Definisi Nilai Mutlak
Matematika Peminatan Kelas X
📖 Materi: Definisi Nilai Mutlak
🔍 Mengamati
Perhatikan bilangan-bilangan berikut pada garis bilangan:
Perhatikan bahwa bilangan −2 dan 2 memiliki jarak yang sama terhadap titik nol (0), yaitu 2 satuan. Jarak suatu bilangan terhadap nol inilah yang disebut nilai mutlak.
❓ Menanya
- Apa yang dimaksud dengan nilai mutlak suatu bilangan?
- Bagaimana cara menentukan nilai mutlak bilangan positif, negatif, dan nol?
- Bagaimana notasi (simbol) nilai mutlak ditulis?
💡 Menalar
Definisi Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai jarak bilangan x dari titik nol (0) pada garis bilangan.
Secara matematis:
|x| = −x , jika x < 0
Penjelasan:
- Jika x positif atau nol, maka nilai mutlaknya adalah bilangan itu sendiri.
Contoh: |5| = 5, |0| = 0 - Jika x negatif, maka nilai mutlaknya adalah lawan (negasi) dari bilangan tersebut sehingga hasilnya positif.
Contoh: |−3| = −(−3) = 3
Tabel Contoh Nilai Mutlak
| x | |x| | Penjelasan |
|---|---|---|
| 7 | 7 | 7 ≥ 0, maka |7| = 7 |
| 0 | 0 | 0 ≥ 0, maka |0| = 0 |
| −4 | 4 | −4 < 0, maka |−4| = −(−4) = 4 |
| −10 | 10 | −10 < 0, maka |−10| = −(−10) = 10 |
| 3.5 | 3.5 | 3.5 ≥ 0, maka |3.5| = 3.5 |
Sifat-sifat Nilai Mutlak
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | |x| ≥ 0 | Nilai mutlak selalu non-negatif |
| 2 | |x| = |−x| | Nilai mutlak bilangan dan lawannya sama |
| 3 | |x| = 0 ⇔ x = 0 | Nilai mutlak nol hanya untuk bilangan nol |
| 4 | |x · y| = |x| · |y| | Nilai mutlak perkalian = perkalian nilai mutlak |
| 5 | |x|² = x² | Kuadrat nilai mutlak = kuadrat bilangan |
Interpretasi Geometris
|x − a| berarti jarak antara bilangan x dan a pada garis bilangan.
✏️ Mencoba
Tentukan nilai mutlak dari bilangan-bilangan berikut:
- |−8| = ?
- |12| = ?
- |0| = ?
- |−1/2| = ?
- |−√2| = ?
Jawab menggunakan definisi: jika negatif, lawankan tandanya; jika positif/nol, tetap.
🗣️ Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri:
- Mengapa |−5| = |5| = 5? Hubungkan dengan konsep jarak pada garis bilangan.
- Apakah mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif? Jelaskan alasannya.
- Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan konsep nilai mutlak.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Level Mudah
Soal 1: Tentukan nilai dari |−7|
Lihat Pembahasan
Karena −7 < 0, maka gunakan definisi: |x| = −x untuk x < 0
|−7| = −(−7) = 7
Soal 2: Tentukan nilai dari |9|
Lihat Pembahasan
Karena 9 ≥ 0, maka |9| = 9
Jadi |9| = 9
Soal 3: Tentukan nilai dari |0|
Lihat Pembahasan
Karena 0 ≥ 0, maka |0| = 0
Jadi |0| = 0
Soal 4: Tentukan nilai dari |−1/3|
Lihat Pembahasan
Karena −1/3 < 0, maka |−1/3| = −(−1/3) = 1/3
Jadi |−1/3| = 1/3
Soal 5: Tentukan nilai dari |4| + |−3|
Lihat Pembahasan
|4| = 4 (karena 4 ≥ 0)
|−3| = 3 (karena −3 < 0, maka −(−3) = 3)
|4| + |−3| = 4 + 3 = 7
Level Sedang
Soal 1: Tentukan nilai dari |3 − 8|
Lihat Pembahasan
Hitung dalam tanda mutlak: 3 − 8 = −5
Karena −5 < 0, maka |−5| = 5
Jadi |3 − 8| = 5
Soal 2: Tentukan nilai dari |−6| − |−2|
Lihat Pembahasan
|−6| = 6
|−2| = 2
|−6| − |−2| = 6 − 2 = 4
Soal 3: Tentukan nilai dari 2|−4| + 3|−1|
Lihat Pembahasan
|−4| = 4, sehingga 2|−4| = 2 × 4 = 8
|−1| = 1, sehingga 3|−1| = 3 × 1 = 3
2|−4| + 3|−1| = 8 + 3 = 11
Soal 4: Jika x = −5, tentukan nilai dari |2x + 3|
Lihat Pembahasan
Substitusi x = −5:
2(−5) + 3 = −10 + 3 = −7
Karena −7 < 0, maka |−7| = 7
Jadi |2x + 3| = 7
Soal 5: Tentukan nilai dari |5 − 12| + |12 − 5|
Lihat Pembahasan
|5 − 12| = |−7| = 7
|12 − 5| = |7| = 7
7 + 7 = 14
Catatan: Ini menunjukkan sifat |a − b| = |b − a|
Level Sulit
Soal 1: Tentukan nilai dari |x − 3| jika x = 1, menggunakan definisi nilai mutlak.
Lihat Pembahasan
Substitusi: x − 3 = 1 − 3 = −2
Karena −2 < 0, gunakan definisi |x| = −x untuk x < 0
|−2| = −(−2) = 2
Interpretasi: jarak antara 1 dan 3 pada garis bilangan adalah 2.
Soal 2: Nyatakan |x − 2| tanpa tanda nilai mutlak untuk: (a) x ≥ 2, (b) x < 2
Lihat Pembahasan
(a) Jika x ≥ 2, maka x − 2 ≥ 0
Sehingga |x − 2| = x − 2
(b) Jika x < 2, maka x − 2 < 0
Sehingga |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x
Soal 3: Tentukan nilai dari ||−8| − |−3|| (nilai mutlak bersarang)
Lihat Pembahasan
Langkah 1: |−8| = 8 dan |−3| = 3
Langkah 2: |8 − 3| = |5| = 5
Soal 4: Nyatakan f(x) = |2x − 6| tanpa tanda nilai mutlak
Lihat Pembahasan
Tentukan kapan ekspresi dalam nilai mutlak = 0:
2x − 6 = 0 ⇒ x = 3
Kasus 1: Jika x ≥ 3, maka 2x − 6 ≥ 0
f(x) = 2x − 6
Kasus 2: Jika x < 3, maka 2x − 6 < 0
f(x) = −(2x − 6) = 6 − 2x
Soal 5: Buktikan bahwa |a · b| = |a| · |b| menggunakan definisi nilai mutlak untuk a = −3, b = −4
Lihat Pembahasan
Ruas kiri:
a · b = (−3)(−4) = 12
|12| = 12 (karena 12 ≥ 0)
Ruas kanan:
|a| = |−3| = 3
|b| = |−4| = 4
|a| · |b| = 3 × 4 = 12
Kesimpulan: Ruas kiri = Ruas kanan = 12 ✓ Terbukti.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
Level Mudah
- Tentukan nilai dari |−15|
- Tentukan nilai dari |22|
- Tentukan nilai dari |−0.5|
- Tentukan nilai dari |6| + |−6|
- Tentukan nilai dari |−100|
Level Sedang
- Tentukan nilai dari |4 − 11|
- Tentukan nilai dari 3|−5| − 2|−3|
- Jika x = −4, tentukan |3x + 7|
- Tentukan nilai dari |−8| × |−2| − |16|
- Tentukan nilai dari |7 − 15| + |15 − 7| − |0|
Level Sulit
- Nyatakan |3x − 9| tanpa tanda nilai mutlak
- Tentukan nilai dari ||−12| − |7|| + ||7| − |−12||
- Nyatakan |x + 4| tanpa tanda nilai mutlak untuk semua kemungkinan nilai x
- Jika |a| = 5, tentukan semua nilai a yang mungkin dan jelaskan menggunakan definisi.
- Buktikan bahwa |a| = |−a| menggunakan definisi nilai mutlak dengan mempertimbangkan semua kasus.