Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sistem Persamaan dengan Dua Variabel,
Kedua-Duanya Kuadrat dan Dapat Difaktorkan
A. Pengertian dan Konsep Dasar
Sistem persamaan dengan dua variabel yang kedua-duanya kuadrat dan dapat difaktorkan adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan, di mana kedua persamaan memuat variabel berpangkat dua (kuadrat) dan masing-masing dapat difaktorkan menjadi perkalian dua faktor linear.
Persamaan 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0
Persamaan 2: px2 + qxy + ry2 + sx + ty + u = 0
dengan syarat kedua persamaan dapat difaktorkan menjadi perkalian dua faktor linear.
Jika suatu persamaan kuadrat dalam dua variabel dapat difaktorkan, maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:
Artinya, persamaan kuadrat tersebut merepresentasikan dua garis lurus yang berpotongan. Solusi sistem adalah titik-titik potong antara garis-garis dari persamaan pertama dengan garis-garis dari persamaan kedua.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Amatilah sistem persamaan berikut:
x2 − 4x + 3 = 0 …(2) (anggap y bebas, tapi lihat hubungannya)
Perhatikan bahwa:
- Persamaan (1): x2 − y2 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x − y)(x + y) = 0
- Ini berarti x = y atau x = −y
- Kedua persamaan memuat variabel kuadrat dan dapat difaktorkan
B. Langkah-Langkah Penyelesaian
Metode penyelesaian sistem persamaan kuadrat yang keduanya dapat difaktorkan:
Langkah 1: Faktorkan masing-masing persamaan menjadi perkalian dua faktor linear.
Langkah 2: Dari faktorisasi, dapatkan kemungkinan-kemungkinan persamaan linear.
Langkah 3: Selesaikan setiap kombinasi pasangan persamaan linear (dari persamaan 1 dan persamaan 2).
Langkah 4: Kumpulkan semua pasangan solusi (x, y) yang memenuhi.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, timbul pertanyaan-pertanyaan:
- Mengapa persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan merepresentasikan dua garis lurus?
- Berapa banyak solusi maksimum yang mungkin dari sistem dua persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan?
- Bagaimana cara menentukan apakah suatu persamaan kuadrat dua variabel dapat difaktorkan?
- Apakah selalu ada solusi real?
Jawaban: Karena masing-masing persamaan kuadrat difaktorkan menjadi 2 faktor linear (2 garis), maka terdapat 2 × 2 = 4 kombinasi pasangan garis. Setiap pasangan garis bisa menghasilkan 0 atau 1 titik potong, sehingga solusi maksimum adalah 4 titik.
C. Konsep Faktorisasi Persamaan Kuadrat Dua Variabel
Beberapa bentuk persamaan kuadrat dua variabel yang umum dapat difaktorkan:
| Bentuk | Faktorisasi | Garis-garis |
|---|---|---|
| x2 − y2 = 0 | (x−y)(x+y) = 0 | x=y atau x=−y |
| x2 − 5x + 6 = 0 | (x−2)(x−3) = 0 | x=2 atau x=3 |
| xy − 2x − 3y + 6 = 0 | (x−3)(y−2) = 0 | x=3 atau y=2 |
| x2 + 3xy + 2y2 = 0 | (x+y)(x+2y) = 0 | x=−y atau x=−2y |
| x2 − xy − 2y2 = 0 | (x−2y)(x+y) = 0 | x=2y atau x=−y |
💡 Kegiatan: Menalar
Dari tabel di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa:
- Setiap persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan menghasilkan dua persamaan linear (dua garis).
- Jika sistem terdiri dari dua persamaan kuadrat yang masing-masing dapat difaktorkan, maka kita mendapat 2 garis dari persamaan pertama dan 2 garis dari persamaan kedua.
- Solusi sistem diperoleh dari titik potong antara garis-garis dari persamaan pertama dengan garis-garis dari persamaan kedua.
- Jumlah kombinasi: 2 × 2 = 4 pasangan, sehingga paling banyak 4 solusi.
