Persamaan Linear
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Persamaan Linear
🔍 Mengamati
Perhatikan persamaan-persamaan berikut:
- \(2x + 3 = 7\)
- \(5y – 10 = 0\)
- \(3a + 2b = 12\)
Semua persamaan di atas memiliki variabel berpangkat satu (pangkat tertinggi = 1). Inilah yang disebut persamaan linear.
Definisi
Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu dan membentuk garis lurus jika digambarkan dalam bidang koordinat.
Bentuk umum:
- Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV): \(ax + b = 0\), dengan \(a \neq 0\)
- Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV): \(ax + by + c = 0\), dengan \(a\) dan \(b\) tidak keduanya nol
- Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV): Dua atau lebih PLDV yang memiliki himpunan penyelesaian sama
❓ Menanya
- Mengapa disebut “linear”?
- Apa perbedaan persamaan linear dengan persamaan kuadrat?
- Bagaimana cara menentukan penyelesaian persamaan linear?
Jawab: Disebut linear karena grafiknya berupa garis lurus. Perbedaannya dengan persamaan kuadrat terletak pada pangkat tertinggi variabelnya: linear = 1, kuadrat = 2.
Sifat-sifat Persamaan Linear
Operasi yang dapat dilakukan pada kedua ruas tanpa mengubah penyelesaian:
- Menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas
- Mengurangkan bilangan yang sama pada kedua ruas
- Mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama (bukan nol)
- Membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama (bukan nol)
💡 Menalar
Jika \(2x + 5 = 11\), maka:
\(2x + 5 – 5 = 11 – 5\) → \(2x = 6\) → \(x = 3\)
Kita mengurangkan 5 pada kedua ruas, lalu membagi kedua ruas dengan 2. Nilai kebenaran persamaan tetap terjaga.
Contoh Soal: Persamaan Linear Satu Variabel
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(x + 4 = 9\)
Pembahasan:
\(x + 4 = 9\)
\(x = 9 – 4\)
\(x = 5\)
2. Tentukan nilai \(y\) dari \(y – 3 = 7\)
Pembahasan:
\(y – 3 = 7\)
\(y = 7 + 3\)
\(y = 10\)
3. Tentukan nilai \(x\) dari \(3x = 12\)
Pembahasan:
\(3x = 12\)
\(x = \frac{12}{3}\)
\(x = 4\)
4. Tentukan nilai \(a\) dari \(2a + 1 = 5\)
Pembahasan:
\(2a + 1 = 5\)
\(2a = 5 – 1 = 4\)
\(a = \frac{4}{2} = 2\)
5. Tentukan nilai \(p\) dari \(\frac{p}{2} = 6\)
Pembahasan:
\(\frac{p}{2} = 6\)
\(p = 6 \times 2\)
\(p = 12\)
📙 Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(4x – 7 = 2x + 5\)
Pembahasan:
\(4x – 7 = 2x + 5\)
\(4x – 2x = 5 + 7\)
\(2x = 12\)
\(x = 6\)
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(3(x + 2) = 15\)
Pembahasan:
\(3(x + 2) = 15\)
\(3x + 6 = 15\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
3. Tentukan nilai \(y\) dari \(5y + 3 = 2(y + 6)\)
Pembahasan:
\(5y + 3 = 2y + 12\)
\(5y – 2y = 12 – 3\)
\(3y = 9\)
\(y = 3\)
4. Tentukan nilai \(x\) dari \(\frac{2x+1}{3} = 5\)
Pembahasan:
\(\frac{2x+1}{3} = 5\)
\(2x + 1 = 15\)
\(2x = 14\)
\(x = 7\)
5. Tentukan nilai \(m\) dari \(7 – 2m = 3m – 8\)
Pembahasan:
\(7 – 2m = 3m – 8\)
\(7 + 8 = 3m + 2m\)
\(15 = 5m\)
\(m = 3\)
📕 Tingkat Sulit
1. Tentukan nilai \(x\) dari \(\frac{3x-1}{4} – \frac{x+2}{3} = 1\)
Pembahasan: KPK penyebut = 12
\(\frac{3(3x-1)}{12} – \frac{4(x+2)}{12} = 1\)
\(3(3x-1) – 4(x+2) = 12\)
\(9x – 3 – 4x – 8 = 12\)
\(5x – 11 = 12\)
\(5x = 23\)
\(x = \frac{23}{5}\)
2. Tentukan nilai \(x\) dari \(2(3x-4) – 3(2x-1) = 4(x+2) – 5\)
Pembahasan:
\(6x – 8 – 6x + 3 = 4x + 8 – 5\)
\(-5 = 4x + 3\)
\(-5 – 3 = 4x\)
\(4x = -8\)
\(x = -2\)
3. Tentukan nilai \(x\) dari \(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 10\)
Pembahasan: KPK = 6
\(\frac{3x + 2x + x}{6} = 10\)
\(\frac{6x}{6} = 10\)
\(x = 10\)
4. Umur ayah 3 kali umur anak. Selisih umur mereka 30 tahun. Tentukan umur masing-masing.
Pembahasan: Misalkan umur anak = \(x\), umur ayah = \(3x\)
\(3x – x = 30\)
\(2x = 30\)
\(x = 15\)
Umur anak = 15 tahun, umur ayah = 45 tahun.
5. Tentukan nilai \(x\) dari \(\frac{5}{x-1} = \frac{3}{x+1}\)
Pembahasan: Kalikan silang:
\(5(x+1) = 3(x-1)\)
\(5x + 5 = 3x – 3\)
\(2x = -8\)
\(x = -4\)
Latihan Soal: PLSV
📗 Mudah
1. \(x + 7 = 12\)
2. \(3y = 21\)
3. \(m – 5 = 8\)
4. \(\frac{x}{4} = 3\)
5. \(2p + 3 = 11\)
📙 Sedang
1. \(5x – 3 = 3x + 7\)
2. \(4(y – 1) = 2(y + 3)\)
3. \(\frac{3x + 2}{5} = 4\)
4. \(6 – 3m = 2m + 1\)
5. \(2(x + 4) – 3 = x + 9\)
📕 Sulit
1. \(\frac{2x-3}{4} + \frac{x+1}{2} = 3\)
2. \(\frac{4}{x+2} = \frac{6}{x+5}\)
3. \(3(2x-1) – 2(x+4) = 5(x-3)\)
4. Jumlah tiga bilangan berurutan adalah 72. Tentukan bilangan terbesar.
5. \(\frac{x}{3} – \frac{x}{4} = \frac{x}{6} + 1\)
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
🔍 Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp16.000. Harga 4 buku dan 1 pensil adalah Rp18.000.
Jika harga buku = \(x\) dan harga pensil = \(y\), maka:
\(2x + 3y = 16000\)
\(4x + y = 18000\)
Inilah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
Metode Penyelesaian SPLDV
A. Metode Substitusi
Langkah-langkah:
- Nyatakan satu variabel dalam variabel lain dari salah satu persamaan
- Substitusikan ke persamaan lainnya
- Selesaikan persamaan satu variabel yang terbentuk
- Substitusikan kembali untuk mendapatkan variabel lain
B. Metode Eliminasi
Langkah-langkah:
- Samakan koefisien salah satu variabel
- Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel tersebut
- Selesaikan variabel yang tersisa
- Ulangi untuk variabel lainnya
C. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Gabungan kedua metode: eliminasi satu variabel, lalu substitusi untuk mencari variabel lainnya.
🧪 Mencoba
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode substitusi:
\(x + y = 10\) … (1)
\(2x – y = 5\) … (2)
Langkah:
Dari (1): \(y = 10 – x\)
Substitusi ke (2): \(2x – (10 – x) = 5\)
\(2x – 10 + x = 5\) → \(3x = 15\) → \(x = 5\)
\(y = 10 – 5 = 5\)
Jadi \(x = 5\) dan \(y = 5\)
📢 Mengkomunikasikan
Penyelesaian SPLDV dapat disajikan sebagai pasangan berurutan \((x, y)\). Pada contoh di atas, penyelesaiannya adalah \((5, 5)\). Secara geometris, titik ini merupakan perpotongan dua garis yang dinyatakan oleh kedua persamaan.
Interpretasi Grafik SPLDV
| Kondisi | Grafik | Penyelesaian |
|---|---|---|
| Dua garis berpotongan | Bertemu di satu titik | Tepat satu penyelesaian |
| Dua garis sejajar | Tidak pernah bertemu | Tidak ada penyelesaian |
| Dua garis berimpit | Saling tumpang tindih | Tak hingga penyelesaian |
Contoh Soal: SPLDV
📗 Tingkat Mudah
1. Selesaikan: \(x + y = 8\) dan \(x – y = 2\)
Pembahasan (Eliminasi):
Jumlahkan: \(2x = 10\) → \(x = 5\)
Substitusi: \(5 + y = 8\) → \(y = 3\)
Jawab: \(x = 5, y = 3\)
2. Selesaikan: \(2x + y = 7\) dan \(x + y = 5\)
Pembahasan: Eliminasi: kurangkan persamaan 2 dari 1:
\(x = 2\), substitusi: \(2 + y = 5\) → \(y = 3\)
3. Selesaikan: \(x + 2y = 10\) dan \(x + y = 7\)
Pembahasan: Kurangkan: \(y = 3\), maka \(x = 4\)
4. Selesaikan: \(3x + y = 10\) dan \(x = 2\)
Pembahasan: Substitusi \(x=2\): \(6 + y = 10\) → \(y = 4\)
5. Selesaikan: \(x – y = 1\) dan \(x + y = 7\)
Pembahasan: Jumlahkan: \(2x = 8\) → \(x = 4\), \(y = 3\)
📙 Tingkat Sedang
1. Selesaikan: \(2x + 3y = 12\) dan \(x – y = 1\)
Pembahasan: Dari pers.2: \(x = y + 1\)
Substitusi: \(2(y+1) + 3y = 12\) → \(5y + 2 = 12\) → \(y = 2\)
\(x = 3\). Jawab: (3, 2)
2. Selesaikan: \(3x + 2y = 16\) dan \(2x + 3y = 14\)
Pembahasan: Kalikan pers.1 dengan 3 dan pers.2 dengan 2:
\(9x + 6y = 48\) dan \(4x + 6y = 28\)
Kurangkan: \(5x = 20\) → \(x = 4\)
Substitusi: \(12 + 2y = 16\) → \(y = 2\)
3. Harga 3 buku dan 2 pulpen = Rp21.000. Harga 1 buku dan 4 pulpen = Rp17.000. Tentukan harga masing-masing.
Pembahasan: \(3b + 2p = 21000\) … (1), \(b + 4p = 17000\) … (2)
Dari (2): \(b = 17000 – 4p\)
Substitusi ke (1): \(3(17000-4p) + 2p = 21000\)
\(51000 – 12p + 2p = 21000\) → \(-10p = -30000\) → \(p = 3000\)
\(b = 17000 – 12000 = 5000\)
Buku = Rp5.000, Pulpen = Rp3.000
4. Selesaikan: \(4x – y = 5\) dan \(2x + 3y = 13\)
Pembahasan: Dari pers.1: \(y = 4x – 5\)
Substitusi: \(2x + 3(4x-5) = 13\) → \(14x – 15 = 13\) → \(14x = 28\) → \(x = 2\)
\(y = 8 – 5 = 3\)
5. Selesaikan: \(x + 3y = 11\) dan \(2x – y = 1\)
Pembahasan: Dari pers.2: \(y = 2x – 1\)
Substitusi: \(x + 3(2x-1) = 11\) → \(7x – 3 = 11\) → \(x = 2\)
\(y = 3\)
📕 Tingkat Sulit
1. Selesaikan: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4\) dan \(\frac{x}{3} – \frac{y}{4} = 1\)
Pembahasan: Kalikan pers.1 dengan 6: \(3x + 2y = 24\)
Kalikan pers.2 dengan 12: \(4x – 3y = 12\)
Eliminasi y: kalikan pers.1′ dengan 3, pers.2′ dengan 2:
\(9x + 6y = 72\) dan \(8x – 6y = 24\)
Jumlahkan: \(17x = 96\) → \(x = \frac{96}{17}\)
\(y = \frac{24 – 3(\frac{96}{17})}{2} = \frac{24 \cdot 17 – 288}{34} = \frac{408 – 288}{34} = \frac{120}{34} = \frac{60}{17}\)
2. Jumlah dua bilangan 50. Jika bilangan pertama dikurangi 2 kali bilangan kedua hasilnya −10. Tentukan kedua bilangan.
Pembahasan: \(x + y = 50\) dan \(x – 2y = -10\)
Kurangkan: \(3y = 60\) → \(y = 20\), \(x = 30\)
3. Selesaikan: \(5x + 4y = 22\) dan \(3x – 2y = 4\)
Pembahasan: Kalikan pers.2 dengan 2: \(6x – 4y = 8\)
Jumlahkan dengan pers.1: \(11x = 30\) → \(x = \frac{30}{11}\)
\(y = \frac{22 – 5 \cdot \frac{30}{11}}{4} = \frac{\frac{242 – 150}{11}}{4} = \frac{92}{44} = \frac{23}{11}\)
4. Sebuah bilangan terdiri dari 2 angka. Jumlah kedua angkanya 9. Jika angka satuannya ditukar maka bilangan baru lebih besar 27 dari bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan: Misal angka puluhan = \(a\), satuan = \(b\)
\(a + b = 9\) … (1)
Bilangan = \(10a + b\), bilangan baru = \(10b + a\)
\(10b + a – (10a + b) = 27\) → \(9b – 9a = 27\) → \(b – a = 3\) … (2)
Dari (1) dan (2): \(2b = 12\) → \(b = 6\), \(a = 3\)
Bilangan = 36
5. Selesaikan: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 7\) dan \(\frac{4}{x} – \frac{1}{y} = 1\)
Pembahasan: Misalkan \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\)
\(2u + 3v = 7\) … (1), \(4u – v = 1\) … (2)
Dari (2): \(v = 4u – 1\). Substitusi ke (1):
\(2u + 3(4u – 1) = 7\) → \(14u – 3 = 7\) → \(u = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\)
\(v = \frac{20}{7} – 1 = \frac{13}{7}\)
\(x = \frac{7}{5}\), \(y = \frac{7}{13}\)
Latihan Soal: SPLDV
📗 Mudah
1. \(x + y = 9\) dan \(x – y = 3\)
2. \(2x + y = 8\) dan \(x + y = 5\)
3. \(x + 3y = 12\) dan \(x + y = 6\)
4. \(x – y = 4\) dan \(2x + y = 11\)
5. \(3x + y = 13\) dan \(x = 3\)
📙 Sedang
1. \(3x + 4y = 18\) dan \(x – 2y = -2\)
2. \(5x + 2y = 20\) dan \(3x + 4y = 22\)
3. Harga 2 kaos dan 1 celana Rp250.000. Harga 1 kaos dan 3 celana Rp450.000. Tentukan harga masing-masing.
4. \(2x – 3y = 1\) dan \(4x + y = 15\)
5. \(x + 2y = 14\) dan \(3x – y = 7\)
📕 Sulit
1. \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\) dan \(\frac{x}{2} – \frac{y}{5} = 2\)
2. \(\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 8\) dan \(\frac{1}{x} – \frac{4}{y} = -6\)
3. Sebuah bilangan 2 angka memiliki jumlah angka 12. Jika posisi angka ditukar, bilangan berkurang 36. Tentukan bilangan semula.
4. \(4(x-1) + 3(y+2) = 17\) dan \(2(x+3) – (y-1) = 11\)
5. Keliling sebuah persegi panjang 40 cm. Jika panjangnya 4 cm lebih dari lebarnya, tentukan luas persegi panjang.
3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
🔍 Mengamati
Perhatikan contoh berikut:
Harga 1 buku, 2 pensil, dan 3 penghapus = Rp10.000
Harga 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus = Rp9.000
Harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus = Rp7.000
Dengan \(x\) = harga buku, \(y\) = pensil, \(z\) = penghapus:
\(x + 2y + 3z = 10000\)
\(2x + y + z = 9000\)
\(x + y + 2z = 7000\)
💡 Menalar
Langkah penyelesaian SPLTV:
- Eliminasi satu variabel dari dua pasangan persamaan → dapat SPLDV
- Selesaikan SPLDV yang terbentuk
- Substitusi kembali untuk mendapatkan variabel ketiga
Contoh Soal: SPLTV
📗 Tingkat Mudah
1. \(x + y + z = 6\), \(x – y + z = 2\), \(x + y – z = 4\)
Pembahasan:
Pers.(1) + Pers.(2): \(2x + 2z = 8\) → \(x + z = 4\) … (A)
Pers.(1) + Pers.(3): \(2x + 2y = 10\) → \(x + y = 5\) … (B)
Pers.(1): \(x + y + z = 6\). Dari (A): \(z = 4 – x\), dari (B): \(y = 5 – x\)
Substitusi: \(x + (5-x) + (4-x) = 6\) → \(9 – x = 6\) → \(x = 3\)
\(y = 2\), \(z = 1\)
2. \(x + y + z = 10\), \(x = 2\), \(y = 3\)
Pembahasan: \(2 + 3 + z = 10\) → \(z = 5\)
3. \(x + y = 5\), \(y + z = 7\), \(x + z = 8\)
Pembahasan: Jumlahkan ketiga: \(2(x+y+z) = 20\) → \(x+y+z = 10\)
\(z = 10-5 = 5\), \(x = 10-7 = 3\), \(y = 10-8 = 2\)
4. \(2x + y + z = 9\), \(x + 2y + z = 8\), \(x + y + 2z = 7\)
Pembahasan: Jumlah: \(4(x+y+z) = 24\) → \(x+y+z = 6\)
Dari pers.1: \(x + 6 = 9\) → \(x = 3\)
Dari pers.2: \(y + 6 = 8\) → \(y = 2\)
Dari pers.3: \(z + 6 = 7\) → \(z = 1\)
5. \(x = 4\), \(x + y = 7\), \(x + y + z = 12\)
Pembahasan: \(x = 4\), \(y = 3\), \(z = 5\)
📙 Tingkat Sedang
1. \(x + 2y + z = 14\), \(2x + y + z = 13\), \(x + y + 2z = 13\)
Pembahasan: Pers.1 − Pers.2: \(-x + y = 1\) → \(y = x + 1\)
Pers.1 − Pers.3: \(y – z = 1\) → \(z = y – 1 = x\)
Substitusi ke Pers.2: \(2x + (x+1) + x = 13\) → \(4x = 12\) → \(x = 3\)
\(y = 4\), \(z = 3\)
2. \(3x + y – z = 10\), \(x – y + 2z = 5\), \(2x + y + z = 12\)
Pembahasan: Pers.1 + Pers.2: \(4x + z = 15\) … (A)
Pers.2 + Pers.3: \(3x + 3z = 17\) … (B)
Dari (A): \(z = 15 – 4x\). Substitusi ke (B): \(3x + 3(15-4x) = 17\)
\(3x + 45 – 12x = 17\) → \(-9x = -28\) → \(x = \frac{28}{9}\)
\(z = 15 – \frac{112}{9} = \frac{23}{9}\), \(y = 10 – 3x + z = 10 – \frac{84}{9} + \frac{23}{9} = \frac{29}{9}\)
3. Tiga bilangan memiliki jumlah 30. Bilangan pertama sama dengan jumlah dua lainnya dikurangi 6. Bilangan ketiga 2 lebih dari bilangan kedua.
Pembahasan: \(x + y + z = 30\), \(x = y + z – 6\), \(z = y + 2\)
Dari pers.2: \(x = 30 – x – 6\) → \(2x = 24\) → \(x = 12\)
\(y + z = 18\) dan \(z = y + 2\): \(2y + 2 = 18\) → \(y = 8\), \(z = 10\)
4. \(x – y + z = 2\), \(2x + y – z = 7\), \(x + 2y + 2z = 13\)
Pembahasan: Pers.1 + Pers.2: \(3x = 9\) → \(x = 3\)
Substitusi ke Pers.1: \(3 – y + z = 2\) → \(z – y = -1\) … (A)
Substitusi ke Pers.3: \(3 + 2y + 2z = 13\) → \(2y + 2z = 10\) → \(y + z = 5\) … (B)
Dari (A) dan (B): \(2z = 4\) → \(z = 2\), \(y = 3\)
5. \(2x + 3y + z = 16\), \(x + y + z = 8\), \(3x + 2y + z = 17\)
Pembahasan: Pers.1 − Pers.2: \(x + 2y = 8\) … (A)
Pers.3 − Pers.2: \(2x + y = 9\) … (B)
Dari (A) dan (B): Eliminasi → \(3y = 7\) → Hmm, let me redo.
(B)×2 − (A): \(4x + 2y – x – 2y = 18 – 8\) → \(3x = 10\) → \(x = \frac{10}{3}\)
Sebenarnya lebih sederhana: dari (A): \(x = 8 – 2y\), sub ke (B): \(2(8-2y)+y = 9\) → \(16-4y+y=9\) → \(y = \frac{7}{3}\)
\(x = 8 – \frac{14}{3} = \frac{10}{3}\), \(z = 8 – \frac{10}{3} – \frac{7}{3} = 8 – \frac{17}{3} = \frac{7}{3}\)
📕 Tingkat Sulit
1. Tiket bioskop: 2 dewasa + 3 anak + 1 lansia = Rp155.000. 1 dewasa + 2 anak + 2 lansia = Rp115.000. 3 dewasa + 1 anak + 1 lansia = Rp150.000. Tentukan harga tiket masing-masing.
Pembahasan: \(2d + 3a + l = 155\), \(d + 2a + 2l = 115\), \(3d + a + l = 150\) (ribuan)
Pers.1 − Pers.3: \(-d + 2a = 5\) → \(d = 2a – 5\) … (A)
Pers.1 − 2×Pers.2: \(2d+3a+l – 2d-4a-4l = 155-230\) → \(-a – 3l = -75\) → \(a + 3l = 75\) … (B)
Sub (A) ke Pers.2: \((2a-5)+2a+2l = 115\) → \(4a + 2l = 120\) → \(2a + l = 60\) … (C)
Dari (B) dan (C): \(a + 3l = 75\) dan \(l = 60 – 2a\)
\(a + 3(60-2a) = 75\) → \(a + 180 – 6a = 75\) → \(-5a = -105\) → \(a = 21\)
\(l = 60 – 42 = 18\), \(d = 42 – 5 = 37\)
Dewasa = Rp37.000, Anak = Rp21.000, Lansia = Rp18.000
2. \(\frac{x}{2} + y – z = 3\), \(x – \frac{y}{3} + z = 8\), \(x + y + \frac{z}{2} = 9\)
Pembahasan: Kalikan untuk menghilangkan pecahan:
Pers.1 × 2: \(x + 2y – 2z = 6\) … (1′)
Pers.2 × 3: \(3x – y + 3z = 24\) … (2′)
Pers.3 × 2: \(2x + 2y + z = 18\) … (3′)
(1′) + (2′): via eliminasi y → (1′) + 2×(2′): \(x+2y-2z + 6x-2y+6z = 6+48\) → \(7x+4z = 54\) … (A)
(3′) − (1′): \(x + 3z = 12\) → \(x = 12-3z\) … (B)
Sub (B) ke (A): \(7(12-3z)+4z = 54\) → \(84-21z+4z = 54\) → \(-17z = -30\) → \(z = \frac{30}{17}\)
\(x = 12 – \frac{90}{17} = \frac{114}{17}\), \(y\) from (1′): \(y = \frac{6 – x + 2z}{2} = \frac{6 – \frac{114}{17} + \frac{60}{17}}{2} = \frac{\frac{102-114+60}{17}}{2} = \frac{48}{34} = \frac{24}{17}\)
3. Tentukan tiga bilangan berurutan ganjil yang jumlahnya 63.
Pembahasan: Misalkan bilangan: \(x-2\), \(x\), \(x+2\)
\((x-2) + x + (x+2) = 63\)
\(3x = 63\) → \(x = 21\)
Bilangan: 19, 21, 23
4. \(x + 2y – 3z = -4\), \(2x – y + z = 7\), \(3x + y – 2z = 5\)
Pembahasan: Pers.2 + Pers.1: via eliminasi
2×Pers.2 + Pers.1: \(4x-2y+2z + x+2y-3z = 14-4\) → \(5x – z = 10\) … (A)
Pers.3 + Pers.2: \(3x+y-2z + 2x-y+z = 5+7\) → \(5x – z = 12\) … (B)
Perhatikan (A) dan (B) kontradiksi: \(10 \neq 12\). Sistem ini tidak memiliki penyelesaian.
5. Investasi Rp100 juta dibagi 3 jenis: deposito (5%), obligasi (8%), saham (12%). Total bunga setahun Rp8.100.000. Investasi saham = 2× deposito. Tentukan masing-masing.
Pembahasan: \(d + o + s = 100\) (juta), \(0.05d + 0.08o + 0.12s = 8.1\), \(s = 2d\)
Sub \(s=2d\) ke pers.1: \(3d + o = 100\) → \(o = 100-3d\)
Sub ke pers.2: \(0.05d + 0.08(100-3d) + 0.12(2d) = 8.1\)
\(0.05d + 8 – 0.24d + 0.24d = 8.1\)
\(0.05d + 8 = 8.1\) → \(0.05d = 0.1\) → \(d = 2\)
\(s = 4\), \(o = 94\)
Deposito = Rp2 juta, Obligasi = Rp94 juta, Saham = Rp4 juta
Latihan Soal: SPLTV
📗 Mudah
1. \(x + y + z = 15\), \(x = 3\), \(y = 5\)
2. \(x + y = 8\), \(y + z = 9\), \(x + z = 7\)
3. \(2x + y + z = 10\), \(x = 1\), \(z = 3\)
4. \(x + y + z = 12\), \(x – y + z = 6\), \(x + y – z = 4\)
5. \(x + 2y + z = 11\), \(y = 2\), \(z = 3\)
📙 Sedang
1. \(x + y + z = 9\), \(2x – y + z = 7\), \(x + 2y – z = 4\)
2. \(3x + y + 2z = 17\), \(x + 2y + z = 10\), \(2x + y + z = 12\)
3. Tiga orang menabung total Rp600.000. A menabung 2× B. C menabung Rp50.000 lebih dari B. Tentukan tabungan masing-masing.
4. \(x – 2y + z = 0\), \(2x + y – z = 8\), \(x + y + z = 6\)
5. \(4x + y + z = 20\), \(x + 4y + z = 17\), \(x + y + 4z = 23\)
📕 Sulit
1. \(\frac{x}{2} + y + z = 10\), \(x + \frac{y}{2} + z = 11\), \(x + y + \frac{z}{2} = 12\)
2. \(x + y + z = 100\), \(0.06x + 0.08y + 0.10z = 8.2\), \(x = y + 10\)
3. Segitiga memiliki keliling 45 cm. Sisi terpanjang 5 cm lebih dari sisi sedang, dan sisi terpendek 10 cm kurang dari sisi terpanjang. Tentukan panjang ketiga sisi.
4. \(2x + 3y – z = 5\), \(x – y + 2z = 1\), \(3x + 2y + z = 10\)
5. Toko menjual 3 jenis buah. 2 kg apel + 3 kg jeruk + 1 kg mangga = Rp95.000. 1 kg apel + 2 kg jeruk + 3 kg mangga = Rp100.000. 3 kg apel + 1 kg jeruk + 2 kg mangga = Rp105.000. Tentukan harga per kg masing-masing.
📢 Mengkomunikasikan – Ringkasan
| Jenis | Bentuk Umum | Metode Penyelesaian |
|---|---|---|
| PLSV | \(ax + b = 0\) | Operasi aljabar langsung |
| SPLDV | \(ax + by = c\) (2 pers.) | Substitusi, Eliminasi, Grafik |
| SPLTV | \(ax + by + cz = d\) (3 pers.) | Eliminasi bertahap + substitusi |
Tips penting:
- Selalu periksa jawaban dengan substitusi kembali ke persamaan awal
- Perhatikan tanda positif dan negatif saat eliminasi
- Untuk soal cerita, tentukan variabel dan susun persamaan dengan teliti