Aplikasi Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan
Matematika
Pendahuluan
Dalam fisika, gerak suatu benda sering dinyatakan sebagai fungsi posisi terhadap waktu, yaitu s(t). Turunan (derivatif) memungkinkan kita menghitung kecepatan dan percepatan dari fungsi posisi tersebut.
Posisi: s(t)
Kecepatan: v(t) = s'(t) = ds/dt
Percepatan: a(t) = v'(t) = s”(t) = d²s/dt²
Artinya:
- Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi posisi terhadap waktu.
- Percepatan adalah turunan kedua dari fungsi posisi terhadap waktu, atau turunan pertama dari fungsi kecepatan.
Materi 1: Kecepatan Sesaat
Definisi
Jika posisi benda pada waktu t dinyatakan oleh s(t), maka kecepatan sesaat pada waktu t adalah:
Secara praktis, kecepatan sesaat diperoleh dengan menurunkan fungsi posisi s(t) terhadap t.
Aturan Turunan yang Digunakan
| Fungsi s(t) | Turunan v(t) = s'(t) |
|---|---|
| atn | n·a·tn−1 |
| c (konstanta) | 0 |
| at | a |
| at² + bt + c | 2at + b |
| at³ | 3at² |
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan tabel berikut. Sebuah mobil bergerak dengan posisi s(t) = 2t² + 3t + 1 meter.
| t (detik) | s(t) (meter) | v(t) = 4t + 3 (m/s) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 3 |
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 15 | 11 |
| 3 | 28 | 15 |
| 4 | 45 | 19 |
Amati bahwa kecepatan bertambah 4 m/s setiap detik. Ini menunjukkan percepatan konstan.
Kegiatan: Menanya
- Bagaimana hubungan antara fungsi posisi dan kecepatan?
- Kapan benda memiliki kecepatan nol (berhenti sesaat)?
- Apa arti kecepatan negatif?
- Bagaimana menentukan arah gerak benda dari tanda kecepatan?
Kegiatan: Menalar
Penalaran: Jika s(t) = t³ − 6t² + 9t + 2, tentukan kapan benda berhenti sesaat.
Benda berhenti ⟹ v(t) = 0
3t² − 12t + 9 = 0
t² − 4t + 3 = 0
(t − 1)(t − 3) = 0
t = 1 atau t = 3
Kesimpulan: Benda berhenti sesaat pada t = 1 detik dan t = 3 detik.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah selesaikan: Sebuah partikel bergerak dengan s(t) = 5t² − 20t + 15.
- Tentukan fungsi kecepatan v(t)
- Tentukan kecepatan saat t = 2
- Kapan benda berhenti?
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan hasilmu di depan kelas atau diskusikan dengan teman. Jelaskan:
- Langkah-langkah menurunkan fungsi posisi untuk mendapatkan kecepatan
- Interpretasi kecepatan positif, negatif, dan nol
- Hubungan grafik posisi dengan grafik kecepatan
Materi 2: Percepatan Sesaat
Definisi
Jika kecepatan benda pada waktu t dinyatakan oleh v(t), maka percepatan sesaat adalah:
Percepatan menunjukkan laju perubahan kecepatan terhadap waktu.
Interpretasi Percepatan
- a(t) > 0: Kecepatan bertambah (benda dipercepat)
- a(t) < 0: Kecepatan berkurang (benda diperlambat)
- a(t) = 0: Kecepatan konstan (gerak beraturan)
Contoh Lengkap
Kecepatan: v(t) = s'(t) = 3t² − 6t + 5
Percepatan: a(t) = v'(t) = s”(t) = 6t − 6
Percepatan saat t = 2:
a(2) = 6(2) − 6 = 12 − 6 = 6 m/s²
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan hubungan posisi, kecepatan, dan percepatan untuk s(t) = t³ − 6t² + 9t:
| t | s(t) | v(t)=3t²−12t+9 | a(t)=6t−12 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 9 | −12 |
| 1 | 4 | 0 | −6 |
| 2 | 2 | −3 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 6 |
| 4 | 4 | 9 | 12 |
Amati: saat v(t) = 0, benda berhenti sesaat. Saat a(t) = 0, kecepatan tidak berubah (titik balik percepatan).
Kegiatan: Menanya
- Apa perbedaan kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat?
- Kapan percepatan bernilai nol dan apa artinya secara fisis?
- Bagaimana menentukan apakah benda bergerak maju atau mundur?
Kegiatan: Menalar
Jika s(t) = 2t³ − 9t² + 12t, tentukan kapan percepatan = 0.
a(t) = 12t − 18
a(t) = 0 ⟹ 12t − 18 = 0 ⟹ t = 1,5 detik
Pada t = 1,5 detik, percepatan = 0, artinya kecepatan mencapai nilai minimum/maksimum.
Kegiatan: Mencoba
Diketahui s(t) = t³ − 12t + 5. Tentukan:
- Fungsi kecepatan dan percepatan
- Kecepatan dan percepatan saat t = 3
- Kapan percepatan bernilai nol?
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Buatlah ringkasan hubungan antara posisi, kecepatan, dan percepatan dalam bentuk diagram alur atau peta konsep. Diskusikan dengan kelompokmu.
Contoh Soal: Kecepatan
Mudah
1. Diketahui s(t) = 4t + 7. Tentukan kecepatan benda.
Pembahasan:
v(t) = s'(t) = 4
Kecepatan benda adalah 4 m/s (konstan).
2. Diketahui s(t) = 3t². Tentukan kecepatan saat t = 2.
Pembahasan:
v(t) = s'(t) = 6t
v(2) = 6(2) = 12 m/s
3. Diketahui s(t) = 5t² + 2t. Tentukan kecepatan saat t = 1.
Pembahasan:
v(t) = 10t + 2
v(1) = 10(1) + 2 = 12 m/s
4. Diketahui s(t) = t² − 4t + 3. Kapan benda berhenti?
Pembahasan:
v(t) = 2t − 4
Berhenti: 2t − 4 = 0 ⟹ t = 2 detik
5. Diketahui s(t) = 7t² − 3. Tentukan kecepatan saat t = 3.
Pembahasan:
v(t) = 14t
v(3) = 14(3) = 42 m/s
Sedang
1. Diketahui s(t) = t³ − 6t + 2. Tentukan kecepatan saat t = 2 dan kapan benda berhenti.
Pembahasan:
v(t) = 3t² − 6
v(2) = 3(4) − 6 = 6 m/s
Berhenti: 3t² − 6 = 0 ⟹ t² = 2 ⟹ t = √2 ≈ 1,41 detik
2. Diketahui s(t) = 2t³ − 9t² + 12t. Tentukan waktu saat benda berhenti.
Pembahasan:
v(t) = 6t² − 18t + 12
6t² − 18t + 12 = 0 ⟹ t² − 3t + 2 = 0 ⟹ (t−1)(t−2) = 0
t = 1 atau t = 2 detik
3. Diketahui s(t) = t³ − 3t² − 9t + 5. Tentukan interval waktu saat benda bergerak mundur (v < 0).
Pembahasan:
v(t) = 3t² − 6t − 9 = 3(t² − 2t − 3) = 3(t−3)(t+1)
v(t) < 0 saat −1 < t < 3
Karena t ≥ 0, maka benda bergerak mundur pada 0 ≤ t < 3
4. Dua benda bergerak: s₁(t) = 3t² + 2t dan s₂(t) = t² + 10t. Kapan kecepatannya sama?
Pembahasan:
v₁(t) = 6t + 2, v₂(t) = 2t + 10
6t + 2 = 2t + 10 ⟹ 4t = 8 ⟹ t = 2 detik
5. Diketahui s(t) = 4t³ − t². Tentukan kecepatan rata-rata dari t = 1 ke t = 3, lalu bandingkan dengan kecepatan sesaat saat t = 2.
Pembahasan:
Kecepatan rata-rata = [s(3) − s(1)] / (3 − 1)
s(3) = 4(27) − 9 = 99, s(1) = 4 − 1 = 3
Rata-rata = (99 − 3)/2 = 48 m/s
v(t) = 12t² − 2t, v(2) = 48 − 4 = 44 m/s
Kecepatan rata-rata (48 m/s) ≠ kecepatan sesaat saat t=2 (44 m/s)
Sulit
1. Diketahui s(t) = t⁴ − 8t³ + 18t² − 5. Tentukan semua waktu saat benda berhenti dan klasifikasikan tiap titik (maksimum/minimum lokal posisi).
Pembahasan:
v(t) = 4t³ − 24t² + 36t = 4t(t² − 6t + 9) = 4t(t − 3)²
v(t) = 0 ⟹ t = 0 atau t = 3
Uji tanda v(t): untuk t < 0: negatif, untuk 0 < t < 3: positif, untuk t > 3: positif
t = 0: minimum lokal (v berubah dari − ke +)
t = 3: bukan ekstrem (v tidak berubah tanda, hanya menyentuh nol)
2. Sebuah benda bergerak dengan s(t) = t³ − 9t² + 24t − 10. Tentukan posisi benda saat kecepatannya maksimum pada interval 0 ≤ t ≤ 5.
Pembahasan:
v(t) = 3t² − 18t + 24
Untuk v(t) maksimum, turunkan lagi: v'(t) = a(t) = 6t − 18 = 0 ⟹ t = 3
v”(t) = 6 > 0, artinya t = 3 adalah minimum v(t), bukan maksimum.
Cek ujung: v(0) = 24, v(5) = 75 − 90 + 24 = 9
Kecepatan maksimum di t = 0, yaitu 24 m/s
Posisi: s(0) = −10 meter
3. Benda bergerak dengan s(t) = 2t³ − 15t² + 36t − 20. Tentukan jarak total yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 5.
Pembahasan:
v(t) = 6t² − 30t + 36 = 6(t² − 5t + 6) = 6(t−2)(t−3)
Berhenti saat t = 2 dan t = 3
s(0) = −20, s(2) = 16 − 60 + 72 − 20 = 8
s(3) = 54 − 135 + 108 − 20 = 7, s(5) = 250 − 375 + 180 − 20 = 35
Jarak = |s(2)−s(0)| + |s(3)−s(2)| + |s(5)−s(3)|
= |8−(−20)| + |7−8| + |35−7| = 28 + 1 + 28 = 57 meter
4. Sebuah roket diluncurkan vertikal dengan s(t) = −5t³ + 30t² + 10t (meter). Tentukan ketinggian maksimum dan kecepatan saat mencapai ketinggian maksimum.
Pembahasan:
v(t) = −15t² + 60t + 10
Ketinggian maks ⟹ v(t) = 0 ⟹ −15t² + 60t + 10 = 0
15t² − 60t − 10 = 0 ⟹ 3t² − 12t − 2 = 0
t = (12 ± √(144+24)) / 6 = (12 ± √168) / 6 = (12 ± 2√42) / 6
t ≈ (12 + 12,96) / 6 ≈ 4,16 detik (ambil yang positif)
s(4,16) ≈ −5(72,0) + 30(17,3) + 10(4,16) ≈ −360 + 519 + 41,6 ≈ 200,6 meter
Kecepatan saat ketinggian maks = 0 m/s
5. Dua benda bergerak: s₁(t) = t³ − 6t² dan s₂(t) = 3t² − 12t. Tentukan kapan kedua benda memiliki kecepatan sama dan posisi masing-masing saat itu.
Pembahasan:
v₁(t) = 3t² − 12t, v₂(t) = 6t − 12
3t² − 12t = 6t − 12 ⟹ 3t² − 18t + 12 = 0 ⟹ t² − 6t + 4 = 0
t = (6 ± √(36−16)) / 2 = (6 ± √20) / 2 = 3 ± √5
t₁ = 3 − √5 ≈ 0,76 dan t₂ = 3 + √5 ≈ 5,24
Saat t ≈ 0,76: s₁ ≈ 0,44 − 3,47 = −3,03, s₂ ≈ 1,73 − 9,12 = −7,39
Saat t ≈ 5,24: s₁ ≈ 143,9 − 164,7 = −20,8, s₂ ≈ 82,3 − 62,9 = 19,4
Contoh Soal: Percepatan
Mudah
1. Diketahui s(t) = 3t² + 5t − 1. Tentukan percepatan benda.
Pembahasan:
v(t) = 6t + 5
a(t) = v'(t) = 6 m/s² (konstan)
2. Diketahui v(t) = 8t − 3. Tentukan percepatan.
Pembahasan:
a(t) = v'(t) = 8 m/s²
3. Diketahui s(t) = t³ + 2t. Tentukan percepatan saat t = 1.
Pembahasan:
v(t) = 3t² + 2, a(t) = 6t
a(1) = 6 m/s²
4. Diketahui s(t) = 2t² + 4t + 1. Tentukan percepatan.
Pembahasan:
v(t) = 4t + 4, a(t) = 4 m/s²
5. Diketahui v(t) = 12t² − 4t. Tentukan percepatan saat t = 2.
Pembahasan:
a(t) = 24t − 4
a(2) = 48 − 4 = 44 m/s²
Sedang
1. Diketahui s(t) = t³ − 6t² + 9t + 1. Tentukan percepatan saat benda berhenti.
Pembahasan:
v(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3), berhenti saat t = 1 dan t = 3
a(t) = 6t − 12
a(1) = 6 − 12 = −6 m/s² (diperlambat)
a(3) = 18 − 12 = 6 m/s² (dipercepat)
2. Diketahui s(t) = 2t³ − 3t² − 12t + 7. Tentukan kapan percepatan bernilai nol dan kecepatan saat itu.
Pembahasan:
v(t) = 6t² − 6t − 12, a(t) = 12t − 6
a(t) = 0 ⟹ 12t − 6 = 0 ⟹ t = 0,5
v(0,5) = 6(0,25) − 6(0,5) − 12 = 1,5 − 3 − 12 = −13,5 m/s
3. Sebuah benda bergerak dengan s(t) = t⁴ − 4t³. Tentukan percepatan saat t = 2.
Pembahasan:
v(t) = 4t³ − 12t²
a(t) = 12t² − 24t
a(2) = 12(4) − 24(2) = 48 − 48 = 0 m/s²
4. Diketahui v(t) = t³ − 9t. Kapan percepatan = 0 dan apakah kecepatan naik/turun saat itu?
Pembahasan:
a(t) = 3t² − 9 = 0 ⟹ t² = 3 ⟹ t = √3 ≈ 1,73
a'(t) = 6t. Saat t = √3: a'(√3) = 6√3 > 0
Percepatan berubah dari negatif ke positif ⟹ kecepatan minimum saat t = √3
5. Diketahui s(t) = 5t³ − 15t² + 10t. Tentukan kapan benda mengalami percepatan positif.
Pembahasan:
v(t) = 15t² − 30t + 10, a(t) = 30t − 30
a(t) > 0 ⟹ 30t − 30 > 0 ⟹ t > 1
Benda mengalami percepatan positif untuk t > 1 detik
Sulit
1. Diketahui s(t) = t⁴ − 8t³ + 22t² − 24t. Tentukan kapan percepatan minimum dan nilai minimumnya.
Pembahasan:
v(t) = 4t³ − 24t² + 44t − 24
a(t) = 12t² − 48t + 44
Minimum a(t): a'(t) = 24t − 48 = 0 ⟹ t = 2
a”(t) = 24 > 0 ⟹ minimum
a(2) = 12(4) − 48(2) + 44 = 48 − 96 + 44 = −4 m/s²
2. Benda bergerak dengan s(t) = t³ − 12t. Tentukan kecepatan benda saat percepatan = 12 m/s² dan posisi saat itu.
Pembahasan:
v(t) = 3t² − 12, a(t) = 6t
a(t) = 12 ⟹ 6t = 12 ⟹ t = 2
v(2) = 3(4) − 12 = 0 m/s
s(2) = 8 − 24 = −16 meter
3. Sebuah partikel bergerak dengan s(t) = t⁴ − 4t³ + 4t². Tentukan semua waktu saat percepatan = 0 dan tentukan jenis titik tersebut.
Pembahasan:
v(t) = 4t³ − 12t² + 8t
a(t) = 12t² − 24t + 8
12t² − 24t + 8 = 0 ⟹ 3t² − 6t + 2 = 0
t = (6 ± √(36−24)) / 6 = (6 ± √12) / 6 = 1 ± √3/3
t₁ ≈ 0,42 dan t₂ ≈ 1,58
a'(t) = 24t − 24. Pada t₁ ≈ 0,42: a’ < 0 (maks lokal percepatan). Pada t₂ ≈ 1,58: a’ > 0 (min lokal percepatan).
4. Benda A: s₁(t) = t³ − 3t², Benda B: s₂(t) = 3t² − t³. Tentukan kapan percepatannya sama besar tetapi berlawanan arah.
Pembahasan:
a₁(t) = 6t − 6, a₂(t) = 6 − 6t
Sama besar berlawanan arah: a₁(t) = −a₂(t)
6t − 6 = −(6 − 6t) = −6 + 6t
6t − 6 = 6t − 6 ⟹ berlaku untuk semua t
Kesimpulan: Percepatan kedua benda selalu sama besar berlawanan arah (a₁ = −a₂ untuk semua t).
5. Diketahui s(t) = t⁴ − 6t² + 8t + 3. Tentukan interval waktu saat benda dipercepat (v dan a searah) untuk t > 0.
Pembahasan:
v(t) = 4t³ − 12t + 8, a(t) = 12t² − 12 = 12(t²−1) = 12(t−1)(t+1)
Untuk t > 0: a(t) > 0 saat t > 1, a(t) < 0 saat 0 < t < 1
v(1) = 4 − 12 + 8 = 0
Perlu analisis v(t) lebih detail. v(t) = 4t³ − 12t + 8 = 4(t−1)²(t+2)
Untuk t > 0: v(t) ≥ 0 selalu (karena (t−1)² ≥ 0 dan (t+2) > 0)
Benda dipercepat saat v·a > 0. Karena v ≥ 0 selalu, maka dipercepat saat a > 0, yaitu t > 1
Latihan Soal: Kecepatan
Mudah
- Diketahui s(t) = 6t + 10. Tentukan kecepatan benda.
- Diketahui s(t) = 4t². Tentukan kecepatan saat t = 3.
- Diketahui s(t) = t² + 8t − 5. Tentukan kecepatan saat t = 4.
- Diketahui s(t) = 2t² − 10t. Kapan benda berhenti?
- Diketahui s(t) = 9t² + t. Tentukan kecepatan saat t = 0.
Sedang
- Diketahui s(t) = t³ − 3t² + 4. Tentukan kapan benda berhenti dan posisinya saat itu.
- Diketahui s(t) = 2t³ − 15t² + 24t. Tentukan interval waktu saat benda bergerak maju (v > 0).
- Dua benda bergerak: s₁(t) = 5t² − 3t dan s₂(t) = t² + 13t. Kapan kecepatannya sama?
- Diketahui s(t) = t³ − 12t + 5. Tentukan kecepatan maksimum pada interval 0 ≤ t ≤ 4.
- Diketahui s(t) = 3t³ − 9t². Tentukan kecepatan rata-rata dari t = 1 ke t = 3.
Sulit
- Diketahui s(t) = t⁴ − 4t³ + 6t². Tentukan semua waktu saat benda berhenti dan jarak total dari t = 0 sampai t = 3.
- Benda bergerak dengan s(t) = 2t³ − 9t² + 12t − 4. Tentukan jarak total dari t = 0 sampai t = 4.
- Diketahui s(t) = t⁴ − 8t² + 16. Tentukan kecepatan maksimum dan minimum pada 0 ≤ t ≤ 3.
- Dua partikel: s₁(t) = t³ − 3t dan s₂(t) = 3t² − 5t. Kapan kecepatannya sama dan berapakah percepatan masing-masing saat itu?
- Roket bergerak dengan s(t) = −2t³ + 18t² + 5t. Tentukan kecepatan maksimum roket dan kapan roket mulai melambat.
Latihan Soal: Percepatan
Mudah
- Diketahui s(t) = 5t² + 3t − 2. Tentukan percepatan benda.
- Diketahui v(t) = 10t + 7. Tentukan percepatan.
- Diketahui s(t) = 2t³ − t. Tentukan percepatan saat t = 2.
- Diketahui s(t) = t² − 6t + 9. Tentukan percepatan.
- Diketahui v(t) = 4t² + 2t − 1. Tentukan percepatan saat t = 3.
Sedang
- Diketahui s(t) = t³ − 9t² + 15t. Tentukan percepatan saat benda berhenti.
- Diketahui s(t) = 3t³ − 12t² + t. Kapan percepatan bernilai nol?
- Diketahui s(t) = t⁴ − 2t³. Tentukan percepatan saat t = 1.
- Diketahui v(t) = 2t³ − 6t² + 3t. Tentukan kapan percepatan bernilai positif.
- Diketahui s(t) = 4t³ − 18t² + 24t − 5. Tentukan percepatan saat kecepatan = 0.
Sulit
- Diketahui s(t) = t⁴ − 6t³ + 12t² − 8t. Tentukan percepatan minimum dan kapan terjadi.
- Benda bergerak dengan s(t) = 2t⁴ − 16t³ + 48t². Tentukan interval saat percepatan positif.
- Dua benda: s₁(t) = t³ + 2t dan s₂(t) = 6t² − t. Kapan percepatannya sama?
- Diketahui s(t) = t⁴ − 4t³ + 4t² + t. Tentukan kapan benda dipercepat (v·a > 0) untuk t > 0.
- Partikel bergerak dengan s(t) = t⁵ − 5t⁴ + 5t³. Tentukan semua waktu saat percepatan = 0 dan kecepatan saat itu.
Rangkuman
Posisi → turunan pertama → Kecepatan → turunan pertama → Percepatan
s(t) → s'(t) = v(t) → v'(t) = s”(t) = a(t)
- Kecepatan = turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu
- Percepatan = turunan kedua fungsi posisi = turunan pertama kecepatan
- Benda berhenti sesaat saat v(t) = 0
- Benda bergerak maju saat v(t) > 0, mundur saat v(t) < 0
- Benda dipercepat saat v dan a searah, diperlambat saat berlawanan
- Jarak total dihitung dengan memperhatikan perubahan arah gerak