Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Bentuk Akar
Panduan lengkap memahami dan menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk akar
📘 Materi: Pertidaksamaan Bentuk Akar
A. Pengertian Pertidaksamaan Bentuk Akar
Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akar (radikal). Bentuk umum pertidaksamaan ini melibatkan simbol ketidaksamaan seperti:
| Simbol | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| < | Kurang dari | √x < 3 |
| > | Lebih dari | √(x+1) > 2 |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | √(2x−1) ≤ 5 |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | √(x−3) ≥ 4 |
Perhatikan pertidaksamaan berikut:
√(x − 2) < 3
Amati bahwa:
- Terdapat variabel x di dalam tanda akar
- Hasil akar harus bernilai non-negatif (≥ 0)
- Ekspresi di dalam akar juga harus ≥ 0 (syarat domain)
B. Syarat-Syarat Penting (Domain)
Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar, selalu tentukan syarat domain terlebih dahulu:
Syarat Domain:
- Ekspresi di dalam tanda akar harus ≥ 0 (non-negatif)
- Jika bentuk √f(x), maka syaratnya: f(x) ≥ 0
- Hasil akhir harus merupakan irisan dari solusi pertidaksamaan dengan syarat domain
Pertanyaan kunci yang harus selalu diajukan:
- Apa syarat agar ekspresi di dalam akar terdefinisi?
- Apakah ruas kanan bernilai positif, negatif, atau nol?
- Bagaimana langkah kuadratkan kedua ruas dengan aman?
C. Jenis-Jenis Pertidaksamaan Bentuk Akar
Tipe 1: √f(x) < a (atau ≤, >, ≥)
Penyelesaian √f(x) < a :
Kasus 1: Jika a < 0, maka tidak ada solusi (himpunan penyelesaian = ∅)
Kasus 2: Jika a = 0, maka tidak ada solusi untuk “<“, solusi f(x) = 0 untuk “≤”
Kasus 3: Jika a > 0, maka:
- Syarat: f(x) ≥ 0
- Kuadratkan kedua ruas: f(x) < a²
- HP = irisan kedua syarat
Penyelesaian √f(x) > a :
Kasus 1: Jika a < 0, maka HP = semua x dengan f(x) ≥ 0 (karena √f(x) selalu ≥ 0)
Kasus 2: Jika a = 0, maka HP = semua x dengan f(x) > 0
Kasus 3: Jika a > 0, maka:
- Syarat: f(x) ≥ 0
- Kuadratkan: f(x) > a²
- HP = irisan kedua syarat
Tipe 2: √f(x) < √g(x)
Penyelesaian √f(x) < √g(x) :
- Syarat 1: f(x) ≥ 0
- Syarat 2: g(x) ≥ 0
- Kuadratkan kedua ruas: f(x) < g(x)
- HP = irisan ketiga syarat
Tipe 3: √f(x) < g(x)
Penyelesaian √f(x) < g(x) :
- Syarat 1: f(x) ≥ 0
- Syarat 2: g(x) > 0 (ruas kanan harus positif agar bisa dikuadratkan)
- Kuadratkan: f(x) < [g(x)]²
- HP = irisan ketiga syarat
Tipe 4: √f(x) > g(x)
Penyelesaian √f(x) > g(x) :
Kasus A: Jika g(x) < 0, maka HP = semua x dengan f(x) ≥ 0
Kasus B: Jika g(x) ≥ 0, maka:
- Syarat: f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0
- Kuadratkan: f(x) > [g(x)]²
- HP = gabungan Kasus A dan Kasus B
Mengapa kita harus memperhatikan tanda ruas kanan?
- √f(x) selalu ≥ 0, jadi jika ruas kanan negatif, pertidaksamaan √f(x) > (negatif) otomatis benar untuk semua x di domain.
- Proses mengkuadratkan hanya valid jika kedua ruas bernilai non-negatif.
- Jika salah satu ruas negatif, mengkuadratkan dapat mengubah arah pertidaksamaan dan menghasilkan solusi yang salah.
D. Langkah Sistematis Penyelesaian
- Tentukan syarat domain — ekspresi di dalam akar ≥ 0
- Perhatikan tanda ruas kanan — positif, negatif, atau nol?
