Materi Khusus Eksponen
Penyelesaian Persamaan Eksponen Bentuk f(x)g(x) = 1
Fokus pada kasus ketika bentuk dasar dan pangkat bergantung pada x, dengan syarat khusus f(x) tidak sama dengan g(x).
Notasi Eksponen
Artikel ini hanya membahas cara menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk f(x)g(x) = 1. Tidak dibahas bentuk persamaan eksponen lain agar pembelajaran tetap fokus, runtut, dan mudah dipahami.
A. Inti Materi
Persamaan eksponen yang dibahas adalah:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita menggunakan fakta penting berikut:
1. Basis = 1
1g(x) = 1
Berlaku jika pangkatnya terdefinisi.
2. Pangkat = 0
f(x)0 = 1
Berlaku jika f(x) ≠ 0.
3. Basis = -1
(-1)n = 1
Berlaku jika pangkatnya bilangan bulat genap.
Kesimpulan Cara Menyelesaikan
- Cari nilai x yang membuat f(x) = 1.
- Cari nilai x yang membuat g(x) = 0, lalu pastikan f(x) ≠ 0.
- Cari nilai x yang membuat f(x) = -1, lalu pastikan g(x) bilangan bulat genap.
- Gabungkan semua nilai x yang memenuhi.
- Periksa syarat tambahan, termasuk jika soal menyatakan f(x) ≠ g(x).
B. Kegiatan Pembelajaran
1. Mengamati
Amati bentuk f(x)g(x) = 1. Perhatikan bahwa hasilnya 1 dapat terjadi karena basisnya 1, pangkatnya 0, atau basisnya -1 dengan pangkat genap.
2. Menanya
Mengapa tidak cukup hanya membuat pangkatnya 0? Karena ada kemungkinan lain, yaitu basisnya 1 atau basisnya -1 dengan pangkat genap.
3. Menalar
Jika f(x)=1, maka hasilnya pasti 1. Jika g(x)=0, maka hasilnya 1 selama basis tidak nol. Jika f(x)=-1, hasilnya 1 hanya saat pangkat genap.
4. Mencoba
Siswa mencoba memecah soal menjadi tiga kondisi: basis 1, pangkat 0, dan basis -1 dengan pangkat genap.
5. Mengkomunikasikan
Siswa menjelaskan alasan setiap jawaban, bukan hanya menuliskan nilai x. Setiap nilai x harus diuji kembali ke persamaan semula.
C. Tabel Ringkas Syarat
| Kemungkinan | Syarat | Catatan Penting |
|---|---|---|
| f(x)=1 | 1g(x)=1 | Pangkat harus terdefinisi. |
| g(x)=0 | f(x)≠0 | Karena 00 tidak digunakan. |
| f(x)=-1 | g(x) | Pangkat harus bilangan bulat genap. |
D. Contoh Soal Mudah
Contoh 1: (x+2)x-3 = 1
Pembahasan:
Misal f(x)=x+2 dan g(x)=x-3.
- f(x)=1 → x+2=1 → x=-1.
- g(x)=0 → x-3=0 → x=3. Cek basis: 3+2=5≠0, maka valid.
- f(x)=-1 → x+2=-1 → x=-3. Pangkat: -3-3=-6, bilangan bulat genap, valid.
Jawaban: {-3, -1, 3}.
Contoh 2: (2x-1)x+1 = 1
- 2x-1=1 → 2x=2 → x=1.
- x+1=0 → x=-1. Basis: 2(-1)-1=-3≠0, valid.
- 2x-1=-1 → 2x=0 → x=0. Pangkat: 0+1=1, ganjil, tidak valid.
Jawaban: {-1, 1}.
Contoh 3: (x-4)2x = 1
- x-4=1 → x=5.
- 2x=0 → x=0. Basis: 0-4=-4≠0, valid.
- x-4=-1 → x=3. Pangkat: 2(3)=6, genap, valid.
Jawaban: {0, 3, 5}.
Contoh 4: (3-x)x-2 = 1
- 3-x=1 → x=2. Maka 10=1, valid.
- x-2=0 → x=2. Basis: 1≠0, valid.
- 3-x=-1 → x=4. Pangkat: 4-2=2, genap, valid.
Jawaban: {2, 4}.
Contoh 5: (x+1)4-x = 1
- x+1=1 → x=0.
- 4-x=0 → x=4. Basis: 5≠0, valid.
- x+1=-1 → x=-2. Pangkat: 4-(-2)=6, genap, valid.
Jawaban: {-2, 0, 4}.
E. Contoh Soal Sedang
Contoh 1: (x²-3)x-1 = 1
- x²-3=1 → x²=4 → x=±2.
- x-1=0 → x=1. Basis: 1-3=-2≠0, valid.
- x²-3=-1 → x²=2 → x=±√2. Pangkat x-1 bukan bilangan bulat genap, tidak valid.
Jawaban: {-2, 1, 2}.
Contoh 2: (x²-1)x+2 = 1
- x²-1=1 → x²=2 → x=±√2.
- x+2=0 → x=-2. Basis: 4-1=3≠0, valid.
- x²-1=-1 → x²=0 → x=0. Pangkat: 2, genap, valid.
Jawaban: {-2, 0, -√2, √2}.
Contoh 3: (2x²-7)x²-4 = 1
- 2x²-7=1 → 2x²=8 → x=±2.
- x²-4=0 → x=±2. Basis pada x=±2 adalah 1, valid.
- 2x²-7=-1 → 2x²=6 → x=±√3. Pangkat: 3-4=-1, ganjil, tidak valid.
Jawaban: {-2, 2}.
Contoh 4: (x²-5x+5)x-2 = 1
- x²-5x+5=1 → x²-5x+4=0 → x=1 atau 4.
- x-2=0 → x=2. Basis: 4-10+5=-1≠0, valid karena pangkat 0.
- x²-5x+5=-1 → x²-5x+6=0 → x=2 atau 3. Untuk x=2, pangkat 0 genap dan valid. Untuk x=3, pangkat 1 ganjil, tidak valid.
Jawaban: {1, 2, 4}.
Contoh 5: (x²-4x+2)2x-6 = 1
- x²-4x+2=1 → x²-4x+1=0 → x=2±√3.
- 2x-6=0 → x=3. Basis: 9-12+2=-1≠0, valid.
- x²-4x+2=-1 → x²-4x+3=0 → x=1 atau 3. Untuk x=1, pangkat -4 genap, valid. Untuk x=3, pangkat 0, valid.
Jawaban: {1, 3, 2-√3, 2+√3}.
F. Contoh Soal Sulit
Contoh 1: (x²-2x-2)x²-5x+6 = 1
- x²-2x-2=1 → x²-2x-3=0 → x=-1 atau 3.
- x²-5x+6=0 → x=2 atau 3. Untuk x=2, basis -2≠0, valid. Untuk x=3, basis 1, valid.
- x²-2x-2=-1 → x²-2x-1=0 → x=1±√2. Pangkatnya bukan bilangan bulat genap, tidak valid.
Jawaban: {-1, 2, 3}.
Contoh 2: (x²-6x+8)x²-4 = 1
- x²-6x+8=1 → x²-6x+7=0 → x=3±√2.
- x²-4=0 → x=±2. Untuk x=2, basis 0 sehingga 00 tidak valid. Untuk x=-2, basis 24, valid.
- x²-6x+8=-1 → x²-6x+9=0 → x=3. Pangkat: 9-4=5, ganjil, tidak valid.
Jawaban: {-2, 3-√2, 3+√2}.
Contoh 3: (2x²-8x+7)x²-3x+2 = 1
- 2x²-8x+7=1 → 2x²-8x+6=0 → x²-4x+3=0 → x=1 atau 3.
- x²-3x+2=0 → x=1 atau 2. Untuk x=1, basis 1 valid. Untuk x=2, basis -1 valid karena pangkat 0.
- 2x²-8x+7=-1 → 2x²-8x+8=0 → (x-2)²=0 → x=2. Pangkat 0, valid.
Jawaban: {1, 2, 3}.
Contoh 4: (x²-1)x²-2x-8 = 1, dengan f(x)≠g(x)
- x²-1=1 → x=±√2. Keduanya valid dan perlu cek f(x)≠g(x).
- x²-2x-8=0 → x=4 atau -2. Basis: untuk x=4, 15≠0; untuk x=-2, 3≠0, valid.
- x²-1=-1 → x=0. Pangkat: -8, genap, valid.
- Cek f(x)≠g(x). Semua kandidat tetap memenuhi.
Jawaban: {-2, 0, 4, -√2, √2}.
Contoh 5: (x²-4x+1)x²-6x+8 = 1
- x²-4x+1=1 → x²-4x=0 → x=0 atau 4.
- x²-6x+8=0 → x=2 atau 4. Untuk x=2, basis -3≠0, valid. Untuk x=4, basis 1, valid.
- x²-4x+1=-1 → x²-4x+2=0 → x=2±√2. Pangkat bukan bilangan bulat genap, tidak valid.
Jawaban: {0, 2, 4}.
G. Latihan Soal
Latihan Mudah
- (x+3)x-2 = 1
- (2x+1)x+4 = 1
- (x-5)3x = 1
- (4-x)x-1 = 1
- (x+2)5-x = 1
Latihan Sedang
- (x²-2)x-3 = 1
- (x²-4)x+1 = 1
- (2x²-5)x²-1 = 1
- (x²-3x+1)x-4 = 1
- (x²-2x-1)2x-2 = 1
Latihan Sulit
- (x²-2x-3)x²-4x+3 = 1
- (x²-5x+5)x²-9 = 1
- (2x²-6x+1)x²-5x+6 = 1
- (x²-1)x²-4x = 1, f(x)≠g(x)
- (x²-6x+7)x²-2x-3 = 1
H. Ringkasan Akhir
Untuk menyelesaikan f(x)g(x) = 1, selalu periksa tiga kemungkinan: f(x)=1, g(x)=0 dengan f(x)≠0, dan f(x)=-1 dengan g(x) bilangan bulat genap. Setelah itu, uji kembali semua jawaban ke persamaan semula.