D. Ilustrasi Geometris
Secara geometris, sistem persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan merepresentasikan perpotongan pasangan garis:
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah faktorkan dan selesaikan sistem berikut:
x2 − 5x + 6 = 0 …(2)
Petunjuk:
- Faktorkan persamaan (1): (x−y)(x+y) = 0 → x=y atau x=−y
- Faktorkan persamaan (2): (x−2)(x−3) = 0 → x=2 atau x=3
- Kombinasikan: Jika x=y dan x=2, maka (2,2). Jika x=y dan x=3, maka (3,3). dst.
- Solusi: {(2,2), (3,3), (2,−2), (3,−3)}
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Tuliskan penyelesaian lengkap dengan langkah-langkah berikut:
- Tuliskan kedua persamaan yang diberikan.
- Faktorkan masing-masing persamaan dan nyatakan garis-garis yang dihasilkan.
- Buat tabel kombinasi pasangan garis.
- Selesaikan setiap kombinasi dan tuliskan solusinya.
- Verifikasi setiap solusi ke persamaan awal.
- Sajikan himpunan penyelesaian dengan jelas.
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Mudah Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − 4 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan persamaan (1)
x2 − y2 = 0
(x − y)(x + y) = 0
→ x = y atau x = −y
Langkah 2: Faktorkan persamaan (2)
x2 − 4 = 0
(x − 2)(x + 2) = 0
→ x = 2 atau x = −2
Langkah 3: Kombinasikan
- x=y dan x=2 → (2, 2)
- x=y dan x=−2 → (−2, −2)
- x=−y dan x=2 → (2, −2)
- x=−y dan x=−2 → (−2, 2)
HP = {(2, 2), (−2, −2), (2, −2), (−2, 2)}
Mudah Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan:
y2 − 1 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: (x−3)(x+3) = 0 → x=3 atau x=−3
Langkah 2: (y−1)(y+1) = 0 → y=1 atau y=−1
Langkah 3: Kombinasikan semua kemungkinan
- (3, 1), (3, −1), (−3, 1), (−3, −1)
HP = {(3, 1), (3, −1), (−3, 1), (−3, −1)}
Mudah Contoh 3
Selesaikan sistem persamaan:
y2 − 3y + 2 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: (x−2)(x−3) = 0 → x=2 atau x=3
Langkah 2: (y−1)(y−2) = 0 → y=1 atau y=2
Langkah 3: Kombinasikan:
- (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)
HP = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
Mudah Contoh 4
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − 6x + 8 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: (x−y)(x+y) = 0 → x=y atau x=−y
Langkah 2: (x−2)(x−4) = 0 → x=2 atau x=4
Langkah 3:
- x=y, x=2 → (2, 2)
- x=y, x=4 → (4, 4)
- x=−y, x=2 → (2, −2)
- x=−y, x=4 → (4, −4)
HP = {(2, 2), (4, 4), (2, −2), (4, −4)}
Mudah Contoh 5
Selesaikan sistem persamaan:
y2 − 4 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: (x−1)(x−3) = 0 → x=1 atau x=3
Langkah 2: (y−2)(y+2) = 0 → y=2 atau y=−2
Langkah 3:
- (1, 2), (1, −2), (3, 2), (3, −2)
HP = {(1, 2), (1, −2), (3, 2), (3, −2)}
📙 Contoh Soal Sedang
Sedang Contoh 6
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − 4 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan persamaan (1)