- Kuadratkan kedua ruas (hanya jika kedua ruas ≥ 0)
- Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan
- Iriskan solusi dengan syarat domain
- Tuliskan himpunan penyelesaian dalam notasi yang tepat
Cobalah selesaikan pertidaksamaan berikut dengan langkah sistematis:
√(x + 5) ≤ 4
Petunjuk: Tentukan syarat domain, periksa tanda ruas kanan (4 > 0), kuadratkan, lalu iriskan.
E. Penulisan Himpunan Penyelesaian
| Notasi | Arti | Contoh |
|---|---|---|
| {x | a ≤ x ≤ b} | Notasi himpunan | {x | −5 ≤ x ≤ 11} |
| [a, b] | Interval tertutup | [−5, 11] |
| (a, b) | Interval terbuka | (−5, 11) |
| [a, b) | Tertutup-terbuka | [−5, 11) |
| (a, ∞) | Interval tak terbatas | (7, ∞) |
F. Representasi pada Garis Bilangan
Himpunan penyelesaian dapat digambarkan pada garis bilangan:
Contoh: HP = [−5, 11]
● (bulat penuh) = titik termasuk; ○ (bulat kosong) = titik tidak termasuk
Setelah menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar, komunikasikan hasilnya dengan:
- Tuliskan langkah penyelesaian secara runtut
- Nyatakan HP dalam notasi himpunan atau interval
- Gambarkan pada garis bilangan jika diminta
- Verifikasi dengan substitusi nilai dari HP ke pertidaksamaan awal
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal 1–5
Contoh 1: Selesaikan √(x − 1) < 3
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
Langkah 2: Ruas kanan = 3 > 0, boleh dikuadratkan
Langkah 3: Kuadratkan: x − 1 < 9 → x < 10
Langkah 4: Irisan: x ≥ 1 dan x < 10
HP = {x | 1 ≤ x < 10} = [1, 10)
Contoh 2: Selesaikan √(2x) ≤ 4
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: 2x ≥ 0 → x ≥ 0
Langkah 2: Ruas kanan = 4 > 0
Langkah 3: Kuadratkan: 2x ≤ 16 → x ≤ 8
Langkah 4: Irisan: x ≥ 0 dan x ≤ 8
HP = [0, 8]
Contoh 3: Selesaikan √(x + 3) > 2
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3
Langkah 2: Ruas kanan = 2 > 0
Langkah 3: Kuadratkan: x + 3 > 4 → x > 1
Langkah 4: Irisan: x ≥ −3 dan x > 1 → x > 1
HP = {x | x > 1} = (1, ∞)
Contoh 4: Selesaikan √(x − 4) ≥ 0
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: x − 4 ≥ 0 → x ≥ 4
Langkah 2: √(x−4) selalu ≥ 0 untuk semua x di domain
Langkah 3: Pertidaksamaan terpenuhi untuk semua x di domain
HP = {x | x ≥ 4} = [4, ∞)
Contoh 5: Selesaikan √(3x − 6) < 6
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: 3x − 6 ≥ 0 → x ≥ 2
Langkah 2: Ruas kanan = 6 > 0
Langkah 3: Kuadratkan: 3x − 6 < 36 → 3x < 42 → x < 14
Langkah 4: Irisan: x ≥ 2 dan x < 14
HP = [2, 14)
SEDANG Contoh Soal 6–10
Contoh 6: Selesaikan √(x² − 9) ≤ √(x + 3)
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: x² − 9 ≥ 0 → x ≤ −3 atau x ≥ 3
Langkah 2: Syarat: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3
Langkah 3: Irisan syarat: x = −3 atau x ≥ 3
Langkah 4: Kuadratkan: x² − 9 ≤ x + 3 → x² − x − 12 ≤ 0
