Sistem Persamaan Dua Variabel Kuadrat

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Sistem Persamaan dengan Dua Variabel
Kedua-Duanya Kuadrat yang Satu Dapat Difaktorkan

Pendahuluan Materi

Mengamati

Perhatikan sistem persamaan berikut:

x 2 + y 2 = 25 \dots (1) x 2 - y 2 = 7 \dots (2)

Kedua persamaan di atas memiliki dua variabel (x dan y) dan kedua variabel tersebut berpangkat dua (kuadrat). Salah satu persamaan (atau keduanya) dapat difaktorkan sehingga penyelesaiannya menjadi lebih mudah.

Definisi

Sistem persamaan dengan dua variabel kedua-duanya kuadrat adalah sistem yang terdiri dari dua persamaan, masing-masing mengandung variabel x dan y dengan pangkat tertinggi 2, dan setidaknya salah satu persamaan dapat difaktorkan menjadi perkalian dua faktor linear.

Bentuk umum:

a 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 + d 1 x + e 1 y + f 1 = 0 \dots(1) a 2 x 2 + b 2 xy + c 2 y 2 + d 2 x + e 2 y + f 2 = 0 \dots(2)

di mana salah satu persamaan dapat difaktorkan menjadi bentuk:

(px + qy + r)(sx + ty + u) = 0

Menanya

Pertanyaan kunci:

Bagaimana cara menentukan persamaan mana yang dapat difaktorkan?
Bagaimana langkah-langkah menyelesaikan sistem ini?
Berapa banyak pasangan solusi yang mungkin diperoleh?

Langkah-Langkah Penyelesaian

Menalar

Metode penyelesaian:

Identifikasi: Tentukan persamaan mana yang dapat difaktorkan.
Faktorkan: Ubah persamaan tersebut menjadi perkalian dua faktor linear.
Pisahkan faktor: Karena hasil kali = 0, maka salah satu faktor = 0. Ini menghasilkan dua persamaan linear.
Substitusi: Substitusikan masing-masing persamaan linear ke persamaan yang lain (yang tidak difaktorkan).
Selesaikan: Selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan untuk mendapatkan nilai variabel.
Himpunan penyelesaian: Gabungkan semua pasangan solusi (x, y).

Contoh Pemfaktoran

Persamaan: x 2 - y 2 = 0 Faktorisasi: (x + y)(x - y) = 0 Maka: x + y = 0 atau x - y = 0

Persamaan: x 2 - 5 xy + 6 y 2 = 0 Faktorisasi: (x - 2 y)(x - 3 y) = 0 Maka: x - 2 y = 0 atau x - 3 y = 0

Mencoba

Cobalah faktorkan persamaan-persamaan berikut:

x² − 4y² = 0
x² + 3xy + 2y² = 0
2x² − 5xy − 3y² = 0

Ilustrasi Penyelesaian Lengkap

Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 25 \dots (1) x 2 - y 2 = 7 \dots (2)

Langkah 1: Persamaan (2) dapat difaktorkan:

(x + y)(x - y) = 7

Hmm, ruas kanan bukan 0. Mari gunakan metode eliminasi sebagai alternatif:

Alternatif – Eliminasi:

(1) + (2): 2 x 2 = 32 \to x 2 = 16 \to x = \pm4 (1) - (2): 2 y 2 = 18 \to y 2 = 9 \to y = \pm3

Cek substitusi ke pers. (1): (±4)² + (±3)² = 16 + 9 = 25 ✓

Cek substitusi ke pers. (2): 16 − 9 = 7 ✓

HP = {(4, 3), (4, −3), (−4, 3), (−4, −3)}

Sekarang, mari lihat kasus di mana salah satu persamaan difaktorkan menjadi nol:

Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 13 \dots (1) x 2 - 4 xy + 3 y 2 = 0 \dots (2)

Langkah 1: Faktorkan persamaan (2):

x 2 - 4 xy + 3 y 2 = 0 (x - y)(x - 3 y) = 0

Langkah 2: Diperoleh dua kemungkinan:

• x − y = 0 → x = y

• x − 3y = 0 → x = 3y

Langkah 3a: Substitusi x = y ke pers. (1):

y 2 + y 2 = 13 2 y 2 = 13 \to y 2 = 13/2 \to y = \pm\sqrt(13/2) Karena x = y, maka x = \pm\sqrt(13/2)

Langkah 3b: Substitusi x = 3y ke pers. (1):

(3 y) 2 + y 2 = 13 9 y 2 + y 2 = 13 10 y 2 = 13 \to y 2 = 13/10 \to y = \pm\sqrt(13/10) x = 3 y = \pm3\sqrt(13/10)

HP = {(√(13/2), √(13/2)), (−√(13/2), −√(13/2)), (3√(13/10), √(13/10)), (−3√(13/10), −√(13/10))}

Mengkomunikasikan

Ringkasan metode:

Langkah	Keterangan
1	Identifikasi persamaan yang dapat difaktorkan
2	Faktorkan menjadi dua faktor linear
3	Pisahkan menjadi dua persamaan linear (faktor = 0)
4	Substitusi masing-masing ke persamaan lain
5	Selesaikan dan gabungkan semua solusi

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Mudah

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 5 \dots (1) x 2 - y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x + y)(x − y) = 0

Maka: x = y atau x = −y

Kasus 1: x = y, substitusi ke (1):

y² + y² = 5 → 2y² = 5 → y = ±√(5/2)

x = ±√(5/2)

Kasus 2: x = −y, substitusi ke (1):

y² + y² = 5 → sama seperti kasus 1

y = ±√(5/2), x = ∓√(5/2)

HP = {(√(5/2), √(5/2)), (−√(5/2), −√(5/2)), (√(5/2), −√(5/2)), (−√(5/2), √(5/2))}

Mudah

Contoh 2. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 10 \dots (1) xy = 3 \dots (2) x 2 - 2 xy + y 2 = 4 \dots (dapat diturunkan)

Lihat Pembahasan

Dari (1) dan (2): x² + y² − 2xy = 10 − 6 = 4

(x − y)² = 4 → x − y = ±2

Kasus 1: x − y = 2 → x = y + 2

Substitusi ke xy = 3: (y + 2)y = 3

y² + 2y − 3 = 0 → (y + 3)(y − 1) = 0

y = −3, x = −1 atau y = 1, x = 3

Kasus 2: x − y = −2 → x = y − 2

(y − 2)y = 3 → y² − 2y − 3 = 0 → (y − 3)(y + 1) = 0

y = 3, x = 1 atau y = −1, x = −3

HP = {(3, 1), (−1, −3), (1, 3), (−3, −1)}

Mudah

Contoh 3. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 20 \dots (1) x 2 - 4 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

x² − (2y)² = 0

(x + 2y)(x − 2y) = 0

Maka: x = 2y atau x = −2y

Kasus 1: x = 2y, substitusi ke (1):

(2y)² + y² = 20 → 5y² = 20 → y² = 4 → y = ±2

y = 2 → x = 4; y = −2 → x = −4

Kasus 2: x = −2y, substitusi ke (1): (sama)

y = 2 → x = −4; y = −2 → x = 4

HP = {(4, 2), (−4, −2), (−4, 2), (4, −2)}

Mudah

Contoh 4. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 25 \dots (1) x 2 - xy = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

x(x − y) = 0

Maka: x = 0 atau x = y

Kasus 1: x = 0, substitusi ke (1):

0 + y² = 25 → y = ±5

Kasus 2: x = y, substitusi ke (1):

y² + y² = 25 → 2y² = 25 → y = ±5√2/2

x = ±5√2/2

HP = {(0, 5), (0, −5), (5√2/2, 5√2/2), (−5√2/2, −5√2/2)}

Mudah

Contoh 5. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 9 \dots (1) x 2 - 9 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x + 3y)(x − 3y) = 0

Maka: x = 3y atau x = −3y

Kasus 1: x = 3y, substitusi ke (1):

9y² + y² = 9 → 10y² = 9 → y = ±3/√10

x = ±9/√10

Kasus 2: x = −3y (menghasilkan solusi yang sama dengan tanda berbeda)

HP = {(9/√10, 3/√10), (−9/√10, −3/√10), (−9/√10, 3/√10), (9/√10, −3/√10)}

Tingkat Sedang

Sedang

Contoh 6. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + y 2 = 13 \dots (1) x 2 - 4 xy + 3 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

x² − 4xy + 3y² = (x − y)(x − 3y) = 0

Maka: x = y atau x = 3y

Kasus 1: x = y, substitusi ke (1):

2y² = 13 → y² = 13/2 → y = ±√(13/2) = ±√26/2

x = ±√26/2

Kasus 2: x = 3y, substitusi ke (1):

9y² + y² = 13 → 10y² = 13 → y = ±√(13/10) = ±√130/10

x = ±3√130/10

HP = {(√26/2, √26/2), (−√26/2, −√26/2), (3√130/10, √130/10), (−3√130/10, −√130/10)}

Sedang

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + 2 y 2 = 18 \dots (1) x 2 - 3 xy + 2 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x − y)(x − 2y) = 0

Maka: x = y atau x = 2y

Kasus 1: x = y, substitusi ke (1):

y² + 2y² = 18 → 3y² = 18 → y = ±√6

x = ±√6

Kasus 2: x = 2y, substitusi ke (1):