x2 + 3xy + 2y2 = 0
Cari dua bilangan yang hasil kali = 2 dan jumlah = 3 → yaitu 1 dan 2
(x + y)(x + 2y) = 0
→ x = −y atau x = −2y
Langkah 2: Faktorkan persamaan (2)
(x−2)(x+2) = 0 → x=2 atau x=−2
Langkah 3: Kombinasikan
- x=−y, x=2 → y=−2 → (2, −2)
- x=−y, x=−2 → y=2 → (−2, 2)
- x=−2y, x=2 → y=−1 → (2, −1)
- x=−2y, x=−2 → y=1 → (−2, 1)
HP = {(2, −2), (−2, 2), (2, −1), (−2, 1)}
Sedang Contoh 7
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − 3x + 2 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: x2 − xy − 2y2 = (x − 2y)(x + y) = 0
→ x = 2y atau x = −y
Langkah 2: (x−1)(x−2) = 0 → x=1 atau x=2
Langkah 3:
- x=2y, x=1 → y=½ → (1, ½)
- x=2y, x=2 → y=1 → (2, 1)
- x=−y, x=1 → y=−1 → (1, −1)
- x=−y, x=2 → y=−2 → (2, −2)
HP = {(1, ½), (2, 1), (1, −1), (2, −2)}
Sedang Contoh 8
Selesaikan sistem persamaan:
xy − x − 2y + 2 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan persamaan (1)
xy − 2x − 3y + 6 = x(y−2) − 3(y−2) = (x−3)(y−2) = 0
→ x=3 atau y=2
Langkah 2: Faktorkan persamaan (2)
xy − x − 2y + 2 = x(y−1) − 2(y−1) = (x−2)(y−1) = 0
→ x=2 atau y=1
Langkah 3:
- x=3, x=2 → kontradiksi (tidak ada solusi)
- x=3, y=1 → (3, 1) ✓
- y=2, x=2 → (2, 2) ✓
- y=2, y=1 → kontradiksi (tidak ada solusi)
HP = {(3, 1), (2, 2)}
Sedang Contoh 9
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − 9 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: x2 − 5xy + 6y2 = (x−2y)(x−3y) = 0
→ x=2y atau x=3y
Langkah 2: (x−3)(x+3) = 0 → x=3 atau x=−3
Langkah 3:
- x=2y, x=3 → y=3/2 → (3, 3/2)
- x=2y, x=−3 → y=−3/2 → (−3, −3/2)
- x=3y, x=3 → y=1 → (3, 1)
- x=3y, x=−3 → y=−1 → (−3, −1)
HP = {(3, 3/2), (−3, −3/2), (3, 1), (−3, −1)}
Sedang Contoh 10
Selesaikan sistem persamaan:
y2 − 2y − 3 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: x2 + xy − 6y2 = (x + 3y)(x − 2y) = 0
→ x = −3y atau x = 2y
Langkah 2: (y−3)(y+1) = 0 → y=3 atau y=−1
Langkah 3:
- x=−3y, y=3 → x=−9 → (−9, 3)
- x=−3y, y=−1 → x=3 → (3, −1)
- x=2y, y=3 → x=6 → (6, 3)
- x=2y, y=−1 → x=−2 → (−2, −1)
HP = {(−9, 3), (3, −1), (6, 3), (−2, −1)}
📕 Contoh Soal Sulit
Sulit Contoh 11
Selesaikan sistem persamaan:
x2 + xy − 2y2 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan persamaan (1)
Cari faktor: x2 − xy − 6y2
Perlu dua bilangan: hasil kali = −6, jumlah = −1 → yaitu −3 dan 2
= (x − 3y)(x + 2y) = 0
→ x = 3y atau x = −2y
Langkah 2: Faktorkan persamaan (2)
x2 + xy − 2y2
Hasil kali = −2, jumlah = 1 → yaitu 2 dan −1
= (x + 2y)(x − y) = 0
→ x = −2y atau x = y
Langkah 3: Kombinasikan
- x=3y dan x=−2y → 3y=−2y → 5y=0 → y=0, x=0 → (0, 0)
- x=3y dan x=y → 3y=y → 2y=0 → y=0, x=0 → (0, 0)
- x=−2y dan x=−2y → identik, semua titik pada x=−2y
- x=−2y dan x=y → −2y=y → −3y=0 → y=0, x=0 → (0, 0)
Catatan: Karena x=−2y adalah faktor bersama, maka seluruh garis x=−2y merupakan solusi.