Langkah 5: Faktorkan: (x − 4)(x + 3) ≤ 0 → −3 ≤ x ≤ 4
Langkah 6: Irisan dengan syarat domain (x = −3 atau x ≥ 3) ∩ (−3 ≤ x ≤ 4)
= {−3} ∪ [3, 4]
HP = {−3} ∪ [3, 4]
Contoh 7: Selesaikan √(2x + 1) > x − 1
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: 2x + 1 ≥ 0 → x ≥ −½
Kasus A: Jika x − 1 < 0 (x < 1), maka √(2x+1) ≥ 0 > x−1. Solusi: −½ ≤ x < 1
Kasus B: Jika x − 1 ≥ 0 (x ≥ 1), kuadratkan:
2x + 1 > (x−1)² = x² − 2x + 1
0 > x² − 4x → 0 > x(x−4) → 0 < x < 4
Irisan dengan x ≥ 1: 1 ≤ x < 4
Langkah 3: Gabungan: (−½ ≤ x < 1) ∪ (1 ≤ x < 4) = −½ ≤ x < 4
HP = [−½, 4)
Contoh 8: Selesaikan √(x + 5) < √(3x − 1)
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5
Langkah 2: Syarat: 3x − 1 ≥ 0 → x ≥ ⅓
Langkah 3: Irisan syarat: x ≥ ⅓
Langkah 4: Kuadratkan: x + 5 < 3x − 1 → 6 < 2x → x > 3
Langkah 5: Irisan: x ≥ ⅓ dan x > 3 → x > 3
HP = (3, ∞)
Contoh 9: Selesaikan √(4 − x) ≥ x − 2
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: 4 − x ≥ 0 → x ≤ 4
Kasus A: Jika x − 2 < 0 (x < 2), √(4−x) ≥ 0 > x−2, terpenuhi. Irisan: x ≤ 4 dan x < 2 → x < 2
Kasus B: Jika x − 2 ≥ 0 (x ≥ 2), kuadratkan:
4 − x ≥ (x−2)² = x² − 4x + 4
0 ≥ x² − 3x → 0 ≥ x(x−3) → 0 ≤ x ≤ 3
Irisan: x ≥ 2, x ≤ 4, dan 0 ≤ x ≤ 3 → 2 ≤ x ≤ 3
Langkah 3: Gabungan: x < 2 atau 2 ≤ x ≤ 3 → x ≤ 3
Tapi syarat domain x ≤ 4 sudah terpenuhi.
HP = (−∞, 3]
Verifikasi: x = 0 → √4 = 2 ≥ −2 ✓; x = 3 → √1 = 1 ≥ 1 ✓; x = 4 → √0 = 0 ≥ 2? Tidak ✓
Contoh 10: Selesaikan √(x + 2) + √(x − 1) > 3
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2 dan x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1. Irisan: x ≥ 1
Langkah 2: Pindahkan satu akar: √(x+2) > 3 − √(x−1)
Langkah 3: Perhatikan jika 3 − √(x−1) < 0, maka ruas kiri ≥ 0 > ruas kanan → otomatis terpenuhi untuk x di mana √(x−1) > 3, yaitu x > 10
Langkah 4: Jika 3 − √(x−1) ≥ 0 (yaitu 1 ≤ x ≤ 10), kuadratkan:
x + 2 > 9 − 6√(x−1) + (x−1)
x + 2 > x + 8 − 6√(x−1)
6√(x−1) > 6
√(x−1) > 1 → x − 1 > 1 → x > 2
Langkah 5: Irisan pada kasus ini: 1 ≤ x ≤ 10 dan x > 2 → 2 < x ≤ 10
Langkah 6: Gabungan: (2 < x ≤ 10) ∪ (x > 10) = x > 2
HP = (2, ∞)
SULIT Contoh Soal 11–15
Contoh 11: Selesaikan √(x² − 4x + 3) < x − 1
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat domain: x² − 4x + 3 ≥ 0 → (x−1)(x−3) ≥ 0 → x ≤ 1 atau x ≥ 3
Langkah 2: Syarat ruas kanan > 0: x − 1 > 0 → x > 1
Langkah 3: Irisan syarat: x ≥ 3
Langkah 4: Kuadratkan: x² − 4x + 3 < (x−1)² = x² − 2x + 1
−4x + 3 < −2x + 1 → −2x < −2 → x > 1
Langkah 5: Irisan: x ≥ 3 dan x > 1 → x ≥ 3
Verifikasi x = 3: √(9−12+3) = 0 < 2 ✓
HP = [3, ∞)
Contoh 12: Selesaikan √(2x − 3) ≥ √(x + 1) + 1
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: 2x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3/2 dan x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1. Irisan: x ≥ 3/2