4y² + 2y² = 18 → 6y² = 18 → y = ±√3

x = ±2√3

HP = {(√6, √6), (−√6, −√6), (2√3, √3), (−2√3, −√3)}

Sedang

Contoh 8. Selesaikan sistem persamaan:

2 x 2 + 3 y 2 = 35 \dots (1) x 2 - xy - 2 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x − 2y)(x + y) = 0

Maka: x = 2y atau x = −y

Kasus 1: x = 2y, substitusi ke (1):

2(4y²) + 3y² = 35 → 11y² = 35 → y² = 35/11

y = ±√(35/11), x = ±2√(35/11)

Kasus 2: x = −y, substitusi ke (1):

2y² + 3y² = 35 → 5y² = 35 → y = ±√7

x = ∓√7

HP = {(2√(35/11), √(35/11)), (−2√(35/11), −√(35/11)), (−√7, √7), (√7, −√7)}

Sedang

Contoh 9. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 - y 2 = 16 \dots (1) x 2 - 5 xy + 6 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x − 2y)(x − 3y) = 0

Maka: x = 2y atau x = 3y

Kasus 1: x = 2y, substitusi ke (1):

4y² − y² = 16 → 3y² = 16 → y = ±4/√3 = ±4√3/3

x = ±8√3/3

Kasus 2: x = 3y, substitusi ke (1):

9y² − y² = 16 → 8y² = 16 → y = ±√2

x = ±3√2

HP = {(8√3/3, 4√3/3), (−8√3/3, −4√3/3), (3√2, √2), (−3√2, −√2)}

Sedang

Contoh 10. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + xy + y 2 = 7 \dots (1) x 2 + 2 xy - 3 y 2 = 0 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (2):

(x + 3y)(x − y) = 0

Maka: x = −3y atau x = y

Kasus 1: x = y, substitusi ke (1):

y² + y² + y² = 7 → 3y² = 7 → y = ±√(7/3)

x = ±√(7/3)

Kasus 2: x = −3y, substitusi ke (1):

9y² − 3y² + y² = 7 → 7y² = 7 → y = ±1

y = 1 → x = −3; y = −1 → x = 3

HP = {(√(7/3), √(7/3)), (−√(7/3), −√(7/3)), (−3, 1), (3, −1)}

Tingkat Sulit

Sulit

Contoh 11. Selesaikan sistem persamaan:

2 x 2 - 3 xy + y 2 = 0 \dots (1) 3 x 2 - 2 y 2 = 14 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (1):

2x² − 3xy + y² = (2x − y)(x − y) = 0

Maka: y = 2x atau y = x

Kasus 1: y = 2x, substitusi ke (2):

3x² − 2(4x²) = 14 → 3x² − 8x² = 14 → −5x² = 14

x² = −14/5 < 0 → Tidak ada solusi real

Kasus 2: y = x, substitusi ke (2):

3x² − 2x² = 14 → x² = 14 → x = ±√14

y = ±√14

HP = {(√14, √14), (−√14, −√14)}

Sulit

Contoh 12. Selesaikan sistem persamaan:

3 x 2 + 4 xy - 4 y 2 = 0 \dots (1) x 2 + y 2 = 52 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (1):

3x² + 4xy − 4y² = (3x − 2y)(x + 2y) = 0

Maka: x = 2y/3 atau x = −2y

Kasus 1: x = 2y/3, substitusi ke (2):

(4y²/9) + y² = 52 → (4y² + 9y²)/9 = 52

13y² = 468 → y² = 36 → y = ±6

y = 6 → x = 4; y = −6 → x = −4

Kasus 2: x = −2y, substitusi ke (2):

4y² + y² = 52 → 5y² = 52 → y² = 52/5

y = ±√(52/5) = ±2√(13/5)

x = ∓4√(13/5)

HP = {(4, 6), (−4, −6), (−4√(13/5), 2√(13/5)), (4√(13/5), −2√(13/5))}

Sulit

Contoh 13. Selesaikan sistem persamaan:

x 2 + xy - 6 y 2 = 0 \dots (1) 2 x 2 - xy - y 2 = 20 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (1):

(x + 3y)(x − 2y) = 0

Maka: x = −3y atau x = 2y

Kasus 1: x = 2y, substitusi ke (2):

2(4y²) − 2y² − y² = 20 → 8y² − 2y² − y² = 20

5y² = 20 → y = ±2

y = 2 → x = 4; y = −2 → x = −4

Kasus 2: x = −3y, substitusi ke (2):

2(9y²) − (−3y)(y) − y² = 20

18y² + 3y² − y² = 20 → 20y² = 20 → y = ±1

y = 1 → x = −3; y = −1 → x = 3

HP = {(4, 2), (−4, −2), (−3, 1), (3, −1)}

Sulit

Contoh 14. Selesaikan sistem persamaan:

6 x 2 - 7 xy + 2 y 2 = 0 \dots (1) x 2 - y 2 = -27 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (1):

6x² − 7xy + 2y² = (2x − y)(3x − 2y) = 0

Maka: y = 2x atau y = 3x/2

Kasus 1: y = 2x, substitusi ke (2):

x² − 4x² = −27 → −3x² = −27 → x² = 9 → x = ±3

x = 3 → y = 6; x = −3 → y = −6

Kasus 2: y = 3x/2, substitusi ke (2):

x² − 9x²/4 = −27 → (4x² − 9x²)/4 = −27

−5x²/4 = −27 → x² = 108/5 → x = ±6√(3/5)

y = ±9√(3/5)

HP = {(3, 6), (−3, −6), (6√(3/5), 9√(3/5)), (−6√(3/5), −9√(3/5))}

Sulit

Contoh 15. Selesaikan sistem persamaan:

2 x 2 + xy - y 2 = 0 \dots (1) 3 x 2 + xy + 2 y 2 = 44 \dots (2)

Lihat Pembahasan

Langkah 1: Faktorkan pers. (1):

2x² + xy − y² = (2x − y)(x + y) = 0

Maka: y = 2x atau y = −x

Kasus 1: y = 2x, substitusi ke (2):

3x² + x(2x) + 2(4x²) = 44

3x² + 2x² + 8x² = 44 → 13x² = 44 → x = ±√(44/13) = ±2√(11/13)

y = ±4√(11/13)

Kasus 2: y = −x, substitusi ke (2):

3x² + x(−x) + 2x² = 44

3x² − x² + 2x² = 44 → 4x² = 44 → x = ±√11

y = ∓√11

HP = {(2√(11/13), 4√(11/13)), (−2√(11/13), −4√(11/13)), (√11, −√11), (−√11, √11)}

Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tentukan himpunan penyelesaian dari masing-masing sistem persamaan.

Tingkat Mudah

Mudah

1. Selesaikan:

x 2 + y 2 = 8 x 2 - y 2 = 0

Mudah

2. Selesaikan:

x 2 + y 2 = 50 x 2 - xy = 0

Mudah

3. Selesaikan:

x 2 + y 2 = 45 x 2 - 9 y 2 = 0

Mudah

4. Selesaikan:

x 2 + y 2 = 16 xy - y 2 = 0

Mudah

5. Selesaikan:

2 x 2 + y 2 = 12 x 2 - y 2 = 0

Tingkat Sedang

Sedang

6. Selesaikan:

x 2 + 3 y 2 = 28 x 2 - 4 xy + 3 y 2 = 0

Sedang

7. Selesaikan:

3 x 2 + y 2 = 48 x 2 - 3 xy + 2 y 2 = 0

Sedang

8. Selesaikan:

x 2 + 2 xy + 2 y 2 = 25 x 2 - xy - 2 y 2 = 0

Sedang

9. Selesaikan:

x 2 - 2 y 2 = 7 x 2 + xy - 6 y 2 = 0

Sedang

10. Selesaikan:

2 x 2 + y 2 = 33 x 2 - 5 xy + 6 y 2 = 0

Tingkat Sulit

Sulit

11. Selesaikan:

6 x 2 + xy - y 2 = 0 2 x 2 + 3 y 2 = 77

Sulit

12. Selesaikan:

3 x 2 - 5 xy + 2 y 2 = 0 x 2 + 2 xy - y 2 = 12

Sulit

13. Selesaikan:

2 x 2 - 7 xy + 3 y 2 = 0 x 2 + xy - y 2 = 11

Sulit

14. Selesaikan:

4 x 2 - 9 xy + 2 y 2 = 0 5 x 2 - 3 y 2 = -7

Sulit

15. Selesaikan:

3 x 2 + 2 xy - 5 y 2 = 0 2 x 2 - 3 xy + y 2 = 6

SPKK – Sistem Persamaan dengan Dua Variabel Kedua-Duanya Kuadrat yang Satu Dapat Difaktorkan

Sistem Persamaan dengan Dua Variabel
Kedua-Duanya Kuadrat yang Satu Dapat Difaktorkan

Pendahuluan Materi

Mengamati

Definisi

Menanya

Langkah-Langkah Penyelesaian

Menalar

Contoh Pemfaktoran

Mencoba

Ilustrasi Penyelesaian Lengkap

Mengkomunikasikan

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Pemanfaatan Aplikasi Produktivitas secara Kolaboratif

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Pendahuluan Materi

Mengamati

Definisi

Menanya

Langkah-Langkah Penyelesaian

Menalar

Contoh Pemfaktoran

Mencoba

Ilustrasi Penyelesaian Lengkap

Mengkomunikasikan

Contoh Soal dan Pembahasan

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

Latihan Soal

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed