Perhatikan fungsi f(x). Titik stasioner adalah titik di mana grafik fungsi “berhenti naik” atau “berhenti turun” sesaat. Secara matematis, ini terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol.
f ′(c) = 0
Nilai f(c) disebut nilai stasioner.
Pertanyaan kunci: Jika f ′(c) = 0, bagaimana kita mengetahui apakah titik tersebut merupakan maksimum, minimum, atau titik belok?
Jawabannya: kita gunakan uji turunan kedua.
2. Uji Turunan Kedua (Second Derivative Test)
Setelah menemukan titik stasioner (f ′(c) = 0), kita hitung turunan kedua f ″(c). Turunan kedua memberi informasi tentang kelengkungan (konkavitas) grafik di titik tersebut.
Jika f ′(c) = 0, maka:
① Jika f ″(c) < 0 → titik c adalah titik maksimum lokal (grafik cekung ke bawah ∩)
② Jika f ″(c) > 0 → titik c adalah titik minimum lokal (grafik cekung ke atas ∪)
③ Jika f ″(c) = 0 → uji tidak dapat disimpulkan (bisa maksimum, minimum, atau titik belok — perlu analisis lebih lanjut)
Cara mengingat:
- f ″(c) < 0 → negatif → grafik melengkung ke bawah → puncak bukit = Maksimum ∩
- f ″(c) > 0 → positif → grafik melengkung ke atas → dasar lembah = Minimum ∪
3. Langkah-langkah Penentuan Jenis Nilai Stasioner
Langkah 2: Selesaikan f ′(x) = 0 untuk mendapatkan titik stasioner x = c.
Langkah 3: Tentukan turunan kedua f ″(x).
Langkah 4: Substitusi x = c ke f ″(x).
Langkah 5: Simpulkan jenis titik stasioner berdasarkan tanda f ″(c).
Langkah 6: Hitung nilai stasioner f(c).
Setelah menyelesaikan langkah-langkah di atas, komunikasikan hasilnya dengan menyatakan: “Fungsi f(x) memiliki nilai (maksimum/minimum) lokal sebesar f(c) di titik x = c.”
4. Tabel Ringkasan
| Syarat | Tanda f″(c) | Jenis Titik | Bentuk Grafik |
|---|---|---|---|
| f ′(c)=0 | f ″(c) < 0 | Maksimum Lokal | ∩ (cekung ke bawah) |
| f ′(c)=0 | f ″(c) > 0 | Minimum Lokal | ∪ (cekung ke atas) |
| f ′(c)=0 | f ″(c) = 0 | Belum pasti | Perlu uji lanjut |
5. Ilustrasi Grafik
Berikut ilustrasi grafik f(x) = x³ − 3x yang memiliki titik maksimum dan minimum lokal:
Keterangan: Titik merah = maksimum lokal (f″ < 0, cekung ke bawah). Titik hijau = minimum lokal (f″ > 0, cekung ke atas).
6. Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x² − 4x + 7.
Soal 2. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = −x² + 6x − 5.
Soal 3. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x² + 2x + 5.
Soal 4. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = −3x² + 12x − 7.
Soal 5. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 2x² − 8x + 3.
🟡 Tingkat Sedang
Soal 6. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x³ − 3x + 2.
Soal 7. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x³ − 12x + 1.
Soal 8. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4.
Soal 9. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 8x² + 16.
Soal 10. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = −x³ + 6x² − 9x + 2.
🔴 Tingkat Sulit
Soal 11. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1.
Soal 12. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x³ − 6x² + 12x − 8.
Soal 13. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 3x⁵ − 5x³.
Soal 14. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 2x².
Soal 15. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x³ + 3x² − 9x + 5 dan tentukan koordinat lengkapnya.
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
🟢 Mudah
1. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x² − 6x + 10.
2. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = −2x² + 8x − 3.
3. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 5x² − 20x + 1.
4. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = −x² + 10x − 21.
5. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 3x² + 6x + 8.
🟡 Sedang
6. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = x³ − 6x + 5.
7. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 7.
8. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = −x³ + 3x² + 1.
9. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x² + 3.
10. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = x³ − 3x² − 24x + 10.
🔴 Sulit
11. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = 3x⁴ − 4x³ − 12x² + 5.
12. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = x⁵ − 5x dan tentukan koordinat lengkapnya.
13. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = x⁴ + 4x³ − 2. Perhatikan apakah ada kasus f″ = 0.
14. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = x⁶ − 3x⁴.
15. Tentukan jenis semua nilai stasioner dari f(x) = 2x⁵ − 5x⁴ + 10 dan jelaskan apakah terdapat titik belok horizontal.
📘 Materi: Menentukan Jenis Nilai Stasioner Menggunakan Turunan Kedua