Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi dalam Interval Tertutup
Kalkulus — Aplikasi Turunan
1. Pendahuluan
Dalam matematika, salah satu aplikasi penting turunan adalah menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi pada interval tertutup [a, b]. Konsep ini sering disebut sebagai Teorema Nilai Ekstrem (Extreme Value Theorem).
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f pasti memiliki nilai maksimum absolut dan nilai minimum absolut pada interval tersebut.
Nilai maksimum dan minimum absolut (global) pada interval tertutup dapat terjadi di:
- Titik kritis (critical points) di dalam interval, yaitu titik di mana f'(x) = 0 atau f'(x) tidak terdefinisi
- Titik ujung (endpoints) interval, yaitu x = a dan x = b
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan grafik fungsi f(x) = x3 − 3x + 1 pada interval [−2, 2]:
Amati: Nilai fungsi di titik ujung dan titik kritis. Nilai maksimum absolut = 3 (di x = −1 dan x = 2), nilai minimum absolut = −1 (di x = −2 dan x = 1).
2. Langkah-Langkah Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum
Untuk mencari nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f(x) pada [a, b]:
Langkah 1: Tentukan turunan f'(x)
Langkah 2: Cari titik kritis dengan menyelesaikan f'(x) = 0 dan cari titik di mana f'(x) tidak terdefinisi
Langkah 3: Pilih titik kritis yang berada di dalam interval (a, b)
Langkah 4: Hitung nilai fungsi di semua titik kritis dan di kedua ujung interval
Langkah 5: Bandingkan semua nilai — yang terbesar adalah maksimum absolut, yang terkecil adalah minimum absolut
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati prosedur di atas, coba pikirkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa kita perlu memeriksa titik ujung interval?
- Bagaimana jika fungsi memiliki lebih dari satu titik kritis?
- Apakah semua titik kritis pasti menghasilkan nilai maksimum atau minimum?
- Apa yang terjadi jika f'(x) tidak terdefinisi di suatu titik?
3. Penjelasan Detail Konsep
3.1 Titik Kritis (Critical Points)
Titik kritis dari fungsi f adalah nilai x = c di domain f sedemikian sehingga:
3.2 Perbedaan Ekstrem Lokal dan Absolut
| Aspek | Ekstrem Lokal (Relatif) | Ekstrem Absolut (Global) |
|---|---|---|
| Definisi | Nilai tertinggi/terendah di sekitar titik tersebut | Nilai tertinggi/terendah pada seluruh interval |
| Lokasi | Hanya di titik kritis interior | Di titik kritis atau titik ujung |
| Keberadaan | Belum tentu ada | Pasti ada (jika f kontinu pada [a,b]) |
Kegiatan: Menalar
Mari kita nalar bersama mengapa Teorema Nilai Ekstrem mensyaratkan:
- Fungsi harus kontinu: Jika fungsi tidak kontinu (ada lompatan), maka bisa saja tidak ada titik yang mencapai nilai tertinggi karena fungsi “melompat” mendekati nilai tersebut tanpa pernah menyentuhnya.
- Interval harus tertutup: Pada interval terbuka (a, b), fungsi bisa mendekati suatu nilai tanpa pernah mencapainya di ujung. Contoh: f(x) = x pada (0, 1) — tidak ada nilai maksimum karena fungsi terus mendekati 1 tanpa mencapainya.
3.3 Rumus Turunan yang Sering Digunakan
| Fungsi f(x) | Turunan f'(x) |
|---|---|
| xn | n·xn−1 |
| axn | an·xn−1 |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
Kegiatan: Mencoba
Cobalah terapkan langkah-langkah Closed Interval Method untuk fungsi berikut:
Panduan:
4. Contoh Soal dan Pembahasan
4.1 Contoh Soal Mudah
Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = 2x + 1 pada [−1, 3].
Pembahasan:
• f(−1) = 2(−1) + 1 = −1
• f(3) = 2(3) + 1 = 7
• Nilai maksimum absolut = 7 di x = 3
• Nilai minimum absolut = −1 di x = −1
Contoh 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x2 pada [−2, 3].
Pembahasan:
• f(−2) = 4
• f(0) = 0
• f(3) = 9
• Maksimum absolut = 9 di x = 3
• Minimum absolut = 0 di x = 0
Contoh 3
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = −x2 + 4x pada [0, 4].
Pembahasan:
• f(0) = 0
• f(2) = −4 + 8 = 4
• f(4) = −16 + 16 = 0
• Maksimum absolut = 4 di x = 2
• Minimum absolut = 0 di x = 0 dan x = 4
Contoh 4
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x2 + 2x + 1 pada [−3, 1].
Pembahasan:
• f(−3) = 9 − 6 + 1 = 4
• f(−1) = 1 − 2 + 1 = 0
• f(1) = 1 + 2 + 1 = 4
• Maksimum absolut = 4 di x = −3 dan x = 1
• Minimum absolut = 0 di x = −1
Contoh 5
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = 3x − x2 pada [0, 3].
Pembahasan:
• f(0) = 0
• f(3/2) = 9/2 − 9/4 = 9/4 = 2,25
• f(3) = 9 − 9 = 0
• Maksimum absolut = 9/4 di x = 3/2
• Minimum absolut = 0 di x = 0 dan x = 3
4.2 Contoh Soal Sedang
Contoh 6
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x3 − 3x2 + 1 pada [−1, 4].
Pembahasan:
• f(−1) = −1 − 3 + 1 = −3
• f(0) = 0 − 0 + 1 = 1
• f(2) = 8 − 12 + 1 = −3
• f(4) = 64 − 48 + 1 = 17
• Maksimum absolut = 17 di x = 4
• Minimum absolut = −3 di x = −1 dan x = 2
Contoh 7
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x3 − 12x + 5 pada [−3, 3].
Pembahasan:
• f(−3) = −27 + 36 + 5 = 14
• f(−2) = −8 + 24 + 5 = 21
• f(2) = 8 − 24 + 5 = −11
• f(3) = 27 − 36 + 5 = −4
• Maksimum absolut = 21 di x = −2
• Minimum absolut = −11 di x = 2
Contoh 8
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = 2x3 − 9x2 + 12x pada [0, 3].
Pembahasan:
• f(0) = 0
• f(1) = 2 − 9 + 12 = 5
• f(2) = 16 − 36 + 24 = 4
• f(3) = 54 − 81 + 36 = 9
• Maksimum absolut = 9 di x = 3
• Minimum absolut = 0 di x = 0
Contoh 9
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x4 − 8x2 + 3 pada [−3, 3].
Pembahasan:
• f(−3) = 81 − 72 + 3 = 12
• f(−2) = 16 − 32 + 3 = −13
• f(0) = 0 − 0 + 3 = 3
• f(2) = 16 − 32 + 3 = −13
• f(3) = 81 − 72 + 3 = 12
• Maksimum absolut = 12 di x = −3 dan x = 3
• Minimum absolut = −13 di x = −2 dan x = 2
Contoh 10
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x + 4x pada [1, 4].
Pembahasan:
• f(1) = 1 + 4 = 5
• f(2) = 2 + 2 = 4
• f(4) = 4 + 1 = 5
• Maksimum absolut = 5 di x = 1 dan x = 4
• Minimum absolut = 4 di x = 2
4.3 Contoh Soal Sulit
Contoh 11
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x2/3(x − 5) pada [−1, 8].
Pembahasan:
f'(x) = (5/3)x2/3 − (10/3)x−1/3 = 5x2/3 − 10x−1/33 = 5x − 103x1/3 = 5(x − 2)3x1/3
• f'(x) = 0 saat x − 2 = 0 ⇒ x = 2
• f'(x) tidak terdefinisi saat x = 0
• f(−1) = (−1)2/3(−1 − 5) = 1 × (−6) = −6
• f(0) = 0
• f(2) = 22/3(2 − 5) = 22/3(−3) ≈ 1,587 × (−3) ≈ −4,762
• f(8) = 82/3(8 − 5) = 4 × 3 = 12
• Maksimum absolut = 12 di x = 8
• Minimum absolut = −6 di x = −1
Contoh 12
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = sin(x) + cos(x) pada [0, 2π].
Pembahasan:
Solusi: x = π/4 dan x = 5π/4
• f(0) = 0 + 1 = 1
• f(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,414
• f(5π/4) = sin(5π/4) + cos(5π/4) = −√2/2 − √2/2 = −√2 ≈ −1,414
• f(2π) = 0 + 1 = 1
• Maksimum absolut = √2 di x = π/4
• Minimum absolut = −√2 di x = 5π/4
Contoh 13
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = x4 − 4x3 + 4x2 pada [−1, 3].
Pembahasan:
• f(−1) = 1 + 4 + 4 = 9
• f(0) = 0
• f(1) = 1 − 4 + 4 = 1
• f(2) = 16 − 32 + 16 = 0
• f(3) = 81 − 108 + 36 = 9
• Maksimum absolut = 9 di x = −1 dan x = 3
• Minimum absolut = 0 di x = 0 dan x = 2
Contoh 14
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = xx2 + 1 pada [−2, 2].
Pembahasan:
f'(x) = (x2 + 1)(1) − x(2x)(x2 + 1)2 = 1 − x2(x2 + 1)2
• f(−2) = −2/5 = −0,4
• f(−1) = −1/2 = −0,5
• f(1) = 1/2 = 0,5
• f(2) = 2/5 = 0,4
• Maksimum absolut = 1/2 di x = 1
• Minimum absolut = −1/2 di x = −1
Contoh 15
Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut f(x) = 2sin(x) − sin(2x) pada [0, 2π].
Pembahasan:
2cos(x) − 2(2cos2(x) − 1) = 0
2cos(x) − 4cos2(x) + 2 = 0
4cos2(x) − 2cos(x) − 2 = 0
2cos2(x) − cos(x) − 1 = 0
(2cos(x) + 1)(cos(x) − 1) = 0
cos(x) = −1/2 ⇒ x = 2π/3, 4π/3
cos(x) = 1 ⇒ x = 0, 2π (titik ujung)
• f(0) = 0 − 0 = 0
• f(2π/3) = 2sin(2π/3) − sin(4π/3) = 2(√3/2) − (−√3/2) = 3√3/2 ≈ 2,598
• f(4π/3) = 2sin(4π/3) − sin(8π/3) = 2(−√3/2) − (√3/2) = −3√3/2 ≈ −2,598
• f(2π) = 0 − 0 = 0
• Maksimum absolut = 3√3/2 di x = 2π/3
• Minimum absolut = −3√3/2 di x = 4π/3
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, komunikasikan pemahamanmu:
- Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa metode interval tertutup selalu berhasil menemukan nilai maks/min absolut.
- Buat rangkuman langkah-langkah penyelesaian dalam bentuk diagram alir (flowchart).
- Diskusikan dengan temanmu: kapan nilai ekstrem terjadi di titik ujung dan kapan di titik kritis?
- Berikan contoh kehidupan nyata di mana pencarian nilai maks/min pada interval tertutup digunakan.
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut dari masing-masing fungsi pada interval yang diberikan.
5.1 Latihan Mudah
1. f(x) = 5 − 3x pada [−2, 4]
2. f(x) = x2 − 6x + 5 pada [0, 5]
3. f(x) = −x2 + 2x + 3 pada [−1, 3]
4. f(x) = x2 − 4x pada [0, 5]
5. f(x) = 4x − x2 pada [1, 4]
5.2 Latihan Sedang
6. f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 2 pada [0, 4]
7. f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5 pada [−2, 3]
8. f(x) = x4 − 2x2 pada [−2, 2]
9. f(x) = x − 1x pada [1, 3]
10. f(x) = x3 − 3x + 2 pada [−2, 2]
5.3 Latihan Sulit
11. f(x) = sin2(x) + cos(x) pada [0, 2π]
12. f(x) = x√(4 − x2) pada [−2, 2]
13. f(x) = x2x2 + 4 pada [−3, 3]
14. f(x) = x2/3(6 − x)1/3 pada [0, 6]
15. f(x) = 3sin(x) − 4sin3(x) pada [0, π]
6. Rangkuman
- Fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b] pasti memiliki nilai maksimum dan minimum absolut.
- Nilai ekstrem absolut terjadi di titik kritis atau titik ujung interval.
- Titik kritis: titik di mana f'(x) = 0 atau f'(x) tidak terdefinisi.
- Closed Interval Method: Hitung nilai fungsi di semua kandidat, bandingkan untuk menentukan maks/min.
- Selalu periksa apakah titik kritis berada di dalam interval yang diberikan.