Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Daerah Definisi dan Daerah Nilai Fungsi

A. Pengertian Fungsi

Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Fungsi sering ditulis sebagai f : A → B atau y = f(x).

Dalam suatu fungsi f : A → B, terdapat dua konsep penting:

Daerah Definisi (Domain): Himpunan semua nilai x yang dapat dimasukkan ke dalam fungsi sehingga menghasilkan nilai f(x) yang terdefinisi (bernilai real).
Daerah Nilai (Range): Himpunan semua nilai y atau f(x) yang dihasilkan oleh fungsi untuk setiap x dalam domain.

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan fungsi berikut:

f(x) = x² + 1

Coba substitusikan beberapa nilai x:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
f(x)	10	5	2	1	2	5	10

Amati: Nilai x bisa berupa bilangan real apa saja (domain = ℝ), tetapi nilai f(x) selalu ≥ 1 (range = {y | y ≥ 1, y ∈ ℝ}).

B. Daerah Definisi (Domain)

Daerah definisi adalah himpunan semua nilai x yang mungkin dimasukkan ke dalam fungsi. Notasi: D_f atau domain f.

Aturan Menentukan Domain:

1. Fungsi Polinomial (Suku Banyak)

Domain: seluruh bilangan real (ℝ)

f(x) = ax² + bx + c \to D f = ℝ = (-\infty, \infty)

2. Fungsi Rasional (Pecahan)

Penyebut tidak boleh nol. Syarat: penyebut ≠ 0

f(x) = p(x) q(x) \to D f = {x \in ℝ | q(x) \neq 0}

3. Fungsi Irasional (Bentuk Akar)

Ekspresi di bawah tanda akar harus ≥ 0

f(x) = \sqrt(g(x)) \to D f = {x \in ℝ | g(x) \geq 0}

4. Fungsi Irasional di Penyebut

Ekspresi di bawah akar harus > 0 (tidak boleh = 0 karena di penyebut)

f(x) = 1 \sqrt(g(x)) \to D f = {x \in ℝ | g(x) > 0}

❓ Kegiatan: Menanya

Setelah mengamati aturan-aturan di atas, coba ajukan pertanyaan:

Mengapa penyebut tidak boleh bernilai nol?
Mengapa ekspresi di bawah akar harus ≥ 0?
Bagaimana jika fungsi merupakan gabungan dari pecahan dan akar?

Jawaban: Pembagian dengan nol tidak terdefinisi dalam matematika. Akar kuadrat dari bilangan negatif menghasilkan bilangan imajiner (bukan real). Jika gabungan, maka semua syarat harus dipenuhi secara bersamaan.

C. Daerah Nilai (Range)

Daerah nilai adalah himpunan semua nilai y = f(x) yang dapat dihasilkan oleh fungsi ketika x berada dalam domain. Notasi: R_f atau range f.

Cara Menentukan Range:

1. Fungsi Linear: f(x) = ax + b

R f = ℝ (seluruh bilangan real)

2. Fungsi Kuadrat: f(x) = ax² + bx + c

Tentukan nilai ekstrem (titik puncak):

y puncak = - b² - 4ac 4a = - D 4a

Jika a > 0 (parabola terbuka ke atas): R_f = {y | y ≥ y_puncak}
Jika a < 0 (parabola terbuka ke bawah): R_f = {y | y ≤ y_puncak}

3. Fungsi Rasional: f(x) = ax + bcx + d

Nyatakan x dalam y, lalu tentukan syarat agar x terdefinisi.

y = ax + b cx + d \to x = b - dy cy - a \to syarat: cy - a \neq 0 \to y \neq a c

4. Fungsi Irasional: f(x) = √(g(x))

R f = {y | y \geq 0}

💡 Kegiatan: Menalar

Perhatikan fungsi f(x) = x² − 4x + 7

Langkah 1: Identifikasi a = 1, b = −4, c = 7

Langkah 2: Karena a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas → ada nilai minimum

Langkah 3: D = b² − 4ac = 16 − 28 = −12

Langkah 4: y_min = −D/(4a) = −(−12)/(4·1) = 12/4 = 3

Kesimpulan: R_f = {y | y ≥ 3, y ∈ ℝ} atau [3, ∞)

D. Langkah Sistematis Menentukan Domain dan Range

Langkah Menentukan Domain:

Identifikasi jenis fungsi (polinomial, rasional, irasional, atau gabungan)
Tentukan syarat agar fungsi terdefinisi
Selesaikan pertidaksamaan yang diperoleh
Tuliskan domain dalam notasi himpunan atau interval

Langkah Menentukan Range:

Tentukan domain terlebih dahulu
Nyatakan persamaan y = f(x)
Ubah menjadi persamaan dalam x (ekspresikan x sebagai fungsi y)
Tentukan syarat agar x terdefinisi dan berada dalam domain
Tuliskan range dalam notasi himpunan atau interval

✋ Kegiatan: Mencoba

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:

f(x) = 2x + 1 x - 3

Klik untuk melihat penyelesaian

Domain: Penyebut ≠ 0 → x − 3 ≠ 0 → x ≠ 3

D_f = {x ∈ ℝ | x ≠ 3}

Range:

y = (2x + 1)/(x − 3)

y(x − 3) = 2x + 1

xy − 3y = 2x + 1

xy − 2x = 3y + 1

x(y − 2) = 3y + 1

x = (3y + 1)/(y − 2)

Syarat: y − 2 ≠ 0 → y ≠ 2

R_f = {y ∈ ℝ | y ≠ 2}

E. Notasi Penulisan Domain dan Range

Domain dan range dapat ditulis dalam beberapa notasi:

Notasi Himpunan	Notasi Interval	Keterangan
{x ∈ ℝ \| x ≥ 2}	[2, ∞)	x lebih dari atau sama dengan 2
{x ∈ ℝ \| x > 2}	(2, ∞)	x lebih dari 2
{x ∈ ℝ \| x ≤ 5}	(−∞, 5]	x kurang dari atau sama dengan 5
{x ∈ ℝ \| x ≠ 3}	(−∞, 3) ∪ (3, ∞)	x seluruh real kecuali 3
{x ∈ ℝ \| 1 ≤ x ≤ 4}	[1, 4]	x antara 1 dan 4 (inklusif)

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada teman sebangkumu:

Apa perbedaan antara tanda kurung siku [ ] dan tanda kurung biasa ( ) pada notasi interval?
Mengapa simbol ∞ selalu menggunakan tanda kurung biasa ( ) dan tidak pernah menggunakan [ ]?
Berikan contoh fungsi yang domain dan range-nya sama.

F. Contoh Soal dan Pembahasan

● Tingkat Mudah

Contoh 1

Tentukan domain dari fungsi f(x) = 3x + 5

Pembahasan:

Fungsi f(x) = 3x + 5 adalah fungsi linear (polinomial derajat 1).

Fungsi polinomial terdefinisi untuk semua bilangan real.

D_f = ℝ = (−∞, ∞)

Contoh 2

Tentukan domain dari fungsi f(x) = x² − 9

Pembahasan:

Fungsi kuadrat (polinomial derajat 2) terdefinisi untuk semua bilangan real.

D_f = ℝ = (−∞, ∞)

Contoh 3

Tentukan range dari fungsi f(x) = 2x − 1

Pembahasan:

Fungsi linear dengan a ≠ 0 memiliki range seluruh bilangan real.

Karena a = 2 ≠ 0, maka untuk setiap nilai y, selalu ada x = (y + 1)/2 yang memenuhi.

R_f = ℝ = (−∞, ∞)

Contoh 4

Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x − 2)

Pembahasan:

Syarat fungsi akar: ekspresi di bawah akar ≥ 0

x − 2 ≥ 0

x ≥ 2

D_f = {x ∈ ℝ | x ≥ 2} = [2, ∞)

Contoh 5

Tentukan domain dari fungsi f(x) = 1x + 4

Pembahasan:

Syarat fungsi rasional: penyebut ≠ 0

x + 4 ≠ 0

x ≠ −4

D_f = {x ∈ ℝ | x ≠ −4} = (−∞, −4) ∪ (−4, ∞)

● Tingkat Sedang

Contoh 6

Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = x² − 6x + 8

Pembahasan:

Domain: Fungsi kuadrat → D_f = ℝ

Range:

a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas, ada nilai minimum)

D = b² − 4ac = 36 − 32 = 4

y_min = −D/(4a) = −4/4 = −1

R_f = {y ∈ ℝ | y ≥ −1} = [−1, ∞)

Contoh 7

Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(6 − 2x)

Pembahasan:

Syarat: 6 − 2x ≥ 0

−2x ≥ −6

x ≤ 3 (tanda berubah karena dibagi bilangan negatif)

D_f = {x ∈ ℝ | x ≤ 3} = (−∞, 3]

Contoh 8

Tentukan domain dari fungsi f(x) = x + 1x² − 4

Pembahasan:

Syarat: x² − 4 ≠ 0

(x − 2)(x + 2) ≠ 0

x ≠ 2 dan x ≠ −2

D_f = {x ∈ ℝ | x ≠ 2, x ≠ −2} = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞)

Contoh 9

Tentukan range dari fungsi f(x) = −x² + 4x − 3

Pembahasan:

a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah, ada nilai maksimum)

D = b² − 4ac = 16 − 12 = 4

y_maks = −D/(4a) = −4/(4·(−1)) = −4/(−4) = 1

R_f = {y ∈ ℝ | y ≤ 1} = (−∞, 1]

Contoh 10

Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = 3x − 2x + 1

Pembahasan:

Domain: x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1

D_f = {x ∈ ℝ | x ≠ −1}

Range:

y = (3x − 2)/(x + 1)

y(x + 1) = 3x − 2

xy + y = 3x − 2

xy − 3x = −2 − y

x(y − 3) = −(2 + y)

x = −(2 + y)/(y − 3)

Syarat: y − 3 ≠ 0 → y ≠ 3

R_f = {y ∈ ℝ | y ≠ 3}

● Tingkat Sulit

Contoh 11

Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x + 3)x² − x − 6

Pembahasan:

Ada dua syarat yang harus dipenuhi secara bersamaan:

Syarat 1 (akar): x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3

Syarat 2 (penyebut): x² − x − 6 ≠ 0

(x − 3)(x + 2) ≠ 0 → x ≠ 3 dan x ≠ −2

Gabungan: x ≥ −3, x ≠ −2, dan x ≠ 3

D_f = [−3, −2) ∪ (−2, 3) ∪ (3, ∞)

Contoh 12

Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x² − 5x + 6)

Pembahasan:

Syarat: x² − 5x + 6 ≥ 0

Faktorkan: (x − 2)(x − 3) ≥ 0

Pembuat nol: x = 2 dan x = 3

Uji tanda pada garis bilangan:

Interval	(−∞, 2)	x = 2	(2, 3)	x = 3	(3, ∞)
Tanda	+	0	−	0	+

Karena ≥ 0, ambil interval positif dan nol:

D_f = (−∞, 2] ∪ [3, ∞)

Contoh 13

Tentukan range dari fungsi f(x) = x²x² + 1

Pembahasan:

Misalkan y = x²/(x² + 1)

y(x² + 1) = x²

yx² + y = x²

yx² − x² = −y

x²(y − 1) = −y

x² = −y/(y − 1) = y/(1 − y)

Syarat 1: y − 1 ≠ 0 → y ≠ 1

Syarat 2: x² ≥ 0 → y/(1 − y) ≥ 0

Uji tanda: y/(1 − y) ≥ 0 terpenuhi jika 0 ≤ y < 1

Periksa y = 0: f(0) = 0 ✓

R_f = [0, 1)

Contoh 14

Tentukan domain dari fungsi f(x) = 1√(4 − x²)

Pembahasan:

Karena akar di penyebut, syarat: 4 − x² > 0 (bukan ≥ 0, karena penyebut ≠ 0)

4 − x² > 0

−x² > −4

x² < 4

−2 < x < 2

D_f = (−2, 2)

Contoh 15

Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = √(4x − x²)

Pembahasan:

Domain:

Syarat: 4x − x² ≥ 0 → x(4 − x) ≥ 0

Pembuat nol: x = 0 dan x = 4

Uji tanda: x(4 − x) ≥ 0 terpenuhi jika 0 ≤ x ≤ 4

D_f = [0, 4]

Range:

f(x) = √(4x − x²) = √(−(x² − 4x)) = √(−((x−2)² − 4)) = √(4 − (x−2)²)

Nilai maksimum terjadi saat (x−2)² = 0 → x = 2 → f(2) = √4 = 2

Nilai minimum: f(x) = 0 saat x = 0 atau x = 4

R_f = [0, 2]

G. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal.

● Tingkat Mudah

1. Tentukan domain dari fungsi f(x) = 5x − 7

2. Tentukan domain dari fungsi f(x) = x² + 3x − 10

3. Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x − 5)

4. Tentukan domain dari fungsi f(x) = 2x − 7

5. Tentukan range dari fungsi f(x) = 4x + 3

● Tingkat Sedang

6. Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = x² + 2x − 3

7. Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(2x − 8)

8. Tentukan domain dari fungsi f(x) = x − 2x² − 9

9. Tentukan range dari fungsi f(x) = −2x² + 8x − 5

10. Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = x + 2x − 4

● Tingkat Sulit

11. Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x − 1)x² − 4x + 3

12. Tentukan domain dari fungsi f(x) = √(x² − 4x − 5)

13. Tentukan range dari fungsi f(x) = x² + 1x² − 1

14. Tentukan domain dari fungsi f(x) = 1√(x² − 9)

15. Tentukan domain dan range dari fungsi f(x) = √(6x − x²)

Fungsi Kuadrat – Daerah Definisi dan Daerah Nilai Fungsi

Daerah Definisi dan Daerah Nilai Fungsi

A. Pengertian Fungsi

🔍 Kegiatan: Mengamati

B. Daerah Definisi (Domain)

Aturan Menentukan Domain:

1. Fungsi Polinomial (Suku Banyak)

2. Fungsi Rasional (Pecahan)

3. Fungsi Irasional (Bentuk Akar)

4. Fungsi Irasional di Penyebut

❓ Kegiatan: Menanya

C. Daerah Nilai (Range)

Cara Menentukan Range:

1. Fungsi Linear: f(x) = ax + b

2. Fungsi Kuadrat: f(x) = ax² + bx + c

3. Fungsi Rasional: f(x) = ax + bcx + d

4. Fungsi Irasional: f(x) = √(g(x))

💡 Kegiatan: Menalar

D. Langkah Sistematis Menentukan Domain dan Range

Langkah Menentukan Domain:

Langkah Menentukan Range:

✋ Kegiatan: Mencoba

E. Notasi Penulisan Domain dan Range

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

F. Contoh Soal dan Pembahasan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

G. Latihan Soal

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Perangkat Pertama OpenAI Berupa Speaker AI Tanpa Layar

Terungkap! Begini Wujud Gadget AI Pertama OpenAI yang Disebut Bakal Saingi Apple

Lingkungan Belajar Aman, Nyaman, dan Menggembirakan (LBANM)

Eksplorasi Diri : Mengenali Potensi yang Ada (Analisis SWOT)

A. Pengertian Fungsi

🔍 Kegiatan: Mengamati

B. Daerah Definisi (Domain)

Aturan Menentukan Domain:

1. Fungsi Polinomial (Suku Banyak)

2. Fungsi Rasional (Pecahan)

3. Fungsi Irasional (Bentuk Akar)

4. Fungsi Irasional di Penyebut

❓ Kegiatan: Menanya

C. Daerah Nilai (Range)

Cara Menentukan Range:

1. Fungsi Linear: f(x) = ax + b

2. Fungsi Kuadrat: f(x) = ax² + bx + c

3. Fungsi Rasional: f(x) = ax + bcx + d

4. Fungsi Irasional: f(x) = √(g(x))

💡 Kegiatan: Menalar

D. Langkah Sistematis Menentukan Domain dan Range

Langkah Menentukan Domain:

Langkah Menentukan Range:

✋ Kegiatan: Mencoba

E. Notasi Penulisan Domain dan Range

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

F. Contoh Soal dan Pembahasan

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

G. Latihan Soal

● Tingkat Mudah

● Tingkat Sedang

● Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed