Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Metode Penyelesaian dalam Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
📌 Pendahuluan
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan tiga persamaan linear yang masing-masing mengandung tiga variabel (biasanya x, y, z). Bentuk umum SPLTV:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Terdapat tiga metode utama untuk menyelesaikan SPLTV:
- Metode Substitusi
- Metode Eliminasi
- Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
🔹 Metode 1: Substitusi
🔍 Mengamati
Perhatikan bahwa dalam SPLTV, kita dapat menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya dari salah satu persamaan, kemudian menggantikan (menyubstitusikan) ke persamaan lain.
❓ Menanya
Bagaimana cara memilih variabel yang tepat untuk disubstitusikan agar perhitungan menjadi sederhana?
💡 Menalar
Langkah-langkah metode substitusi:
- Pilih salah satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya.
- Substitusikan hasil langkah 1 ke dua persamaan lain sehingga diperoleh SPLDV (sistem dua variabel).
- Selesaikan SPLDV tersebut untuk mendapatkan nilai dua variabel.
- Substitusikan kembali nilai yang diperoleh ke persamaan pada langkah 1 untuk mendapatkan variabel ketiga.
✏️ Mencoba
Contoh: Selesaikan SPLTV berikut dengan metode substitusi!
x + y + z = 6 … (1)
2x + y − z = 1 … (2)
x − y + 2z = 5 … (3)
Penyelesaian:
Langkah 1: Dari persamaan (1), nyatakan x:
x = 6 − y − z … (4)
Langkah 2: Substitusi (4) ke persamaan (2):
2(6 − y − z) + y − z = 1
12 − 2y − 2z + y − z = 1
−y − 3z = −11
y + 3z = 11 … (5)
Langkah 3: Substitusi (4) ke persamaan (3):
(6 − y − z) − y + 2z = 5
6 − 2y + z = 5
−2y + z = −1
2y − z = 1 … (6)
Langkah 4: Dari (5): y = 11 − 3z, substitusi ke (6):
2(11 − 3z) − z = 1
22 − 6z − z = 1
−7z = −21 → z = 3
Langkah 5: y = 11 − 3(3) = 11 − 9 = 2
x = 6 − 2 − 3 = 1
Jadi, x = 1, y = 2, z = 3
📢 Mengkomunikasikan
Metode substitusi sangat efektif jika salah satu persamaan memiliki koefisien 1 pada salah satu variabel, sehingga mudah dinyatakan dalam variabel lain tanpa pecahan.
🔹 Metode 2: Eliminasi
🔍 Mengamati
Pada metode eliminasi, kita menghilangkan satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan yang koefisien variabelnya sama (atau dibuat sama).
❓ Menanya
Variabel mana yang sebaiknya dieliminasi terlebih dahulu? Bagaimana jika koefisiennya tidak sama?
💡 Menalar
Langkah-langkah metode eliminasi:
- Pilih variabel yang akan dieliminasi (pilih yang koefisiennya paling mudah disamakan).
- Eliminasi variabel tersebut dari pasangan persamaan (1)&(2), dan (1)&(3) [atau (2)&(3)], sehingga diperoleh dua persamaan baru dengan dua variabel.
- Eliminasi lagi salah satu variabel dari dua persamaan baru tersebut.
- Substitusi balik untuk mendapatkan variabel lainnya.
✏️ Mencoba
Contoh: Selesaikan dengan metode eliminasi!
x + 2y + z = 9 … (1)
2x + y + z = 8 … (2)
x + y + 2z = 9 … (3)
Penyelesaian:
Eliminasi z dari (1) dan (2):
(1) − (2): (x+2y+z) − (2x+y+z) = 9−8
−x + y = 1 … (4)
Eliminasi z dari (1) dan (3):
2×(1) − (3): (2x+4y+2z) − (x+y+2z) = 18−9
x + 3y = 9 … (5)
Eliminasi x dari (4) dan (5):
(4) + (5): (−x+y) + (x+3y) = 1+9
4y = 10 → y = 2,5
Dari (4): −x + 2,5 = 1 → x = 1,5
Dari (1): 1,5 + 5 + z = 9 → z = 2,5
Jadi, x = 1,5; y = 2,5; z = 2,5
📢 Mengkomunikasikan
Metode eliminasi cocok digunakan ketika koefisien variabel mudah disamakan. Keunggulannya: tidak perlu menyatakan variabel dalam bentuk variabel lain sehingga mengurangi risiko kesalahan pecahan.
🔹 Metode 3: Campuran (Eliminasi-Substitusi)
🔍 Mengamati
Metode campuran menggabungkan kekuatan eliminasi (untuk mereduksi variabel) dan substitusi (untuk mencari nilai akhir). Ini adalah metode yang paling umum digunakan karena fleksibel.
❓ Menanya
Kapan kita menggunakan eliminasi dan kapan beralih ke substitusi?
💡 Menalar
Langkah-langkah:
- Eliminasi: Hilangkan satu variabel dari dua pasang persamaan → diperoleh SPLDV.
- Eliminasi/Substitusi: Selesaikan SPLDV untuk mendapatkan dua variabel.
- Substitusi: Masukkan nilai yang diperoleh ke salah satu persamaan awal untuk memperoleh variabel ketiga.
✏️ Mencoba
Contoh:
2x + y − z = 3 … (1)
x − y + 2z = 7 … (2)
3x + 2y + z = 12 … (3)
Penyelesaian:
Eliminasi y dari (1)+(2):
(2x+y−z) + (x−y+2z) = 3+7
3x + z = 10 … (4)
Eliminasi y dari 2×(2)+(3):
(2x−2y+4z) + (3x+2y+z) = 14+12
5x + 5z = 26
x + z = 5,2 … (5)
Eliminasi z dari (4)−(5):
(3x+z) − (x+z) = 10 − 5,2
2x = 4,8 → x = 2,4
Dari (5): z = 5,2 − 2,4 = 2,8
Substitusi ke (1): 2(2,4) + y − 2,8 = 3 → 4,8 + y − 2,8 = 3 → y = 1
Jadi, x = 2,4; y = 1; z = 2,8
📢 Mengkomunikasikan
Metode campuran merupakan metode yang paling sering digunakan dalam ujian karena langkahnya sistematis dan fleksibel. Gunakan eliminasi untuk mereduksi variabel, lalu substitusi untuk menyelesaikan.
📊 Perbandingan Tiga Metode
| Aspek | Substitusi | Eliminasi | Campuran |
|---|---|---|---|
| Prinsip | Menyatakan variabel lalu mengganti | Menghilangkan variabel | Gabungan keduanya |
| Kelebihan | Sederhana jika koefisien = 1 | Sistematis | Fleksibel & efisien |
| Kekurangan | Rumit jika banyak pecahan | Banyak langkah perkalian | Perlu strategi pemilihan |
| Kapan digunakan | Ada koefisien 1 | Koefisien mudah disamakan | Situasi umum |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Selesaikan SPLTV berikut!
x + y + z = 10
x + y − z = 4
x − y + z = 6
Lihat Pembahasan
Eliminasi z dari pers.(1)+(2): 2x + 2y = 14 → x + y = 7 … (4)
Eliminasi y dari pers.(1)+(3): 2x + 2z = 16 → x + z = 8 … (5)
Dari (1): x + y + z = 10 dan (4): y = 7 − x
Dari (5): z = 8 − x. Substitusi ke (1): x + (7−x) + (8−x) = 10 → 15 − x = 10 → x = 5
y = 7 − 5 = 2, z = 8 − 5 = 3
Jawaban: x = 5, y = 2, z = 3
2. Selesaikan!
x + y + z = 12
x − y + z = 6
x + y − z = 4
Lihat Pembahasan
(1)+(2): 2x + 2z = 18 → x + z = 9 … (4)
(1)+(3): 2x + 2y = 16 → x + y = 8 … (5)
(1)−(2): 2y = 6 → y = 3
Dari (5): x = 8 − 3 = 5. Dari (4): z = 9 − 5 = 4
Jawaban: x = 5, y = 3, z = 4
3. Selesaikan!
x + 2y + z = 11
x + y + z = 8
2x + y + z = 10
Lihat Pembahasan
(1)−(2): y = 3
(3)−(2): x = 2
Dari (2): 2 + 3 + z = 8 → z = 3
Jawaban: x = 2, y = 3, z = 3
4. Selesaikan!
x + y + z = 15
2x + y + z = 20
x + 2y + z = 18
Lihat Pembahasan
(2)−(1): x = 5
(3)−(1): y = 3
Dari (1): 5 + 3 + z = 15 → z = 7
Jawaban: x = 5, y = 3, z = 7
5. Selesaikan!
x + y − z = 2
x − y + z = 4
−x + y + z = 6
Lihat Pembahasan
(1)+(2): 2x = 6 → x = 3
(1)+(3): 2y = 8 → y = 4
(2)+(3): 2z = 10 → z = 5
Jawaban: x = 3, y = 4, z = 5
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Selesaikan!
2x + 3y + z = 16
x + 2y + 3z = 14
3x + y + 2z = 13
Lihat Pembahasan
Eliminasi x: 2×(2)−(1): 4x+4y+6z − 2x−3y−z = 28−16 → 2x+y+5z = 12… Koreksi:
2×(2): 2x+4y+6z=28. Kurangi (1): (2x+4y+6z)−(2x+3y+z)=28−16 → y+5z=12 …(4)
3×(2): 3x+6y+9z=42. Kurangi (3): (3x+6y+9z)−(3x+y+2z)=42−13 → 5y+7z=29 …(5)
5×(4): 5y+25z=60. Kurangi (5): 18z=31… Mari ulang dengan benar:
Dari (1): z = 16−2x−3y … substitusi ke (2): x+2y+3(16−2x−3y)=14 → x+2y+48−6x−9y=14 → −5x−7y=−34 → 5x+7y=34 …(4)
Substitusi ke (3): 3x+y+2(16−2x−3y)=13 → 3x+y+32−4x−6y=13 → −x−5y=−19 → x+5y=19 …(5)
Dari (5): x=19−5y. Ke (4): 5(19−5y)+7y=34 → 95−25y+7y=34 → −18y=−61 → y=61/18 …
Mari gunakan eliminasi langsung:
Pers (1)×3: 6x+9y+3z=48. Pers (2): x+2y+3z=14. Kurang: 5x+7y=34 …(4)
Pers (3)×3: 9x+3y+6z=39. Pers (2)×2: 2x+4y+6z=28. Kurang: 7x−y=11 …(5)
Dari (5): y=7x−11. Ke (4): 5x+7(7x−11)=34 → 5x+49x−77=34 → 54x=111 → x=111/54…
Koreksi soal: Mari gunakan soal yang menghasilkan bilangan bulat.
Penyelesaian yang benar dengan angka ini:
Eliminasi z: (1)×3: 6x+9y+3z=48, (2): x+2y+3z=14. (1×3)−(2): 5x+7y=34 …(4)
(3)×3: 9x+3y+6z=39, (1)×2: 4x+6y+2z=32… Ini tidak mudah disamakan.
Eliminasi z dari (1) dan (3): (1)×2: 4x+6y+2z=32, (3): 3x+y+2z=13. Kurang: x+5y=19 …(5)
Dari (4) dan (5): (4): 5x+7y=34, (5): x+5y=19 → 5×(5): 5x+25y=95. Kurang (4): 18y=61 → y tidak bulat.
Koreksi: Soal ini memang menghasilkan pecahan. x = 37/18, y = 61/18, z = 14/18. Verifikasi dari (4) dan (5):
Dari (5)×5: 5x+25y=95. (4): 5x+7y=34. Selisih: 18y=61 → y = 61/18 ≈ 3,39
x = 19−5(61/18) = (342−305)/18 = 37/18 ≈ 2,06
z = 16−2(37/18)−3(61/18) = 16−(74+183)/18 = 16−257/18 = (288−257)/18 = 31/18 ≈ 1,72
Jawaban: x = 37/18, y = 61/18, z = 31/18
Verifikasi (2): 37/18 + 122/18 + 93/18 = 252/18 = 14 ✓
2. Harga 2 buku, 3 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp13.000. Harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp8.000. Harga 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp15.000. Tentukan harga masing-masing!
Lihat Pembahasan
Misalkan: b = harga buku, p = harga pensil, h = harga penghapus (dalam ribuan)
2b + 3p + h = 13 … (1)
b + p + 2h = 8 … (2)
3b + 2p + h = 15 … (3)
Eliminasi h dari (1) dan (3): (1)−(3): −b+p = −2 → b−p = 2 …(4)
Eliminasi h dari (1) dan (2): (1)−2×(2): 2b+3p+h−2b−2p−4h = 13−16 → p−3h = −3 …(5)
Hmm, mari eliminasi h dari (1) dan (2) dengan cara lain:
(2)×1: b+p+2h=8 → h=(8−b−p)/2
Substitusi ke (1): 2b+3p+(8−b−p)/2=13 → 4b+6p+8−b−p=26 → 3b+5p=18 …(4)
Substitusi ke (3): 3b+2p+(8−b−p)/2=15 → 6b+4p+8−b−p=30 → 5b+3p=22 …(5)
Dari (4)×3: 9b+15p=54. (5)×5: 25b+15p=110. Selisih: 16b=56 → b=3,5
Dari (4): 10,5+5p=18 → 5p=7,5 → p=1,5
h = (8−3,5−1,5)/2 = 3/2 = 1,5
Jawaban: Buku = Rp3.500, Pensil = Rp1.500, Penghapus = Rp1.500
3. Selesaikan!
3x + y − 2z = 1
x + 2y + z = 8
2x − y + 3z = 11
Lihat Pembahasan
Eliminasi y dari (1)+(3): 3x+y−2z+2x−y+3z=1+11 → 5x+z=12 …(4)
Eliminasi y dari 2×(1)+(2): 6x+2y−4z+x+2y+z… Koreksi: (2)−2×… Mari lakukan (1)+(3):
(1)+(3): 5x+z=12 …(4)
2×(2)+(1): 2x+4y+2z+3x+y−2z=16+1 → 5x+5y=17… Hmm
(2)×1 + (3)×2 (eliminasi y): Tidak efisien. Mari coba:
Dari (1): y=1−3x+2z …(A). Substitusi ke (2): x+2(1−3x+2z)+z=8 → x+2−6x+4z+z=8 → −5x+5z=6 …(5)
Dari (4): z=12−5x. Ke (5): −5x+5(12−5x)=6 → −5x+60−25x=6 → −30x=−54 → x=54/30=9/5=1,8
z=12−5(1,8)=12−9=3
y=1−3(1,8)+2(3)=1−5,4+6=1,6
Jawaban: x = 1,8; y = 1,6; z = 3
Verifikasi (2): 1,8+3,2+3=8 ✓
4. Tiga bilangan memiliki jumlah 30. Bilangan pertama ditambah dua kali bilangan kedua sama dengan 26. Bilangan ketiga dikurangi bilangan pertama sama dengan 2. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
Lihat Pembahasan
Misalkan a, b, c:
a + b + c = 30 … (1)
a + 2b = 26 … (2)
c − a = 2 → c = a + 2 … (3)
Substitusi (3) ke (1): a + b + a + 2 = 30 → 2a + b = 28 … (4)
(4)−(2): (2a+b)−(a+2b) = 28−26 → a−b = 2 … (5)
Dari (4): b = 28−2a. Ke (5): a−(28−2a)=2 → 3a=30 → a=10
b=28−20=8, c=10+2=12
Jawaban: a = 10, b = 8, c = 12
5. Selesaikan!
4x + y + 2z = 16
2x + 3y + z = 13
x + y + 3z = 11
Lihat Pembahasan
Eliminasi z: (1)−2×(2): 4x+y+2z−4x−6y−2z=16−26 → −5y=−10 → y=2
(2)−(3)×(1/3)… lebih mudah: (1)−2×(2) sudah dapat y=2.
Substitusi y=2 ke (2): 2x+6+z=13 → 2x+z=7 …(4)
Substitusi y=2 ke (3): x+2+3z=11 → x+3z=9 …(5)
Dari (4): z=7−2x. Ke (5): x+3(7−2x)=9 → x+21−6x=9 → −5x=−12 → x=12/5=2,4
z=7−4,8=2,2
Jawaban: x = 2,4; y = 2; z = 2,2
Verifikasi (1): 9,6+2+4,4=16 ✓
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Seorang pedagang menjual 3 jenis buah. Harga 2 kg apel, 3 kg jeruk, dan 1 kg mangga adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel, 2 kg jeruk, dan 3 kg mangga adalah Rp80.000. Harga 3 kg apel, 1 kg jeruk, dan 2 kg mangga adalah Rp75.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah!
Lihat Pembahasan
Misalkan: a = harga apel/kg, j = harga jeruk/kg, m = harga mangga/kg (dalam ribuan)
2a + 3j + m = 85 … (1)
a + 2j + 3m = 80 … (2)
3a + j + 2m = 75 … (3)
Eliminasi m:
(1)×3: 6a+9j+3m=255. (2): a+2j+3m=80. Selisih: 5a+7j=175 …(4)
(3)×3: 9a+3j+6m=225. (2)×2: 2a+4j+6m=160. Selisih: 7a−j=65 …(5)
Dari (5): j=7a−65. Ke (4): 5a+7(7a−65)=175 → 5a+49a−455=175 → 54a=630 → a=630/54=35/3≈11,67
Hmm, mari cek ulang: (1)×3−(2): 6a+9j+3m−a−2j−3m=255−80 → 5a+7j=175 ✓
(3)×3−(2)×2: 9a+3j+6m−2a−4j−6m=225−160 → 7a−j=65 ✓
j=7(35/3)−65=245/3−65=245/3−195/3=50/3≈16,67
m dari (2): 35/3+100/3+3m=80 → 135/3+3m=80 → 45+3m=80 → 3m=35 → m=35/3≈11,67
Jawaban: Apel ≈ Rp11.667/kg, Jeruk ≈ Rp16.667/kg, Mangga ≈ Rp11.667/kg
Verifikasi (1): 2(35/3)+3(50/3)+35/3 = 70/3+150/3+35/3 = 255/3 = 85 ✓
2. Selesaikan SPLTV!
1/x + 2/y + 3/z = 14
2/x + 3/y + 1/z = 11
3/x + 1/y + 2/z = 11
Lihat Pembahasan
Misalkan: a=1/x, b=1/y, c=1/z
a + 2b + 3c = 14 … (1)
2a + 3b + c = 11 … (2)
3a + b + 2c = 11 … (3)
Jumlah (1)+(2)+(3): 6a+6b+6c = 36 → a+b+c = 6 …(4)
(1)−(4): b+2c = 8 …(5)
(2)−(4): a+2b = 5… Koreksi: (2)−(4): (2a+3b+c)−(a+b+c)=11−6 → a+2b=5 …(6)
(3)−(4): 2a+c… Koreksi: (3)−(4): (3a+b+2c)−(a+b+c)=11−6 → 2a+c=5 …(7)
Dari (4): a=6−b−c. Ke (7): 2(6−b−c)+c=5 → 12−2b−2c+c=5 → 2b+c=7 …(8)
Dari (5) dan (8): (5): b+2c=8, (8): 2b+c=7. Dari (8): c=7−2b. Ke (5): b+2(7−2b)=8 → b+14−4b=8 → −3b=−6 → b=2
c=7−4=3. a=6−2−3=1
Maka: x=1/a=1, y=1/b=1/2=0,5, z=1/c=1/3
Jawaban: x = 1, y = 1/2, z = 1/3
3. Di suatu toko, Ali membeli 3 baju, 2 celana, dan 1 topi seharga Rp350.000. Budi membeli 2 baju, 1 celana, dan 3 topi seharga Rp250.000. Cici membeli 1 baju, 3 celana, dan 2 topi seharga Rp300.000. Berapa total harga 1 baju, 1 celana, dan 1 topi?
Lihat Pembahasan
Misalkan: b=baju, c=celana, t=topi (dalam ribuan)
3b + 2c + t = 350 … (1)
2b + c + 3t = 250 … (2)
b + 3c + 2t = 300 … (3)
Jumlahkan semua: 6b+6c+6t = 900 → b+c+t = 150
Jawaban: Total harga 1 baju + 1 celana + 1 topi = Rp150.000
Catatan: Trik menjumlahkan ketiga persamaan sangat efisien di sini!
4. Selesaikan!
x + y = 3z − 1
y + z = x + 7
x + z = 2y + 2
Lihat Pembahasan
Rapikan: x+y−3z=−1 …(1), −x+y+z=7 …(2), x−2y+z=2 …(3)
(1)+(2): 2y−2z=6 → y−z=3 …(4)
(2)+(3): −y+2z=9 …(5)
(4)+(5): z=12. Dari (4): y=3+12=15. Dari (2): −x+15+12=7 → x=20
Jawaban: x = 20, y = 15, z = 12
5. Tentukan nilai x² + y² + z² jika diketahui:
x + y + z = 10
xy + yz + xz = 31
x − y = 2
Lihat Pembahasan
Ingat identitas: (x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+yz+xz)
100 = x²+y²+z² + 62 → x²+y²+z² = 38
Jawaban: x² + y² + z² = 38
Catatan: Persamaan ketiga tidak diperlukan untuk menjawab pertanyaan ini, tetapi bisa digunakan untuk mencari nilai individual x, y, z jika diminta.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Mudah
1. x + y + z = 9, x + y − z = 3, x − y + z = 5
2. 2x + y + z = 14, x + y + z = 10, x + y + 2z = 13
3. x + 2y + z = 10, x + y + 2z = 9, 2x + y + z = 11
4. a + b + c = 20, a − b + c = 12, a + b − c = 8
5. p + q + r = 15, 2p + q + r = 19, p + 2q + r = 18
Sedang
1. 2x + 3y − z = 9, x − 2y + 3z = 14, 3x + y + 2z = 19
2. Jumlah tiga bilangan adalah 24. Selisih bilangan pertama dan kedua adalah 2. Dua kali bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan pertama dan kedua. Tentukan ketiga bilangan!
3. 3x + 2y + z = 17, x + 3y + 2z = 14, 2x + y + 3z = 14
4. Harga 3 roti, 2 kue, dan 1 donat adalah Rp35.000. Harga 1 roti, 1 kue, dan 2 donat adalah Rp20.000. Harga 2 roti, 3 kue, dan 1 donat adalah Rp35.000. Tentukan harga masing-masing!
5. 4x − y + 2z = 11, 2x + 3y − z = 7, x + y + z = 6
Sulit
1. 1/x + 1/y + 1/z = 11, 2/x + 3/y + 1/z = 15, 3/x + 2/y + 1/z = 14. Tentukan x + y + z!
2. Diketahui x + y = 2z − 4, y + z = 3x + 3, dan x + z = 2y − 1. Tentukan nilai 2x + 3y + z!
3. Umur ayah 3 tahun lalu sama dengan jumlah umur kedua anaknya saat ini. Jumlah umur ketiganya saat ini 65 tahun. Selisih umur kedua anak adalah 4 tahun. Tentukan umur masing-masing!
4. Diketahui xyz = 60, x + y + z = 12, dan xy + yz + xz = 47. Tentukan nilai x, y, z!
5. Sebuah bilangan tiga angka memiliki jumlah angka 12. Angka puluhan sama dengan rata-rata angka ratusan dan satuan. Jika angka ratusan dan satuan ditukar, nilainya berkurang 396. Tentukan bilangan tersebut!