Aplikasi Turunan untuk Menentukan Maksimum dan Minimum
Matematika
1. Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menghadapi masalah optimasi, yaitu mencari nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum) dari suatu besaran. Contohnya:
- Menentukan luas maksimum suatu lahan dengan pagar yang terbatas
- Menentukan biaya minimum produksi suatu barang
- Menentukan volume terbesar kotak yang bisa dibuat dari selembar karton
- Menentukan jarak terpendek atau waktu tercepat
Turunan (derivatif) merupakan alat matematis yang sangat ampuh untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Dengan turunan, kita dapat menentukan di titik mana suatu fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum.
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi f(x) = x³ − 3x berikut:
Amati bahwa pada titik maksimum dan minimum lokal, garis singgung kurva bersifat horizontal (kemiringan = 0). Artinya, f'(x) = 0 pada titik-titik tersebut.
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, timbul pertanyaan:
- Mengapa turunan fungsi bernilai nol pada titik maksimum dan minimum?
- Bagaimana cara membedakan titik maksimum dan titik minimum?
- Apakah setiap titik yang f'(x) = 0 pasti merupakan titik maksimum atau minimum?
2. Konsep Dasar Nilai Maksimum dan Minimum
2.1 Definisi
Definisi Nilai Maksimum Lokal
Fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai maksimum lokal di x = c jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di sekitar c.
Definisi Nilai Minimum Lokal
Fungsi f(x) dikatakan memiliki nilai minimum lokal di x = c jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di sekitar c.
Titik Stasioner (Titik Kritis)
Titik x = c disebut titik stasioner dari fungsi f(x) jika f'(c) = 0.
Nilai f(c) disebut nilai stasioner.
2.2 Jenis-Jenis Titik Stasioner
Ada tiga kemungkinan jenis titik stasioner:
Maksimum Lokal
Kurva naik lalu turun
Minimum Lokal
Kurva turun lalu naik
Titik Belok
Bukan maks/min
Kegiatan: Menalar
Mari kita nalar hubungan antara tanda turunan pertama dan sifat fungsi:
| Kondisi | f'(x) > 0 | f'(x) < 0 | f'(x) = 0 |
|---|---|---|---|
| Sifat f(x) | Naik ↗ | Turun ↘ | Stasioner — |
| Kemiringan | Positif | Negatif | Nol (horizontal) |
Kesimpulan: Jika f'(x) berubah dari positif ke negatif di x = c, maka f memiliki maksimum lokal di x = c. Jika f'(x) berubah dari negatif ke positif, maka f memiliki minimum lokal.
3. Langkah-Langkah Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum
Prosedur Menentukan Maksimum/Minimum:
- Tentukan turunan pertama f'(x) dari fungsi f(x)
- Cari titik stasioner dengan menyelesaikan f'(x) = 0
- Tentukan jenis titik stasioner dengan salah satu cara:
- Uji Turunan Pertama (tabel tanda f'(x))
- Uji Turunan Kedua (nilai f”(x))
- Hitung nilai fungsi di titik stasioner untuk mendapatkan nilai maksimum/minimum
4. Uji Turunan Pertama dan Kedua
4.1 Uji Turunan Pertama
Setelah mendapatkan titik stasioner x = c, kita periksa tanda f'(x) di sekitar c:
| Tanda f'(x) sebelum c | Tanda f'(x) sesudah c | Kesimpulan |
|---|---|---|
| + (positif) | − (negatif) | Maksimum Lokal di x = c |
| − (negatif) | + (positif) | Minimum Lokal di x = c |
| + (positif) | + (positif) | Bukan maks/min (titik belok) |
| − (negatif) | − (negatif) | Bukan maks/min (titik belok) |
4.2 Uji Turunan Kedua
Cara yang lebih cepat adalah menggunakan turunan kedua f”(x):
• f”(c) < 0 → f memiliki maksimum lokal di x = c
• f”(c) > 0 → f memiliki minimum lokal di x = c
• f”(c) = 0 → uji tidak dapat disimpulkan (gunakan uji turunan pertama)
Cara Mengingat:
f”(c) < 0 → kurva cekung ke bawah ∩ → puncak → MAKSIMUM
f”(c) > 0 → kurva cekung ke atas ∪ → lembah → MINIMUM
Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x³ − 12x + 5:
- Tentukan f'(x)
- Selesaikan f'(x) = 0
- Gunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenisnya
- Hitung nilai f(x) di titik stasioner
Langkah 1: f'(x) = 3x² − 12
Langkah 2: 3x² − 12 = 0 → x² = 4 → x = −2 atau x = 2
Langkah 3: f”(x) = 6x
f”(−2) = −12 < 0 → Maksimum lokal di x = −2
f”(2) = 12 > 0 → Minimum lokal di x = 2
Langkah 4:
f(−2) = (−8) − (−24) + 5 = 21 → Nilai maksimum lokal = 21
f(2) = 8 − 24 + 5 = −11 → Nilai minimum lokal = −11
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah menyelesaikan kegiatan Mencoba di atas, tuliskan kesimpulanmu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa f”(c) < 0 berarti maksimum.
