Sifat-sifat Turunan Suatu Fungsi
Materi Kalkulus — Turunan (Diferensial)
1. Turunan Konstanta
🔍 Mengamati
Perhatikan fungsi-fungsi berikut:
- f(x) = 5
- f(x) = -3
- f(x) = 100
Semua fungsi di atas memiliki nilai tetap (konstan) untuk setiap nilai x. Grafik fungsi konstanta berupa garis horizontal. Kemiringan (gradien) garis horizontal selalu nol.
❓ Menanya
Berapakah laju perubahan (turunan) dari fungsi yang nilainya selalu tetap?
Rumus:
Jika f(x) = c, dengan c adalah konstanta, maka:
f'(x) = 0
💡 Menalar
Pembuktian dengan definisi limit:
f'(x) = limh→0 f(x+h) − f(x)h = limh→0 c − ch = limh→0 0h = 0
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari: f(x) = 7, g(x) = −12, h(x) = √2
Jawaban: f'(x) = 0, g'(x) = 0, h'(x) = 0
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Turunan dari setiap fungsi konstanta selalu bernilai nol, karena fungsi konstanta tidak mengalami perubahan terhadap x.
Contoh Soal — Turunan Konstanta
Pembahasan: Karena 10 adalah konstanta, maka f'(x) = 0.
Pembahasan: f'(x) = 0 (konstanta).
Pembahasan: π ≈ 3,14 adalah konstanta, jadi f'(x) = 0.
Pembahasan: f'(x) = 0.
Pembahasan: f'(x) = 0.
Pembahasan: f(x) = 3 + 0 = 3 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: √9 = 3 (konstanta). Maka dy/dx = 0.
Pembahasan: 2³ = 8 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: ln(e²) = 2 (konstanta). Maka g'(x) = 0.
Pembahasan: sin²θ + cos²θ = 1 (konstanta). Maka h'(x) = 0.
Pembahasan: ∫₀¹ 2t dt = [t²]₀¹ = 1 (konstanta terhadap x). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: e^(ln3) = 3 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: log₂(8) = 3 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: (25−16)/1 = 9 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Pembahasan: 1+2+3 = 6 (konstanta). Maka f'(x) = 0.
Latihan Soal — Turunan Konstanta
Mudah1. f(x) = 25. Tentukan f'(x).
Mudah2. f(x) = −7. Tentukan f'(x).
Mudah3. f(x) = 0. Tentukan f'(x).
Mudah4. f(x) = ⅓. Tentukan f'(x).
Mudah5. f(x) = 99. Tentukan f'(x).
Sedang1. f(x) = √16. Tentukan f'(x).
Sedang2. f(x) = 3⁴. Tentukan f'(x).
Sedang3. f(x) = ln(1). Tentukan f'(x).
Sedang4. f(x) = cos(0). Tentukan f'(x).
Sedang5. f(x) = e⁰. Tentukan f'(x).
Sulit1. f(x) = ∫₁² 3t² dt. Tentukan f'(x).
Sulit2. f(x) = log₃(27). Tentukan f'(x).
Sulit3. f(x) = sin(π/2). Tentukan f'(x).
Sulit4. f(x) = (2+3)²/(5). Tentukan f'(x).
Sulit5. f(x) = Σₖ₌₁⁴ k². Tentukan f'(x).
2. Turunan Fungsi Pangkat (Power Rule)
🔍 Mengamati
Perhatikan pola turunan berikut:
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| x¹ | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| x⁴ | 4x³ |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
❓ Menanya
Apa pola yang terlihat? Bagaimana hubungan pangkat awal dengan turunannya?
Rumus (Power Rule):
Jika f(x) = xⁿ, maka:
f'(x) = n · xⁿ⁻¹
Berlaku untuk semua bilangan real n.
💡 Menalar
Pangkat “turun” menjadi koefisien, kemudian pangkat dikurangi satu. Ini berlaku juga untuk pangkat negatif dan pecahan:
- f(x) = x⁻² → f'(x) = −2x⁻³
- f(x) = x^(½) = √x → f'(x) = ½ · x^(−½) = 1/(2√x)
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari: f(x) = x⁵
Jawaban: f'(x) = 5x⁴
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Pada Power Rule, pangkat diturunkan menjadi pengali, lalu pangkat berkurang satu.
