Pembahasan:

Langkah 1: n = 1+3+6+9+10+6+3+2 = 40

Langkah 2: fk: 1, 4, 10, 19, 29, 35, 38, 40

Langkah 3: Letak Q₁ = ¼(41) = 10,25 → data ke-10,25

Data ke-10 = 35 (fk=10), data ke-11 = 40 (fk=19)

Q₁ = 35 + 0,25(40−35) = 35 + 1,25 = 36,25

Langkah 4: Letak Q₃ = ¾(41) = 30,75 → data ke-30,75

Data ke-30 sampai ke-35 bernilai 50 (fk sebelumnya=29, fk=35)

Q₃ = 50

Langkah 5: Q_d = ½(50 − 36,25) = ½(13,75) = 6,875

Pembahasan:

Bagian a: Mencari Q₃

Q_d = ½(Q₃ − Q₁)

4 = ½(Q₃ − 22)

8 = Q₃ − 22

Q₃ = 30

Bagian b: Jika setiap data ditambah 10:

Q₁ baru = 22 + 10 = 32

Q₃ baru = 30 + 10 = 40

Q_d baru = ½(40 − 32) = ½(8) = 4

Kesimpulan: Simpangan kuartil tidak berubah jika setiap data ditambah/dikurangi konstanta yang sama.

Pembahasan:

Langkah 1: n = 3+5+8+4+2 = 22

Langkah 2: fk: 3, 8, 16, 20, 22

Langkah 3: Letak Q₁ = ¼(23) = 5,75 → data ke-5,75

Data ke-4 sampai ke-8 bernilai 15 (fk sebelumnya=3, fk=8)

Q₁ = 15

Langkah 4: Letak Q₃ = ¾(23) = 17,25 → data ke-17,25

Data ke-17 sampai ke-20 bernilai 30 (fk sebelumnya=16, fk=20)

Q₃ = 30

Langkah 5: Q_d = ½(30 − 15) = ½(15) = 7,5

Tapi Q_d harus = 5! Artinya letak kuartil berubah jika a berbeda.

Karena Q_d = 5 → Q₃ − Q₁ = 10

Dengan Q₁ = 15 (tetap karena letak di fk=8), maka Q₃ = 25

Agar Q₃ = 25 pada data ke-17,25: data ke-17 harus = 25, berarti batas atas nilai a harus menggeser fk.

Karena data ke-9 sampai ke-16 bernilai a, dan Q₃ berada di data ke-17,25:

Q₃ = a + 0,25(30 − a) jika data ke-16 = a dan data ke-17 = 30

Hmm, data ke-17 sudah di kelompok 30 (fk sebelumnya=16)

Q₃ = 30 + 0,25(30−30) = 30… ini tidak berhasil.

Pendekatan ulang: Agar Q_d = 5 dengan Q₁ = 15:

Q₃ harus = 25. Ini terjadi jika data ke-17 bernilai a (bukan 30).

Agar data ke-17 masih bernilai a: fk untuk a harus ≥ 17, yaitu 3+5+8 = 16 < 17.

Jadi frekuensi a harus ≥ 9 agar fk ≥ 17… tapi f = 8.

Jadi dengan f(a)=8, Q₃ pasti = 30.

Maka kita perlu Q₁ = Q₃ − 10 = 30 − 10 = 20.

Agar Q₁ = 20: Letak Q₁ di data ke-5,75 harus bernilai 20.

Data ke-4 sampai ke-8 saat ini bernilai 15. Agar data ke-5,75 = 20, kita perlu a menjadi pembatas.

Solusi: Jika 15 < a < 30 dan kita butuh Q₁ = a:

Letak Q₁ = data ke-5,75. Data ke-4 s.d. 8 bernilai 15 → Q₁ = 15.

Agar Q₁ berubah, kita ubah: misalkan f(15) berkurang. Tapi soal sudah tetap.