- Bandingkan hasil uji turunan pertama dan uji turunan kedua. Apakah keduanya memberikan kesimpulan yang sama?
- Kapan sebaiknya menggunakan uji turunan pertama dan kapan uji turunan kedua?
5. Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = x² − 4x + 7.
Langkah 1: Tentukan f'(x)
Langkah 2: Cari titik stasioner
2x − 4 = 0
x = 2
Langkah 3: Uji turunan kedua
f”(2) = 2 > 0 → Minimum lokal di x = 2
Langkah 4: Hitung nilai minimum
Kesimpulan: Fungsi memiliki nilai minimum = 3 di x = 2. Tidak ada nilai maksimum (karena parabola terbuka ke atas).
Contoh 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = −x² + 6x − 5.
Langkah 1: f'(x) = −2x + 6
Langkah 2: −2x + 6 = 0 → x = 3
Langkah 3: f”(x) = −2 → f”(3) = −2 < 0 → Maksimum lokal
Langkah 4: f(3) = −9 + 18 − 5 = 4
Kesimpulan: Nilai maksimum = 4 di x = 3.
Contoh 3
Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x² + 2x + 1.
f'(x) = 2x + 2 = 0 → x = −1
f”(x) = 2 > 0 → Minimum lokal di x = −1
f(−1) = 1 − 2 + 1 = 0
Kesimpulan: Titik stasioner (−1, 0) adalah titik minimum lokal.
Contoh 4
Tentukan nilai stasioner dari f(x) = 3x² − 12x + 10.
f'(x) = 6x − 12 = 0 → x = 2
f”(x) = 6 > 0 → Minimum lokal
f(2) = 12 − 24 + 10 = −2
Kesimpulan: Nilai minimum = −2 di x = 2.
Contoh 5
Tentukan nilai maksimum dari f(x) = −2x² + 8x + 3.
f'(x) = −4x + 8 = 0 → x = 2
f”(x) = −4 < 0 → Maksimum lokal
f(2) = −8 + 16 + 3 = 11
Kesimpulan: Nilai maksimum = 11 di x = 2.
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
Langkah 1: f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x − 1)(x − 3)
Langkah 2: f'(x) = 0 → x = 1 atau x = 3
Langkah 3: f”(x) = 6x − 12
f”(1) = 6 − 12 = −6 < 0 → Maksimum lokal di x = 1
f”(3) = 18 − 12 = 6 > 0 → Minimum lokal di x = 3
Langkah 4:
f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 (maksimum lokal)
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 (minimum lokal)
Contoh 7
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 5.
f'(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x² + x − 2) = 6(x + 2)(x − 1)
f'(x) = 0 → x = −2 atau x = 1
f”(x) = 12x + 6
f”(−2) = −24 + 6 = −18 < 0 → Maksimum lokal di x = −2
f”(1) = 12 + 6 = 18 > 0 → Minimum lokal di x = 1
f(−2) = 2(−8) + 3(4) − 12(−2) + 5 = −16 + 12 + 24 + 5 = 25
f(1) = 2 + 3 − 12 + 5 = −2
Contoh 8
Tentukan nilai stasioner dari f(x) = x⁴ − 8x² + 16.