Contoh Soal — Power Rule
Pembahasan: f'(x) = 3x²
Pembahasan: f'(x) = 7x⁶
Pembahasan: x = x¹ → f'(x) = 1·x⁰ = 1
Pembahasan: f'(x) = 10x⁹
Pembahasan: f'(x) = 2x
Pembahasan: f'(x) = −3x⁻⁴ = −3/x⁴
Pembahasan: f'(x) = ½ · x^(−½) = 1/(2√x)
Pembahasan: f'(x) = ⅓ · x^(−⅔) = 1/(3x^(⅔))
Pembahasan: f'(x) = −1·x⁻² = −1/x²
Pembahasan: f'(x) = −½ · x^(−³⁄₂) = −1/(2x√x)
Pembahasan: f'(x) = ⁴⁄₃ · x^(¹⁄₃)
Pembahasan: f'(x) = −⅔ · x^(−⁵⁄₃)
Pembahasan: f'(x) = π · x^(π−1)
Pembahasan: f'(x) = −5x⁻⁶ = −5/x⁶
Pembahasan: f'(x) = ⅔ · x^(−⅓) = 2/(3³√x)
Latihan Soal — Power Rule
Mudah1. f(x) = x⁶
Mudah2. f(x) = x⁸
Mudah3. f(x) = x⁴
Mudah4. f(x) = x⁹
Mudah5. f(x) = x¹²
Sedang1. f(x) = x⁻⁴
Sedang2. f(x) = x^(¾)
Sedang3. f(x) = 1/x³
Sedang4. f(x) = ⁴√x
Sedang5. f(x) = x^(−¼)
Sulit1. f(x) = x^(⁵⁄₂)
Sulit2. f(x) = x^(−⁷⁄₃)
Sulit3. f(x) = 1/(x²√x)
Sulit4. f(x) = ⁵√(x³)
Sulit5. f(x) = x^(√2)
3. Turunan Kelipatan Konstanta
🔍 Mengamati
Perhatikan: jika f(x) = x³ maka f'(x) = 3x². Bagaimana dengan g(x) = 5x³?
❓ Menanya
Apakah konstanta pengali ikut diturunkan atau tetap?
Rumus:
Jika f(x) = c · g(x), maka:
f'(x) = c · g'(x)
Konstanta pengali tetap dipertahankan saat menurunkan.
💡 Menalar
Contoh: f(x) = 5x³
f'(x) = 5 · 3x² = 15x²
Konstanta 5 tetap ada, kemudian x³ diturunkan menjadi 3x².
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari f(x) = 7x⁴.
Jawaban: f'(x) = 7 · 4x³ = 28x³
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Konstanta pengali tidak berubah saat proses penurunan; cukup turunkan fungsi di belakangnya.
Contoh Soal — Kelipatan Konstanta
Pembahasan: f'(x) = 3·2x = 6x
Pembahasan: f'(x) = 4·5x⁴ = 20x⁴
Pembahasan: f'(x) = 2·1 = 2
Pembahasan: f'(x) = 10·3x² = 30x²
Pembahasan: f'(x) = 6·4x³ = 24x³
Pembahasan: f'(x) = −3·4x³ = −12x³
Pembahasan: f'(x) = ½·6x⁵ = 3x⁵
Pembahasan: f'(x) = 4·½·x^(−½) = 2/√x
Pembahasan: f'(x) = −2·(−1)x⁻² = 2/x²
Pembahasan: f'(x) = ⅔·3x² = 2x²
Pembahasan: f'(x) = −5·(−3)x⁻⁴ = 15x⁻⁴ = 15/x⁴
Pembahasan: f'(x) = ¾·⁴⁄₃·x^(¹⁄₃) = x^(¹⁄₃)
Pembahasan: f'(x) = (3/2)·(−4)x⁻⁵ = −6/x⁵
Pembahasan: f'(x) = −⅖·⁵⁄₂·x^(³⁄₂) = −x^(³⁄₂)
Pembahasan: f'(x) = (8/3)·(−⅓)x^(−⁴⁄₃) = −8/(9x^(⁴⁄₃))
Latihan Soal — Kelipatan Konstanta
Mudah1. f(x) = 5x³
Mudah2. f(x) = 8x²
Mudah3. f(x) = 9x
Mudah4. f(x) = 7x⁶
Mudah5. f(x) = 12x⁴
Sedang1. f(x) = −4x⁵
Sedang2. f(x) = ⅓x⁹
Sedang3. f(x) = 6√x
Sedang4. f(x) = 5/x²
Sedang5. f(x) = −¾x⁸
Sulit1. f(x) = 2/(5x³)
Sulit2. f(x) = ⅝x^(⁸⁄₅)
Sulit3. f(x) = −3/(4√x)
Sulit4. f(x) = ⁷⁄₃x^(³⁄₇)
Sulit5. f(x) = −6x^(−⅝)
4. Turunan Penjumlahan & Pengurangan
🔍 Mengamati
Jika f(x) = x³ + x², kita bisa menurunkan masing-masing suku secara terpisah.
