Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai
(Chain Rule)
Matematika
📖 Materi: Aturan Rantai (Chain Rule)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan fungsi berikut:
f(x) = (3x + 1)5
Fungsi ini merupakan fungsi komposisi, yaitu fungsi yang tersusun dari dua fungsi atau lebih. Jika kita tulis:
- u = 3x + 1 (fungsi dalam)
- y = u5 (fungsi luar)
Maka y = f(x) = (3x + 1)5 adalah komposisi dari fungsi luar dan fungsi dalam.
Untuk menurunkan fungsi seperti ini, kita tidak bisa langsung menggunakan aturan pangkat biasa. Kita membutuhkan Aturan Rantai.
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara menurunkan fungsi komposisi?
- Apa hubungan antara turunan fungsi luar dan fungsi dalam?
- Bagaimana rumus aturan rantai dan kapan digunakan?
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita bangun pemahaman secara bertahap.
Definisi Aturan Rantai
Jika y = f(u) dan u = g(x), maka turunan y terhadap x adalah:
dydx = dydu × dudx
atau dalam notasi lain:
f'(x) = f'(u) · g'(x)
Penjelasan sederhana:
“Turunkan fungsi luar (biarkan fungsi dalam tetap), lalu kalikan dengan turunan fungsi dalam.”
Langkah-langkah Menggunakan Aturan Rantai
- Identifikasi fungsi dalam (u = g(x)) dan fungsi luar (y = f(u)).
- Turunkan fungsi luar terhadap u, yaitu hitung dydu.
- Turunkan fungsi dalam terhadap x, yaitu hitung dudx.
- Kalikan kedua hasil turunan tersebut.
- Substitusi kembali u = g(x) agar hasilnya dalam variabel x.
Bentuk Umum yang Sering Ditemui
| Bentuk Fungsi | Turunannya |
|---|---|
| [g(x)]n | n · [g(x)]n−1 · g'(x) |
| sin[g(x)] | cos[g(x)] · g'(x) |
| cos[g(x)] | −sin[g(x)] · g'(x) |
| tan[g(x)] | sec²[g(x)] · g'(x) |
| eg(x) | eg(x) · g'(x) |
| ln[g(x)] | g'(x)g(x) |
Aturan Rantai Berlapis (Rantai Ganda)
Jika fungsi memiliki tiga lapis komposisi: y = f(g(h(x))), maka:
dydx = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x)
Prinsipnya sama: turunkan dari luar ke dalam, kalikan semua turunan masing-masing lapisan.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Coba kerjakan sendiri sebelum melihat pembahasan:
Tentukan turunan dari f(x) = (2x − 5)4
Petunjuk: misalkan u = 2x − 5, lalu gunakan aturan rantai.
🗣️ Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi di atas, coba jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Apa itu aturan rantai?
- Kapan aturan rantai digunakan?
- Bagaimana langkah-langkah penerapannya?
Diskusikan jawabanmu dengan teman atau tuliskan di buku catatanmu.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 3)4
Langkah 1: Misalkan u = 2x + 3, maka y = u4
Langkah 2: dydu = 4u3
Langkah 3: dudx = 2
Langkah 4: dydx = 4u3 · 2 = 8u3
Langkah 5: Substitusi kembali: f'(x) = 8(2x + 3)3
Jawaban: f'(x) = 8(2x + 3)3
Contoh 2:
Tentukan turunan dari f(x) = (5x − 1)3
Langkah 1: Misalkan u = 5x − 1, maka y = u3
Langkah 2: dydu = 3u2
Langkah 3: dudx = 5
Langkah 4: f'(x) = 3u2 · 5 = 15u2
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 15(5x − 1)2
Jawaban: f'(x) = 15(5x − 1)2
Contoh 3:
Tentukan turunan dari f(x) = (x2 + 1)3
Langkah 1: Misalkan u = x2 + 1, maka y = u3
Langkah 2: dydu = 3u2
Langkah 3: dudx = 2x
Langkah 4: f'(x) = 3u2 · 2x = 6x · u2
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 6x(x2 + 1)2
Jawaban: f'(x) = 6x(x2 + 1)2
Contoh 4:
Tentukan turunan dari f(x) = (4 − x)6
Langkah 1: Misalkan u = 4 − x, maka y = u6
Langkah 2: dydu = 6u5
Langkah 3: dudx = −1
Langkah 4: f'(x) = 6u5 · (−1) = −6u5
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = −6(4 − x)5
Jawaban: f'(x) = −6(4 − x)5
Contoh 5:
Tentukan turunan dari f(x) = (3x)2
Langkah 1: Misalkan u = 3x, maka y = u2
Langkah 2: dydu = 2u
Langkah 3: dudx = 3
Langkah 4: f'(x) = 2u · 3 = 6u
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 6(3x) = 18x