Dengan data yang ada: Q_d = 7,5 bukan 5. Maka nilai a tidak mempengaruhi Q_d (karena Q₁ dan Q₃ jatuh di data 15 dan 30).

Jawaban: Tidak ada nilai a (dengan 15 < a < 30) yang menghasilkan Q_d = 5 pada data ini.

Catatan: Soal ini menunjukkan bahwa pada data tunggal berbobot, nilai yang berada “di tengah” mungkin tidak mempengaruhi kuartil jika frekuensi data lain sudah mencukupi letak kuartil.

Pembahasan:

Langkah 1: Cari Q_d data asal terlebih dahulu.

n = 5+8+15+12+7+3 = 50

fk: 5, 13, 28, 40, 47, 50

Langkah 2: Letak Q₁ = ¼(51) = 12,75 → data ke-12,75

Data ke-6 sampai ke-13 bernilai 6 (fk sebelumnya=5, fk=13)

Q₁ = 6

Langkah 3: Letak Q₃ = ¾(51) = 38,25 → data ke-38,25

Data ke-29 sampai ke-40 bernilai 10 (fk sebelumnya=28, fk=40)

Q₃ = 10

Langkah 4: Q_d asal = ½(10 − 6) = 2

Langkah 5: Transformasi: Y = 3X − 2

Sifat: Jika Y = aX + b, maka Q_d(Y) = |a| × Q_d(X)

Q_d baru = |3| × 2 = 6

Penjelasan: Penambahan/pengurangan konstanta tidak mengubah simpangan kuartil. Perkalian dengan konstanta a mengubah Q_d menjadi |a| kali Q_d asal.

Pembahasan:

Kelompok A:

n = 4+7+12+5+2 = 30, fk: 4, 11, 23, 28, 30

Letak Q₁ = ¼(31) = 7,75 → data ke-7,75

Data ke-5 sampai ke-11 bernilai 25 (fk sebelumnya=4, fk=11)

Q₁ = 25

Letak Q₃ = ¾(31) = 23,25 → data ke-23,25

Data ke-23 = 30 (fk=23), data ke-24 = 35 (fk=28)

Q₃ = 30 + 0,25(35−30) = 30 + 1,25 = 31,25

Q_d(A) = ½(31,25 − 25) = ½(6,25) = 3,125

Kelompok B:

n = 3+6+10+8+3+2 = 32, fk: 3, 9, 19, 27, 30, 32

Letak Q₁ = ¼(33) = 8,25 → data ke-8,25

Data ke-4 sampai ke-9 bernilai 20 (fk sebelumnya=3, fk=9)

Q₁ = 20

Letak Q₃ = ¾(33) = 24,75 → data ke-24,75

Data ke-20 sampai ke-27 bernilai 30 (fk sebelumnya=19, fk=27)

Q₃ = 30

Q_d(B) = ½(30 − 20) = 5

Karena Q_d(A) = 3,125 ≠ 5 = Q_d(B)

Soal menyatakan keduanya sama, maka Q_d(B) harus = 3,125

½(Q₃ − Q₁) = 3,125 → Q₃ − 20 = 6,25 → Q₃ = 26,25

Agar Q₃ = 26,25 pada data ke-24,75: Kita butuh data ke-24 = 25 dan data ke-25 = 30.

Q₃ = 25 + 0,75(30−25) = 25 + 3,75 = 28,75 ≠ 26,25

Dengan struktur fk yang ada, Q₃ selalu = 30 (tidak tergantung p, karena p hanya di posisi ke-31 dan ke-32).

Kesimpulan: Nilai p tidak mempengaruhi Q₁ maupun Q₃ kelompok B, sehingga Q_d(B) tetap = 5 untuk semua p > 35.

Tidak ada nilai p yang membuat Q_d(A) = Q_d(B).

Catatan pembelajaran: Soal ini menunjukkan bahwa data di ujung distribusi (ekor) tidak mempengaruhi simpangan kuartil. Ini adalah keunggulan Q_d — tidak sensitif terhadap outlier.