❓ Menanya
Apakah turunan penjumlahan sama dengan penjumlahan turunan masing-masing?
Rumus:
Jika f(x) = u(x) ± v(x), maka:
f'(x) = u'(x) ± v'(x)
💡 Menalar
Setiap suku diturunkan secara independen. Tanda penjumlahan/pengurangan tetap dipertahankan.
Contoh: f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7
f'(x) = 12x³ − 4x + 5 − 0 = 12x³ − 4x + 5
✏️ Mencoba
Tentukan f'(x) dari f(x) = x⁵ + 3x² − 4
Jawaban: f'(x) = 5x⁴ + 6x
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Turunan penjumlahan/pengurangan = penjumlahan/pengurangan turunan masing-masing suku.
Contoh Soal — Penjumlahan & Pengurangan
Pembahasan: f'(x) = 2x + 1
Pembahasan: f'(x) = 3x² − 1
Pembahasan: f'(x) = 4x + 3
Pembahasan: f'(x) = 4x³
Pembahasan: f'(x) = 6 − 6x²
Pembahasan: f'(x) = 12x³ − 6x² + 1
Pembahasan: f'(x) = x − x²
Pembahasan: f'(x) = 5x⁴ − 12x² + 4x
Pembahasan: f'(x) = 1/√x − 3/x²
Pembahasan: f'(x) = 12x² + 4x − 7
Pembahasan: f'(x) = 5x^(³⁄₂) − (9/2)x^(½) + 1/(2√x)
Pembahasan: f'(x) = 4x³ + 4x⁻³ − (3/2)x⁻³⁄₂ = 4x³ + 4/x³ − 3/(2x√x)
Pembahasan: Sederhanakan dulu. f'(x) = 1 − x⁻² = 1 − 1/x²
Pembahasan: f'(x) = 1 + 3x⁻² = 1 + 3/x²
Pembahasan: f'(x) = 20x³ − 2x² + ½x − 1
Latihan Soal — Penjumlahan & Pengurangan
Mudah1. f(x) = x³ + 2x
Mudah2. f(x) = 4x² − x + 3
Mudah3. f(x) = x⁵ − x⁴
Mudah4. f(x) = 3x + 7
Mudah5. f(x) = 2x³ − 5x + 1
Sedang1. f(x) = ⅔x³ − ½x² + 4x
Sedang2. f(x) = 3x⁵ − x⁴ + 2x³ − 6
Sedang3. f(x) = √x + 1/x
Sedang4. f(x) = x⁶ − 3x⁴ + 5x² − 2
Sedang5. f(x) = 4/x + 2√x − x
Sulit1. f(x) = (x⁴ + x²)/x
Sulit2. f(x) = 3x^(⁵⁄₃) − 2x^(²⁄₃)
Sulit3. f(x) = (2x−1)²/x (jabarkan dulu)
Sulit4. f(x) = x² − 4/x² + 2/√x
Sulit5. f(x) = ⅕x⁵ − ¼x⁴ + ⅓x³ − ½x² + x
5. Turunan Perkalian (Product Rule)
🔍 Mengamati
Perhatikan f(x) = (x²)(x³). Kita bisa menyederhanakan menjadi x⁵, tapi bagaimana jika fungsi tidak bisa disederhanakan?
❓ Menanya
Apakah turunan perkalian sama dengan perkalian turunan? (Jawab: TIDAK!)
Rumus (Product Rule):
Jika f(x) = u(x) · v(x), maka:
f'(x) = u’·v + u·v’
Ingat: “turunan pertama kali kedua + pertama kali turunan kedua”
💡 Menalar
Contoh: f(x) = (2x+1)(x³)
Misalkan u = 2x+1 → u’ = 2 dan v = x³ → v’ = 3x²
f'(x) = 2·x³ + (2x+1)·3x² = 2x³ + 6x³ + 3x² = 8x³ + 3x²
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari f(x) = (x²+1)(x−3)
Jawaban: u’= 2x, v’=1 → f'(x)= 2x(x−3)+(x²+1)(1)= 2x²−6x+x²+1= 3x²−6x+1
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Turunan perkalian BUKAN perkalian turunan. Gunakan rumus: u’v + uv’.
