Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Tinjauan terhadap Grafik Fungsi Kuadrat
Memahami bentuk, sifat, dan karakteristik grafik fungsi kuadrat secara mendalam
A. Pengertian Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat adalah kurva berbentuk parabola yang merupakan representasi visual dari fungsi kuadrat:
f(x) = ax2 + bx + c
dengan a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0
Grafik fungsi kuadrat memiliki beberapa unsur penting yang perlu ditinjau:
- Titik puncak (vertex): titik tertinggi atau terendah parabola
- Sumbu simetri: garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian simetris
- Arah bukaan: ke atas (jika a > 0) atau ke bawah (jika a < 0)
- Titik potong sumbu-x: titik di mana grafik memotong sumbu-x
- Titik potong sumbu-y: titik di mana grafik memotong sumbu-y, yaitu (0, c)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Amati grafik-grafik berikut dan perhatikan perbedaan bentuk parabola berdasarkan nilai a:
Grafik biru: parabola terbuka ke atas (a > 0). Grafik merah: parabola terbuka ke bawah (a < 0).
B. Titik Puncak dan Sumbu Simetri
Titik puncak (vertex) parabola f(x) = ax2 + bx + c memiliki koordinat:
Titik Puncak = (xp, yp) = ( −b/2a , −D/4a )
dengan D = b2 − 4ac (diskriminan)
Sumbu Simetri: x = −b/2a
Sifat titik puncak:
- Jika a > 0, titik puncak merupakan titik minimum (nilai minimum fungsi = −D/4a)
- Jika a < 0, titik puncak merupakan titik maksimum (nilai maksimum fungsi = −D/4a)
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan untuk didiskusikan:
- Bagaimana cara menentukan titik puncak jika fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x) = a(x − h)2 + k?
- Mengapa sumbu simetri selalu melewati titik puncak?
- Apa hubungan antara diskriminan dan posisi titik puncak terhadap sumbu-x?
Ilustrasi titik puncak dan sumbu simetri pada parabola terbuka ke atas
C. Bentuk-Bentuk Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat dapat dinyatakan dalam tiga bentuk:
1. Bentuk Umum: f(x) = ax2 + bx + c
2. Bentuk Vertex (Puncak): f(x) = a(x − h)2 + k, dengan titik puncak (h, k)
3. Bentuk Faktor: f(x) = a(x − x1)(x − x2), dengan x1 dan x2 akar-akar
🧠 Kegiatan: Menalar
Dari bentuk umum f(x) = 2x2 − 8x + 6, ubahlah ke bentuk vertex:
- f(x) = 2(x2 − 4x) + 6
- f(x) = 2(x2 − 4x + 4 − 4) + 6
- f(x) = 2(x − 2)2 − 8 + 6
- f(x) = 2(x − 2)2 − 2
Jadi titik puncak = (2, −2)
D. Titik Potong dengan Sumbu Koordinat
1. Titik Potong dengan Sumbu-Y
Substitusi x = 0 ke fungsi:
f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c
Titik potong sumbu-y = (0, c)
2. Titik Potong dengan Sumbu-X
Substitusi f(x) = 0, maka selesaikan ax2 + bx + c = 0:
x = (−b ± √D) / 2a
dengan D = b2 − 4ac
Hubungan diskriminan dan titik potong sumbu-x:
| Diskriminan | Kondisi | Titik Potong Sumbu-X | Keterangan |
|---|---|---|---|
| D > 0 | b2 − 4ac > 0 | 2 titik berbeda | Grafik memotong sumbu-x di dua titik |
| D = 0 | b2 − 4ac = 0 | 1 titik (menyinggung) | Grafik menyinggung sumbu-x |
| D < 0 | b2 − 4ac < 0 | Tidak ada | Grafik tidak memotong sumbu-x |
Tiga kemungkinan posisi parabola terhadap sumbu-x berdasarkan nilai diskriminan
🔬 Kegiatan: Mencoba
Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari fungsi f(x) = x2 − 5x + 6:
- Titik potong sumbu-y: f(0) = 6, jadi titik (0, 6)
- Titik potong sumbu-x: x2 − 5x + 6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 atau x = 3
- Titik potong sumbu-x: (2, 0) dan (3, 0)
E. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
- Tentukan arah bukaan: lihat tanda a (positif → ke atas, negatif → ke bawah)
- Hitung diskriminan D = b2 − 4ac
- Tentukan titik puncak (−b/2a, −D/4a)
- Tentukan sumbu simetri x = −b/2a
- Tentukan titik potong sumbu-y (0, c)
- Tentukan titik potong sumbu-x (jika ada)
- Buat tabel nilai beberapa titik tambahan
- Gambar grafik yang halus melalui titik-titik tersebut
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Gambarkan grafik f(x) = x2 − 4x + 3 dan jelaskan setiap langkahnya:
- a = 1 > 0 → parabola terbuka ke atas
- D = 16 − 12 = 4 > 0 → memotong sumbu-x di 2 titik
- Titik puncak: (−(−4)/2(1), −4/4(1)) = (2, −1)
- Sumbu simetri: x = 2
- Titik potong sumbu-y: (0, 3)
- Titik potong sumbu-x: x2 − 4x + 3 = 0 → (x−1)(x−3) = 0 → (1, 0) dan (3, 0)
Grafik f(x) = x2 − 4x + 3
F. Pengaruh Koefisien terhadap Grafik
1. Pengaruh Nilai a
| Nilai a | Arah Bukaan | Lebar Parabola |
|---|---|---|
| a > 0 | Ke atas ∪ | — |
| a < 0 | Ke bawah ∩ | — |
| |a| > 1 | — | Lebih sempit (curam) |
| |a| < 1 | — | Lebih lebar (landai) |
2. Pengaruh Nilai c
Nilai c menentukan posisi titik potong sumbu-y. Mengubah c menggeser grafik ke atas atau ke bawah tanpa mengubah bentuknya.
3. Bentuk Vertex: Translasi
f(x) = a(x − h)2 + k
h = pergeseran horizontal, k = pergeseran vertikal dari titik asal
G. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Tentukan arah bukaan dan titik potong sumbu-y dari grafik f(x) = 2x2 + 3x − 5.
Pembahasan:
• a = 2 > 0, maka parabola terbuka ke atas.
• Titik potong sumbu-y: substitusi x = 0:
f(0) = 2(0)2 + 3(0) − 5 = −5
• Titik potong sumbu-y = (0, −5)
Soal 2:
Tentukan sumbu simetri dari grafik f(x) = x2 − 6x + 8.
Pembahasan:
• a = 1, b = −6
• Sumbu simetri: x = −b/2a = −(−6)/2(1) = 6/2 = 3
• Sumbu simetri: x = 3
Soal 3:
Tentukan titik puncak grafik f(x) = x2 − 4x + 7.
Pembahasan:
• a = 1, b = −4, c = 7
• xp = −(−4)/2(1) = 2
• D = (−4)2 − 4(1)(7) = 16 − 28 = −12
• yp = −(−12)/4(1) = 12/4 = 3
• Titik puncak = (2, 3)
Soal 4:
Tentukan titik potong sumbu-x dari grafik f(x) = x2 − 7x + 12.
Pembahasan:
• x2 − 7x + 12 = 0
• Faktorkan: (x − 3)(x − 4) = 0
• x = 3 atau x = 4
• Titik potong sumbu-x = (3, 0) dan (4, 0)
Soal 5:
Grafik fungsi f(x) = −x2 + 4. Tentukan titik puncak dan arah bukaannya.
Pembahasan:
• a = −1 < 0, parabola terbuka ke bawah
• b = 0, c = 4
• xp = 0/−2 = 0
• yp = f(0) = 4
• Titik puncak = (0, 4), merupakan titik maksimum
📙 Contoh Soal Sedang
Soal 6:
Gambarlah sketsa grafik f(x) = x2 − 2x − 3 dan tentukan semua unsur-unsurnya.
Pembahasan:
• a = 1 > 0 → terbuka ke atas
• D = 4 + 12 = 16 > 0 → memotong sumbu-x di 2 titik
• Titik puncak: xp = 2/2 = 1, yp = −16/4 = −4 → (1, −4)
• Sumbu simetri: x = 1
• Titik potong sumbu-y: (0, −3)
• Titik potong sumbu-x: x2 − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0 → (−1, 0) dan (3, 0)
Soal 7:
Tentukan nilai maksimum fungsi f(x) = −2x2 + 8x − 3.
Pembahasan:
• a = −2 < 0 → parabola terbuka ke bawah → memiliki nilai maksimum
• D = 64 − 24 = 40
• Nilai maksimum = −D/4a = −40/4(−2) = −40/(−8) = 5
• Terjadi saat x = −8/2(−2) = 2
• Nilai maksimum = 5, pada x = 2
Soal 8:
Fungsi kuadrat memiliki titik puncak (3, −2) dan melalui titik (1, 6). Tentukan persamaan fungsi kuadratnya.
Pembahasan:
• Gunakan bentuk vertex: f(x) = a(x − 3)2 − 2
• Substitusi titik (1, 6): 6 = a(1 − 3)2 − 2
• 6 = 4a − 2
• 4a = 8 → a = 2
• f(x) = 2(x − 3)2 − 2 = 2x2 − 12x + 16
Soal 9:
Grafik f(x) = x2 + bx + 9 menyinggung sumbu-x. Tentukan nilai b.
Pembahasan:
• Menyinggung sumbu-x berarti D = 0
• D = b2 − 4(1)(9) = 0
• b2 = 36
• b = 6 atau b = −6
Soal 10:
Tentukan persamaan sumbu simetri dan titik balik grafik f(x) = 3x2 + 12x + 7.
Pembahasan:
• a = 3, b = 12, c = 7
• Sumbu simetri: x = −12/2(3) = −12/6 = −2 → x = −2
• D = 144 − 84 = 60
• yp = −60/4(3) = −60/12 = −5
• Titik balik (puncak) = (−2, −5)
• Karena a > 0, ini adalah titik balik minimum.
📕 Contoh Soal Sulit
Soal 11:
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x di titik (−1, 0) dan (5, 0), serta melalui titik (2, −18). Tentukan persamaan fungsi dan titik puncaknya.
Pembahasan:
• Bentuk faktor: f(x) = a(x + 1)(x − 5)
• Substitusi (2, −18): −18 = a(3)(−3) = −9a
• a = 2
• f(x) = 2(x + 1)(x − 5) = 2(x2 − 4x − 5) = 2x2 − 8x − 10
• Titik puncak: xp = 8/4 = 2
• yp = f(2) = 2(4) − 8(2) − 10 = 8 − 16 − 10 = −18
• Titik puncak = (2, −18)
Soal 12:
Tentukan rentang nilai k agar grafik f(x) = x2 − 4x + k selalu berada di atas sumbu-x.
Pembahasan:
• Grafik selalu di atas sumbu-x berarti f(x) > 0 untuk semua x
• Syarat: a > 0 (sudah terpenuhi, a = 1) dan D < 0
• D = 16 − 4k < 0
• 16 < 4k
• k > 4
Soal 13:
Grafik f(x) = ax2 + bx + c memiliki titik puncak (1, 8) dan melalui titik (−1, 0). Tentukan nilai a + b + c.
Pembahasan:
• Bentuk vertex: f(x) = a(x − 1)2 + 8
• Substitusi (−1, 0): 0 = a(−2)2 + 8 = 4a + 8
• a = −2
• f(x) = −2(x − 1)2 + 8 = −2(x2 − 2x + 1) + 8 = −2x2 + 4x + 6
• a = −2, b = 4, c = 6
• Perhatikan: a + b + c = f(1) = 8 (sifat penting!)
• a + b + c = 8
Soal 14:
Dua fungsi kuadrat f(x) = x2 − 4x + 3 dan g(x) = −x2 + 2x + 3. Tentukan titik potong kedua grafik.
Pembahasan:
• Titik potong: f(x) = g(x)
• x2 − 4x + 3 = −x2 + 2x + 3
• 2x2 − 6x = 0
• 2x(x − 3) = 0
• x = 0 atau x = 3
• Saat x = 0: f(0) = 3 → titik (0, 3)
• Saat x = 3: f(3) = 9 − 12 + 3 = 0 → titik (3, 0)
Soal 15:
Grafik f(x) = 2x2 − 8x + c menyinggung garis y = 4x − 11. Tentukan nilai c.
Pembahasan:
• Menyinggung berarti persamaan f(x) = 4x − 11 memiliki tepat satu penyelesaian
• 2x2 − 8x + c = 4x − 11
• 2x2 − 12x + (c + 11) = 0
• Syarat menyinggung: D = 0
• D = 144 − 8(c + 11) = 0
• 144 − 8c − 88 = 0
• 56 = 8c
• c = 7
H. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk menguji pemahamanmu.
📗 Latihan Mudah
1. Tentukan arah bukaan grafik f(x) = −3x2 + 5x − 2.
2. Tentukan titik potong sumbu-y dari grafik f(x) = 4x2 − x + 7.
3. Tentukan sumbu simetri dari grafik f(x) = x2 + 10x + 21.
4. Tentukan titik puncak dari grafik f(x) = x2 − 8x + 15.
5. Tentukan titik potong sumbu-x dari grafik f(x) = x2 − 9.
📙 Latihan Sedang
6. Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 − 12x + 14 dan tentukan pada nilai x berapa minimum tersebut tercapai.
7. Grafik f(x) = x2 + px + 4 menyinggung sumbu-x. Tentukan semua nilai p yang mungkin.
8. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (−2, 5) dan melalui titik (0, 1).
9. Sketsa grafik f(x) = −x2 + 6x − 5, lengkap dengan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong sumbu koordinat.
10. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di titik (−2, 0) dan (4, 0) serta melalui titik (1, −9).
📕 Latihan Sulit
11. Tentukan rentang nilai m agar grafik f(x) = −x2 + 2mx − (m2 − 4) memotong sumbu-x di dua titik berbeda.
12. Grafik f(x) = ax2 + bx + c melalui titik (0, 5), (1, 2), dan (−1, 12). Tentukan persamaan fungsi dan titik puncaknya.
13. Tentukan luas daerah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik potong grafik f(x) = x2 − 4x dengan sumbu koordinat.
14. Grafik f(x) = x2 − 6x + k dan garis y = 2x − 5 berpotongan di dua titik. Tentukan rentang nilai k.
15. Fungsi f(x) = −x2 + (2a+1)x − a2 memiliki nilai maksimum 2. Tentukan semua nilai a yang memenuhi.