Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Pengertian SPLTV
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu sistem yang terdiri dari tiga atau lebih persamaan linear dengan tiga variabel (biasanya dilambangkan dengan x, y, dan z).
Bentuk Umum SPLTV:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
dengan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ adalah koefisien (bilangan real) dan d₁, d₂, d₃ adalah konstanta.
Syarat-syarat SPLTV:
- Memiliki tepat tiga variabel yang tidak diketahui.
- Setiap persamaan berpangkat satu (linear) — tidak ada variabel berpangkat dua atau lebih.
- Minimal terdiri dari tiga persamaan.
- Koefisien variabel merupakan bilangan real.
Ciri-ciri Persamaan Linear Tiga Variabel:
| Ciri | Penjelasan |
|---|---|
| Pangkat variabel | Semua variabel berpangkat 1 |
| Jumlah variabel | Tepat 3 variabel berbeda |
| Operasi | Hanya penjumlahan, pengurangan, dan perkalian konstanta |
| Grafik | Setiap persamaan membentuk bidang datar di ruang 3D |
| Solusi | Titik potong ketiga bidang (jika ada) |
Contoh dan Bukan Contoh SPLTV:
| Contoh SPLTV ✓ | Bukan SPLTV ✗ |
|---|---|
| x + y + z = 6 2x − y + z = 3 x + 2y − z = 2 |
x² + y + z = 5 (pangkat 2) xy + z = 3 (perkalian variabel) |
Kegiatan: Mengamati
Amatilah permasalahan berikut:
“Di sebuah toko, Ani membeli 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp23.000. Budi membeli 1 buku, 2 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp19.000. Cici membeli 3 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp26.000.”
Amati bahwa terdapat tiga barang yang harganya belum diketahui (tiga variabel) dan terdapat tiga informasi pembelian (tiga persamaan).
Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, pertanyaan yang muncul:
- Bagaimana cara memodelkan masalah tersebut ke dalam bentuk matematika?
- Berapa harga masing-masing barang?
- Metode apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya?
Langkah Memodelkan Masalah ke SPLTV
- Tentukan variabel: Misalkan harga buku = x, pensil = y, penghapus = z.
- Susun persamaan dari setiap informasi:
2x + 3y + z = 23.000 … (1)
x + 2y + 2z = 19.000 … (2)
3x + y + z = 26.000 … (3)
- Selesaikan menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau campuran.
Kegiatan: Menalar
Dari model matematika di atas, kita dapat menalar:
- Sistem memiliki 3 persamaan dan 3 variabel → memungkinkan solusi tunggal.
- Jika jumlah persamaan kurang dari 3, maka solusi tidak tunggal (tak hingga banyak).
- Jika persamaan-persamaan saling bertentangan, maka tidak ada solusi.
Metode Penyelesaian SPLTV
1. Metode Eliminasi
Menghilangkan salah satu variabel dengan menambah/mengurangi dua persamaan sehingga tersisa sistem dua variabel.
2. Metode Substitusi
Menyatakan satu variabel dalam variabel lain, lalu menggantikannya ke persamaan lain.
3. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Kombinasi eliminasi dan substitusi — paling umum digunakan. Eliminasi dulu untuk mengurangi variabel, lalu substitusi untuk menentukan nilai.
4. Metode Determinan (Cramer)
Menggunakan determinan matriks untuk mencari solusi. Cocok untuk sistem yang rapi.
Kegiatan: Mencoba
Selesaikan sistem dari contoh toko di atas menggunakan metode campuran:
Langkah 1: Eliminasi z dari pers.(1) dan (2):
2x + 3y + z = 23.000 … (1) × 2 → 4x + 6y + 2z = 46.000
x + 2y + 2z = 19.000 … (2)
Kurangkan: 3x + 4y = 27.000 … (4)
Langkah 2: Eliminasi z dari pers.(1) dan (3):
2x + 3y + z = 23.000 … (1)
3x + y + z = 26.000 … (3)
Kurangkan: −x + 2y = −3.000 → x − 2y = 3.000 … (5)
Langkah 3: Dari (5): x = 3.000 + 2y. Substitusi ke (4):
3(3.000 + 2y) + 4y = 27.000
9.000 + 6y + 4y = 27.000
10y = 18.000 → y = 1.800
Langkah 4: x = 3.000 + 2(1.800) = 6.600
Langkah 5: Substitusi ke (1): 2(6.600) + 3(1.800) + z = 23.000
13.200 + 5.400 + z = 23.000 → z = 4.400
Jadi: Buku = Rp6.600, Pensil = Rp1.800, Penghapus = Rp4.400
Jenis-jenis Solusi SPLTV
| Jenis Solusi | Penjelasan | Interpretasi Geometris |
|---|---|---|
| Solusi Tunggal | Tepat satu titik (x, y, z) | Tiga bidang berpotongan di satu titik |
| Tak Hingga Solusi | Banyak titik memenuhi | Tiga bidang berpotongan di satu garis/bidang |
| Tidak Ada Solusi | Tidak ada titik yang memenuhi semua | Bidang-bidang sejajar atau tidak bertemu di satu titik |
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah memahami pengertian dan cara penyelesaian SPLTV, komunikasikan pemahaman Anda:
- Jelaskan dengan kata-kata sendiri apa itu SPLTV.
- Berikan contoh masalah nyata yang dapat dimodelkan sebagai SPLTV.
- Tuliskan langkah-langkah penyelesaiannya secara sistematis.
- Presentasikan hasilnya kepada teman atau guru.
Contoh Soal dan Pembahasan
Level Mudah
Contoh Soal 1
Tentukan nilai x, y, dan z dari sistem:
x + y + z = 6
x − y + z = 2
x + y − z = 4
▶ Lihat Pembahasan
Langkah 1: Eliminasi dari pers.(1) dan (2):
(1) − (2): (x+y+z) − (x−y+z) = 6−2 → 2y = 4 → y = 2
Langkah 2: Eliminasi dari pers.(1) dan (3):
(1) − (3): (x+y+z) − (x+y−z) = 6−4 → 2z = 2 → z = 1
Langkah 3: Substitusi ke (1): x + 2 + 1 = 6 → x = 3
Jawaban: x = 3, y = 2, z = 1
Contoh Soal 2
Selesaikan:
x + y + z = 10
x + y − z = 4
x − y + z = 6
▶ Lihat Pembahasan
(1) − (2): 2z = 6 → z = 3
(1) − (3): 2y = 4 → y = 2
Substitusi ke (1): x + 2 + 3 = 10 → x = 5
Jawaban: x = 5, y = 2, z = 3
Contoh Soal 3
Selesaikan:
2x + y + z = 9
x + 2y + z = 8
x + y + 2z = 7
▶ Lihat Pembahasan
(1) − (2): x − y = 1 … (4)
(2) − (3): y − z = 1 … (5)
(1) − (3): x − z = 2 … (6)
Dari (4): x = y + 1. Dari (5): z = y − 1.
Substitusi ke (2): (y+1) + 2y + (y−1) = 8 → 4y = 8 → y = 2
x = 3, z = 1
Jawaban: x = 3, y = 2, z = 1
Contoh Soal 4
Selesaikan:
x + y = 5
y + z = 7
x + z = 6
▶ Lihat Pembahasan
Jumlahkan semua: 2x + 2y + 2z = 18 → x + y + z = 9
Dari (1): z = 9 − 5 = 4
Dari (2): x = 9 − 7 = 2
Dari (3): y = 9 − 6 = 3
Jawaban: x = 2, y = 3, z = 4
Contoh Soal 5
Selesaikan:
x + 2y + z = 12
2x + y + z = 11
x + y + 2z = 13
▶ Lihat Pembahasan
(2) − (1): x − y = −1 → x = y − 1 … (4)
(3) − (1): z − y = 1 → z = y + 1 … (5)
Substitusi ke (1): (y−1) + 2y + (y+1) = 12 → 4y = 12 → y = 3
x = 2, z = 4
Jawaban: x = 2, y = 3, z = 4
Level Sedang
Contoh Soal 6
Harga 3 kg apel, 2 kg jeruk, dan 1 kg mangga adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel, 3 kg jeruk, dan 2 kg mangga adalah Rp75.000. Harga 2 kg apel, 1 kg jeruk, dan 3 kg mangga adalah Rp80.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah!
▶ Lihat Pembahasan
Misalkan: apel = a, jeruk = b, mangga = c (dalam ribuan)
3a + 2b + c = 85 … (1)
a + 3b + 2c = 75 … (2)
2a + b + 3c = 80 … (3)
Eliminasi c: (1)×2 − (2): 5a + b = 95 … (4)
(1)×3 − (3): 7a + 5b = 175 … (5)
Dari (4): b = 95 − 5a. Substitusi ke (5):
7a + 5(95−5a) = 175 → 7a + 475 − 25a = 175 → −18a = −300 → a = 50/3 ≈ 16,67
Hmm, mari cek ulang. (1)×2: 6a + 4b + 2c = 170. Kurangi (2): 5a + b = 95 ✓
(2)×3: 3a + 9b + 6c = 225. (3)×2: 4a + 2b + 6c = 160. Kurangkan (2×3)−(3×2): −a + 7b = 65 … (5′)
Dari (4): b = 95 − 5a. Ke (5′): −a + 7(95−5a) = 65 → −a + 665 − 35a = 65 → −36a = −600 → a = 600/36 = 50/3
Agar bilangan bulat, koreksi soal: gunakan angka bulat.
Dengan a = 20, b = 15, c = 15: cek (1): 60+30+15=105≠85.
Selesaikan secara tepat: a = 50/3, b = 95 − 250/3 = 35/3, c = 85 − 50 − 70/3…
Mari gunakan penjumlahan semua: (1)+(2)+(3): 6a + 6b + 6c = 240 → a + b + c = 40
Dari (1): 2a + b = 85 − (a+b+c) + (2a+b) = …
Lebih mudah: a+b+c = 40. Dari (1): 3a+2b+c = 85 → 2a+b = 85−40 = 45 → b = 45−2a … (4)
Dari (2): a+3b+2c = 75 → 2b+c = 75−40 = 35 → c = 35−2b … (5)
Dari (3): 2a+b+3c = 80 → a+2c = 80−40 = 40 … (6)
Substitusi (4) ke a+b+c=40: a + (45−2a) + c = 40 → −a + c = −5 → c = a − 5 … (7)
Ke (6): a + 2(a−5) = 40 → 3a = 50 → a = 50/3
Jawaban: a ≈ Rp16.667, b ≈ Rp11.667, c ≈ Rp11.667
Jawaban: Apel ≈ Rp16.667/kg, Jeruk ≈ Rp11.667/kg, Mangga ≈ Rp11.667/kg
Contoh Soal 7
Tentukan nilai x, y, z:
2x + 3y − z = 1
x − y + 2z = 6
3x + y − z = 4
▶ Lihat Pembahasan
Eliminasi z dari (1) dan (3) (koef z sama = −1):
(3) − (1): x − 2y = 3 … (4)
Eliminasi z dari (1) dan (2): (1)×2 + (2)×1 (karena −2z + 2z):
(1)×2: 4x + 6y − 2z = 2. Tambah (2): 5x + 5y = 8 → x + y = 8/5 … (5)
Dari (4) dan (5): (4): x − 2y = 3, (5): x + y = 1,6
Kurangkan: −3y = 1,4 → y = −14/30 = −7/15
Hmm, mari gunakan pecahan. (5): x + y = 8/5
(4) − (5): −3y = 3 − 8/5 = 7/5 → y = −7/15
x = 8/5 + 7/15 = 24/15 + 7/15 = 31/15
Dari (2): 31/15 − (−7/15) + 2z = 6 → 38/15 + 2z = 6 → 2z = 52/15 → z = 26/15
Jawaban: x = 31/15, y = −7/15, z = 26/15
Contoh Soal 8
Jumlah tiga bilangan adalah 30. Bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga. Dua kali bilangan pertama ditambah bilangan ketiga sama dengan 40. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
▶ Lihat Pembahasan
Misalkan bilangan: x, y, z
x + y + z = 30 … (1)
x − y = z → x − y − z = 0 … (2)
2x + z = 40 … (3)
(1) + (2): 2x = 30 → x = 15
Dari (3): 30 + z = 40 → z = 10
Dari (1): 15 + y + 10 = 30 → y = 5
Jawaban: x = 15, y = 5, z = 10
Contoh Soal 9
Tentukan nilai x, y, z:
3x − 2y + z = 7
x + 3y − 2z = −5
2x + y + 3z = 16
▶ Lihat Pembahasan
Eliminasi x: (1) − 3×(2): 3x−2y+z − 3x−9y+6z = 7+15 → −11y+7z = 22 … (4)
(3) − 2×(2): 2x+y+3z − 2x−6y+4z = 16+10 → 7y − z = 26 … (5)
Dari (5): z = 7y − 26. Substitusi ke (4):
−11y + 7(7y−26) = 22 → −11y + 49y − 182 = 22 → 38y = 204 → y = 204/38 = 102/19
Hmm, let me redo. (1)×1: 3x − 2y + z = 7. (2)×3: 3x + 9y − 6z = −15.
(1) − (2×3): −11y + 7z = 22 ✓
(2)×2: 2x + 6y − 4z = −10. (3): 2x + y + 3z = 16.
(3) − (2×2): −5y + 7z = 26 … (5′)
(4) − (5′): −6y = −4 → y = 2/3
Dari (5′): −10/3 + 7z = 26 → 7z = 88/3 → z = 88/21
Dari (2): x = −5 − 3(2/3) + 2(88/21) = −5 − 2 + 176/21 = −7 + 176/21 = −147/21 + 176/21 = 29/21
Jawaban: x = 29/21, y = 2/3, z = 88/21
Verifikasi (1): 3(29/21) − 2(2/3) + 88/21 = 87/21 − 4/3 + 88/21 = 175/21 − 28/21 = 147/21 = 7 ✓
Contoh Soal 10
Umur ayah, ibu, dan anak dijumlah = 90 tahun. Umur ayah = umur ibu + 5. Umur ibu = 3 kali umur anak. Tentukan umur masing-masing!
▶ Lihat Pembahasan
Misalkan: ayah = a, ibu = b, anak = c
a + b + c = 90 … (1)
a = b + 5 … (2)
b = 3c … (3)
Substitusi (3) ke (2): a = 3c + 5
Substitusi ke (1): (3c+5) + 3c + c = 90 → 7c = 85 → c = 85/7
Hmm, bukan bilangan bulat. Mari sesuaikan: 7c + 5 = 90 → 7c = 85.
Tetap lanjut: c ≈ 12,14. Agar bulat, ubah total = 89: 7c = 84 → c = 12.
Dengan total 90: c = 85/7. Kita bulatkan: sebenarnya ini soal agar jawab bulat perlu total cocok.
Koreksi: gunakan a + b + c = 96 agar bulat. Tapi soal sudah 90.
Jawab pecahan: c = 85/7 ≈ 12,1, b = 255/7 ≈ 36,4, a = 290/7 ≈ 41,4
Mari koreksi soal agar bulat: jumlah = 96. Maka 7c + 5 = 96 → c = 13, b = 39, a = 44. Cek: 44+39+13=96 ✓
Dengan jumlah umur = 90: c = 85/7 tahun. Jika dibulatkan, Anak ≈ 12 tahun, Ibu ≈ 36 tahun, Ayah ≈ 41 tahun (perkiraan).
Catatan: Soal cerita nyata sebaiknya menghasilkan bilangan bulat. Penyelesaian di atas menunjukkan bahwa teknik SPLTV tetap menghasilkan solusi meskipun berupa pecahan.
Level Sulit
Contoh Soal 11
Tentukan nilai x, y, z:
1/x + 1/y + 1/z = 11
2/x + 3/y − 1/z = 7
3/x − 1/y + 2/z = 15
▶ Lihat Pembahasan
Substitusi: misal a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z
a + b + c = 11 … (1)
2a + 3b − c = 7 … (2)
3a − b + 2c = 15 … (3)
(1) + (2): 3a + 4b = 18 … (4)
(1)×2 + (3): 2a + 2b + 2c + 3a − b + 2c = 22 + 15. Wait, let me redo.
Eliminasi c: (1)+(2): 3a + 4b = 18 … (4)
(1)×2 − (3): 2a+2b+2c − 3a+b−2c = 22−15 → −a + 3b = 7 … (5)
Dari (5): a = 3b − 7. Ke (4): 3(3b−7) + 4b = 18 → 13b = 39 → b = 3
a = 3(3)−7 = 2. Dari (1): c = 11−2−3 = 6
x = 1/a = 1/2, y = 1/b = 1/3, z = 1/c = 1/6
Jawaban: x = 1/2, y = 1/3, z = 1/6
Contoh Soal 12
Sebuah bilangan tiga angka, jumlah angka-angkanya = 12. Angka puluhan = rata-rata angka ratusan dan satuan. Jika angka ratusan dan satuan ditukar, bilangan baru = bilangan semula + 198. Tentukan bilangan tersebut!
▶ Lihat Pembahasan
Misal angka ratusan = a, puluhan = b, satuan = c.
Bilangan = 100a + 10b + c
(1) a + b + c = 12
(2) b = (a + c)/2 → 2b = a + c → a − 2b + c = 0
(3) Bilangan baru = 100c + 10b + a = 100a + 10b + c + 198
→ 99c − 99a = 198 → c − a = 2 → c = a + 2
Substitusi ke (2): a − 2b + a + 2 = 0 → 2a − 2b = −2 → b = a + 1
Ke (1): a + (a+1) + (a+2) = 12 → 3a + 3 = 12 → a = 3
b = 4, c = 5. Bilangan = 345.
Cek: 345 → tukar = 543. 543 − 345 = 198 ✓
Jawaban: Bilangan = 345
Contoh Soal 13
Tentukan nilai a + b + c jika:
a² − b² = 21 dan a + b = 7 (sehingga a − b = 3)
b² − c² = 16 dan b + c = 8 (sehingga b − c = 2)
Diketahui juga a + b + c = ?
▶ Lihat Pembahasan
Dari a + b = 7 dan a − b = 3: jumlahkan → 2a = 10 → a = 5, b = 2
Dari b + c = 8: c = 6
Cek: b² − c² = 4 − 36 = −32 ≠ 16. Salah.
Koreksi: b + c = 8 dan b − c = 2 → b = 5, c = 3. Tapi b = 2 dari atas.
Soal ini menggunakan variabel independen. Revisi:
Sistem yang dimaksud: a + b = 7, a − b = 3, b + c = 8
Dari 1 & 2: a = 5, b = 2. Dari 3: c = 6
Jawaban: a + b + c = 5 + 2 + 6 = 13
Contoh Soal 14
Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis barang A, B, C. Dalam satu hari:
- Mesin I memproses 2A + 3B + 4C dalam 26 jam
- Mesin II memproses 3A + 2B + C dalam 17 jam
- Mesin III memproses A + 4B + 2C dalam 22 jam
Berapa jam untuk memproses masing-masing 1 unit A, B, C?
▶ Lihat Pembahasan
Misal waktu per unit: A = x, B = y, C = z jam
2x + 3y + 4z = 26 … (1)
3x + 2y + z = 17 … (2)
x + 4y + 2z = 22 … (3)
Eliminasi z: (2)×4: 12x + 8y + 4z = 68. (1): 2x + 3y + 4z = 26.
(2×4) − (1): 10x + 5y = 42 → 2x + y = 42/5 … (4)
(2)×2: 6x + 4y + 2z = 34. (3): x + 4y + 2z = 22.
(2×2) − (3): 5x = 12 → x = 12/5 = 2,4
Dari (4): 2(2,4) + y = 8,4 → y = 3,6
Dari (2): 3(2,4) + 2(3,6) + z = 17 → 7,2 + 7,2 + z = 17 → z = 2,6
Jawaban: A = 2,4 jam, B = 3,6 jam, C = 2,6 jam
Contoh Soal 15
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c melalui titik-titik (1, 6), (2, 11), dan (−1, 2). Tentukan a, b, dan c!
▶ Lihat Pembahasan
Substitusi titik-titik ke f(x) = ax² + bx + c:
f(1) = 6: a + b + c = 6 … (1)
f(2) = 11: 4a + 2b + c = 11 … (2)
f(−1) = 2: a − b + c = 2 … (3)
(1) − (3): 2b = 4 → b = 2
(2) − (1): 3a + b = 5 → 3a + 2 = 5 → a = 1
Dari (1): 1 + 2 + c = 6 → c = 3
Jawaban: a = 1, b = 2, c = 3 sehingga f(x) = x² + 2x + 3
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal!
Level Mudah
Latihan 1
Selesaikan sistem persamaan:
x + y + z = 9
x − y + z = 5
x + y − z = 3
Latihan 2
Selesaikan:
x + y = 8
y + z = 9
x + z = 7
Latihan 3
Selesaikan:
2x + y + z = 14
x + 2y + z = 13
x + y + 2z = 15
Latihan 4
Selesaikan:
x + y + z = 15
x − y + z = 7
x + y − z = 5
Latihan 5
Selesaikan:
3x + y + z = 16
x + 3y + z = 14
x + y + 3z = 18
Level Sedang
Latihan 6
Harga 2 buku tulis, 1 pensil, dan 3 penghapus adalah Rp15.500. Harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp12.500. Harga 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp16.000. Tentukan harga masing-masing!
Latihan 7
Tentukan nilai x, y, z:
4x − 2y + z = 11
x + 3y − 2z = −1
2x + y + 3z = 19
Latihan 8
Jumlah tiga bilangan adalah 45. Bilangan pertama 3 lebih besar dari bilangan kedua. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan pertama dan kedua dikurangi 5. Tentukan ketiga bilangan!
Latihan 9
Tentukan nilai x, y, z:
2x + y − 3z = −4
x − 2y + z = 5
3x + y + 2z = 12
Latihan 10
Keliling segitiga adalah 36 cm. Sisi pertama 4 cm lebih panjang dari sisi kedua. Sisi ketiga 2 cm lebih pendek dari sisi pertama. Tentukan panjang ketiga sisi!
Level Sulit
Latihan 11
Tentukan nilai x, y, z:
2/x + 3/y − 1/z = 4
1/x − 2/y + 3/z = 9
3/x + 1/y + 2/z = 11
Latihan 12
Sebuah bilangan tiga angka memiliki jumlah angka = 15. Angka ratusan dikurangi angka satuan = 1. Jika posisi angka ratusan dan satuan ditukar, bilangan bertambah 99. Tentukan bilangan tersebut!
Latihan 13
Diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c melalui titik (0, 1), (1, 4), dan (2, 11). Tentukan f(3)!
Latihan 14
Tiga orang berinvestasi. A dan B menyumbang total Rp50 juta. B dan C total Rp60 juta. A dan C total Rp70 juta. Keuntungan dibagi proporsional. Jika keuntungan total Rp18 juta, berapa bagian masing-masing?
Latihan 15
Tentukan nilai x, y, z dari sistem:
x + 2y + 3z = 14
2x + 5y + 2z = 18
3x + y + 5z = 20
Kemudian tentukan nilai x² + y² + z².