Turunan Fungsi Aljabar
Materi Lengkap dengan Contoh Soal dan Latihan
1. Pengertian Turunan
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi f(x) = x². Jika kita mengambil dua titik yang sangat berdekatan pada kurva, garis yang menghubungkan kedua titik tersebut akan mendekati garis singgung di titik tersebut. Laju perubahan fungsi di suatu titik inilah yang disebut turunan.
Turunan (derivative) dari suatu fungsi f(x) adalah fungsi baru yang menyatakan laju perubahan (rate of change) dari fungsi tersebut terhadap variabel bebasnya. Secara geometris, turunan di suatu titik menyatakan gradien garis singgung kurva di titik tersebut.
Definisi Formal (Menggunakan Limit)
f'(x) = limh→0 f(x + h) − f(x)h
Dengan kata lain, turunan adalah limit dari rasio perubahan nilai fungsi terhadap perubahan variabel bebas ketika perubahan variabel tersebut mendekati nol.
Kegiatan: Menanya
Pertanyaan pemicu:
- Apa hubungan antara turunan dengan kecepatan sesaat?
- Mengapa kita memerlukan limit dalam mendefinisikan turunan?
- Bagaimana cara menghitung gradien garis singgung tanpa menggambar grafik?
Contoh Menghitung Turunan dari Definisi
Tentukan turunan dari f(x) = x² menggunakan definisi limit.
Penyelesaian:
f'(x) = limh→0 (x+h)² − x²h
= limh→0 x² + 2xh + h² − x²h
= limh→0 2xh + h²h
= limh→0 (2x + h)
= 2x
Jadi, f'(x) = 2x
Kegiatan: Menalar
Dari hasil di atas, kita mendapat f'(x) = 2x. Ini berarti:
- Di titik x = 1, gradien = 2 (kurva naik landai)
- Di titik x = 3, gradien = 6 (kurva naik curam)
- Di titik x = 0, gradien = 0 (titik puncak/lembah)
- Di titik x = −2, gradien = −4 (kurva turun)
2. Notasi Turunan
Ada beberapa cara menuliskan turunan yang umum digunakan:
| Notasi | Dibaca | Keterangan |
|---|---|---|
| f'(x) | “f aksen x” | Notasi Lagrange |
| dydx | “dy per dx” | Notasi Leibniz |
| dfdx | “df per dx” | Notasi Leibniz |
| Dx f(x) | “D x dari f x” | Notasi Operator D |
| y’ | “y aksen” | Jika y = f(x) |
⚠️ Catatan Penting: Notasi dydx bukan berarti “dy dibagi dx”. Ini adalah satu simbol utuh yang menyatakan turunan y terhadap x.
Turunan Tingkat Tinggi
| Tingkat | Notasi Lagrange | Notasi Leibniz |
|---|---|---|
| Pertama | f'(x) | dydx |
| Kedua | f”(x) | d²ydx² |
| Ketiga | f”'(x) | d³ydx³ |
| Ke-n | f(n)(x) | dⁿydxⁿ |
3. Rumus-Rumus Dasar Turunan
Kegiatan: Mencoba
Cobalah buktikan setiap rumus berikut menggunakan definisi limit turunan. Mulailah dari yang paling sederhana!
1. Turunan Konstanta
Jika f(x) = c (konstanta), maka f'(x) = 0
2. Turunan Fungsi Identitas
Jika f(x) = x, maka f'(x) = 1
3. Rumus Pangkat (Power Rule)
Jika f(x) = xn, maka f'(x) = n·xn−1
(berlaku untuk semua bilangan real n)
4. Turunan Konstanta × Fungsi
Jika f(x) = c·g(x), maka f'(x) = c·g'(x)
5. Turunan Fungsi Linear
Jika f(x) = ax + b, maka f'(x) = a
6. Turunan Fungsi Kuadrat
Jika f(x) = ax² + bx + c, maka f'(x) = 2ax + b
Tabel Ringkasan Rumus Pangkat
| f(x) | f'(x) | Keterangan |
|---|---|---|
| x² | 2x | n=2 |
| x³ | 3x² | n=3 |
| x⁴ | 4x³ | n=4 |
| x−1 = 1/x | −x−2 = −1/x² | n=−1 |
| x1/2 = √x | ½·x−1/2 = 1/(2√x) | n=½ |
| x−1/2 = 1/√x | −½·x−3/2 | n=−½ |
4. Aturan-Aturan Turunan
A. Aturan Penjumlahan dan Pengurangan
Jika f(x) = u(x) ± v(x), maka:
f'(x) = u'(x) ± v'(x)
Turunan dari jumlah/selisih = jumlah/selisih turunan masing-masing.
Contoh: f(x) = 3x⁴ + 2x³ − 5x + 7
f'(x) = 12x³ + 6x² − 5
B. Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika f(x) = u(x) · v(x), maka:
f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)
Cara mengingat: “turunan pertama × kedua + pertama × turunan kedua”
Contoh: f(x) = (2x + 1)(x² − 3)
Misal u = 2x + 1 → u’ = 2
v = x² − 3 → v’ = 2x
f'(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1)(2x)
= 2x² − 6 + 4x² + 2x
= 6x² + 2x − 6
C. Aturan Pembagian (Quotient Rule)
Jika f(x) = u(x)v(x), maka:
f'(x) = u'(x)·v(x) − u(x)·v'(x)[v(x)]²
Cara mengingat: “pembilang: turunan atas × bawah − atas × turunan bawah, penyebut: bawah kuadrat”
Contoh: f(x) = x² + 1x − 2
Misal u = x² + 1 → u’ = 2x
v = x − 2 → v’ = 1
f'(x) = 2x(x − 2) − (x² + 1)(1)(x − 2)²
= 2x² − 4x − x² − 1(x − 2)²
= x² − 4x − 1(x − 2)²
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelompokmu:
- Kapan kita menggunakan aturan perkalian vs langsung mengalikan terlebih dahulu?
- Apakah hasil aturan pembagian sama jika kita menulis ulang fungsi menggunakan pangkat negatif?
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa turunan konstanta selalu nol.
5. Turunan Fungsi Komposit (Aturan Rantai / Chain Rule)
Jika y = f(u) dan u = g(x), maka:
dydx = dydu · dudx
Atau dalam notasi lain:
[f(g(x))]’ = f'(g(x)) · g'(x)
Cara mengingat: “turunkan fungsi luar (biarkan fungsi dalam), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.”
Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = (3x + 2)⁵
Misal u = 3x + 2 (fungsi dalam), sehingga f = u⁵
f'(x) = 5u⁴ · u’ = 5(3x + 2)⁴ · 3 = 15(3x + 2)⁴
Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = √(x² + 4x)
Tulis ulang: f(x) = (x² + 4x)1/2
f'(x) = ½(x² + 4x)−1/2 · (2x + 4)
= 2x + 42√(x² + 4x) = x + 2√(x² + 4x)
Kegiatan: Menalar
Perhatikan pola aturan rantai. Semakin dalam komposisi fungsi, semakin banyak faktor yang harus dikalikan. Misalnya untuk f(g(h(x))):
[f(g(h(x)))]’ = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)
6. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = 5x³
Pembahasan:
Gunakan rumus: jika f(x) = axn, maka f'(x) = n·a·xn−1
f'(x) = 3 · 5 · x3−1 = 15x²
Jawaban: f'(x) = 15x²
Soal 2. Tentukan turunan dari f(x) = 4x² − 6x + 9
Pembahasan:
Turunkan tiap suku:
f'(x) = 2·4·x2−1 − 6·1·x1−1 + 0
= 8x − 6
Jawaban: f'(x) = 8x − 6
Soal 3. Tentukan turunan dari f(x) = 7
Pembahasan:
Turunan konstanta selalu nol.
Jawaban: f'(x) = 0
Soal 4. Tentukan turunan dari f(x) = x⁵ + 3x²
Pembahasan:
f'(x) = 5x⁴ + 6x
Jawaban: f'(x) = 5x⁴ + 6x
Soal 5. Tentukan f'(2) jika f(x) = x³ − 4x
Pembahasan:
f'(x) = 3x² − 4
f'(2) = 3(2)² − 4 = 3(4) − 4 = 12 − 4 = 8
Jawaban: f'(2) = 8
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 3)(x² − 1)
Pembahasan: Gunakan aturan perkalian.
Misal u = 2x + 3 → u’ = 2
v = x² − 1 → v’ = 2x
f'(x) = u’v + uv’ = 2(x² − 1) + (2x + 3)(2x)
= 2x² − 2 + 4x² + 6x
= 6x² + 6x − 2
Jawaban: f'(x) = 6x² + 6x − 2
Soal 2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x + 1x − 4
Pembahasan: Gunakan aturan pembagian.
u = 3x + 1 → u’ = 3
v = x − 4 → v’ = 1
f'(x) = 3(x − 4) − (3x + 1)(1)(x − 4)²
= 3x − 12 − 3x − 1(x − 4)² = −13(x − 4)²
Jawaban: f'(x) = −13/(x − 4)²
Soal 3. Tentukan turunan dari f(x) = (4x − 1)³
Pembahasan: Gunakan aturan rantai.
Misal u = 4x − 1, maka f = u³
f'(x) = 3u² · u’ = 3(4x − 1)² · 4 = 12(4x − 1)²
Jawaban: f'(x) = 12(4x − 1)²
Soal 4. Tentukan turunan dari f(x) = 2x³
Pembahasan: Tulis ulang sebagai f(x) = 2x−3
f'(x) = 2·(−3)·x−4 = −6x−4 = −6x⁴
Jawaban: f'(x) = −6/x⁴
Soal 5. Tentukan turunan dari f(x) = √(3x + 5)
Pembahasan: Tulis ulang: f(x) = (3x + 5)1/2
Aturan rantai: f'(x) = ½(3x + 5)−1/2 · 3
= 32√(3x + 5)
Jawaban: f'(x) = 3 / [2√(3x + 5)]
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 1. Tentukan turunan dari f(x) = (x² + 1)³(2x − 1)²
Pembahasan: Aturan pembagian + aturan rantai.
u = (x² + 1)³ → u’ = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)²
v = (2x − 1)² → v’ = 2(2x − 1) · 2 = 4(2x − 1)
f'(x) = 6x(x² + 1)²(2x − 1)² − (x² + 1)³ · 4(2x − 1)(2x − 1)⁴
Faktorkan (x² + 1)²(2x − 1) dari pembilang:
= (x² + 1)²(2x − 1)[6x(2x − 1) − 4(x² + 1)](2x − 1)⁴
= (x² + 1)²[12x² − 6x − 4x² − 4](2x − 1)³
= (x² + 1)²(8x² − 6x − 4)(2x − 1)³
= 2(x² + 1)²(4x² − 3x − 2)(2x − 1)³
Jawaban: f'(x) = 2(x² + 1)²(4x² − 3x − 2) / (2x − 1)³
Soal 2. Tentukan turunan dari f(x) = x² · √(x³ + 1)
Pembahasan: Aturan perkalian + aturan rantai.
u = x² → u’ = 2x
v = (x³ + 1)1/2 → v’ = ½(x³ + 1)−1/2 · 3x² = 3x²2√(x³ + 1)
f'(x) = 2x · √(x³ + 1) + x² · 3x²2√(x³ + 1)
= 2x√(x³ + 1) + 3x⁴2√(x³ + 1)
Samakan penyebut:
= 2x(x³ + 1) + 3x⁴2√(x³ + 1) = 2x⁴ + 2x + 3x⁴2√(x³ + 1) = 5x⁴ + 2x2√(x³ + 1)
= x(5x³ + 2)2√(x³ + 1)
Jawaban: f'(x) = x(5x³ + 2) / [2√(x³ + 1)]
Soal 3. Tentukan turunan kedua dari f(x) = (2x + 1)⁴
Pembahasan:
Turunan pertama (aturan rantai):
f'(x) = 4(2x + 1)³ · 2 = 8(2x + 1)³
Turunan kedua (aturan rantai lagi):
f”(x) = 8 · 3(2x + 1)² · 2 = 48(2x + 1)²
Jawaban: f”(x) = 48(2x + 1)²
Soal 4. Jika f(x) = x√(x² + 9), tentukan f'(0).
Pembahasan: Aturan pembagian + aturan rantai.
u = x → u’ = 1
v = (x² + 9)1/2 → v’ = x√(x² + 9)
f'(x) = 1 · √(x² + 9) − x · x√(x² + 9)x² + 9
= x² + 9 − x²√(x² + 9)x² + 9 = 9(x² + 9)3/2
f'(0) = 9(0 + 9)3/2 = 927 = 13
Jawaban: f'(0) = 1/3
Soal 5. Tentukan turunan dari f(x) = (x² − 3x + 2)⁴ · (x + 1)³
Pembahasan: Aturan perkalian + aturan rantai dua kali.
u = (x² − 3x + 2)⁴ → u’ = 4(x² − 3x + 2)³ · (2x − 3)
v = (x + 1)³ → v’ = 3(x + 1)²
f'(x) = 4(x² − 3x + 2)³(2x − 3)(x + 1)³ + (x² − 3x + 2)⁴ · 3(x + 1)²
Faktorkan (x² − 3x + 2)³(x + 1)²:
= (x² − 3x + 2)³(x + 1)²[4(2x − 3)(x + 1) + 3(x² − 3x + 2)]
= (x² − 3x + 2)³(x + 1)²[8x² − 4x − 12 + 3x² − 9x + 6]
= (x² − 3x + 2)³(x + 1)²(11x² − 13x − 6)
Jawaban: f'(x) = (x² − 3x + 2)³(x + 1)²(11x² − 13x − 6)
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan rumus-rumus yang telah dipelajari.
MUDAH Latihan Tingkat Mudah
1. Tentukan turunan dari f(x) = 7x⁴
2. Tentukan turunan dari f(x) = 3x² + 5x − 8
3. Tentukan turunan dari f(x) = −2x⁶ + x
4. Tentukan f'(1) jika f(x) = 4x³ − 2x² + x
5. Tentukan turunan dari f(x) = ½x⁴ − 3x² + 10
SEDANG Latihan Tingkat Sedang
1. Tentukan turunan dari f(x) = (x + 4)(3x² − 2)
2. Tentukan turunan dari f(x) = 2x − 5x + 3
3. Tentukan turunan dari f(x) = (5x − 2)⁴
4. Tentukan turunan dari f(x) = 3x² + 1x
5. Tentukan turunan dari f(x) = √(2x + 7)
SULIT Latihan Tingkat Sulit
1. Tentukan turunan dari f(x) = (x + 2)³(x − 1)²
2. Tentukan turunan dari f(x) = x³ · √(2x + 1)
3. Tentukan turunan kedua dari f(x) = (3x − 4)⁵
4. Jika f(x) = x²√(x³ + 8), tentukan f'(0)
5. Tentukan turunan dari f(x) = [(x² + 1)(x − 3)]²