Turunan Fungsi Sinus
Materi Kalkulus — Diferensial Fungsi Trigonometri
1. Pendahuluan
Turunan fungsi sinus merupakan salah satu konsep fundamental dalam kalkulus diferensial. Fungsi sinus, yang dituliskan sebagai f(x) = sin x, memiliki turunan yang dapat diturunkan menggunakan definisi limit turunan.
Pada materi ini, kita akan mempelajari secara mendalam bagaimana menurunkan fungsi sinus beserta variasinya, termasuk penggunaan aturan rantai (chain rule).
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi f(x) = sin x dan turunannya f'(x) = cos x berikut:
Amati: Ketika sin x mencapai nilai maksimum (puncak), turunannya (cos x) bernilai 0. Ketika sin x naik paling cepat (di x = 0), turunannya bernilai maksimum (1).
2. Rumus Dasar Turunan Fungsi Sinus
Kegiatan: Menanya
Bagaimana cara membuktikan bahwa turunan dari sin x adalah cos x? Apakah ada pola tertentu jika kita menurunkan sin x berulang kali?
2.1 Pembuktian dengan Definisi Limit
Turunan fungsi f(x) = sin x diperoleh dari definisi turunan:
Substitusi f(x) = sin x:
Menggunakan identitas trigonometri: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Karena:
- limh→0 (sin h / h) = 1
- limh→0 (cos h − 1) / h = 0
Maka:
📐 Rumus Dasar
Kegiatan: Menalar
Perhatikan pola turunan berulang dari sin x:
| Fungsi | Turunan ke-1 | Turunan ke-2 | Turunan ke-3 | Turunan ke-4 |
|---|---|---|---|---|
| sin x | cos x | −sin x | −cos x | sin x |
Kesimpulan: Turunan sin x memiliki siklus berperiode 4. Setelah diturunkan 4 kali, kembali ke fungsi awal.
2.2 Turunan sin x dengan Aturan Rantai (Chain Rule)
Jika argumen dari sin bukan hanya x, melainkan suatu fungsi u(x), maka berlaku aturan rantai:
📐 Aturan Rantai untuk Fungsi Sinus
atau dalam notasi Leibniz: d/dx [sin u] = cos u · (du/dx)
2.3 Turunan dengan Konstanta Pengali
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut menggunakan rumus yang telah dipelajari:
- f(x) = sin 3x
- f(x) = 2 sin 5x
- f(x) = sin(x² + 1)
Petunjuk: Identifikasi u(x) terlebih dahulu, kemudian tentukan u'(x), lalu gunakan rumus aturan rantai.
2.4 Notasi Turunan
Beberapa notasi yang digunakan untuk menyatakan turunan:
| Notasi | Dibaca | Contoh |
|---|---|---|
| f'(x) | f aksen x | f'(x) = cos x |
| dy/dx | dy per dx | dy/dx = cos x |
| d/dx [sin x] | turunan sin x terhadap x | d/dx [sin x] = cos x |
| Dx [sin x] | D terhadap x dari sin x | Dx[sin x] = cos x |
2.5 Turunan Fungsi Sinus dengan Pangkat
Ini merupakan penerapan aturan rantai dimana f(x) = [sin x]n, sehingga turunan luar dikali turunan dalam.
2.6 Turunan Perkalian dan Pembagian yang Melibatkan sin x
Aturan Perkalian (Product Rule):
Aturan Pembagian (Quotient Rule):
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa turunan sin x adalah cos x dan bukan −cos x?
- Apa hubungan antara grafik sin x dan cos x yang menunjukkan bahwa cos x adalah turunan sin x?
- Buatlah rangkuman rumus turunan fungsi sinus dalam bentuk peta konsep.
3. Contoh Soal dan Pembahasan
3.1 Contoh Soal Tingkat Mudah Mudah
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = sin 2x
Pembahasan:
Misalkan u = 2x, maka u’ = 2
f'(x) = cos(2x) · 2 = 2 cos 2x
Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = 3 sin x
Pembahasan:
Konstanta 3 tetap, turunan sin x = cos x
Contoh 3:
Tentukan turunan dari f(x) = sin 5x
Pembahasan:
Misalkan u = 5x, maka u’ = 5
Contoh 4:
Tentukan turunan dari f(x) = −sin x
Pembahasan:
Konstanta −1 tetap, turunan sin x = cos x
Contoh 5:
Tentukan turunan dari f(x) = sin(x + π/4)
Pembahasan:
Misalkan u = x + π/4, maka u’ = 1
3.2 Contoh Soal Tingkat Sedang Sedang
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = sin(3x² + 2)
Pembahasan:
Misalkan u = 3x² + 2, maka u’ = 6x
f'(x) = cos(3x² + 2) · 6x
Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = sin³ x
Pembahasan:
Tulis sebagai f(x) = (sin x)³
Gunakan aturan rantai: turunan luar × turunan dalam
f'(x) = 3(sin x)² · cos x
Contoh 3:
Tentukan turunan dari f(x) = x · sin x
Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian: (uv)’ = u’v + uv’
u = x → u’ = 1
v = sin x → v’ = cos x
f'(x) = 1 · sin x + x · cos x
Contoh 4:
Tentukan turunan dari f(x) = sin 2x + sin 3x
Pembahasan:
Turunkan masing-masing suku:
d/dx [sin 2x] = 2 cos 2x
d/dx [sin 3x] = 3 cos 3x
Contoh 5:
Tentukan turunan dari f(x) = 4 sin(2x − π/3)
Pembahasan:
Misalkan u = 2x − π/3, maka u’ = 2
f'(x) = 4 · cos(2x − π/3) · 2
3.3 Contoh Soal Tingkat Sulit Sulit
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = sin(sin x)
Pembahasan:
Ini adalah fungsi komposisi. Misalkan u = sin x, maka u’ = cos x
f(x) = sin(u)
f'(x) = cos(u) · u’ = cos(sin x) · cos x
Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = x² sin(1/x) untuk x ≠ 0
Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian: u = x², v = sin(1/x)
u’ = 2x
Untuk v’: misalkan w = 1/x = x−1, maka w’ = −x−2 = −1/x²
v’ = cos(1/x) · (−1/x²)
f'(x) = 2x · sin(1/x) + x² · cos(1/x) · (−1/x²)
Contoh 3:
Tentukan turunan dari f(x) = sin³(2x + 1)
Pembahasan:
Gunakan aturan rantai berlapis:
Misalkan v = sin(2x + 1), maka f = v³
f’ = 3v² · v’
Cari v’: misalkan w = 2x + 1, w’ = 2
v’ = cos(2x + 1) · 2
f'(x) = 3 sin²(2x + 1) · 2 cos(2x + 1)
Contoh 4:
Tentukan turunan dari f(x) = sin x / (1 + sin x)
Pembahasan:
Gunakan aturan pembagian: (u/v)’ = (u’v − uv’) / v²
u = sin x → u’ = cos x
v = 1 + sin x → v’ = cos x
f'(x) = [cos x(1 + sin x) − sin x · cos x] / (1 + sin x)²
= [cos x + sin x cos x − sin x cos x] / (1 + sin x)²
Contoh 5:
Tentukan turunan dari f(x) = √(sin 2x)
Pembahasan:
Tulis sebagai f(x) = (sin 2x)1/2
Misalkan u = sin 2x
f = u1/2, maka f’ = (1/2)u−1/2 · u’
Cari u’: u’ = 2 cos 2x
f'(x) = (1/2)(sin 2x)−1/2 · 2 cos 2x
4. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus-rumus yang telah dipelajari.
4.1 Latihan Tingkat Mudah Mudah
- Tentukan turunan dari f(x) = sin 4x
- Tentukan turunan dari f(x) = 5 sin x
- Tentukan turunan dari f(x) = sin(x − π/6)
- Tentukan turunan dari f(x) = −2 sin 3x
- Tentukan turunan dari f(x) = sin(7x + 1)
4.2 Latihan Tingkat Sedang Sedang
- Tentukan turunan dari f(x) = sin(x² − 4x)
- Tentukan turunan dari f(x) = sin² 4x
- Tentukan turunan dari f(x) = x² sin 2x
- Tentukan turunan dari f(x) = 3 sin(2x + π) − sin x
- Tentukan turunan dari f(x) = sin x · cos x (petunjuk: gunakan aturan perkalian)
4.3 Latihan Tingkat Sulit Sulit
- Tentukan turunan dari f(x) = sin²(3x) · cos(3x)
- Tentukan turunan dari f(x) = sin(x²) / x
- Tentukan turunan dari f(x) = √(1 + sin 4x)
- Tentukan turunan dari f(x) = sin(sin(sin x))
- Tentukan turunan dari f(x) = x³ sin²(2x − 1)
5. Rangkuman Rumus
| Fungsi f(x) | Turunan f'(x) | Keterangan |
|---|---|---|
| sin x | cos x | Rumus dasar |
| a sin x | a cos x | Konstanta pengali |
| sin(ax + b) | a cos(ax + b) | Aturan rantai linear |
| sin u(x) | u'(x) · cos u(x) | Aturan rantai umum |
| sinn x | n sinn−1 x · cos x | Fungsi berpangkat |
| g(x) · sin x | g'(x) sin x + g(x) cos x | Aturan perkalian |