Turunan Fungsi Eksponen
Materi Lengkap: Konsep, Rumus, Contoh Soal & Latihan
1. Turunan Fungsi \(e^x\)
🔍 Mengamati
Perhatikan fungsi \(f(x)=e^x\). Bilangan \(e \approx 2{,}71828\) disebut bilangan Euler. Fungsi ini memiliki sifat istimewa: turunannya adalah dirinya sendiri.
Coba amati tabel berikut:
| \(x\) | \(f(x)=e^x\) | Gradien di \(x\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2,718 | 2,718 |
| 2 | 7,389 | 7,389 |
Terlihat bahwa nilai fungsi dan gradien (kemiringan garis singgung) di setiap titik selalu sama.
❓ Menanya
Mengapa turunan \(e^x\) sama dengan \(e^x\) itu sendiri? Bagaimana jika pangkatnya bukan sekadar \(x\), melainkan fungsi lain?
💡 Menalar
Dari definisi turunan menggunakan limit:
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}$$Karena \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1\), maka diperoleh \(f'(x)=e^x\).
📌 Rumus Dasar
$$\boxed{f(x)=e^x \implies f'(x)=e^x}$$✏️ Mencoba
Tentukan turunan dari \(f(x)=5e^x\).
▶ Lihat Jawaban
📢 Mengkomunikasikan
Sampaikan kepada teman sekelasmu: “Turunan \(e^x\) unik karena hasilnya selalu sama dengan fungsinya sendiri. Jika ada konstanta pengali, konstanta tersebut tetap dipertahankan.”
2. Turunan Fungsi \(e^{u(x)}\) — Aturan Rantai
🔍 Mengamati
Bagaimana jika pangkat dari \(e\) bukan hanya \(x\), melainkan suatu fungsi \(u(x)\)? Misalnya \(f(x)=e^{3x}\) atau \(f(x)=e^{x^2}\).
❓ Menanya
Apakah kita tinggal menurunkan seperti biasa? Atau ada aturan tambahan?
💡 Menalar
Kita gunakan aturan rantai (chain rule). Jika \(f(x)=e^{u(x)}\), maka:
$$f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)$$Artinya: turunkan fungsi luarnya (\(e^{u}\) tetap \(e^{u}\)), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalamnya \(u'(x)\).
📌 Rumus Aturan Rantai Eksponen \(e\)
$$\boxed{f(x)=e^{u(x)} \implies f'(x)=u'(x)\cdot e^{u(x)}}$$✏️ Mencoba
Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{3x}\).
▶ Lihat Jawaban
\(u(x)=3x \implies u'(x)=3\)
$$f'(x)=3\cdot e^{3x}$$✏️ Mencoba
Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{x^2+1}\).
▶ Lihat Jawaban
\(u=x^2+1 \implies u’=2x\)
$$f'(x)=2x\cdot e^{x^2+1}$$📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri: “Untuk menurunkan \(e^{u(x)}\), kita tetapkan \(e^{u(x)}\) lalu kalikan dengan turunan pangkatnya.”
3. Turunan Fungsi \(a^x\) dan \(a^{u(x)}\)
🔍 Mengamati
Selain basis \(e\), fungsi eksponen juga dapat memiliki basis lain, misalnya \(2^x\), \(3^x\), \(10^x\), dsb. Bagaimana menurunkannya?
Kunci: kita ubah \(a^x\) menjadi bentuk \(e\) menggunakan hubungan \(a^x = e^{x\ln a}\).
💡 Menalar
$$a^x = e^{x\ln a} \implies \frac{d}{dx}a^x = e^{x\ln a}\cdot\ln a = a^x\ln a$$📌 Rumus
$$\boxed{\frac{d}{dx}\bigl[a^x\bigr]=a^x\cdot\ln a}$$ $$\boxed{\frac{d}{dx}\bigl[a^{u(x)}\bigr]=a^{u(x)}\cdot\ln a\cdot u'(x)}$$dengan \(a>0,\;a\neq 1\)
❓ Menanya
Mengapa muncul faktor \(\ln a\)? Karena saat mengubah basis \(a\) ke basis \(e\), faktor \(\ln a\) muncul sebagai konstanta pengali di pangkat.
✏️ Mencoba
Tentukan turunan \(f(x)=2^x\).
▶ Lihat Jawaban
✏️ Mencoba
Tentukan turunan \(f(x)=5^{x^2}\).
▶ Lihat Jawaban
\(u=x^2,\;u’=2x\)
$$f'(x)=5^{x^2}\cdot\ln 5\cdot 2x = 2x\cdot\ln 5\cdot 5^{x^2}$$📢 Mengkomunikasikan
Ingat rumus singkat: “Turunan \(a^x\) sama dengan dirinya sendiri dikali \(\ln a\). Jika pangkatnya fungsi, kalikan lagi dengan turunan pangkatnya.”
4. Kombinasi: Aturan Perkalian, Pembagian & Rantai
🔍 Mengamati
Dalam soal nyata, fungsi eksponen sering dikombinasikan dengan fungsi lain, sehingga kita perlu aturan perkalian dan pembagian.
📌 Aturan Perkalian (Product Rule)
$$\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u’v+uv’$$📌 Aturan Pembagian (Quotient Rule)
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{u’v-uv’}{v^2}$$💡 Menalar
Contoh penerapan: Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=x^2\cdot e^{3x}\).
Misalkan \(u=x^2,\;v=e^{3x}\).
$$u’=2x,\quad v’=3e^{3x}$$ $$f'(x)=2x\cdot e^{3x}+x^2\cdot 3e^{3x}=e^{3x}(2x+3x^2)=xe^{3x}(2+3x)$$✏️ Mencoba
Tentukan turunan \(f(x)=\dfrac{e^x}{x+1}\).
▶ Lihat Jawaban
\(u=e^x,\;v=x+1\)
$$f'(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$$⚠️ Tips Penting
- Selalu identifikasi dulu: apakah soal memerlukan aturan rantai, perkalian, atau pembagian.
- Faktorkan \(e^{…}\) di akhir untuk menyederhanakan jawaban.
- Ingat: \(e^{…}\) tidak pernah bernilai nol, sehingga tidak bisa disederhanakan dengan membagi nol.
📢 Mengkomunikasikan
Rangkum semua rumus turunan fungsi eksponen dalam satu tabel ringkas:
| Fungsi | Turunan |
|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{u(x)}\) | \(u'(x)\cdot e^{u(x)}\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) |
| \(a^{u(x)}\) | \(a^{u(x)}\cdot\ln a\cdot u'(x)\) |
📝 Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH
Soal 1. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{4x}\).
▶ Pembahasan
\(u=4x \implies u’=4\)
$$f'(x)=4e^{4x}$$Soal 2. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=3e^x\).
▶ Pembahasan
Konstanta pengali tetap dipertahankan.
Soal 3. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{-x}\).
▶ Pembahasan
\(u=-x \implies u’=-1\)
$$f'(x)=-e^{-x}$$Soal 4. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{2x+1}\).
▶ Pembahasan
\(u=2x+1 \implies u’=2\)
$$f'(x)=2e^{2x+1}$$Soal 5. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=7^x\).
▶ Pembahasan
SEDANG
Soal 6. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{x^2-3x}\).
▶ Pembahasan
\(u=x^2-3x \implies u’=2x-3\)
$$f'(x)=(2x-3)\,e^{x^2-3x}$$Soal 7. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=x\cdot e^{2x}\).
▶ Pembahasan
Aturan perkalian: \(u=x,\;v=e^{2x}\).
$$f'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}(1+2x)$$Soal 8. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=3^{2x+1}\).
▶ Pembahasan
\(u=2x+1 \implies u’=2\)
$$f'(x)=3^{2x+1}\cdot\ln 3\cdot 2=2\ln 3\cdot 3^{2x+1}$$Soal 9. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{\sqrt{x}}=e^{x^{1/2}}\).
▶ Pembahasan
\(u=x^{1/2} \implies u’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
$$f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$$Soal 10. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^x+e^{-x}\).
▶ Pembahasan
SULIT
Soal 11. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=x^3 e^{-2x}\).
▶ Pembahasan
Aturan perkalian: \(u=x^3,\;v=e^{-2x}\).
$$u’=3x^2,\quad v’=-2e^{-2x}$$ $$f'(x)=3x^2 e^{-2x}+x^3(-2e^{-2x})=x^2 e^{-2x}(3-2x)$$Soal 12. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=\dfrac{e^{2x}}{x^2+1}\).
▶ Pembahasan
Aturan pembagian:
$$f'(x)=\frac{2e^{2x}(x^2+1)-e^{2x}\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2e^{2x}(x^2-x+1)}{(x^2+1)^2}$$Soal 13. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{e^x}\).
▶ Pembahasan
Aturan rantai berlapis: fungsi luar \(e^u\) dengan \(u=e^x\).
$$f'(x)=e^{e^x}\cdot e^x$$Soal 14. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=2^{x}\cdot 3^{x^2}\).
▶ Pembahasan
Aturan perkalian:
\(u=2^x \implies u’=2^x\ln 2\)
\(v=3^{x^2} \implies v’=3^{x^2}\cdot\ln 3\cdot 2x\)
$$f'(x)=2^x\ln 2\cdot 3^{x^2}+2^x\cdot 3^{x^2}\cdot 2x\ln 3$$ $$=2^x\cdot 3^{x^2}(\ln 2+2x\ln 3)$$Soal 15. Tentukan \(f”(x)\) (turunan kedua) jika \(f(x)=xe^x\).
▶ Pembahasan
Turunan pertama:
$$f'(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)$$Turunan kedua: turunkan \(f'(x)=e^x(1+x)\) dengan aturan perkalian:
$$f”(x)=e^x(1+x)+e^x\cdot 1=e^x(2+x)$$📋 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Tidak disertai pembahasan.
MUDAH
1. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{5x}\).
2. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=-2e^x\).
3. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{-3x}\).
4. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=4^x\).
5. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{x+2}\).
SEDANG
6. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{x^3}\).
7. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=x^2 e^x\).
8. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=5^{3x-1}\).
9. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{x^2+2x-1}\).
10. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\).
SULIT
11. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=x^2 e^{-x^2}\).
12. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=\dfrac{e^{3x}}{(2x+1)^2}\).
13. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=e^{\sin x}\) (gabungan trigonometri).
14. Tentukan \(f”(x)\) jika \(f(x)=e^{2x}\).
15. Tentukan \(f'(x)\) jika \(f(x)=3^x\cdot e^{2x}\).