Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

📘 Pendahuluan

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum:

f(x) = ax 2 + bx + c, dengan a \neq 0

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Dalam materi ini, kita akan belajar cara menyusun persamaan grafik fungsi kuadrat jika diketahui informasi tertentu dari grafiknya.

Terdapat tiga bentuk persamaan fungsi kuadrat yang digunakan untuk menyusun persamaan berdasarkan informasi yang diketahui:

No	Bentuk	Persamaan	Diketahui
1	Umum	f(x) = ax² + bx + c	3 titik yang dilalui
2	Titik Puncak	f(x) = a(x − p)² + q	Titik puncak (p, q) dan 1 titik lain
3	Akar-akar	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)	2 titik potong sumbu-x dan 1 titik lain

📗 Materi 1: Menyusun Persamaan dari Tiga Titik yang Dilalui

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik parabola berikut yang melalui tiga titik: (0, 3), (1, 6), dan (2, 13).

Grafik parabola melalui tiga titik tertentu

❓ Menanya

Bagaimana cara menentukan persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c jika diketahui tiga titik yang dilalui grafik?

💡 Menalar

Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c melalui tiga titik, maka kita substitusikan koordinat ketiga titik tersebut ke persamaan umum sehingga diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dalam a, b, dan c.

Langkah-langkah:

Tuliskan bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c
Substitusikan ketiga titik ke persamaan sehingga diperoleh 3 persamaan
Selesaikan SPLTV untuk mendapatkan nilai a, b, dan c
Tuliskan persamaan fungsi kuadratnya

🧪 Mencoba

Mari kita coba menentukan persamaan dari tiga titik (0, 3), (1, 6), (2, 13):

Substitusi (0, 3): a(0)² + b(0) + c = 3 → c = 3

Substitusi (1, 6): a + b + 3 = 6 → a + b = 3 …(i)

Substitusi (2, 13): 4a + 2b + 3 = 13 → 4a + 2b = 10 → 2a + b = 5 …(ii)

Dari (ii) − (i): a = 2, maka b = 1

Jadi, f(x) = 2x² + x + 3

📢 Mengkomunikasikan

Untuk menyusun persamaan fungsi kuadrat dari tiga titik, kita substitusikan ketiga titik ke bentuk umum f(x) = ax² + bx + c, lalu menyelesaikan SPLTV yang terbentuk.

✏️ Contoh Soal — Tiga Titik yang Dilalui

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 2), (1, 5), dan (2, 12).

Lihat Pembahasan

f(x) = ax² + bx + c

Titik (0,2): c = 2

Titik (1,5): a + b + 2 = 5 → a + b = 3 …(1)

Titik (2,12): 4a + 2b + 2 = 12 → 4a + 2b = 10 → 2a + b = 5 …(2)

(2)−(1): a = 2, maka b = 1

Jawaban: f(x) = 2x² + x + 2

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 1), (1, 0), dan (−1, 4).

Lihat Pembahasan

Titik (0,1): c = 1

Titik (1,0): a + b + 1 = 0 → a + b = −1 …(1)

Titik (−1,4): a − b + 1 = 4 → a − b = 3 …(2)

(1)+(2): 2a = 2 → a = 1, b = −2

Jawaban: f(x) = x² − 2x + 1

3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 0), (1, 3), dan (2, 10).

Lihat Pembahasan

Titik (0,0): c = 0

Titik (1,3): a + b = 3 …(1)

Titik (2,10): 4a + 2b = 10 → 2a + b = 5 …(2)

(2)−(1): a = 2, b = 1

Jawaban: f(x) = 2x² + x

4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (0, −3), (1, −2), dan (3, 6).

Lihat Pembahasan

Titik (0,−3): c = −3

Titik (1,−2): a + b − 3 = −2 → a + b = 1 …(1)

Titik (3,6): 9a + 3b − 3 = 6 → 9a + 3b = 9 → 3a + b = 3 …(2)

(2)−(1): 2a = 2 → a = 1, b = 0

Jawaban: f(x) = x² − 3

5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, 2), (2, 7), dan (3, 14).

Lihat Pembahasan

Substitusi ketiga titik:

(1,2): a + b + c = 2 …(1)

(2,7): 4a + 2b + c = 7 …(2)

(3,14): 9a + 3b + c = 14 …(3)

(2)−(1): 3a + b = 5 …(4)

(3)−(2): 5a + b = 7 …(5)

(5)−(4): 2a = 2 → a = 1

Dari (4): b = 5 − 3 = 2

Dari (1): c = 2 − 1 − 2 = −1

Jawaban: f(x) = x² + 2x − 1

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (−1, 6), (2, 3), dan (4, 21).

