Jenis-jenis Nilai Stasioner
Matematika — Aplikasi Turunan
A. Pengertian Nilai Stasioner
Perhatikan grafik fungsi f(x) berikut. Pada titik-titik tertentu, garis singgung kurva bersifat horizontal (sejajar sumbu-x). Titik-titik tersebut disebut titik stasioner, dan nilai fungsi pada titik tersebut disebut nilai stasioner.
Gambar: Kurva dengan titik stasioner (maksimum dan minimum)
Definisi
Titik stasioner dari fungsi f(x) adalah titik (x₀, f(x₀)) di mana f'(x₀) = 0. Nilai f(x₀) disebut nilai stasioner.
B. Jenis-jenis Nilai Stasioner
“Berapa jenis nilai stasioner yang ada? Bagaimana cara membedakannya?”
Terdapat tiga jenis nilai stasioner:
1. Nilai Maksimum Lokal (Relatif)
Fungsi f(x) memiliki nilai maksimum lokal di x = x₀ jika f(x₀) lebih besar dari nilai fungsi di sekitarnya.
Syarat:
- f'(x₀) = 0
- f”(x₀) < 0 (uji turunan kedua), atau
- Tanda f'(x) berubah dari positif (+) ke negatif (−) saat melalui x₀
| x | … < x₀ | x₀ | x₀ < … |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + (naik) | 0 | − (turun) |
| f(x) | ↗ | Maks | ↘ |
2. Nilai Minimum Lokal (Relatif)
Fungsi f(x) memiliki nilai minimum lokal di x = x₀ jika f(x₀) lebih kecil dari nilai fungsi di sekitarnya.
Syarat:
- f'(x₀) = 0
- f”(x₀) > 0 (uji turunan kedua), atau
- Tanda f'(x) berubah dari negatif (−) ke positif (+) saat melalui x₀
| x | … < x₀ | x₀ | x₀ < … |
|---|---|---|---|
| f'(x) | − (turun) | 0 | + (naik) |
| f(x) | ↘ | Min | ↗ |
3. Titik Belok Stasioner (Infleksi Horizontal)
Pada titik belok stasioner, garis singgung horizontal tetapi fungsi tidak mencapai maksimum atau minimum. Kurva berubah kecekungan tanpa berubah arah naik/turun.
Syarat:
- f'(x₀) = 0
- f”(x₀) = 0 dan f”'(x₀) ≠ 0, atau
- Tanda f'(x) tidak berubah saat melalui x₀ (tetap + atau tetap −)
| x | … < x₀ | x₀ | x₀ < … |
|---|---|---|---|
| f'(x) | + (naik) | 0 | + (naik) |
| f(x) | ↗ | Belok | ↗ |
C. Cara Menentukan Jenis Nilai Stasioner
Ada dua metode untuk menentukan jenis nilai stasioner:
Metode 1: Uji Turunan Kedua
Setelah mendapatkan x₀ dari f'(x₀) = 0, hitung f”(x₀):
- Jika f”(x₀) < 0 → Maksimum lokal
- Jika f”(x₀) > 0 → Minimum lokal
- Jika f”(x₀) = 0 → Belum tentu, gunakan Metode 2
Metode 2: Uji Tanda Turunan Pertama (Tabel Tanda)
Periksa tanda f'(x) di sekitar x₀:
- Tanda berubah dari + ke − → Maksimum lokal
- Tanda berubah dari − ke + → Minimum lokal
- Tanda tidak berubah (+ ke + atau − ke −) → Titik belok stasioner
D. Langkah-langkah Menentukan Nilai Stasioner
- Tentukan turunan pertama f'(x)
- Selesaikan f'(x) = 0 untuk mendapatkan nilai x stasioner
- Tentukan jenis titik stasioner menggunakan Metode 1 atau Metode 2
- Hitung nilai stasioner dengan substitusi x₀ ke f(x)
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Soal 1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari f(x) = x² − 4x + 7.
Pembahasan:
Langkah 1: f'(x) = 2x − 4
Langkah 2: f'(x) = 0 → 2x − 4 = 0 → x = 2
Langkah 3: f”(x) = 2 > 0 → Minimum lokal
Langkah 4: f(2) = 4 − 8 + 7 = 3
Jawaban: Nilai stasioner = 3 (minimum lokal) di titik (2, 3).
Soal 2. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari f(x) = −x² + 6x − 5.
Pembahasan:
Langkah 1: f'(x) = −2x + 6
Langkah 2: −2x + 6 = 0 → x = 3
Langkah 3: f”(x) = −2 < 0 → Maksimum lokal
Langkah 4: f(3) = −9 + 18 − 5 = 4
Jawaban: Nilai stasioner = 4 (maksimum lokal) di titik (3, 4).
Soal 3. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x² + 2x + 5.
Pembahasan:
f'(x) = 2x + 2 = 0 → x = −1
f”(x) = 2 > 0 → Minimum lokal
f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4
Jawaban: Nilai stasioner = 4 (minimum lokal) di titik (−1, 4).
Soal 4. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 3x² − 12x + 1.
Pembahasan:
f'(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2
f”(x) = 6 > 0 → Minimum lokal
f(2) = 12 − 24 + 1 = −11
Jawaban: Titik stasioner (2, −11), minimum lokal.
Soal 5. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = −2x² + 8x.
Pembahasan:
f'(x) = −4x + 8 = 0 → x = 2
f”(x) = −4 < 0 → Maksimum lokal
f(2) = −8 + 16 = 8
Jawaban: Nilai stasioner = 8 (maksimum lokal) di titik (2, 8).
📘 Contoh Soal Sedang
Soal 1. Tentukan semua nilai stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.
Pembahasan:
f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = 3 atau x = −1
f”(x) = 6x − 6
• f”(3) = 12 > 0 → Minimum lokal. f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22
• f”(−1) = −12 < 0 → Maksimum lokal. f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10
Jawaban: Maks lokal = 10 di (−1, 10); Min lokal = −22 di (3, −22).
Soal 2. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4.
Pembahasan:
f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2)
f'(x) = 0 → x = 1 atau x = 2
f”(x) = 12x − 18
• f”(1) = −6 < 0 → Maks lokal. f(1) = 2 − 9 + 12 − 4 = 1
• f”(2) = 6 > 0 → Min lokal. f(2) = 16 − 36 + 24 − 4 = 0
Jawaban: Maks lokal = 1 di (1, 1); Min lokal = 0 di (2, 0).
Soal 3. Tentukan jenis titik stasioner dari f(x) = x³ − 6x² + 12x − 8.
Pembahasan:
f'(x) = 3x² − 12x + 12 = 3(x − 2)²
f'(x) = 0 → x = 2
f”(x) = 6x − 12 → f”(2) = 0 (tidak bisa ditentukan dari turunan kedua)
Gunakan tabel tanda:
| x | x < 2 | 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| f'(x) = 3(x−2)² | + (positif) | 0 | + (positif) |
Tanda f'(x) tidak berubah → Titik belok stasioner
f(2) = 8 − 24 + 24 − 8 = 0
Jawaban: Titik belok stasioner di (2, 0).
Soal 4. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 8x² + 3.
Pembahasan:
f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4) = 4x(x − 2)(x + 2)
f'(x) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2
f”(x) = 12x² − 16
• f”(0) = −16 < 0 → Maks lokal. f(0) = 3
• f”(2) = 32 > 0 → Min lokal. f(2) = 16 − 32 + 3 = −13
• f”(−2) = 32 > 0 → Min lokal. f(−2) = 16 − 32 + 3 = −13
Jawaban: Maks lokal = 3 di (0,3); Min lokal = −13 di (2,−13) dan (−2,−13).
Soal 5. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x³ + 3x² − 24x + 1.
Pembahasan:
f'(x) = 3x² + 6x − 24 = 3(x² + 2x − 8) = 3(x + 4)(x − 2)
f'(x) = 0 → x = −4 atau x = 2
f”(x) = 6x + 6
• f”(−4) = −18 < 0 → Maks lokal. f(−4) = −64 + 48 + 96 + 1 = 81
• f”(2) = 18 > 0 → Min lokal. f(2) = 8 + 12 − 48 + 1 = −27
Jawaban: Maks lokal = 81 di (−4, 81); Min lokal = −27 di (2, −27).
📕 Contoh Soal Sulit
Soal 1. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x⁵ − 5x⁴ + 5x³ + 1.
Pembahasan:
f'(x) = 5x⁴ − 20x³ + 15x² = 5x²(x² − 4x + 3) = 5x²(x − 1)(x − 3)
f'(x) = 0 → x = 0, x = 1, x = 3
f”(x) = 20x³ − 60x² + 30x
• f”(1) = 20 − 60 + 30 = −10 < 0 → Maks lokal. f(1) = 1 − 5 + 5 + 1 = 2
• f”(3) = 540 − 540 + 90 = 90 > 0 → Min lokal. f(3) = 243 − 405 + 135 + 1 = −26
• f”(0) = 0 → Uji tabel tanda:
| x | x < 0 | 0 | 0 < x < 1 |
|---|---|---|---|
| f'(x) = 5x²(x−1)(x−3) | + (positif) | 0 | + (positif) |
Tanda tidak berubah → Titik belok stasioner di (0, 1).
Jawaban: Belok stasioner (0,1); Maks lokal (1,2); Min lokal (3,−26).
Soal 2. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = 3x⁵ − 5x³.
Pembahasan:
f'(x) = 15x⁴ − 15x² = 15x²(x² − 1) = 15x²(x − 1)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = 0, x = 1, x = −1
f”(x) = 60x³ − 30x
• f”(1) = 30 > 0 → Min lokal. f(1) = 3 − 5 = −2
• f”(−1) = −30 < 0 → Maks lokal. f(−1) = −3 + 5 = 2
• f”(0) = 0 → Uji tabel: f'(x) = 15x²(x−1)(x+1). Untuk x sedikit negatif (misal −0.5): 15(0.25)(−1.5)(0.5) = negatif. Untuk x sedikit positif (misal 0.5): 15(0.25)(−0.5)(1.5) = negatif. Tanda sama → Titik belok stasioner.
f(0) = 0
Jawaban: Maks lokal = 2 di (−1,2); Min lokal = −2 di (1,−2); Belok stasioner di (0,0).
Soal 3. Diketahui f(x) = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa f(x) = (x − 1)⁴
f'(x) = 4(x − 1)³
f'(x) = 0 → x = 1
f”(x) = 12(x − 1)² → f”(1) = 0
f”'(x) = 24(x − 1) → f”'(1) = 0
f⁴(x) = 24 → f⁴(1) = 24 > 0
Uji tabel tanda: Untuk x < 1, f'(x) = 4(x−1)³ < 0. Untuk x > 1, f'(x) > 0. Tanda berubah dari − ke + → Minimum lokal.
f(1) = 0
Jawaban: Minimum lokal di (1, 0). (Perlu turunan keempat atau tabel tanda karena f” dan f”’ = 0).
Soal 4. Tentukan semua titik stasioner dari f(x) = x⁴ − 2x² dan klasifikasikan jenisnya menggunakan kedua metode.
Pembahasan:
f'(x) = 4x³ − 4x = 4x(x² − 1) = 4x(x − 1)(x + 1)
f'(x) = 0 → x = 0, x = 1, x = −1
Metode 1 (Turunan Kedua): f”(x) = 12x² − 4
• f”(0) = −4 < 0 → Maks lokal
• f”(1) = 8 > 0 → Min lokal
• f”(−1) = 8 > 0 → Min lokal
Metode 2 (Tabel Tanda):
| x | x < −1 | −1 | −1 < x < 0 | 0 | 0 < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| Ket | ↘ | Min | ↗ | Maks | ↘ | Min | ↗ |
f(0) = 0; f(1) = 1 − 2 = −1; f(−1) = 1 − 2 = −1
Jawaban: Maks lokal = 0 di (0,0); Min lokal = −1 di (1,−1) dan (−1,−1).
Soal 5. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³(x − 2)².
Pembahasan:
Uraikan: f(x) = x³(x² − 4x + 4) = x⁵ − 4x⁴ + 4x³
f'(x) = 5x⁴ − 16x³ + 12x² = x²(5x² − 16x + 12)
Faktorkan 5x² − 16x + 12: Diskriminan = 256 − 240 = 16. x = (16 ± 4)/10, jadi x = 2 atau x = 6/5
f'(x) = 0 → x = 0, x = 6/5, x = 2
f”(x) = 20x³ − 48x² + 24x
• f”(6/5) = 20(216/125) − 48(36/25) + 24(6/5) = 34.56 − 69.12 + 28.8 = −5.76 < 0 → Maks lokal
• f”(2) = 160 − 192 + 48 = 16 > 0 → Min lokal
• f”(0) = 0 → Uji tabel: f'(x) = x²(5x−6)(x−2). Untuk x sedikit negatif: (+)(−)(−) = +. Untuk x sedikit positif (misal 0.5): (+)(−)(−) = +. Tanda tidak berubah → Titik belok stasioner.
f(0) = 0; f(6/5) = (6/5)³ · (6/5 − 2)² = (216/125)(16/25) = 3456/3125 ≈ 1.106; f(2) = 8 · 0 = 0
Jawaban: Belok stasioner (0,0); Maks lokal (6/5, 3456/3125); Min lokal (2, 0).
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
📗 Latihan Mudah
1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari f(x) = x² − 10x + 20.
2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −3x² + 12x − 7.
3. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x² + 8x + 1.
4. Tentukan jenis nilai stasioner dari f(x) = 5x² − 20x + 3.
5. Tentukan titik stasioner dari f(x) = −x² + 4x + 10.
📘 Latihan Sedang
1. Tentukan semua nilai stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2.
2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 7.
3. Tentukan jenis titik stasioner dari f(x) = x³ − 12x + 16.
4. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x² + 1.
5. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x³ − 3x + 2.
📕 Latihan Sulit
1. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x⁵ − 5x.
2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 4x² dan klasifikasikan jenisnya.
3. Tentukan semua nilai stasioner dari f(x) = 3x⁵ − 25x³ + 60x.
4. Diketahui f(x) = x²(x − 3)³. Tentukan titik stasioner dan jenisnya.
5. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = (x² − 1)³.
G. Rangkuman
- Titik stasioner terjadi ketika f'(x) = 0
- Maksimum lokal: f”(x₀) < 0 atau tanda f’ berubah dari + ke −
- Minimum lokal: f”(x₀) > 0 atau tanda f’ berubah dari − ke +
- Titik belok stasioner: f”(x₀) = 0 dan tanda f’ tidak berubah
- Jika uji turunan kedua tidak menentukan (f” = 0), gunakan tabel tanda turunan pertama