HP = {(t, −t/2) | t ∈ ℝ} ∪ {(0, 0)}
Atau bisa dituliskan: garis x = −2y dan titik (0,0)
Sulit Contoh 12
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − y2 − 3x + 3y = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan persamaan (1)
Kelompokkan: x2 − 2xy − 3y2 + 2x − 6y
Bagian kuadrat: x2 − 2xy − 3y2 = (x−3y)(x+y)
Bagian linear: 2x − 6y = 2(x−3y)
Jadi: (x−3y)(x+y) + 2(x−3y) = (x−3y)(x+y+2) = 0
→ x=3y atau x=−y−2
Langkah 2: Faktorkan persamaan (2)
x2 − y2 − 3x + 3y = (x−y)(x+y) − 3(x−y) = (x−y)(x+y−3) = 0
→ x=y atau x=−y+3
Langkah 3: Kombinasi (4 pasangan)
- x=3y dan x=y → 3y=y → y=0, x=0 → (0, 0)
- x=3y dan x=−y+3 → 3y=−y+3 → 4y=3 → y=¾, x=9/4 → (9/4, 3/4)
- x=−y−2 dan x=y → y=−y−2 → 2y=−2 → y=−1, x=−1 → (−1, −1)
- x=−y−2 dan x=−y+3 → −y−2=−y+3 → −2=3 → kontradiksi
HP = {(0, 0), (9/4, 3/4), (−1, −1)}
Sulit Contoh 13
Selesaikan sistem persamaan:
3x2 − 5xy + 2y2 = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: 2x2 + 5xy + 2y2 = (2x + y)(x + 2y) = 0
→ x = −y/2 atau x = −2y
Langkah 2: 3x2 − 5xy + 2y2 = (3x − 2y)(x − y) = 0
→ x = 2y/3 atau x = y
Langkah 3:
- x=−y/2 dan x=2y/3 → −y/2=2y/3 → −3y=4y → 7y=0 → (0,0)
- x=−y/2 dan x=y → −y/2=y → −3y/2=0 → (0,0)
- x=−2y dan x=2y/3 → −2y=2y/3 → −8y/3=0 → (0,0)
- x=−2y dan x=y → −2y=y → −3y=0 → (0,0)
HP = {(0, 0)}
Catatan: Karena kedua persamaan homogen (semua suku berderajat 2), satu-satunya solusi adalah titik asal.
Sulit Contoh 14
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − xy − 2y2 + 3x + 6y = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan (1)
Bagian kuadrat: x2−4xy+3y2 = (x−y)(x−3y)
Linear: 2x−6y = 2(x−3y)
= (x−3y)(x−y+2) = 0
→ x=3y atau x=y−2
Langkah 2: Faktorkan (2)
Bagian kuadrat: x2−xy−2y2 = (x−2y)(x+y)
Linear: 3x+6y = 3(x+2y)… Hmm, coba lagi.
Coba: (x−2y)(x+y) + 3(x+2y)
= x2−xy−2y2+3x+6y ← tidak langsung cocok
Coba: (x+y+3)(x−2y) = x2−2xy+xy−2y2+3x−6y
= x2−xy−2y2+3x−6y ← salah tanda di 6y
Coba: (x−2y+3)(x+y) = x2+xy−2xy−2y2+3x+3y ← tidak
Coba: (x+y)(x−2y+6) = x2−2xy+6x+xy−2y2+6y
= x2−xy−2y2+6x+6y ← koefisien x salah
Coba: (x−2y+3)(x+y+0) buktikan:
= x2+xy−2xy−2y2+3x+3y = x2−xy−2y2+3x+3y ← perlu +6y bukan +3y
Coba: (x+y+6)(x−2y) = x2−2xy+xy−2y2+6x−12y ← tidak
→ (x+y+3)(x−2y+0) verifikasi: x2−2xy+xy−2y2+3x−6y = x2−xy−2y2+3x−6y
Kita perlu +6y bukan −6y. Coba: (x−y−3)(x+2y):
= x2+2xy−xy−2y2−3x−6y = x2+xy−2y2−3x−6y ← tanda salah
Coba (x+2y+3)(x−y): = x2−xy+2xy−2y2+3x−3y = x2+xy−2y2+3x−3y ← tidak
Koreksi: (x+2y)(x−y+3) = x2−xy+3x+2xy−2y2+6y = x2+xy−2y2+3x+6y ← tanda xy salah
Kita punya x2−xy−2y2+3x+6y. Coba: (x−2y)(x+y−3):
= x2+xy−3x−2xy−2y2+6y = x2−xy−2y2−3x+6y ← koefisien x = −3 bukan +3
Coba: (x−2y)(x+y+3):
= x2+xy+3x−2xy−2y2−6y = x2−xy−2y2+3x−6y ← perlu +6y
Final: (−1)(x−2y)(−x−y−3) → Coba (x+2y+3)(x−y):
= x2−xy+2xy−2y2+3x−3y ← tidak juga
Metode lain: Substitusi langsung dari pers.(1)
Dari (1): x=3y atau x=y−2
Sub x=3y ke (2): 9y2−3y2−2y2+9y+6y=0 → 4y2+15y=0 → y(4y+15)=0
→ y=0, x=0 → (0,0) atau y=−15/4, x=−45/4 → (−45/4, −15/4)
Sub x=y−2 ke (2): (y−2)2−(y−2)y−2y2+3(y−2)+6y=0
= y2−4y+4−y2+2y−2y2+3y−6+6y=0
= −2y2+7y−2=0 → 2y2−7y+2=0
= (2y−1)(y−2)=0 → y=½ atau y=2
y=½: x=−3/2 → (−3/2, 1/2)
y=2: x=0 → (0, 2)
HP = {(0, 0), (−45/4, −15/4), (−3/2, 1/2), (0, 2)}
Sulit Contoh 15
Selesaikan sistem persamaan:
x2 − xy − 2x + 2y = 0 …(2)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Faktorkan (2)
x2−xy−2x+2y = x(x−y)−2(x−y) = (x−2)(x−y) = 0
→ x=2 atau x=y
Langkah 2: Faktorkan (1)
Bagian kuadrat: x2+xy−2y2 = (x+2y)(x−y)
Coba: (x+2y−3)(x−y+2):
= x2−xy+2x+2xy−2y2+4y−3x+3y−6
= x2+xy−2y2−x+7y−6 ← koef y = 7 bukan 5
Coba: (x+2y−2)(x−y+3):
= x2−xy+3x+2xy−2y2+6y−2x+2y−6
= x2+xy−2y2+x+8y−6 ← tidak
Coba: (x−y+3)(x+2y−2):
= x2+2xy−2x−xy−2y2+2y+3x+6y−6
= x2+xy−2y2+x+8y−6 ← tidak
Metode substitusi:
Dari (2): x=2 atau x=y
Kasus x=2: Sub ke (1): 4+2y−2y2−2+5y−6=0 → −2y2+7y−4=0 → 2y2−7y+4=0
Diskriminan: 49−32=17 → y=(7±√17)/4
→ (2, (7+√17)/4) dan (2, (7−√17)/4)
Kasus x=y: Sub ke (1): y2+y2−2y2−y+5y−6=0 → 4y−6=0 → y=3/2
→ (3/2, 3/2)
HP = {(2, (7+√17)/4), (2, (7−√17)/4), (3/2, 3/2)}
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari!
📗 Latihan Soal Mudah
Mudah Soal 1
y2 − 9 = 0
Mudah Soal 2
y2 − 2y − 3 = 0
Mudah Soal 3
y2 − 5y + 6 = 0
Mudah Soal 4
x2 − y2 = 0
Mudah Soal 5
y2 − 25 = 0
📙 Latihan Soal Sedang
Sedang Soal 6
x2 − 4 = 0
Sedang Soal 7
xy − 4x − y + 4 = 0
Sedang Soal 8
y2 − 4y + 3 = 0
Sedang Soal 9
x2 + 2x − 8 = 0
Sedang Soal 10
x2 − x − 6 = 0
📕 Latihan Soal Sulit
Sulit Soal 11
x2 − y2 − 2x + 2y = 0
Sulit Soal 12
x2 − xy − 2y2 = 0
Sulit Soal 13
2x2 − 3xy + y2 + x − y = 0
Sulit Soal 14
x2 + xy − 2y2 + 3x − 3y = 0
Sulit Soal 15
x2 − xy − 6y2 + 2x + 6y = 0