Contoh Soal — Product Rule
Pembahasan: u=x, u’=1, v=x², v’=2x → f’= 1·x² + x·2x = x² + 2x² = 3x²
Pembahasan: u=2x, u’=2, v=x³, v’=3x² → f’= 2x³ + 2x·3x² = 2x³+6x³ = 8x³
Pembahasan: f’= 1·(x+2)+(x+1)·1 = x+2+x+1 = 2x+3
Pembahasan: f’= 1·(x+1)+(x−1)·1 = 2x
Pembahasan: f’= 3(x+4)+3x·1 = 3x+12+3x = 6x+12
Pembahasan: u’=2x, v’=2 → f’= 2x(2x−1)+(x²+3)(2)= 4x²−2x+2x²+6 = 6x²−2x+6
Pembahasan: u’=3x²−1, v’=2x → f’=(3x²−1)(x²+2)+(x³−x)(2x)= 3x⁴+6x²−x²−2+2x⁴−2x² = 5x⁴+3x²−2
Pembahasan: f’= 2(3x²−4)+(2x+1)(6x)= 6x²−8+12x²+6x= 18x²+6x−8
Pembahasan: f’= 2x(x²−3x+1)+x²(2x−3)= 2x³−6x²+2x+2x³−3x²= 4x³−9x²+2x
Pembahasan: f’= 4(x³+x)+(4x−3)(3x²+1)= 4x³+4x+12x³+4x−9x²−3= 16x³−9x²+8x−3
Pembahasan: f’= 2x(x²+1)+(x²+1)(2x)= 4x(x²+1)= 4x³+4x
Pembahasan: u’=3x²−2, v’=2x+1 → f’=(3x²−2)(x²+x−1)+(x³−2x)(2x+1)
= 3x⁴+3x³−3x²−2x²−2x+2 + 2x⁴+x³−4x²−2x
= 5x⁴+4x³−9x²−4x+2
Pembahasan: u’=½x^(−½), v’=2x → f’= (1/(2√x))(x²−1)+√x·2x = (x²−1)/(2√x)+2x√x
= (x²−1+4x²)/(2√x) = (5x²−1)/(2√x)
Pembahasan: u’=4x−3, v’=3x²+4x−1
f’=(4x−3)(x³+2x²−x)+(2x²−3x+1)(3x²+4x−1)
Jabarkan: = 4x⁴+8x³−4x²−3x³−6x²+3x + 6x⁴+8x³−2x²−9x³−12x²+3x+3x²+4x−1
= 10x⁴+4x³−21x²+10x−1
Pembahasan: u = x+x⁻¹, u’=1−x⁻², v=x²−1, v’=2x
f’=(1−1/x²)(x²−1)+(x+1/x)(2x)
= x²−1−1+1/x² + 2x²+2 = 3x²+1/x²
Latihan Soal — Product Rule
Mudah1. f(x) = (x+3)(x−2)
Mudah2. f(x) = 2x(x+5)
Mudah3. f(x) = (x+1)(x²)
Mudah4. f(x) = (3x)(2x+1)
Mudah5. f(x) = (x−4)(x+4)
Sedang1. f(x) = (x²−1)(x+3)
Sedang2. f(x) = (2x+5)(x²−x)
Sedang3. f(x) = (x³+2)(x−1)
Sedang4. f(x) = (x²+x)(x²−x)
Sedang5. f(x) = (3x²−2)(x²+4)
Sulit1. f(x) = (x³−x²+1)(2x²−3x)
Sulit2. f(x) = √x(x²+x−2)
Sulit3. f(x) = (x+1/x)(x−1/x)
Sulit4. f(x) = (x²−2x+3)²
Sulit5. f(x) = (x⁴+1)(x³−x+2)
6. Turunan Pembagian (Quotient Rule)
🔍 Mengamati
Bagaimana jika kita harus menurunkan fungsi bentuk pecahan seperti f(x) = (x²+1)/(x−3)?
❓ Menanya
Apakah ada rumus khusus untuk turunan bentuk pembagian?
Rumus (Quotient Rule):
Jika f(x) = u(x)/v(x), maka:
f'(x) = (u’·v − u·v’) / v²
Ingat: “pembilang: turunan atas kali bawah dikurangi atas kali turunan bawah, dibagi bawah kuadrat”
💡 Menalar
Contoh: f(x) = x²/(x+1)
u = x², u’ = 2x, v = x+1, v’ = 1
f'(x) = (2x(x+1) − x²·1) / (x+1)² = (2x²+2x−x²) / (x+1)² = (x²+2x) / (x+1)²
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari f(x) = (x+1)/(x−1)
Jawaban: f’= (1·(x−1)−(x+1)·1)/(x−1)² = (x−1−x−1)/(x−1)² = −2/(x−1)²
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Quotient Rule: (u’v − uv’) / v². Selalu perhatikan tanda minus!
Contoh Soal — Quotient Rule
Pembahasan: f’= (1·(x+1)−x·1)/(x+1)² = 1/(x+1)²
Pembahasan: f’= (2(x−3)−2x·1)/(x−3)² = −6/(x−3)²
Pembahasan: f’= (0·(x+2)−1·1)/(x+2)² = −1/(x+2)²
Pembahasan: f’= (0−3·2)/(2x+1)² = −6/(2x+1)²
Pembahasan: f’= (1·x−(x+1)·1)/x² = −1/x²
Pembahasan: f’= (2x(x+2)−x²)/(x+2)² = (x²+4x)/(x+2)²
Pembahasan: f’= (2(x²+1)−(2x+3)(2x))/(x²+1)² = (2x²+2−4x²−6x)/(x²+1)² = (−2x²−6x+2)/(x²+1)²
Pembahasan: f’= (2x(x²+1)−(x²−1)(2x))/(x²+1)² = (2x³+2x−2x³+2x)/(x²+1)² = 4x/(x²+1)²
Pembahasan: f’= (3(2x+5)−(3x−1)(2))/(2x+5)² = (6x+15−6x+2)/(2x+5)² = 17/(2x+5)²
Pembahasan: f’= (3x²(x−1)−x³)/(x−1)² = (3x³−3x²−x³)/(x−1)² = (2x³−3x²)/(x−1)²
Pembahasan: u’=2x+2, v’=3x²−1
f’= ((2x+2)(x³−x)−(x²+2x−1)(3x²−1)) / (x³−x)²
Pembilang: (2x⁴−2x²+2x³−2x)−(3x⁴−x²+6x³−2x−3x²+1)
= 2x⁴+2x³−2x²−2x−3x⁴−6x³+4x²+2x−1 = −x⁴−4x³+2x²−1
Pembahasan: f’= (2x(x²+4)−(x²−4)(2x))/(x²+4)² = (2x³+8x−2x³+8x)/(x²+4)² = 16x/(x²+4)²
Pembahasan: Perhatikan x³+1 = (x+1)(x²−x+1), maka f(x)= x+1, sehingga f'(x) = 1.
Pembahasan: v = (x+1)², u’=4x+1, v’=2(x+1)
f’= ((4x+1)(x+1)²−(2x²+x−3)·2(x+1))/(x+1)⁴
= ((4x+1)(x+1)−2(2x²+x−3))/(x+1)³
= (4x²+5x+1−4x²−2x+6)/(x+1)³ = (3x+7)/(x+1)³
Pembahasan: u’=1/(2√x), v’=1
f’= ((1/(2√x))(x+1)−√x·1)/(x+1)²
= ((x+1)/(2√x)−√x)/(x+1)² = ((x+1−2x)/(2√x))/(x+1)² = (1−x)/(2√x(x+1)²)
Latihan Soal — Quotient Rule
Mudah1. f(x) = x/(x−1)
Mudah2. f(x) = 5/(x+3)
Mudah3. f(x) = (x−2)/x
Mudah4. f(x) = 4x/(x+4)
Mudah5. f(x) = (2x+1)/(x−2)
Sedang1. f(x) = x²/(2x−1)
Sedang2. f(x) = (x²+3)/(x−1)
Sedang3. f(x) = (x−1)/(x²+x)
Sedang4. f(x) = (4x+1)/(3x−2)
Sedang5. f(x) = (x³−1)/(x+1)
Sulit1. f(x) = (x²+x+1)/(x²−x+1)
Sulit2. f(x) = (x³+2x)/(x²−3)
Sulit3. f(x) = √x/(x²+1)
Sulit4. f(x) = (x²−4x+4)/(x³−8)
Sulit5. f(x) = (2x³−x)/(x²+x−2)
7. Turunan Rantai (Chain Rule)
🔍 Mengamati
Perhatikan fungsi komposisi seperti f(x) = (2x+1)⁵. Fungsi ini terdiri dari fungsi luar (pangkat 5) dan fungsi dalam (2x+1).