Langkah 2: Ruas kanan: √(x+1) + 1 ≥ 1 > 0, kedua ruas non-negatif
Langkah 3: Kuadratkan: 2x − 3 ≥ (√(x+1) + 1)² = (x+1) + 2√(x+1) + 1
2x − 3 ≥ x + 2 + 2√(x+1)
x − 5 ≥ 2√(x+1)
Langkah 4: Syarat: x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5
Langkah 5: Kuadratkan lagi: (x−5)² ≥ 4(x+1)
x² − 10x + 25 ≥ 4x + 4
x² − 14x + 21 ≥ 0
x = (14 ± √(196−84))/2 = (14 ± √112)/2 = 7 ± 2√7
x ≤ 7 − 2√7 ≈ 1,71 atau x ≥ 7 + 2√7 ≈ 12,29
Langkah 6: Irisan: x ≥ 5 dan (x ≤ 1,71 atau x ≥ 12,29) → x ≥ 7 + 2√7
HP = [7 + 2√7, ∞)
Contoh 13: Selesaikan √(x + 6) − √(x − 2) < 2
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: x + 6 ≥ 0 → x ≥ −6 dan x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2. Irisan: x ≥ 2
Langkah 2: Pindahkan: √(x+6) < 2 + √(x−2). Ruas kanan > 0 ✓
Langkah 3: Kuadratkan: x + 6 < 4 + 4√(x−2) + (x−2)
x + 6 < x + 2 + 4√(x−2)
4 < 4√(x−2)
1 < √(x−2)
Langkah 4: Kuadratkan: 1 < x − 2 → x > 3
Langkah 5: Irisan: x ≥ 2 dan x > 3 → x > 3
HP = (3, ∞)
Contoh 14: Selesaikan √(x² + 3x) ≤ x + 1
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: x² + 3x ≥ 0 → x(x+3) ≥ 0 → x ≤ −3 atau x ≥ 0
Langkah 2: Syarat ruas kanan ≥ 0: x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1
Langkah 3: Irisan syarat: x ≥ 0
Langkah 4: Kuadratkan: x² + 3x ≤ (x+1)² = x² + 2x + 1
3x ≤ 2x + 1 → x ≤ 1
Langkah 5: Irisan: x ≥ 0 dan x ≤ 1
HP = [0, 1]
Verifikasi: x = 0 → √0 = 0 ≤ 1 ✓; x = 1 → √4 = 2 ≤ 2 ✓
Contoh 15: Selesaikan √(5 − x) + √(x − 1) > √(2x)
Pembahasan:
Langkah 1: Syarat: 5−x ≥ 0 → x ≤ 5; x−1 ≥ 0 → x ≥ 1; 2x ≥ 0 → x ≥ 0. Irisan: 1 ≤ x ≤ 5
Langkah 2: Kuadratkan kedua ruas (keduanya ≥ 0):
(√(5−x) + √(x−1))² > 2x
(5−x) + 2√((5−x)(x−1)) + (x−1) > 2x
4 + 2√((5−x)(x−1)) > 2x
2√((5−x)(x−1)) > 2x − 4
√((5−x)(x−1)) > x − 2
Kasus A: x − 2 < 0, yaitu x < 2. Ruas kiri ≥ 0 > x−2, terpenuhi. Irisan: 1 ≤ x < 2
Kasus B: x − 2 ≥ 0, yaitu x ≥ 2. Kuadratkan:
(5−x)(x−1) > (x−2)²
−x² + 6x − 5 > x² − 4x + 4
0 > 2x² − 10x + 9
x = (10 ± √(100−72))/4 = (10 ± √28)/4 = (5 ± √7)/2
(5−√7)/2 < x < (5+√7)/2, yaitu ≈ 1,18 < x < 3,82
Irisan dengan x ≥ 2 dan x ≤ 5: 2 ≤ x < (5+√7)/2
Langkah 3: Gabungan: [1, 2) ∪ [2, (5+√7)/2) = [1, (5+√7)/2)
HP = [1, (5+√7)/2)
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah penyelesaian secara lengkap!
MUDAH
- Selesaikan √(x + 4) < 5
- Selesaikan √(3x − 3) ≤ 6
- Selesaikan √(2x + 8) > 4
- Selesaikan √(x − 5) ≥ 3
- Selesaikan √(5x) < 10
SEDANG
- Selesaikan √(x + 3) < √(2x − 1)
- Selesaikan √(3x − 2) > x − 2
- Selesaikan √(x² − 16) ≤ √(x + 4)
- Selesaikan √(5 − x) ≥ x − 1
- Selesaikan √(2x + 3) + 1 < √(4x + 1)
SULIT
- Selesaikan √(x² − 5x + 6) < x − 2
- Selesaikan √(x + 7) − √(x − 1) ≤ 2
- Selesaikan √(3x − 2) + √(x + 1) > √(5x + 3)
- Selesaikan √(x² + 2x) ≤ x + 2
- Selesaikan √(6 − x) + √(x − 2) > √(2x − 1)