Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Polinomial
A. Pengertian Pertidaksamaan Polinomial
📖 MengamatiPerhatikan pernyataan berikut:
- Harga sebuah produk harus lebih dari Rp10.000 → x > 10000
- Luas tanah tidak boleh melebihi 200 m² → x ≤ 200
Dari contoh di atas, kita melihat penggunaan tanda ketidaksamaan. Ketika ekspresi yang terlibat adalah polinomial (suku banyak), maka disebut pertidaksamaan polinomial.
Definisi:
Pertidaksamaan polinomial adalah pertidaksamaan yang memuat ekspresi polinomial (suku banyak) berderajat ≥ 1, menggunakan tanda: <, >, ≤, atau ≥.
Bentuk umum:
P(x) > 0, P(x) < 0, P(x) ≥ 0, P(x) ≤ 0
di mana P(x) adalah polinomial berderajat n ≥ 1
Contoh bentuk pertidaksamaan polinomial:
- x² − 5x + 6 > 0 (derajat 2 / kuadrat)
- x³ − 4x ≤ 0 (derajat 3 / kubik)
- (x − 1)(x + 2)(x − 3) ≥ 0 (derajat 3)
- x⁴ − 16 < 0 (derajat 4)
Pertanyaan Kunci:
- Bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan polinomial?
- Apa perbedaan penyelesaian pertidaksamaan dengan persamaan polinomial?
- Kapan menggunakan tanda ≤ atau < dalam penyelesaian?
B. Simbol dan Notasi Pertidaksamaan
| Simbol | Arti | Contoh | Notasi Interval |
|---|---|---|---|
| < | Kurang dari | x < 3 | (−∞, 3) |
| > | Lebih dari | x > 3 | (3, +∞) |
| ≤ | Kurang dari atau sama dengan | x ≤ 3 | (−∞, 3] |
| ≥ | Lebih dari atau sama dengan | x ≥ 3 | [3, +∞) |
Notasi Interval:
- ( ) = kurung buka/tutup → titik ujung tidak termasuk (untuk < dan >)
- [ ] = kurung siku → titik ujung termasuk (untuk ≤ dan ≥)
- Pada garis bilangan: ● (titik penuh) = termasuk, ○ (titik kosong) = tidak termasuk
C. Langkah-langkah Penyelesaian Pertidaksamaan Polinomial
🧠 MenalarMetode Garis Bilangan (Uji Tanda):
- Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lain = 0.
- Faktorkan polinomial tersebut.
- Tentukan titik-titik nol (akar-akar) dari setiap faktor.
- Letakkan titik-titik nol pada garis bilangan (urutkan dari kecil ke besar).
- Uji tanda pada setiap interval yang terbentuk.
- Tentukan himpunan penyelesaian sesuai tanda pertidaksamaan.
- Perhatikan apakah titik ujung termasuk (≤, ≥) atau tidak (<, >).
Aturan Tanda pada Garis Bilangan:
Untuk polinomial yang sudah difaktorkan P(x) = (x − a)(x − b)(x − c)… dengan a < b < c:
- Mulai dari interval paling kanan, tandanya positif (+)
- Setiap melewati titik nol dengan pangkat ganjil, tanda berubah
- Setiap melewati titik nol dengan pangkat genap, tanda tetap
Ilustrasi: Garis Bilangan untuk (x−1)(x−3) > 0
HP: x < 1 atau x > 3 → Notasi interval: (−∞, 1) ∪ (3, +∞)
Mari kita selesaikan bersama:
Selesaikan: x² − 5x + 6 ≤ 0
Langkah 1: Faktorkan → (x − 2)(x − 3) ≤ 0
Langkah 2: Titik nol: x = 2 dan x = 3
Langkah 3: Uji tanda:
| Interval | x < 2 | 2 ≤ x ≤ 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| (x−2) | − | + atau 0 | + |
| (x−3) | − | − atau 0 | + |
| Hasil | + | − atau 0 ✓ | + |
Langkah 4: Karena ≤ 0, ambil interval negatif dan nol.
HP: {x | 2 ≤ x ≤ 3} atau [2, 3]
Kesimpulan:
Penyelesaian pertidaksamaan polinomial P(x) ≤ 0 atau P(x) > 0 adalah himpunan nilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Kita menggunakan metode garis bilangan untuk menentukan interval-interval penyelesaian.
D. Pertidaksamaan Polinomial Derajat Tinggi
🧠 MenalarUntuk polinomial derajat ≥ 3, langkah-langkahnya sama. Yang perlu diperhatikan adalah pangkat (multiplisitas) dari setiap faktor.
Aturan Multiplisitas:
- Pangkat ganjil (1, 3, 5, …): Grafik memotong sumbu-x di titik tersebut → tanda berubah
- Pangkat genap (2, 4, 6, …): Grafik menyinggung sumbu-x di titik tersebut → tanda tetap
Contoh: (x − 1)²(x + 2) ≥ 0
Titik nol: x = 1 (pangkat 2, genap) dan x = −2 (pangkat 1, ganjil)
Di x = 1 (pangkat genap), tanda tidak berubah (tetap +).
HP: {x | x ≥ −2} atau [−2, +∞)
E. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Soal 1: Selesaikan (x − 2)(x − 5) > 0
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Titik nol: x = 2 dan x = 5
Langkah 2: Uji tanda (mulai dari kanan dengan +):
x > 5: (+)(+) = +
2 < x < 5: (+)(−) = −
x < 2: (−)(−) = +
Langkah 3: Karena > 0, ambil interval positif.
HP: x < 2 atau x > 5 → (−∞, 2) ∪ (5, +∞)
Soal 2: Selesaikan (x + 1)(x − 4) ≤ 0
Lihat Pembahasan
Titik nol: x = −1 dan x = 4
Uji tanda:
x > 4: + | −1 < x < 4: − | x < −1: +
Karena ≤ 0, ambil interval negatif dan titik nol.
HP: [−1, 4]
Soal 3: Selesaikan x² − 9 < 0
Lihat Pembahasan
Faktorkan: (x − 3)(x + 3) < 0
Titik nol: x = −3 dan x = 3
Uji tanda:
x > 3: + | −3 < x < 3: − | x < −3: +
HP: (−3, 3)
Soal 4: Selesaikan x(x − 6) ≥ 0
Lihat Pembahasan
Titik nol: x = 0 dan x = 6
Uji tanda:
x > 6: + | 0 < x < 6: − | x < 0: +
Karena ≥ 0, ambil positif dan nol.
HP: (−∞, 0] ∪ [6, +∞)
Soal 5: Selesaikan (x + 3)(x − 1) > 0
Lihat Pembahasan
Titik nol: x = −3 dan x = 1
Uji tanda:
x > 1: + | −3 < x < 1: − | x < −3: +
HP: (−∞, −3) ∪ (1, +∞)
Sedang
Soal 6: Selesaikan x² − 2x − 8 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Faktorkan: (x − 4)(x + 2) ≤ 0
Titik nol: x = −2 dan x = 4
Uji tanda:
x > 4: + | −2 < x < 4: − | x < −2: +
HP: [−2, 4]
Soal 7: Selesaikan x³ − 4x > 0
Lihat Pembahasan
Faktorkan: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2) > 0
Titik nol: x = −2, 0, 2
Uji tanda:
x > 2: + | 0 < x < 2: − | −2 < x < 0: + | x < −2: −
HP: (−2, 0) ∪ (2, +∞)
Soal 8: Selesaikan (x − 1)(x + 3)(x − 4) ≤ 0
Lihat Pembahasan
Titik nol: x = −3, 1, 4
Uji tanda (mulai kanan +):
x > 4: + | 1 < x < 4: − | −3 < x < 1: + | x < −3: −
Karena ≤ 0, ambil negatif dan nol.
HP: (−∞, −3] ∪ [1, 4]
Soal 9: Selesaikan 2x³ + x² − 13x + 6 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Cari akar rasional: Coba x = 2: 2(8) + 4 − 26 + 6 = 0 ✓
Bagi dengan (x − 2): 2x³ + x² − 13x + 6 = (x − 2)(2x² + 5x − 3)
Faktorkan lagi: 2x² + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3)
Bentuk: (x − 2)(2x − 1)(x + 3) ≤ 0
Titik nol: x = −3, ½, 2
Uji tanda:
x > 2: + | ½ < x < 2: − | −3 < x < ½: + | x < −3: −
HP: (−∞, −3] ∪ [½, 2]
Soal 10: Selesaikan x⁴ − 5x² + 4 > 0
Lihat Pembahasan
Substitusi: Misal u = x², maka u² − 5u + 4 > 0
Faktorkan: (u − 1)(u − 4) > 0 → (x² − 1)(x² − 4) > 0
Faktorkan lagi: (x−1)(x+1)(x−2)(x+2) > 0
Titik nol: x = −2, −1, 1, 2
Uji tanda:
x > 2: + | 1 < x < 2: − | −1 < x < 1: + | −2 < x < −1: − | x < −2: +
HP: (−∞, −2) ∪ (−1, 1) ∪ (2, +∞)
Sulit
Soal 11: Selesaikan (x − 1)²(x + 2)(x − 3) ≤ 0
Lihat Pembahasan
Titik nol: x = 1 (pangkat 2), x = −2 (pangkat 1), x = 3 (pangkat 1)
Uji tanda: Mulai dari kanan (+), di x = 3 berubah, di x = 1 tetap (pangkat genap), di x = −2 berubah.
x > 3: + | 1 < x < 3: − | −2 < x < 1: − | x < −2: +
Karena ≤ 0, ambil negatif dan nol.
HP: [−2, 3]
(Catatan: x = 1 termasuk karena membuat ekspresi = 0)
Soal 12: Selesaikan x⁴ − 10x² + 9 ≤ 0
Lihat Pembahasan
Substitusi: u = x² → u² − 10u + 9 ≤ 0
Faktorkan: (u − 1)(u − 9) ≤ 0 → 1 ≤ u ≤ 9
Kembali ke x: 1 ≤ x² ≤ 9
Dari x² ≥ 1: x ≤ −1 atau x ≥ 1
Dari x² ≤ 9: −3 ≤ x ≤ 3
Irisan:
HP: [−3, −1] ∪ [1, 3]
Soal 13: Selesaikan (x² − 4)(x² − x − 6) > 0
Lihat Pembahasan
Faktorkan: (x−2)(x+2)(x−3)(x+2) = (x−2)(x+2)²(x−3) > 0
Titik nol: x = −2 (pangkat 2), x = 2 (pangkat 1), x = 3 (pangkat 1)
Uji tanda: Di x = −2 tanda tetap (pangkat genap).
x > 3: + | 2 < x < 3: − | −2 < x < 2: + | x < −2: +
Karena > 0, titik nol tidak termasuk.
HP: (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (3, +∞)
Soal 14: Selesaikan x³ − 7x + 6 ≥ 0
Lihat Pembahasan
Cari akar: x = 1: 1 − 7 + 6 = 0 ✓
Bagi: x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x² + x − 6) = (x − 1)(x + 3)(x − 2)
Titik nol: x = −3, 1, 2
Uji tanda:
x > 2: + | 1 < x < 2: − | −3 < x < 1: + | x < −3: −
HP: [−3, 1] ∪ [2, +∞)
(Perhatikan: ambil − dan nol untuk ≥ 0? Tidak! Ambil + dan nol.)
Koreksi HP: {x | −3 ≤ x ≤ 1 atau x ≥ 2} → [−3, 1] ∪ [2, +∞)
Verifikasi: x = 0: 0 − 0 + 6 = 6 ≥ 0 ✓ | x = 1.5: 3.375 − 10.5 + 6 = −1.125 < 0 ✗
Soal 15: Selesaikan (x² − 1)(x² − 4x + 3) ≤ 0
Lihat Pembahasan
Faktorkan: (x−1)(x+1)(x−1)(x−3) = (x−1)²(x+1)(x−3) ≤ 0
Titik nol: x = 1 (pangkat 2), x = −1 (pangkat 1), x = 3 (pangkat 1)
Uji tanda: Di x = 1 tanda tetap.
x > 3: + | 1 < x < 3: − | −1 < x < 1: − | x < −1: +
Karena ≤ 0, ambil negatif dan nol.
HP: [−1, 3]
(Semua titik nol termasuk karena membuat ekspresi = 0)
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
- Selesaikan (x − 3)(x − 7) > 0
- Selesaikan (x + 2)(x − 1) ≤ 0
- Selesaikan x² − 16 < 0
- Selesaikan x(x + 5) ≥ 0
- Selesaikan (x − 4)(x + 6) < 0
Sedang
- Selesaikan x² + 3x − 10 > 0
- Selesaikan x³ − 9x ≤ 0
- Selesaikan (x + 1)(x − 2)(x − 5) ≥ 0
- Selesaikan 2x² − 7x + 3 < 0
- Selesaikan x³ − x² − 6x > 0
Sulit
- Selesaikan (x − 2)²(x + 1)(x − 4) > 0
- Selesaikan x⁴ − 13x² + 36 ≤ 0
- Selesaikan (x² − 9)(x² + 2x − 8) ≥ 0
- Selesaikan x³ − 6x² + 11x − 6 < 0
- Selesaikan (x − 1)³(x + 2)² ≤ 0