Lihat Pembahasan

(−1,6): a − b + c = 6 …(1)

(2,3): 4a + 2b + c = 3 …(2)

(4,21): 16a + 4b + c = 21 …(3)

(2)−(1): 3a + 3b = −3 → a + b = −1 …(4)

(3)−(2): 12a + 2b = 18 → 6a + b = 9 …(5)

(5)−(4): 5a = 10 → a = 2

Dari (4): b = −3

Dari (1): 2 + 3 + c = 6 → c = 1

Jawaban: f(x) = 2x² − 3x + 1

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (−2, 9), (0, −3), dan (3, 12).

Lihat Pembahasan

(0,−3): c = −3

(−2,9): 4a − 2b − 3 = 9 → 4a − 2b = 12 → 2a − b = 6 …(1)

(3,12): 9a + 3b − 3 = 12 → 9a + 3b = 15 → 3a + b = 5 …(2)

(1)+(2): 5a = 11 → a = 11/5

Dari (2): b = 5 − 33/5 = −8/5

Jawaban: f(x) = (11/5)x² − (8/5)x − 3

3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (−3, 10), (−1, 0), dan (2, 3).

Lihat Pembahasan

(−3,10): 9a − 3b + c = 10 …(1)

(−1,0): a − b + c = 0 …(2)

(2,3): 4a + 2b + c = 3 …(3)

(1)−(2): 8a − 2b = 10 → 4a − b = 5 …(4)

(3)−(2): 3a + 3b = 3 → a + b = 1 …(5)

(4)+(5): 5a = 6 → a = 6/5

Dari (5): b = 1 − 6/5 = −1/5

Dari (2): c = b − a = −1/5 − 6/5 = −7/5

Jawaban: f(x) = (6/5)x² − (1/5)x − 7/5

4. Grafik fungsi kuadrat melalui titik (−1, −4), (1, 2), dan (3, 0). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

(−1,−4): a − b + c = −4 …(1)

(1,2): a + b + c = 2 …(2)

(3,0): 9a + 3b + c = 0 …(3)

(2)−(1): 2b = 6 → b = 3

(3)−(2): 8a + 2b = −2 → 8a + 6 = −2 → a = −1

Dari (2): −1 + 3 + c = 2 → c = 0

Jawaban: f(x) = −x² + 3x

5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (−2, 1), (1, −2), dan (4, 25).

Lihat Pembahasan

(−2,1): 4a − 2b + c = 1 …(1)

(1,−2): a + b + c = −2 …(2)

(4,25): 16a + 4b + c = 25 …(3)

(1)−(2): 3a − 3b = 3 → a − b = 1 …(4)

(3)−(2): 15a + 3b = 27 → 5a + b = 9 …(5)

(4)+(5): 6a = 10 → a = 5/3

Dari (4): b = 5/3 − 1 = 2/3

Dari (2): c = −2 − 5/3 − 2/3 = −2 − 7/3 = −13/3

Jawaban: f(x) = (5/3)x² + (2/3)x − 13/3

🔴 Tingkat Sulit

1. Grafik fungsi kuadrat melalui titik (−2, 18), (1, 0), dan (3, 4). Tentukan persamaan dan titik puncaknya.

Lihat Pembahasan

(−2,18): 4a − 2b + c = 18 …(1)

(1,0): a + b + c = 0 …(2)

(3,4): 9a + 3b + c = 4 …(3)

(1)−(2): 3a − 3b = 18 → a − b = 6 …(4)

(3)−(2): 8a + 2b = 4 → 4a + b = 2 …(5)

(4)+(5): 5a = 8 → a = 8/5

Dari (4): b = 8/5 − 6 = −22/5

Dari (2): c = −8/5 + 22/5 = 14/5

f(x) = (8/5)x² − (22/5)x + 14/5

Titik puncak: x_p = −b/(2a) = (22/5)/(16/5) = 22/16 = 11/8

y_p = f(11/8) = (8/5)(121/64) − (22/5)(11/8) + 14/5 = 121/40 − 242/40 + 112/40 = −9/40

Jawaban: f(x) = (8/5)x² − (22/5)x + 14/5, titik puncak (11/8, −9/40)

2. Fungsi kuadrat melalui titik (−3, 0), (0, −9), dan (2, −5). Tentukan persamaan dan sumbu simetrinya.

Lihat Pembahasan

(0,−9): c = −9

(−3,0): 9a − 3b − 9 = 0 → 3a − b = 3 …(1)

