Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pertidaksamaan Polinomial Berbentuk Hasil Bagi
A. Pengertian
🔍 Mengamati
Perhatikan bentuk pertidaksamaan berikut:
di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial dan Q(x) ≠ 0.
Pertidaksamaan Polinomial Berbentuk Hasil Bagi adalah pertidaksamaan yang memuat variabel dalam bentuk pecahan (rasional), di mana pembilang dan/atau penyebut merupakan polinomial (suku banyak).
⚠️ Penting!
- Penyebut Q(x) tidak boleh sama dengan nol.
- Kita tidak boleh mengalikan silang dengan penyebut jika tanda penyebut belum diketahui (positif atau negatif).
- Penyelesaian menggunakan metode garis bilangan (tabel tanda).
B. Langkah-Langkah Penyelesaian
❓ Menanya
Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan polinomial berbentuk hasil bagi? Langkah apa saja yang harus dilakukan?
Langkah-langkah penyelesaian:
- Pindahkan semua suku ke satu ruas sehingga ruas lainnya bernilai 0.
P(x)Q(x) > 0 atau P(x)Q(x) < 0
- Faktorkan pembilang P(x) dan penyebut Q(x) menjadi faktor-faktor linear atau kuadrat.
- Tentukan pembuat nol (titik kritis) dari setiap faktor di pembilang dan penyebut.
- Buat garis bilangan (tabel tanda) dan letakkan titik-titik kritis secara berurutan.
- Tentukan tanda (+ atau −) pada setiap interval menggunakan uji titik atau aturan tanda.
- Tentukan himpunan penyelesaian berdasarkan tanda yang diminta pertidaksamaan.
- Titik yang membuat pembilang = 0: termasuk HP jika tanda ≥ atau ≤.
- Titik yang membuat penyebut = 0: selalu tidak termasuk HP.
💡 Menalar
Mengapa kita tidak boleh mengalikan silang pada pertidaksamaan pecahan?
Karena jika penyebut bernilai negatif, maka tanda pertidaksamaan harus dibalik. Namun, karena penyebut mengandung variabel, kita tidak tahu apakah penyebut positif atau negatif. Oleh karena itu, metode yang benar adalah menggunakan tabel tanda (garis bilangan).
C. Metode Tabel Tanda (Garis Bilangan)
✏️ Mencoba
Mari kita coba menyelesaikan contoh berikut dengan metode tabel tanda:
Penyelesaian:
Langkah 1: Sudah dalam bentuk standar (ruas kanan = 0).
Langkah 2: Sudah terfaktorkan.
Langkah 3: Pembuat nol:
- Pembilang: x = 2 dan x = −3
- Penyebut: x = 5 (tidak termasuk HP)
Langkah 4 & 5: Tabel tanda:
| Interval | x < −3 | x = −3 | −3 < x < 2 | x = 2 | 2 < x < 5 | x = 5 | x > 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x − 2) | − | − | − | 0 | + | + | + |
| (x + 3) | − | 0 | + | + | + | + | + |
| (x − 5) | − | − | − | − | − | 0 | + |
| Hasil | − | 0 | + | 0 | − | ∄ | + |
Langkah 6: Karena pertidaksamaan ≥ 0, kita pilih interval dengan tanda + dan 0:
HP = {x | −3 ≤ x ≤ 2 atau x > 5} = [−3, 2] ∪ (5, ∞)
Catatan: x = 5 tidak termasuk karena membuat penyebut = 0.
📢 Mengkomunikasikan
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa:
- Titik kritis dari pembilang: menggunakan titik tutup (●) jika tanda ≥ atau ≤.
- Titik kritis dari penyebut: selalu menggunakan titik terbuka (○), tidak pernah termasuk HP.
- Hasil tabel tanda diperoleh dari perkalian/pembagian tanda setiap faktor pada interval tersebut.
D. Kasus Khusus
1. Faktor Berulang (Pangkat Genap/Ganjil)
Jika suatu faktor berpangkat genap, maka tanda tidak berubah saat melewati titik kritis tersebut.
Jika suatu faktor berpangkat ganjil, maka tanda berubah saat melewati titik kritis.
Faktor (x − 1)² berpangkat genap → tanda tidak berubah di x = 1.
2. Pertidaksamaan yang Perlu Disederhanakan
Jika pertidaksamaan belum dalam bentuk standar, pindahkan semua suku ke satu ruas dan samakan penyebut.
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari: x − 1x + 2 > 0
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Sudah dalam bentuk standar.
Langkah 2: Pembuat nol: x = 1 (pembilang), x = −2 (penyebut).
Langkah 3: Tabel tanda:
| Interval | x < −2 | −2 < x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| (x−1) | − | − | + |
| (x+2) | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
Langkah 4: Pertidaksamaan > 0, pilih interval bertanda +.
HP = {x | x < −2 atau x > 1} = (−∞, −2) ∪ (1, ∞)
Contoh 2.
Tentukan HP dari: x + 4x − 3 ≤ 0
▶ Lihat Pembahasan
Pembuat nol: x = −4 (pembilang), x = 3 (penyebut).
| Interval | x < −4 | −4 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| (x+4) | − | + | + |
| (x−3) | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
Pertidaksamaan ≤ 0, pilih interval bertanda − dan titik nol pembilang.
HP = [−4, 3)
x = −4 termasuk (≤), x = 3 tidak termasuk (penyebut = 0).
Contoh 3.
Tentukan HP dari: xx − 1 ≥ 0
▶ Lihat Pembahasan
Pembuat nol: x = 0 (pembilang), x = 1 (penyebut).
| Interval | x < 0 | 0 < x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| x | − | + | + |
| (x−1) | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
≥ 0: pilih + dan nol pembilang (x=0 termasuk).
HP = (−∞, 0] ∪ (1, ∞)
Contoh 4.
Tentukan HP dari: 3 − xx + 5 < 0
▶ Lihat Pembahasan
Pembuat nol: x = 3 (dari 3−x=0), x = −5 (penyebut).
| Interval | x < −5 | −5 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| (3−x) | + | + | − |
| (x+5) | − | + | + |
| Hasil | − | + | − |
< 0: pilih interval bertanda −.
HP = (−∞, −5) ∪ (3, ∞)
Contoh 5.
Tentukan HP dari: 2x + 6x − 4 ≥ 0
▶ Lihat Pembahasan
Faktorkan pembilang: 2(x + 3). Pembuat nol: x = −3, x = 4 (penyebut).
| Interval | x < −3 | −3 < x < 4 | x > 4 |
|---|---|---|---|
| (x+3) | − | + | + |
| (x−4) | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
≥ 0: pilih + dan nol pembilang.
HP = (−∞, −3] ∪ (4, ∞)
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6.
Tentukan HP dari: x² − 4x + 1 > 0
▶ Lihat Pembahasan
Faktorkan: (x−2)(x+2)(x+1) > 0
Pembuat nol: x = 2, x = −2 (pembilang), x = −1 (penyebut).
Urutan: −2, −1, 2
| Interval | x<−2 | −2<x<−1 | −1<x<2 | x>2 |
|---|---|---|---|---|
| (x−2) | − | − | − | + |
| (x+2) | − | + | + | + |
| (x+1) | − | − | + | + |
| Hasil | − | + | − | + |
> 0: pilih interval +.
HP = (−2, −1) ∪ (2, ∞)
Contoh 7.
Tentukan HP dari: xx + 1 ≤ 2
▶ Lihat Pembahasan
Pindahkan ke satu ruas:
xx+1 − 2 ≤ 0 ⟹ x − 2(x+1)x+1 ≤ 0 ⟹ −x − 2x+1 ≤ 0
Kalikan pembilang dan penyebut dengan −1 (tanda dibalik):
x + 2x+1 ≥ 0
Pembuat nol: x = −2 (pembilang), x = −1 (penyebut).
| Interval | x<−2 | −2<x<−1 | x>−1 |
|---|---|---|---|
| (x+2) | − | + | + |
| (x+1) | − | − | + |
| Hasil | + | − | + |
HP = (−∞, −2] ∪ (−1, ∞)
Contoh 8.
Tentukan HP dari: (x−1)(x+4)(x−2)(x+3) < 0
▶ Lihat Pembahasan
Pembuat nol: x = 1, −4 (pembilang), x = 2, −3 (penyebut).
Urutan: −4, −3, 1, 2
| Interval | x<−4 | −4<x<−3 | −3<x<1 | 1<x<2 | x>2 |
|---|---|---|---|---|---|
| (x−1) | − | − | − | + | + |
| (x+4) | − | + | + | + | + |
| (x−2) | − | − | − | − | + |
| (x+3) | − | − | + | + | + |
| Hasil | + | − | + | − | + |
< 0: pilih interval −.
HP = (−4, −3) ∪ (1, 2)
Contoh 9.
Tentukan HP dari: x² − x − 6x² − 9 ≤ 0
▶ Lihat Pembahasan
Faktorkan:
(x−3)(x+2)(x−3)(x+3) ≤ 0
Sederhanakan (dengan catatan x ≠ 3):
(x+2)(x+3) ≤ 0, x ≠ 3
Pembuat nol: x = −2 (pembilang), x = −3 (penyebut).
| Interval | x<−3 | −3<x<−2 | x>−2 |
|---|---|---|---|
| (x+2) | − | − | + |
| (x+3) | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
≤ 0 dan x ≠ 3:
HP = (−3, −2]
x = −2 termasuk (≤), x = −3 dan x = 3 tidak termasuk.
Contoh 10.
Tentukan HP dari: 2x − 1x + 3 ≥ 1
▶ Lihat Pembahasan
Pindahkan: 2x−1x+3 − 1 ≥ 0 ⟹ 2x−1−(x+3)x+3 ≥ 0 ⟹ x − 4x+3 ≥ 0
Pembuat nol: x = 4 (pembilang), x = −3 (penyebut).
| Interval | x<−3 | −3<x<4 | x>4 |
|---|---|---|---|
| (x−4) | − | − | + |
| (x+3) | − | + | + |
| Hasil | + | − | + |
HP = (−∞, −3) ∪ [4, ∞)
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11.
Tentukan HP dari: (x−1)²(x+3)(x−4)(x+2) ≤ 0
▶ Lihat Pembahasan
Pembuat nol: x = 1 (pangkat 2, genap), x = −3 (pembilang); x = 4, x = −2 (penyebut).
Urutan: −3, −2, 1, 4
Karena (x−1)² selalu ≥ 0, tandanya tidak berubah di x = 1.
| Interval | x<−3 | −3<x<−2 | −2<x<1 | 1<x<4 | x>4 |
|---|---|---|---|---|---|
| (x−1)² | + | + | + | + | + |
| (x+3) | − | + | + | + | + |
| (x−4) | − | − | − | − | + |
| (x+2) | − | − | + | + | + |
| Hasil | − | + | − | − | + |
≤ 0: pilih − dan nol pembilang (x=1 termasuk, x=−3 termasuk).
HP = (−∞, −3] ∪ (−2, 4)
Catatan: x=1 termasuk interval (−2,4) dan membuat ekspresi = 0, jadi sudah tercakup.
Contoh 12.
Tentukan HP dari: x + 1x − 2 + x − 1x + 2 < 0
▶ Lihat Pembahasan
Samakan penyebut:
(x+1)(x+2) + (x−1)(x−2)(x−2)(x+2) < 0
Jabarkan pembilang:
(x+1)(x+2) = x² + 3x + 2
(x−1)(x−2) = x² − 3x + 2
Jumlah = 2x² + 4
Sehingga: 2x² + 4(x−2)(x+2) < 0 ⟹ 2(x² + 2)(x−2)(x+2) < 0
Karena 2(x²+2) > 0 untuk semua x (selalu positif), maka tanda ditentukan oleh penyebut saja:
Syarat: (x−2)(x+2) < 0
| Interval | x<−2 | −2<x<2 | x>2 |
|---|---|---|---|
| (x−2)(x+2) | + | − | + |
HP = (−2, 2)
Contoh 13.
Tentukan HP dari: x³ − 4xx² − 1 ≥ 0
▶ Lihat Pembahasan
Faktorkan:
x(x−2)(x+2)(x−1)(x+1) ≥ 0
Pembuat nol: x = 0, 2, −2 (pembilang); x = 1, −1 (penyebut).
Urutan: −2, −1, 0, 1, 2
| Interval | x<−2 | −2<x<−1 | −1<x<0 | 0<x<1 | 1<x<2 | x>2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | − | − | − | + | + | + |
| (x−2) | − | − | − | − | − | + |
| (x+2) | − | + | + | + | + | + |
| (x−1) | − | − | − | − | + | + |
| (x+1) | − | − | + | + | + | + |
| Hasil | − | + | − | + | − | + |
≥ 0: pilih + dan nol pembilang.
HP = [−2, −1) ∪ [0, 1) ∪ [2, ∞)
Contoh 14.
Tentukan HP dari: 1x − 1 > 1x + 1
▶ Lihat Pembahasan
Pindahkan ke satu ruas:
1x−1 − 1x+1 > 0 ⟹ (x+1) − (x−1)(x−1)(x+1) > 0 ⟹ 2(x−1)(x+1) > 0
Karena 2 > 0 selalu, maka syaratnya: (x−1)(x+1) > 0
| Interval | x<−1 | −1<x<1 | x>1 |
|---|---|---|---|
| (x−1)(x+1) | + | − | + |
HP = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Contoh 15.
Tentukan HP dari: x² + x − 2x² − 4x + 3 ≤ x + 2x − 1
▶ Lihat Pembahasan
Faktorkan ruas kiri: (x+2)(x−1)(x−1)(x−3) = (x+2)(x−3), x ≠ 1
Pertidaksamaan menjadi: x+2x−3 ≤ x+2x−1, x ≠ 1, x ≠ 3
Pindahkan:
x+2x−3 − x+2x−1 ≤ 0 ⟹ (x+2)·(x−1)−(x−3)(x−3)(x−1) ≤ 0
(x+2)·2(x−3)(x−1) ≤ 0 ⟹ 2(x+2)(x−3)(x−1) ≤ 0
Pembuat nol: x = −2 (pembilang); x = 3, x = 1 (penyebut).
Urutan: −2, 1, 3
| Interval | x<−2 | −2<x<1 | 1<x<3 | x>3 |
|---|---|---|---|---|
| (x+2) | − | + | + | + |
| (x−1) | − | − | + | + |
| (x−3) | − | − | − | + |
| Hasil | − | + | − | + |
≤ 0: pilih − dan nol pembilang. Ingat x ≠ 1 dan x ≠ 3.
HP = (−∞, −2] ∪ (1, 3)
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan HP dari: x − 5x + 1 > 0
2. Tentukan HP dari: x + 2x − 4 ≤ 0
3. Tentukan HP dari: 2x − 8x + 6 ≥ 0
4. Tentukan HP dari: xx + 3 < 0
5. Tentukan HP dari: 4 − xx − 2 ≥ 0
📙 Tingkat Sedang
6. Tentukan HP dari: x² − 9x + 4 < 0
7. Tentukan HP dari: 3xx − 2 ≥ 2
8. Tentukan HP dari: (x+1)(x−3)(x+5)(x−2) ≤ 0
9. Tentukan HP dari: x² − 2x − 3x² + x − 2 > 0
10. Tentukan HP dari: x + 1x − 3 ≤ 3
📕 Tingkat Sulit
11. Tentukan HP dari: (x−2)²(x+1)(x+3)(x−5) ≥ 0
12. Tentukan HP dari: 1x − 2 + 1x + 3 > 1x
13. Tentukan HP dari: x³ − xx² − 4 ≤ 0
14. Tentukan HP dari: x² + 2x + 1x² − x − 6 ≤ x + 1x − 3
15. Tentukan HP dari: 2x + 1 − 3x − 1 ≥ 1