f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4) = 4x(x−2)(x+2)
f'(x) = 0 → x = 0, x = 2, x = −2
f”(x) = 12x² − 16
f”(0) = −16 < 0 → Maksimum lokal di x = 0, f(0) = 16
f”(2) = 48 − 16 = 32 > 0 → Minimum lokal di x = 2, f(2) = 16 − 32 + 16 = 0
f”(−2) = 48 − 16 = 32 > 0 → Minimum lokal di x = −2, f(−2) = 0
Contoh 9
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan ketinggian h(t) = 40t − 5t² meter setelah t detik. Tentukan ketinggian maksimum peluru.
h'(t) = 40 − 10t
h'(t) = 0 → 40 − 10t = 0 → t = 4 detik
h”(t) = −10 < 0 → Maksimum
h(4) = 40(4) − 5(16) = 160 − 80 = 80 meter
Kesimpulan: Ketinggian maksimum peluru adalah 80 meter pada t = 4 detik.
Contoh 10
Jumlah dua bilangan positif adalah 20. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum.
Misalkan bilangan pertama = x, maka bilangan kedua = 20 − x
Hasil kali: P(x) = x(20 − x) = 20x − x²
P'(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10
P”(x) = −2 < 0 → Maksimum
P(10) = 10 × 10 = 100
Kesimpulan: Kedua bilangan adalah 10 dan 10, dengan hasil kali maksimum = 100.
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Selembar karton berbentuk persegi dengan sisi 24 cm. Dari keempat sudutnya dipotong persegi kecil dengan sisi x cm, kemudian dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Tentukan nilai x agar volume kotak maksimum.
Model Matematika:
Panjang = lebar = (24 − 2x) cm, tinggi = x cm
Syarat: 0 < x < 12
V'(x) = 12x² − 192x + 576 = 12(x² − 16x + 48) = 12(x − 4)(x − 12)
V'(x) = 0 → x = 4 atau x = 12 (tidak memenuhi syarat)
V”(x) = 24x − 192
V”(4) = 96 − 192 = −96 < 0 → Maksimum di x = 4
V(4) = 4(16)² = 4 × 256 = 1024 cm³
Kesimpulan: Volume maksimum = 1024 cm³ saat x = 4 cm.
Contoh 12
Sebuah peternakan ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya menggunakan tembok yang sudah ada. Jika pagar yang tersedia 100 meter, tentukan ukuran kandang agar luasnya maksimum.
Misalkan sisi tegak lurus tembok = x, sisi sejajar tembok = y
Keliling pagar: 2x + y = 100 → y = 100 − 2x
Luas: L(x) = xy = x(100 − 2x) = 100x − 2x²
L'(x) = 100 − 4x = 0 → x = 25
L”(x) = −4 < 0 → Maksimum
y = 100 − 50 = 50 m
L(25) = 25 × 50 = 1250 m²
Kesimpulan: Ukuran kandang 25 m × 50 m dengan luas maksimum 1250 m².
Contoh 13
Tentukan volume terbesar tabung yang dapat dimasukkan ke dalam kerucut dengan jari-jari alas R = 6 cm dan tinggi T = 12 cm.
Misalkan jari-jari tabung = r dan tinggi tabung = t
Dari kesebangunan segitiga: (12 − t)/12 = r/6 → t = 12 − 2r
Volume tabung: V = πr²t = πr²(12 − 2r) = π(12r² − 2r³)
V'(r) = π(24r − 6r²) = 6πr(4 − r) = 0
r = 0 (tidak memenuhi) atau r = 4
V”(r) = π(24 − 12r) → V”(4) = π(24 − 48) = −24π < 0 → Maksimum
t = 12 − 2(4) = 4 cm
V = π(4)²(4) = 64π cm³ ≈ 201,06 cm³
Contoh 14
Biaya produksi suatu barang dinyatakan dengan C(x) = x³ − 12x² + 60x + 100 (dalam ribuan rupiah) untuk x unit barang. Tentukan jumlah produksi agar biaya rata-rata per unit minimum.
Biaya rata-rata: AC(x) = C(x)/x = x² − 12x + 60 + 100/x
AC'(x) = 2x − 12 − 100/x²
AC'(x) = 0 → 2x − 12 − 100/x² = 0 → 2x³ − 12x² − 100 = 0
Coba x = 10: 2(1000) − 12(100) − 100 = 2000 − 1200 − 100 = 700 ≠ 0
Coba x = 5: 2(125) − 12(25) − 100 = 250 − 300 − 100 = −150 ≠ 0
Dengan metode numerik atau faktorisasi: x³ − 6x² − 50 = 0
Coba x ≈ 7.6 (secara numerik)
Untuk penyederhanaan soal, jika C(x) = x³ − 12x² + 60x + 100:
Produksi optimal sekitar 7-8 unit untuk biaya rata-rata minimum.
(Soal ini menunjukkan bahwa tidak semua persamaan kubik mudah difaktorkan)
Contoh 15
Tentukan titik pada kurva y = x² yang jaraknya terdekat ke titik (0, 3).
Titik pada kurva: (x, x²)
Jarak ke (0, 3): D = √(x² + (x² − 3)²)
Untuk mempermudah, minimumkan D² = S(x) = x² + (x² − 3)² = x² + x⁴ − 6x² + 9 = x⁴ − 5x² + 9
S'(x) = 4x³ − 10x = 2x(2x² − 5)
S'(x) = 0 → x = 0 atau x² = 5/2 → x = ±√(5/2)
S”(x) = 12x² − 10
S”(0) = −10 < 0 → Maksimum lokal (bukan yang dicari)
S”(±√(5/2)) = 12(5/2) − 10 = 30 − 10 = 20 > 0 → Minimum
x² = 5/2 → y = 5/2
Kesimpulan: Titik terdekat adalah (±√(5/2), 5/2) atau (±√2.5, 2.5)
Jarak minimum = √(5/2 + (5/2 − 3)²) = √(5/2 + 1/4) = √(11/4) = √11 / 2 ≈ 1.658
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
Mudah Latihan Soal Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai minimum dari fungsi f(x) = x² − 10x + 30.
2. Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = −x² + 8x − 12.
3. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = 4x² − 16x + 20.
4. Tentukan nilai stasioner dari f(x) = −3x² + 18x − 24.
5. Tentukan koordinat titik balik minimum dari f(x) = 2x² + 4x + 5.
Sedang Latihan Soal Tingkat Sedang
6. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5.
7. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4.
8. Sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian h(t) = 30t − 5t² meter. Tentukan ketinggian maksimum dan waktu untuk mencapainya.
9. Jumlah dua bilangan positif adalah 36. Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.
10. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x⁴ − 4x³ + 4x² pada interval [−1, 3].
Sulit Latihan Soal Tingkat Sulit
11. Selembar karton berbentuk persegi panjang berukuran 30 cm × 20 cm. Dari keempat sudutnya dipotong persegi dengan sisi x cm, lalu dilipat menjadi kotak tanpa tutup. Tentukan x agar volume maksimum.
12. Sebuah kawat sepanjang 60 cm dipotong menjadi dua bagian. Satu bagian dibentuk menjadi persegi dan bagian lain menjadi lingkaran. Tentukan panjang masing-masing potongan agar jumlah luas persegi dan lingkaran minimum.
13. Sebuah kaleng berbentuk tabung tanpa tutup harus memiliki volume 500π cm³. Tentukan jari-jari dan tinggi agar luas bahan (alas + selimut) minimum.
14. Tentukan persegi panjang dengan luas terbesar yang dapat dibuat di dalam segitiga dengan alas 12 cm dan tinggi 8 cm (satu sisi persegi panjang berada pada alas segitiga).
15. Fungsi keuntungan suatu perusahaan adalah P(x) = −2x³ + 30x² − 84x + 200 (dalam juta rupiah) dengan x adalah jumlah produksi (dalam ribuan unit). Tentukan jumlah produksi agar keuntungan maksimum.