(2,−5): 4a + 2b − 9 = −5 → 4a + 2b = 4 → 2a + b = 2 …(2)

(1)+(2): 5a = 5 → a = 1, b = 0

f(x) = x² − 9

Sumbu simetri: x = −b/(2a) = 0

Jawaban: f(x) = x² − 9, sumbu simetri x = 0

3. Grafik parabola melalui (−1, 12), (2, 3), dan (5, 12). Tentukan persamaan, titik puncak, dan akar-akarnya.

Lihat Pembahasan

(−1,12): a − b + c = 12 …(1)

(2,3): 4a + 2b + c = 3 …(2)

(5,12): 25a + 5b + c = 12 …(3)

(2)−(1): 3a + 3b = −9 → a + b = −3 …(4)

(3)−(2): 21a + 3b = 9 → 7a + b = 3 …(5)

(5)−(4): 6a = 6 → a = 1, b = −4

Dari (1): 1 + 4 + c = 12 → c = 7

f(x) = x² − 4x + 7

Puncak: x_p = 2, y_p = 4 − 8 + 7 = 3 → (2, 3)

Diskriminan: D = 16 − 28 = −12 < 0 → tidak memotong sumbu-x

Jawaban: f(x) = x² − 4x + 7, puncak (2, 3), tidak memiliki akar real

4. Grafik melalui (−4, 3), (−1, −6), dan (2, 9). Tentukan persamaan dan tentukan apakah grafik terbuka ke atas atau ke bawah.

Lihat Pembahasan

(−4,3): 16a − 4b + c = 3 …(1)

(−1,−6): a − b + c = −6 …(2)

(2,9): 4a + 2b + c = 9 …(3)

(1)−(2): 15a − 3b = 9 → 5a − b = 3 …(4)

(3)−(2): 3a + 3b = 15 → a + b = 5 …(5)

(4)+(5): 6a = 8 → a = 4/3

Dari (5): b = 5 − 4/3 = 11/3

Dari (2): c = −6 − 4/3 + 11/3 = −6 + 7/3 = −11/3

Karena a = 4/3 > 0, grafik terbuka ke atas.

Jawaban: f(x) = (4/3)x² + (11/3)x − 11/3, terbuka ke atas

5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, −3), (3, 5), dan (−2, 15). Kemudian tentukan nilai minimum atau maksimumnya.

Lihat Pembahasan

(1,−3): a + b + c = −3 …(1)

(3,5): 9a + 3b + c = 5 …(2)

(−2,15): 4a − 2b + c = 15 …(3)

(2)−(1): 8a + 2b = 8 → 4a + b = 4 …(4)

(3)−(1): 3a − 3b = 18 → a − b = 6 …(5)

(4)+(5): 5a = 10 → a = 2

Dari (5): b = 2 − 6 = −4

Dari (1): c = −3 − 2 + 4 = −1

f(x) = 2x² − 4x − 1

Karena a = 2 > 0, memiliki nilai minimum.

x_p = 4/(2×2) = 1

y_min = 2(1) − 4(1) − 1 = −3

Jawaban: f(x) = 2x² − 4x − 1, nilai minimum = −3

📝 Latihan Soal — Tiga Titik yang Dilalui

🟢 Mudah

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (0, 4), (1, 7), dan (2, 14).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (0, −1), (1, 2), dan (−1, 2).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (0, 0), (2, 8), dan (−1, 5).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (0, 5), (1, 4), dan (2, 7).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (0, −2), (1, 1), dan (3, 13).

🟡 Sedang

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (−2, 11), (1, 2), dan (3, 8).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (−1, 10), (2, 1), dan (4, 9).
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui (−3, 7), (0, −2), dan (1, 1).
Grafik melalui (−2, 0), (1, −3), dan (4, 12). Tentukan persamaan dan titik potong sumbu-y.
Grafik melalui (−1, 5), (0, 3), dan (2, 9). Tentukan persamaan dan sumbu simetrinya.

🔴 Sulit

Grafik melalui (−3, 20), (1, 0), dan (4, 15). Tentukan persamaan, puncak, dan akar-akarnya.
Grafik melalui (−2, −1), (1, 8), dan (3, 20). Tentukan persamaan dan nilai minimum/maksimumnya.
Grafik melalui (−4, 25), (−1, 4), dan (2, 7). Tentukan persamaan dan tentukan apakah D > 0, D = 0, atau D < 0.
Grafik melalui (−1, 3), (2, 0), dan (5, 9). Tentukan persamaan, kemudian tentukan interval di mana f(x) > 0.
Grafik melalui (0, 6), (−3, 0), dan (2, 0). Tentukan persamaan, puncak, dan gambarkan sketsa grafiknya.