❓ Menanya
Bagaimana cara menurunkan fungsi komposisi tanpa harus menjabarkan terlebih dahulu?
Rumus (Chain Rule):
Jika f(x) = g(h(x)), maka:
f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
Atau jika y = uⁿ dengan u = h(x):
dy/dx = n·uⁿ⁻¹ · u’
Ingat: “turunkan luar, pertahankan dalam, kalikan turunan dalam”
💡 Menalar
Contoh: f(x) = (3x+2)⁴
Fungsi luar: u⁴, fungsi dalam: u = 3x+2
Turunan luar: 4u³, turunan dalam: u’ = 3
f'(x) = 4(3x+2)³ · 3 = 12(3x+2)³
✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari f(x) = (x²+1)³
Jawaban: f'(x) = 3(x²+1)² · 2x = 6x(x²+1)²
📢 Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Chain Rule digunakan untuk fungsi komposisi. Turunkan fungsi luar (biarkan fungsi dalam tetap), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.
Contoh Soal — Chain Rule
Pembahasan: f'(x) = 3(x+1)²·1 = 3(x+1)²
Pembahasan: f'(x) = 4(2x)³·2 = 8(2x)³ = 64x³
Pembahasan: f'(x) = 2(x−5)·1 = 2(x−5)
Pembahasan: f'(x) = 2(3x+1)·3 = 6(3x+1)
Pembahasan: f'(x) = 5(x+4)⁴
Pembahasan: f'(x) = 4(x²−3)³·2x = 8x(x²−3)³
Pembahasan: f'(x) = ½(2x+5)^(−½)·2 = 1/√(2x+5)
Pembahasan: f'(x) = 3(3x²+x)²·(6x+1)
Pembahasan: f'(x) = −1(x²+1)⁻²·2x = −2x/(x²+1)²
Pembahasan: f'(x) = 5(4−x²)⁴·(−2x) = −10x(4−x²)⁴
Pembahasan: f'(x) = ½(x³+2x)^(−½)·(3x²+2) = (3x²+2)/(2√(x³+2x))
Pembahasan: Misalkan u = (2x+1)/(x−1). Maka u’ = −3/(x−1)² (quotient rule).
f'(x) = 3u²·u’ = 3((2x+1)/(x−1))²·(−3/(x−1)²) = −9(2x+1)²/(x−1)⁴
Pembahasan: f'(x) = −2(x²+3x)⁻³·(2x+3) = −2(2x+3)/(x²+3x)³
Pembahasan: f'(x) = ⅓(x²−4x+1)^(−⅔)·(2x−4) = (2x−4)/(3(x²−4x+1)^(⅔))
Pembahasan: f'(x) = 6(x³−1)⁵·3x² = 18x²(x³−1)⁵
Latihan Soal — Chain Rule
Mudah1. f(x) = (x+2)⁴
Mudah2. f(x) = (5x)³
Mudah3. f(x) = (2x−7)²
Mudah4. f(x) = (x−1)⁶
Mudah5. f(x) = (4x+3)³
Sedang1. f(x) = (x³+2)⁴
Sedang2. f(x) = √(3x−1)
Sedang3. f(x) = (x²+x+1)³
Sedang4. f(x) = 1/(2x−3)²
Sedang5. f(x) = (x⁴−x)²
Sulit1. f(x) = √(x²+4x−5)
Sulit2. f(x) = ((x+1)/(x−2))⁴
Sulit3. f(x) = (x³−3x²+1)⁻³
Sulit4. f(x) = ⁴√(2x³−x)
Sulit5. f(x) = ((x²+1)³)²
Ringkasan Sifat-sifat Turunan
| No | Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Konstanta | f(x)=c → f'(x)=0 |
| 2 | Power Rule | f(x)=xⁿ → f'(x)=nxⁿ⁻¹ |
| 3 | Kelipatan Konstanta | f(x)=c·g(x) → f'(x)=c·g'(x) |
| 4 | Penjumlahan/Pengurangan | f(x)=u±v → f'(x)=u’±v’ |
| 5 | Product Rule | f(x)=u·v → f'(x)=u’v+uv’ |
| 6 | Quotient Rule | f(x)=u/v → f'(x)=(u’v−uv’)/v² |
| 7 | Chain Rule | f(x)=g(h(x)) → f'(x)=g'(h(x))·h'(x) |