Persamaan Eksponen – Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Materi Inti

Fokus hanya pada persamaan eksponen bentuk a^f(x) = b^g(x).

A. Pengertian Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Persamaan eksponen adalah persamaan yang memuat variabel pada pangkatnya. Pada bentuk a^f(x) = b^g(x), bilangan a dan b disebut basis, sedangkan f(x) dan g(x) adalah pangkat yang memuat variabel.

Notasi Eksponen

aⁿ

Dibaca: a pangkat n. Contoh: 2³ = 8.

Notasi Bentuk Akar

√x

Bentuk akar berhubungan dengan pangkat pecahan.

Notasi Logaritma

^alog b = c

Artinya a^c = b. Logaritma dipakai jika basis sulit disamakan.

B. Syarat Penting

Agar persamaan eksponen bermakna dalam pembahasan ini, basis eksponen harus memenuhi:

1.a > 0 dan b > 0, karena basis eksponen positif memudahkan pembahasan nilai real.
2.a ≠ 1 dan b ≠ 1, karena 1 dipangkatkan berapa pun tetap 1.
3.Jika basis dapat disamakan, maka pangkatnya dapat disamakan.

C. Prinsip Penyelesaian Utama

Ada dua strategi yang paling sering digunakan pada bentuk a^f(x) = b^g(x).

Strategi 1: Samakan basis

Jika a dan b dapat diubah menjadi basis yang sama, ubahlah dulu kedua ruas.

c^{m · f(x)} = c^{n · g(x)}

Karena basis sama, maka:

m · f(x) = n · g(x)

Strategi 2: Gunakan logaritma

Jika basis sulit disamakan, gunakan sifat logaritma.

a^f(x) = b^g(x)

f(x) · log a = g(x) · log b

D. Alur Penyelesaian Runtut

Langkah 1: Amati basis pada kedua ruas, yaitu a dan b.
Langkah 2: Cek apakah basis dapat diubah menjadi basis yang sama.
Langkah 3: Jika bisa, samakan basis lalu samakan pangkatnya.
Langkah 4: Jika tidak bisa, gunakan logaritma pada kedua ruas.
Langkah 5: Selesaikan persamaan aljabar yang diperoleh.
Langkah 6: Periksa kembali jawaban dengan mensubstitusikan nilai x ke persamaan awal.

E. Kegiatan Pembelajaran

Mengamati

Amati bentuk 2^x+1 = 8^x-2. Basis 8 dapat ditulis sebagai 2³.

Menanya

Mengapa setelah basis sama, pangkatnya boleh disamakan?

Menalar

Jika 2^A = 2^B, maka A = B karena fungsi eksponen dengan basis positif dan bukan 1 bersifat satu-satu.

Mencoba

Ubah 16 menjadi 2⁴, 27 menjadi 3³, dan 81 menjadi 3⁴.

Mengkomunikasikan

Jelaskan langkah penyelesaian dengan kalimat sendiri secara runtut.

F. Tabel Perubahan Basis yang Sering Dipakai

Tabel berikut dibuat lebar dan dapat digeser di layar kecil agar tetap mudah dibaca di HP maupun PC.

Bilangan	Bentuk Pangkat	Basis Utama	Contoh Pemakaian
4	2²	2	4^x = 2^2x
8	2³	2	8^x-1 = 2^3x-3
9	3²	3	9^x = 3^2x
27	3³	3	27^x+2 = 3^3x+6
16	2⁴	2	16^x = 2^4x
81	3⁴	3	81^x = 3^4x

G. Ilustrasi Grafik Sederhana

Grafik berikut menunjukkan bahwa fungsi eksponen dengan basis lebih dari 1 naik terus. Karena itu, jika basis sama, nilai pangkat yang menghasilkan hasil sama juga harus sama.

Contoh Soal dan Pembahasan Detail

Terdiri dari 5 soal mudah, 5 soal sedang, dan 5 soal sulit.

A. Contoh Soal Mudah

1. Tentukan x dari 2^x = 2⁵

Karena basis kedua ruas sama, yaitu 2, maka pangkatnya disamakan.

x = 5

Jadi, nilai x = 5.

2. Tentukan x dari 3^x+1 = 3⁴

Basis sama, yaitu 3. Maka:

x + 1 = 4

Kurangi kedua ruas dengan 1:

x = 3

Jadi, x = 3.

3. Tentukan x dari 4^x = 2⁶

Ubah 4 menjadi basis 2:

4^x = (2²)^x = 2^2x

Maka:

2^2x = 2⁶

Samakan pangkat:

2x = 6 → x = 3

Jadi, x = 3.

4. Tentukan x dari 5^2x = 5¹⁰

Basis sama, yaitu 5. Maka pangkatnya sama:

2x = 10

Bagi kedua ruas dengan 2:

x = 5

Jadi, x = 5.

5. Tentukan x dari 9^x = 3⁸

Ubah 9 menjadi 3²:

9^x = (3²)^x = 3^2x

Maka:

3^2x = 3⁸

Samakan pangkat:

2x = 8 → x = 4

Jadi, x = 4.

B. Contoh Soal Sedang

1. Tentukan x dari 2^x+2 = 8^x-1

Ubah 8 menjadi 2³:

8^x-1 = (2³)^x-1 = 2^3x-3

Maka:

2^x+2 = 2^3x-3

Samakan pangkat:

x + 2 = 3x – 3

Pindahkan suku sejenis:

5 = 2x → x = 52

Jadi, x = 5/2.

2. Tentukan x dari 27^x = 3^2x+6

Ubah 27 menjadi 3³:

27^x = (3³)^x = 3^3x

Maka:

3^3x = 3^2x+6

Samakan pangkat:

3x = 2x + 6

Sehingga:

x = 6

Jadi, x = 6.

3. Tentukan x dari 16^x-1 = 4^x+2

Ubah semua basis menjadi 2:

16 = 2⁴, 4 = 2²

Maka:

(2⁴)^x-1 = (2²)^x+2

Sederhanakan pangkat:

2^4x-4 = 2^2x+4

Samakan pangkat:

4x – 4 = 2x + 4

Sehingga:

2x = 8 → x = 4

Jadi, x = 4.

4. Tentukan x dari 25^x+1 = 5^3x-2

Ubah 25 menjadi 5²:

25^x+1 = (5²)^x+1 = 5^2x+2

Maka:

5^2x+2 = 5^3x-2

Samakan pangkat:

2x + 2 = 3x – 2

Sehingga:

4 = x

Jadi, x = 4.

5. Tentukan x dari 81^x-2 = 9^2x+1

Ubah 81 dan 9 menjadi basis 3:

81 = 3⁴, 9 = 3²

Maka:

(3⁴)^x-2 = (3²)^2x+1

Sederhanakan:

3^4x-8 = 3^4x+2

Samakan pangkat:

4x – 8 = 4x + 2

Setelah dikurangi 4x:

-8 = 2

Pernyataan ini salah, sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi.

C. Contoh Soal Sulit

1. Tentukan x dari 2^x²-1 = 8^x-1

Ubah 8 menjadi 2³:

8^x-1 = 2^3x-3

Maka:

2^x²-1 = 2^3x-3

Samakan pangkat:

x² – 1 = 3x – 3

Susun menjadi persamaan kuadrat:

x² – 3x + 2 = 0

Faktorkan:

(x – 1)(x – 2) = 0

Jadi, x = 1 atau x = 2.

2. Tentukan x dari 9^x² = 27^x+2

Ubah ke basis 3:

9 = 3², 27 = 3³

Maka:

(3²)^x² = (3³)^x+2

Sederhanakan:

3^2x² = 3^3x+6

Samakan pangkat:

2x² = 3x + 6

Susun:

2x² – 3x – 6 = 0

Gunakan rumus kuadrat:

x = 3 ± √574

Jadi, x = (3 + √57)/4 atau x = (3 – √57)/4.

3. Tentukan x dari 4^x²-x = 32^x-2

Ubah ke basis 2:

4 = 2², 32 = 2⁵

Maka:

2^2(x²-x) = 2^5(x-2)

Samakan pangkat:

2x² – 2x = 5x – 10

Susun:

2x² – 7x + 10 = 0

Diskriminan:

D = (-7)² – 4(2)(10) = 49 – 80 = -31

Karena D < 0, maka tidak ada penyelesaian real.

4. Tentukan x dari 2^x+1 = 5^2x-3

Basis 2 dan 5 tidak dapat disamakan dengan mudah, maka gunakan logaritma:

(x + 1) log 2 = (2x – 3) log 5

Kembangkan:

x log 2 + log 2 = 2x log 5 – 3 log 5

Kumpulkan suku yang memuat x:

x log 2 – 2x log 5 = -3 log 5 – log 2

Faktorkan x:

x(log 2 – 2 log 5) = -3 log 5 – log 2

Maka:

x = -3 log 5 – log 2log 2 – 2 log 5

Bentuk tersebut dapat juga ditulis:

x = 3 log 5 + log 22 log 5 – log 2

5. Tentukan x dari 3^x²-4 = 81^x-2

Ubah 81 menjadi 3⁴:

81^x-2 = (3⁴)^x-2 = 3^4x-8

Maka:

3^x²-4 = 3^4x-8

Samakan pangkat:

x² – 4 = 4x – 8

Susun:

x² – 4x + 4 = 0

Faktorkan:

(x – 2)² = 0

Jadi, x = 2.

Latihan Soal

Tanpa pembahasan, agar siswa dapat berlatih mandiri.

A. Latihan Mudah

2^x = 2⁷
3^x-2 = 3⁵
4^x = 2¹⁰
9^x = 3⁶
5^2x = 5¹²

B. Latihan Sedang

2^x+3 = 8^x-1
27^x-2 = 3^x+4
16^x+1 = 4^3x-2
25^x-1 = 5^x+5
81^x = 9^x+6

C. Latihan Sulit

2^x²-2 = 8^x-2
9^x²-x = 27^x+1
4^x²+1 = 32^x
2^3x-1 = 7^x+2
3^x²-9 = 81^x-3

Ringkasan Penting

1. Samakan basis

Jika memungkinkan, ubah kedua ruas menjadi basis yang sama.

2. Samakan pangkat

Jika c^A = c^B, maka A = B untuk c > 0 dan c ≠ 1.

3. Gunakan logaritma

Jika basis tidak mudah disamakan, gunakan sifat logaritma.

Selesai. Gunakan contoh soal sebagai panduan, lalu kerjakan latihan secara mandiri.

Persamaan Eksponen – Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk a^f(x) = b^g(x)

Materi Inti

A. Pengertian Bentuk a^f(x) = b^g(x)

B. Syarat Penting

C. Prinsip Penyelesaian Utama

Strategi 1: Samakan basis

Strategi 2: Gunakan logaritma

D. Alur Penyelesaian Runtut

E. Kegiatan Pembelajaran

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

F. Tabel Perubahan Basis yang Sering Dipakai

G. Ilustrasi Grafik Sederhana

Contoh Soal dan Pembahasan Detail

A. Contoh Soal Mudah

B. Contoh Soal Sedang

C. Contoh Soal Sulit

Latihan Soal

A. Latihan Mudah

B. Latihan Sedang

C. Latihan Sulit

Ringkasan Penting

1. Samakan basis

2. Samakan pangkat

3. Gunakan logaritma

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

Materi Inti

A. Pengertian Bentuk af(x) = bg(x)

B. Syarat Penting

C. Prinsip Penyelesaian Utama

Strategi 1: Samakan basis

Strategi 2: Gunakan logaritma

D. Alur Penyelesaian Runtut

E. Kegiatan Pembelajaran

Mengamati

Menanya

Menalar

Mencoba

Mengkomunikasikan

F. Tabel Perubahan Basis yang Sering Dipakai

G. Ilustrasi Grafik Sederhana

Contoh Soal dan Pembahasan Detail

A. Contoh Soal Mudah

B. Contoh Soal Sedang

C. Contoh Soal Sulit

Latihan Soal

A. Latihan Mudah

B. Latihan Sedang

C. Latihan Sulit

Ringkasan Penting

1. Samakan basis

2. Samakan pangkat

3. Gunakan logaritma

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

A. Pengertian Bentuk a^f(x) = b^g(x)