📗 Materi 2: Menyusun Persamaan dari Titik Puncak

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik parabola yang memiliki titik puncak (2, −1) dan melalui titik (4, 3).

Parabola dengan puncak (2, −1) melalui titik (4, 3)

❓ Menanya

Jika titik puncak (vertex) grafik diketahui beserta satu titik lain yang dilalui, bagaimana kita menyusun persamaan fungsi kuadratnya?

💡 Menalar

Jika titik puncak grafik adalah (p, q), maka persamaan fungsi kuadrat dapat ditulis:

f(x) = a(x - p) 2 + q

Langkah-langkah:

Tuliskan bentuk puncak: f(x) = a(x − p)² + q
Substitusikan titik puncak (p, q)
Substitusikan titik lain yang diketahui untuk mencari nilai a
Tuliskan persamaan lengkapnya

🧪 Mencoba

Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (2, −1) dan melalui titik (4, 3):

f(x) = a(x − 2)² + (−1) = a(x − 2)² − 1

Substitusi titik (4, 3):

3 = a(4 − 2)² − 1

3 = 4a − 1

4a = 4 → a = 1

Jadi, f(x) = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 3

📢 Mengkomunikasikan

Jika diketahui titik puncak (p, q) dan satu titik lain pada grafik, gunakan bentuk f(x) = a(x − p)² + q. Substitusikan titik lain untuk menentukan nilai a.

✏️ Contoh Soal — Titik Puncak

🟢 Tingkat Mudah

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (1, 3) dan melalui titik (0, 5).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 1)² + 3

Substitusi (0, 5): 5 = a(0 − 1)² + 3 = a + 3

a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x − 1)² + 3 = 2x² − 4x + 5

2. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (0, −4) dan melalui titik (2, 0).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 0)² − 4 = ax² − 4

Substitusi (2, 0): 0 = 4a − 4 → a = 1

Jawaban: f(x) = x² − 4

3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (3, 0) dan melalui titik (1, 8).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 3)² + 0 = a(x − 3)²

Substitusi (1, 8): 8 = a(1 − 3)² = 4a → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x − 3)² = 2x² − 12x + 18

4. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (−2, 1) dan melalui titik (0, 5).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 2)² + 1

Substitusi (0, 5): 5 = a(4) + 1 → 4a = 4 → a = 1

Jawaban: f(x) = (x + 2)² + 1 = x² + 4x + 5

5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (1, −2) dan melalui titik (3, 6).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 1)² − 2

Substitusi (3, 6): 6 = a(4) − 2 → 4a = 8 → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x − 1)² − 2 = 2x² − 4x

🟡 Tingkat Sedang

1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat dengan puncak (−1, −3) dan melalui titik (2, 6).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 1)² − 3

Substitusi (2, 6): 6 = a(3)² − 3 = 9a − 3

9a = 9 → a = 1

Jawaban: f(x) = (x + 1)² − 3 = x² + 2x − 2

2. Grafik memiliki puncak (3, 5) dan memotong sumbu-y di titik (0, −4). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 3)² + 5

Substitusi (0, −4): −4 = a(9) + 5 → 9a = −9 → a = −1

Jawaban: f(x) = −(x − 3)² + 5 = −x² + 6x − 4

3. Grafik terbuka ke bawah, puncak di (2, 8), dan melalui titik (5, −1). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 2)² + 8

Substitusi (5, −1): −1 = a(9) + 8 → 9a = −9 → a = −1

Verifikasi: a = −1 < 0 ✓ (terbuka ke bawah)

Jawaban: f(x) = −(x − 2)² + 8 = −x² + 4x + 4

4. Puncak di (−3, 2) dan melalui titik (−1, −6). Tentukan persamaan dan akar-akarnya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 3)² + 2

Substitusi (−1, −6): −6 = a(4) + 2 → 4a = −8 → a = −2

f(x) = −2(x + 3)² + 2 = −2x² − 12x − 16

Akar: −2(x + 3)² + 2 = 0 → (x + 3)² = 1 → x + 3 = ±1

Jawaban: f(x) = −2(x + 3)² + 2, akar: x = −2 dan x = −4

5. Titik puncak (4, −3) dan melalui titik (1, 6). Tentukan persamaan dalam bentuk umum.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 4)² − 3

