Materi Khusus Eksponen
Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0
Pembahasan fokus pada persamaan eksponen yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dengan substitusi.
Bentuk utama
A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0
A. Materi Inti
Persamaan eksponen bentuk A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0 adalah persamaan eksponen yang bagian eksponennya dapat disederhanakan dengan cara mengganti af(x) menjadi satu variabel baru.
1. Bentuk Umum
A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0
Keterangan:
- A, B, C adalah bilangan real, dengan A ≠ 0.
- a adalah basis eksponen, dengan a > 0 dan a ≠ 1.
- f(x) adalah fungsi atau bentuk aljabar yang memuat variabel x.
- Bentuk (af(x))² sama dengan a2f(x), tetapi untuk penyelesaian bentuk ini lebih mudah disubstitusi.
Notasi Eksponen
an
Dibaca “a pangkat n”. Pada materi ini yang sering muncul adalah af(x).
Bentuk Akar
√a = a1/2
Kadang hasil eksponen dapat berupa akar, misalnya 2x = √2.
Logaritma
ax = b ⇔ x = logab
Logaritma digunakan jika nilai eksponen tidak mudah disamakan basisnya.
2. Langkah Penyelesaian
- Pastikan persamaan berbentuk A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0.
- Misalkan y = af(x). Karena af(x) > 0, maka y > 0.
- Ubah menjadi persamaan kuadrat: Ay² + By + C = 0.
- Selesaikan persamaan kuadrat tersebut dengan pemfaktoran, rumus kuadrat, atau melengkapkan kuadrat.
- Ambil hanya nilai y yang positif.
- Kembalikan ke bentuk awal: af(x) = y.
- Selesaikan nilai x dengan menyamakan basis atau menggunakan logaritma.
3. Tabel Runtutan Penyelesaian
| Tahap | Bentuk | Makna |
|---|---|---|
| Persamaan awal | A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0 | Persamaan eksponen berbentuk kuadrat terhadap af(x). |
| Substitusi | y = af(x) | Mengubah bentuk eksponen menjadi bentuk kuadrat biasa. |
| Kuadrat | Ay² + By + C = 0 | Diselesaikan seperti persamaan kuadrat. |
| Kembali ke eksponen | af(x) = y | Mencari nilai x dari hasil substitusi. |
Mengamati
Amati bahwa af(x) muncul dua kali: sebagai kuadrat dan sebagai bentuk tunggal.
Menanya
Mengapa af(x) boleh diganti dengan y?
Menalar
Karena bentuknya sama, substitusi membuat persamaan eksponen menjadi persamaan kuadrat.
Mencoba
Cobalah ubah 3(2x)² – 10(2x) + 8 = 0 menjadi kuadrat.
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman bahwa hasil y negatif harus ditolak.
B. Contoh Soal dan Pembahasan Detail
Berikut 15 contoh soal yang disusun dari mudah, sedang, sampai sulit. Setiap pembahasan memakai langkah substitusi y = af(x).
1. Contoh Soal Mudah
Mudah 1: Tentukan x dari 2(2x)² – 5(2x) + 2 = 0
Misalkan y = 2x, maka persamaan menjadi 2y² – 5y + 2 = 0. Faktorkan: (2y – 1)(y – 2) = 0. Maka y = 1/2 atau y = 2. Karena keduanya positif, kembalikan: 2x = 1/2 = 2-1, sehingga x = -1. Lalu 2x = 2 = 21, sehingga x = 1. Jadi, x = -1 atau x = 1.
Mudah 2: Tentukan x dari (3x)² – 10(3x) + 9 = 0
Misalkan y = 3x. Diperoleh y² – 10y + 9 = 0. Faktorkan menjadi (y – 1)(y – 9) = 0, sehingga y = 1 atau y = 9. Kembalikan: 3x = 1 = 30, maka x = 0. Kemudian 3x = 9 = 3², maka x = 2. Jadi, x = 0 atau x = 2.
Mudah 3: Tentukan x dari (5x)² – 6(5x) + 5 = 0
Misalkan y = 5x. Maka y² – 6y + 5 = 0. Faktorkan: (y – 1)(y – 5) = 0. Jadi y = 1 atau y = 5. Untuk 5x = 1 = 5⁰, diperoleh x = 0. Untuk 5x = 5 = 5¹, diperoleh x = 1. Jadi, x = 0 atau x = 1.
Mudah 4: Tentukan x dari (2x+1)² – 5(2x+1) + 4 = 0
Misalkan y = 2x+1. Maka y² – 5y + 4 = 0. Faktorkan: (y – 1)(y – 4) = 0, sehingga y = 1 atau y = 4. Jika 2x+1 = 1 = 2⁰, maka x + 1 = 0, jadi x = -1. Jika 2x+1 = 4 = 2², maka x + 1 = 2, jadi x = 1. Jadi, x = -1 atau x = 1.
Mudah 5: Tentukan x dari 3(4x)² – 7(4x) + 4 = 0
Misalkan y = 4x. Persamaan menjadi 3y² – 7y + 4 = 0. Faktorkan: (3y – 4)(y – 1) = 0. Maka y = 4/3 atau y = 1. Untuk 4x = 1, didapat x = 0. Untuk 4x = 4/3, basis tidak dapat langsung disamakan, sehingga x = log4(4/3). Jadi, x = 0 atau x = log4(4/3).
2. Contoh Soal Sedang
Sedang 1: Tentukan x dari (22x-1)² – 9(22x-1) + 8 = 0
Misalkan y = 22x-1. Maka y² – 9y + 8 = 0. Faktorkan: (y – 1)(y – 8) = 0. Jadi y = 1 atau y = 8. Jika 22x-1 = 1 = 2⁰, maka 2x – 1 = 0, sehingga x = 1/2. Jika 22x-1 = 8 = 2³, maka 2x – 1 = 3, sehingga x = 2. Jadi, x = 1/2 atau x = 2.
Sedang 2: Tentukan x dari 2(3x-2)² – 11(3x-2) + 5 = 0
Misalkan y = 3x-2. Diperoleh 2y² – 11y + 5 = 0. Faktorkan: (2y – 1)(y – 5) = 0. Maka y = 1/2 atau y = 5. Kembalikan: 3x-2 = 1/2, maka x – 2 = log3(1/2), sehingga x = 2 + log3(1/2). Untuk 3x-2 = 5, diperoleh x = 2 + log35. Jadi, x = 2 + log3(1/2) atau x = 2 + log35.
Sedang 3: Tentukan x dari (9x)² – 13(9x) + 36 = 0
Misalkan y = 9x. Maka y² – 13y + 36 = 0. Faktorkan: (y – 4)(y – 9) = 0. Maka y = 4 atau y = 9. Untuk 9x = 9 = 9¹, maka x = 1. Untuk 9x = 4, tidak dapat disamakan basis secara sederhana, sehingga x = log94. Jadi, x = log94 atau x = 1.
Sedang 4: Tentukan x dari 4(2x)² – 12(2x) + 9 = 0
Misalkan y = 2x. Persamaan menjadi 4y² – 12y + 9 = 0. Ini merupakan kuadrat sempurna: (2y – 3)² = 0, sehingga y = 3/2. Kembalikan: 2x = 3/2. Karena tidak bisa disamakan basisnya, gunakan logaritma: x = log2(3/2). Jadi, x = log2(3/2).
Sedang 5: Tentukan x dari (2x+2)² – 20(2x+2) + 64 = 0
Misalkan y = 2x+2. Maka y² – 20y + 64 = 0. Faktorkan: (y – 4)(y – 16) = 0. Jadi y = 4 atau y = 16. Jika 2x+2 = 4 = 2², maka x + 2 = 2, sehingga x = 0. Jika 2x+2 = 16 = 2⁴, maka x + 2 = 4, sehingga x = 2. Jadi, x = 0 atau x = 2.
3. Contoh Soal Sulit
Sulit 1: Tentukan x dari 3(2x²-3x)² – 10(2x²-3x) + 3 = 0
Misalkan y = 2x²-3x. Maka 3y² – 10y + 3 = 0. Faktorkan: (3y – 1)(y – 3) = 0, sehingga y = 1/3 atau y = 3. Kembalikan: 2x²-3x = 1/3, maka x² – 3x = log2(1/3). Jadi x² – 3x – log2(1/3) = 0. Nilainya dapat ditulis dengan rumus kuadrat: x = 3 ± √(9 + 4log2(1/3))2. Untuk 2x²-3x = 3, maka x² – 3x = log23, sehingga x = 3 ± √(9 + 4log23)2.
Sulit 2: Tentukan x dari (3x²-1)² – 28(3x²-1) + 27 = 0
Misalkan y = 3x²-1. Maka y² – 28y + 27 = 0. Faktorkan: (y – 1)(y – 27) = 0. Jika y = 1, maka 3x²-1 = 1 = 3⁰, sehingga x² – 1 = 0. Jadi x = -1 atau x = 1. Jika y = 27, maka 3x²-1 = 27 = 3³, sehingga x² – 1 = 3. Jadi x² = 4, maka x = -2 atau x = 2. Jadi, x = -2, -1, 1, atau 2.
Sulit 3: Tentukan x dari 2(52x-1)² – 9(52x-1) – 5 = 0
Misalkan y = 52x-1. Maka 2y² – 9y – 5 = 0. Faktorkan: (2y + 1)(y – 5) = 0. Maka y = -1/2 atau y = 5. Karena 52x-1 > 0, nilai y = -1/2 ditolak. Ambil 52x-1 = 5 = 5¹. Maka 2x – 1 = 1, sehingga x = 1. Jadi, x = 1.
Sulit 4: Tentukan x dari (2x²-4)² – 5(2x²-4) + 4 = 0
Misalkan y = 2x²-4. Maka y² – 5y + 4 = 0. Faktorkan: (y – 1)(y – 4) = 0. Jadi y = 1 atau y = 4. Jika 2x²-4 = 1 = 2⁰, maka x² – 4 = 0, sehingga x = -2 atau x = 2. Jika 2x²-4 = 4 = 2², maka x² – 4 = 2, sehingga x² = 6. Maka x = -√6 atau x = √6. Jadi, x = -√6, -2, 2, atau √6.
Sulit 5: Tentukan x dari 4(3x+1)² – 13(3x+1) + 3 = 0
Misalkan y = 3x+1. Maka 4y² – 13y + 3 = 0. Faktorkan: (4y – 1)(y – 3) = 0. Jadi y = 1/4 atau y = 3. Jika 3x+1 = 3 = 3¹, maka x + 1 = 1, sehingga x = 0. Jika 3x+1 = 1/4, maka x + 1 = log3(1/4), sehingga x = log3(1/4) – 1. Jadi, x = 0 atau x = log3(1/4) – 1.
C. Latihan Soal Tanpa Pembahasan
Kerjakan latihan berikut dengan langkah substitusi. Ingat, hasil substitusi y harus bernilai positif.
Latihan Mudah
- (2x)² – 3(2x) + 2 = 0
- (3x)² – 4(3x) + 3 = 0
- 2(5x)² – 7(5x) + 3 = 0
- (4x)² – 5(4x) + 4 = 0
- 3(2x)² – 11(2x) + 6 = 0
Latihan Sedang
- (2x+1)² – 6(2x+1) + 8 = 0
- 2(3x-1)² – 5(3x-1) + 2 = 0
- (52x)² – 26(52x) + 25 = 0
- 4(2x-2)² – 8(2x-2) + 3 = 0
- (7x+2)² – 10(7x+2) + 21 = 0
Latihan Sulit
- (2x²-1)² – 9(2x²-1) + 8 = 0
- 3(3x²-4x)² – 10(3x²-4x) + 3 = 0
- 2(5x²+1)² – 11(5x²+1) + 5 = 0
- (2x²-2x)² – 5(2x²-2x) + 6 = 0
- 4(32x-3)² – 13(32x-3) + 3 = 0
D. Ringkasan Penting
- Persamaan A(af(x))² + B(af(x)) + C = 0 diselesaikan dengan substitusi.
- Gunakan y = af(x), sehingga menjadi Ay² + By + C = 0.
- Nilai y yang negatif harus ditolak karena nilai eksponen dengan basis positif selalu positif.
- Setelah mendapat nilai y, selesaikan af(x) = y.
- Jika basis bisa disamakan, samakan pangkatnya. Jika tidak, gunakan logaritma.