Jawaban: f'(x) = 18x
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan turunan dari f(x) = sin(3x + 2)
Langkah 1: Misalkan u = 3x + 2, maka y = sin(u)
Langkah 2: dydu = cos(u)
Langkah 3: dudx = 3
Langkah 4: f'(x) = cos(u) · 3 = 3cos(u)
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 3cos(3x + 2)
Jawaban: f'(x) = 3cos(3x + 2)
Contoh 7:
Tentukan turunan dari f(x) = cos(x2)
Langkah 1: Misalkan u = x2, maka y = cos(u)
Langkah 2: dydu = −sin(u)
Langkah 3: dudx = 2x
Langkah 4: f'(x) = −sin(u) · 2x = −2x sin(u)
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = −2x sin(x2)
Jawaban: f'(x) = −2x sin(x2)
Contoh 8:
Tentukan turunan dari f(x) = e2x+1
Langkah 1: Misalkan u = 2x + 1, maka y = eu
Langkah 2: dydu = eu
Langkah 3: dudx = 2
Langkah 4: f'(x) = eu · 2 = 2eu
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 2e2x+1
Jawaban: f'(x) = 2e2x+1
Contoh 9:
Tentukan turunan dari f(x) = ln(4x − 3)
Langkah 1: Misalkan u = 4x − 3, maka y = ln(u)
Langkah 2: dydu = 1u
Langkah 3: dudx = 4
Langkah 4: f'(x) = 1u · 4 = 4u
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 44x − 3
Jawaban: f'(x) = 44x − 3
Contoh 10:
Tentukan turunan dari f(x) = √(6x + 5) = (6x + 5)1/2
Langkah 1: Misalkan u = 6x + 5, maka y = u1/2
Langkah 2: dydu = 12u−1/2 = 12√u
Langkah 3: dudx = 6
Langkah 4: f'(x) = 12√u · 6 = 62√u = 3√u
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = 3√(6x + 5)
Jawaban: f'(x) = 3√(6x + 5)
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan turunan dari f(x) = sin3(2x) = [sin(2x)]3
Ini adalah aturan rantai berlapis (dua lapis).
Langkah 1: Misalkan v = 2x dan u = sin(v) = sin(2x), maka y = u3
Langkah 2: dydu = 3u2 = 3sin2(2x)
Langkah 3: dudv = cos(v) = cos(2x)
Langkah 4: dvdx = 2
Langkah 5: Gabungkan: f'(x) = 3sin2(2x) · cos(2x) · 2 = 6sin2(2x)cos(2x)
Jawaban: f'(x) = 6sin2(2x)cos(2x)
Contoh 12:
Tentukan turunan dari f(x) = esin(x)
Langkah 1: Misalkan u = sin(x), maka y = eu
Langkah 2: dydu = eu = esin(x)
Langkah 3: dudx = cos(x)
Langkah 4: f'(x) = esin(x) · cos(x)
Jawaban: f'(x) = esin(x) · cos(x)
Contoh 13:
Tentukan turunan dari f(x) = ln(cos(x))
Langkah 1: Misalkan u = cos(x), maka y = ln(u)
Langkah 2: dydu = 1u = 1cos(x)
Langkah 3: dudx = −sin(x)
Langkah 4: f'(x) = 1cos(x) · (−sin(x)) = −sin(x)cos(x) = −tan(x)
Jawaban: f'(x) = −tan(x)
Contoh 14:
Tentukan turunan dari f(x) = (x3 − 2x + 1)−2
Langkah 1: Misalkan u = x3 − 2x + 1, maka y = u−2
Langkah 2: dydu = −2u−3
Langkah 3: dudx = 3x2 − 2
Langkah 4: f'(x) = −2u−3 · (3x2 − 2)
Langkah 5: Substitusi: f'(x) = −2(3x2 − 2)(x3 − 2x + 1)3
Jawaban: f'(x) = −2(3x2 − 2)(x3 − 2x + 1)3
Contoh 15:
Tentukan turunan dari f(x) = √(sin(3x)) = [sin(3x)]1/2
Ini aturan rantai tiga lapis.
Langkah 1: Misalkan w = 3x, v = sin(w), y = v1/2
Langkah 2: dydv = 12v−1/2 = 12√v
Langkah 3: dvdw = cos(w) = cos(3x)
Langkah 4: dwdx = 3
Langkah 5: Gabungkan: f'(x) = 12√(sin(3x)) · cos(3x) · 3 = 3cos(3x)2√(sin(3x))
Jawaban: f'(x) = 3cos(3x)2√(sin(3x))
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan langkah-langkah aturan rantai yang telah dipelajari.
Tingkat Mudah
- Tentukan turunan dari f(x) = (7x + 2)3
- Tentukan turunan dari f(x) = (x − 4)5
- Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 9)2
- Tentukan turunan dari f(x) = (1 − 3x)4
- Tentukan turunan dari f(x) = (x2 − 5)3
Tingkat Sedang
- Tentukan turunan dari f(x) = cos(5x − 1)
- Tentukan turunan dari f(x) = ex²+3x
- Tentukan turunan dari f(x) = ln(x2 + 4)
- Tentukan turunan dari f(x) = √(3x2 − 2x + 1)
- Tentukan turunan dari f(x) = tan(4x)
Tingkat Sulit
- Tentukan turunan dari f(x) = cos4(3x)
- Tentukan turunan dari f(x) = ecos(2x)
- Tentukan turunan dari f(x) = ln(sin(x2))
- Tentukan turunan dari f(x) = [ln(2x + 1)]3
- Tentukan turunan dari f(x) = √(e3x + cos(x))