Substitusi (1, 6): 6 = a(−3)² − 3 = 9a − 3

9a = 9 → a = 1

f(x) = (x − 4)² − 3 = x² − 8x + 16 − 3

Jawaban: f(x) = x² − 8x + 13

🔴 Tingkat Sulit

1. Grafik dengan puncak (−2, 5) dan melalui titik (1, −13). Tentukan persamaan, sumbu simetri, dan tentukan f(−5).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 2)² + 5

Substitusi (1, −13): −13 = a(9) + 5 → 9a = −18 → a = −2

f(x) = −2(x + 2)² + 5

Sumbu simetri: x = −2

f(−5) = −2(−5 + 2)² + 5 = −2(9) + 5 = −13

Jawaban: f(x) = −2(x + 2)² + 5, sumbu simetri x = −2, f(−5) = −13

2. Grafik memiliki nilai maksimum 7 saat x = 3 dan melalui titik (0, −2). Tentukan persamaannya dan range fungsi.

Lihat Pembahasan

Nilai maksimum 7 saat x = 3 berarti puncak (3, 7) dan terbuka ke bawah.

f(x) = a(x − 3)² + 7

Substitusi (0, −2): −2 = a(9) + 7 → 9a = −9 → a = −1

Range: karena terbuka ke bawah dengan nilai maks 7, maka f(x) ≤ 7

Jawaban: f(x) = −(x − 3)² + 7 = −x² + 6x − 2, range: {y | y ≤ 7}

3. Grafik dengan sumbu simetri x = −1 dan nilai minimum −4. Grafik melalui titik (1, 4). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

Sumbu simetri x = −1 dan nilai min −4 berarti puncak (−1, −4).

f(x) = a(x + 1)² − 4

Substitusi (1, 4): 4 = a(4) − 4 → 4a = 8 → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x + 1)² − 4 = 2x² + 4x − 2

4. Grafik dengan puncak (p, −8) melalui titik (0, 0) dan (4, 0). Tentukan nilai p dan persamaannya.

Lihat Pembahasan

Karena grafik melalui (0,0) dan (4,0), sumbu simetri di tengah: x = (0+4)/2 = 2

Jadi p = 2, puncak (2, −8).

f(x) = a(x − 2)² − 8

Substitusi (0, 0): 0 = a(4) − 8 → 4a = 8 → a = 2

Jawaban: p = 2, f(x) = 2(x − 2)² − 8 = 2x² − 8x

5. Grafik dengan puncak (a, 2a) melalui titik (0, 3) dan nilai a > 0. Tentukan semua kemungkinan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = k(x − a)² + 2a

Substitusi (0, 3): 3 = k·a² + 2a

k = (3 − 2a)/a²

Agar parabola: k ≠ 0 → a ≠ 3/2

Untuk a = 1: k = (3−2)/1 = 1, f(x) = (x−1)² + 2 = x² − 2x + 3

Untuk a = 3: k = (3−6)/9 = −1/3, f(x) = −(1/3)(x−3)² + 6

Jawaban: Untuk setiap a > 0, a ≠ 3/2: f(x) = [(3−2a)/a²](x−a)² + 2a

📝 Latihan Soal — Titik Puncak

🟢 Mudah

Puncak (2, 1) dan melalui titik (0, 9). Tentukan persamaannya.
Puncak (0, 3) dan melalui titik (1, 5). Tentukan persamaannya.
Puncak (−1, 0) dan melalui titik (1, 4). Tentukan persamaannya.
Puncak (3, −2) dan melalui titik (5, 6). Tentukan persamaannya.
Puncak (1, 4) dan melalui titik (−1, 0). Tentukan persamaannya.

🟡 Sedang

Puncak (−2, 3) dan memotong sumbu-y di titik (0, −5). Tentukan persamaan dan akar-akarnya.
Nilai minimum −9 saat x = 1 dan melalui (4, 0). Tentukan persamaannya.
Puncak (3, 4) dan melalui titik (0, −5). Tentukan persamaan dalam bentuk umum.
Grafik terbuka ke bawah, puncak (−1, 6), melalui (2, −3). Tentukan persamaannya.
Sumbu simetri x = 2, titik tertinggi di y = 10, melalui (0, 2). Tentukan persamaannya.

🔴 Sulit

Puncak (2, −3) dan melalui (5, 6). Tentukan persamaan, akar-akar, dan range fungsi.
Nilai maksimum 12 dicapai saat x = −2, memotong sumbu-x di dua titik. Salah satu titik potong (−6, 0). Tentukan titik potong lainnya dan persamaannya.
Puncak (a, a²) melalui titik asal (0,0). Tentukan persamaan dalam a dan tentukan bentuk umum jika a = 2.
Grafik dengan puncak di garis y = x dan memotong sumbu-y di (0, 8). Jika sumbu simetri x = 2, tentukan persamaannya.
Grafik memiliki puncak di (p, q) dengan p + q = 5 dan melalui (0, 6) dan (3, 3). Tentukan persamaannya.

📗 Materi 3: Menyusun Persamaan dari Akar-Akar (Titik Potong Sumbu-x)

🔍 Mengamati

Perhatikan grafik yang memotong sumbu-x di titik (−1, 0) dan (3, 0), serta melalui titik (1, −4).

Parabola memotong sumbu-x di x = −1 dan x = 3

❓ Menanya

Jika diketahui dua titik potong grafik dengan sumbu-x (akar-akar) dan satu titik lain, bagaimana cara menyusun persamaannya?

💡 Menalar

Jika grafik memotong sumbu-x di x = x₁ dan x = x₂, maka persamaan fungsi kuadrat:

f(x) = a(x - x 1)(x - x 2)

Langkah-langkah:

Tuliskan bentuk akar-akar: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Substitusikan kedua akar (titik potong sumbu-x)
Substitusikan titik lain yang diketahui untuk mencari nilai a
Tuliskan persamaan lengkapnya

🧪 Mencoba

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di (−1, 0) dan (3, 0), serta melalui (1, −4):

f(x) = a(x + 1)(x − 3)

Substitusi (1, −4): −4 = a(1 + 1)(1 − 3) = a(2)(−2) = −4a

a = 1

Jadi, f(x) = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3

📢 Mengkomunikasikan

Jika diketahui dua titik potong sumbu-x (x₁ dan x₂) dan satu titik lain, gunakan bentuk f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) lalu substitusikan titik lain untuk menentukan a.

✏️ Contoh Soal — Akar-Akar

🟢 Tingkat Mudah

1. Grafik memotong sumbu-x di (1, 0) dan (5, 0), melalui titik (0, 5). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 1)(x − 5)

Substitusi (0, 5): 5 = a(−1)(−5) = 5a → a = 1

Jawaban: f(x) = (x − 1)(x − 5) = x² − 6x + 5

2. Grafik memotong sumbu-x di (0, 0) dan (4, 0), melalui titik (2, −4). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a·x(x − 4)

Substitusi (2, −4): −4 = a(2)(−2) = −4a → a = 1

Jawaban: f(x) = x(x − 4) = x² − 4x

3. Grafik memotong sumbu-x di (−2, 0) dan (6, 0), melalui titik (0, −12). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 2)(x − 6)

Substitusi (0, −12): −12 = a(2)(−6) = −12a → a = 1

Jawaban: f(x) = (x + 2)(x − 6) = x² − 4x − 12

4. Grafik memotong sumbu-x di (−3, 0) dan (1, 0), melalui titik (2, 10). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 3)(x − 1)

Substitusi (2, 10): 10 = a(5)(1) = 5a → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x + 3)(x − 1) = 2x² + 4x − 6

5. Grafik memotong sumbu-x di (2, 0) dan (−4, 0), melalui titik (0, 8). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 2)(x + 4)

Substitusi (0, 8): 8 = a(−2)(4) = −8a → a = −1

Jawaban: f(x) = −(x − 2)(x + 4) = −x² − 2x + 8

🟡 Tingkat Sedang

1. Grafik memotong sumbu-x di (−2, 0) dan (4, 0), serta memotong sumbu-y di (0, 16). Tentukan persamaan dan titik puncaknya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 2)(x − 4)

Substitusi (0, 16): 16 = a(2)(−4) = −8a → a = −2

f(x) = −2(x + 2)(x − 4) = −2x² + 4x + 16

Puncak: x_p = (−2+4)/2 = 1, f(1) = −2(3)(−3) = 18

Jawaban: f(x) = −2x² + 4x + 16, puncak (1, 18)

2. Grafik menyinggung sumbu-x di (3, 0) dan melalui titik (1, 8). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

Menyinggung sumbu-x di x = 3 berarti akar kembar: x₁ = x₂ = 3

f(x) = a(x − 3)(x − 3) = a(x − 3)²

Substitusi (1, 8): 8 = a(−2)² = 4a → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x − 3)² = 2x² − 12x + 18

3. Grafik memotong sumbu-x di (−5, 0) dan (1, 0), terbuka ke bawah, dan melalui (−2, 9). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 5)(x − 1)

Substitusi (−2, 9): 9 = a(3)(−3) = −9a → a = −1

Verifikasi: a = −1 < 0 ✓ (terbuka ke bawah)

Jawaban: f(x) = −(x + 5)(x − 1) = −x² − 4x + 5

4. Grafik memotong sumbu-x di (−1, 0) dan (4, 0), dengan nilai maksimum 25/4. Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 1)(x − 4)

Puncak di x = (−1+4)/2 = 3/2

f(3/2) = a(3/2 + 1)(3/2 − 4) = a(5/2)(−5/2) = −25a/4

Nilai maks = 25/4: −25a/4 = 25/4 → a = −1

Jawaban: f(x) = −(x + 1)(x − 4) = −x² + 3x + 4

5. Grafik memotong sumbu-x di (1, 0) dan (−3, 0), melalui titik (−1, 4). Tentukan juga titik potong dengan sumbu-y.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 1)(x + 3)

Substitusi (−1, 4): 4 = a(−2)(2) = −4a → a = −1

f(x) = −(x − 1)(x + 3) = −x² − 2x + 3

Titik potong sumbu-y: f(0) = 3 → (0, 3)

Jawaban: f(x) = −x² − 2x + 3, memotong sumbu-y di (0, 3)

🔴 Tingkat Sulit

1. Grafik memotong sumbu-x di (−2, 0) dan (5, 0), dan memiliki nilai pada puncak sebesar 49/4. Tentukan persamaan lengkapnya.

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x + 2)(x − 5)

Puncak: x_p = (−2+5)/2 = 3/2

f(3/2) = a(3/2+2)(3/2−5) = a(7/2)(−7/2) = −49a/4

Nilai puncak = 49/4: −49a/4 = 49/4 → a = −1

Jawaban: f(x) = −(x + 2)(x − 5) = −x² + 3x + 10

2. Grafik menyinggung sumbu-x di x = −2 dan memotong sumbu-x di x = 4, melalui titik (2, −16). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

Menyinggung di x = −2 berarti akar kembar di −2. Tetapi ini kubik. Karena fungsi kuadrat hanya punya 2 akar, “menyinggung” berarti grafik menyentuh dan memantul. Jadi akar-akarnya: −2 (kembar) dan 4… Tapi fungsi kuadrat hanya boleh berderajat 2.

Koreksi: Jika menyinggung sumbu-x di −2 berarti −2 adalah akar kembar. Maka tidak bisa juga memotong di 4 (3 akar). Ini mungkin soal fungsi kubik.

Interpretasi lain: grafik memotong sumbu-x di dua titik: −2 dan 4 (bukan menyinggung). Maka:

f(x) = a(x + 2)(x − 4)

Substitusi (2, −16): −16 = a(4)(−2) = −8a → a = 2

Jawaban: f(x) = 2(x + 2)(x − 4) = 2x² − 4x − 16

3. Grafik memotong sumbu-x di x = 2 dan x = −3. Jarak titik puncak ke sumbu-x adalah 25/8. Tentukan persamaannya (ada 2 kemungkinan).

Lihat Pembahasan

f(x) = a(x − 2)(x + 3)

Puncak: x_p = (2+(−3))/2 = −1/2

f(−1/2) = a(−1/2 − 2)(−1/2 + 3) = a(−5/2)(5/2) = −25a/4

Jarak ke sumbu-x = |f(−1/2)| = 25/8:

|−25a/4| = 25/8 → 25|a|/4 = 25/8 → |a| = 1/2

Kemungkinan 1: a = 1/2 → f(x) = (1/2)(x−2)(x+3) = (1/2)x² + (1/2)x − 3

Kemungkinan 2: a = −1/2 → f(x) = −(1/2)(x−2)(x+3) = −(1/2)x² − (1/2)x + 3

Jawaban: f(x) = (1/2)x² + (1/2)x − 3 atau f(x) = −(1/2)x² − (1/2)x + 3

4. Grafik memotong sumbu-x di dua titik yang berjarak 6 satuan dan sumbu simetrinya x = 1. Grafik melalui (0, −5). Tentukan persamaannya.

Lihat Pembahasan

Sumbu simetri x = 1, jarak antar akar = 6.

Akar-akar simetris terhadap x = 1: x₁ = 1 − 3 = −2, x₂ = 1 + 3 = 4

f(x) = a(x + 2)(x − 4)

Substitusi (0, −5): −5 = a(2)(−4) = −8a → a = 5/8

Jawaban: f(x) = (5/8)(x + 2)(x − 4) = (5/8)x² − (5/4)x − 5

5. Grafik memotong sumbu-x di x = p dan x = q dengan p + q = 4 dan p · q = −5. Grafik melalui titik (2, −18). Tentukan persamaan lengkapnya.

Lihat Pembahasan

p + q = 4 dan pq = −5. Dari Vieta: p dan q akar dari t² − 4t − 5 = 0 → (t−5)(t+1) = 0

Jadi p = 5, q = −1 (atau sebaliknya).

f(x) = a(x − 5)(x + 1)

Substitusi (2, −18): −18 = a(2−5)(2+1) = a(−3)(3) = −9a

a = 2

f(x) = 2(x − 5)(x + 1) = 2x² − 8x − 10

Jawaban: f(x) = 2x² − 8x − 10

📝 Latihan Soal — Akar-Akar

🟢 Mudah

Grafik memotong sumbu-x di (2, 0) dan (6, 0), melalui (0, 12). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (0, 0) dan (−3, 0), melalui (1, −4). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (−1, 0) dan (5, 0), melalui (1, −8). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (3, 0) dan (−3, 0), melalui (0, 9). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (1, 0) dan (4, 0), melalui (2, −2). Tentukan persamaannya.

🟡 Sedang

Grafik memotong sumbu-x di (−4, 0) dan (2, 0), nilai minimum −18. Tentukan persamaannya.
Grafik menyinggung sumbu-x di x = −1 dan melalui (1, 12). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (−3, 0) dan (5, 0), terbuka ke bawah, melalui (1, 16). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (−2, 0) dan (3, 0). Titik puncaknya berada di garis y = −5. Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di (1, 0) dan (−5, 0), memotong sumbu-y di (0, 10). Tentukan puncaknya.

🔴 Sulit

Grafik memotong sumbu-x di dua titik yang berjarak 8 satuan, sumbu simetri x = 3, melalui (0, 10). Tentukan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di x = p dan x = 2p, melalui (0, −8) dan (3, 10). Tentukan p dan persamaannya.
Grafik memotong sumbu-x di dua titik simetris terhadap x = 2 dan memiliki nilai minimum −12. Melalui (5, 0). Tentukan persamaannya.
Jumlah akar-akar 6 dan hasil kali akar-akar −7. Grafik melalui (1, −12). Tentukan persamaan dan puncaknya.
Grafik memotong sumbu-x di (a, 0) dan (b, 0) dengan a² + b² = 10 dan a + b = 4. Grafik memotong sumbu-y di (0, 6). Tentukan persamaannya.

📋 Ringkasan

Informasi Diketahui	Bentuk yang Digunakan	Yang Dicari
3 titik yang dilalui	f(x) = ax² + bx + c	a, b, c (SPLTV)
Titik puncak + 1 titik lain	f(x) = a(x − p)² + q	a
2 akar + 1 titik lain	f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)	a

💡 Tips Penting:

Jika salah satu titik adalah (0, c), maka nilai c langsung diketahui.
Jika grafik menyinggung sumbu-x, berarti memiliki akar kembar (D = 0).
Nilai a > 0: parabola terbuka ke atas (memiliki nilai minimum).
Nilai a < 0: parabola terbuka ke bawah (memiliki nilai maksimum).
Sumbu simetri: x = −b/(2a) atau x = (x₁ + x₂)/2

📘 Pendahuluan

📗 Materi 1: Menyusun Persamaan dari Tiga Titik yang Dilalui

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

🧪 Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

✏️ Contoh Soal — Tiga Titik yang Dilalui

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal — Tiga Titik yang Dilalui

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

📗 Materi 2: Menyusun Persamaan dari Titik Puncak

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

🧪 Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

✏️ Contoh Soal — Titik Puncak

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal — Titik Puncak

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

📗 Materi 3: Menyusun Persamaan dari Akar-Akar (Titik Potong Sumbu-x)

🔍 Mengamati

❓ Menanya

💡 Menalar

🧪 Mencoba

📢 Mengkomunikasikan

✏️ Contoh Soal — Akar-Akar

🟢 Tingkat Mudah

🟡 Tingkat Sedang

🔴 Tingkat Sulit

📝 Latihan Soal — Akar-Akar

🟢 Mudah

🟡 Sedang

🔴 Sulit

📋 Ringkasan

💡 Tips Penting:

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed