Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Pendahuluan
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel (biasanya x dan y) dan memiliki penyelesaian yang memenuhi semua persamaan tersebut secara bersamaan.
Bentuk Umum SPLDV:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
dengan a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ ∈ ℝ dan a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0
Terdapat empat metode utama untuk menyelesaikan SPLDV:
- Metode Grafik
- Metode Substitusi
- Metode Eliminasi
- Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
1. Metode Grafik
Mengamati
Perhatikan dua garis lurus yang digambar pada bidang koordinat. Titik perpotongan kedua garis tersebut merupakan penyelesaian dari SPLDV.
Metode grafik menyelesaikan SPLDV dengan cara menggambar grafik masing-masing persamaan pada bidang koordinat Kartesius. Penyelesaian SPLDV adalah koordinat titik potong kedua garis.
Langkah-langkah Metode Grafik:
- Tentukan titik potong terhadap sumbu-x (substitusi y = 0)
- Tentukan titik potong terhadap sumbu-y (substitusi x = 0)
- Gambar kedua garis pada bidang koordinat
- Tentukan koordinat titik potong kedua garis
Menanya
Bagaimana jika kedua garis sejajar? Apakah SPLDV selalu memiliki penyelesaian? Apa yang terjadi jika kedua garis berimpit?
- Jika dua garis berpotongan di satu titik → SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian
- Jika dua garis sejajar → SPLDV tidak memiliki penyelesaian
- Jika dua garis berimpit → SPLDV memiliki tak hingga penyelesaian
Menalar
Setiap persamaan linear dua variabel ax + by = c dapat dinyatakan dalam bentuk garis lurus. Dua garis lurus di bidang datar hanya memiliki tiga kemungkinan posisi: berpotongan, sejajar, atau berimpit. Oleh karena itu, penyelesaian SPLDV bergantung pada posisi relatif kedua garis.
Ilustrasi: Titik potong garis x + y = 5 dan x − y = 1
| Garis 1: x + y = 5 | ||
|---|---|---|
| x | y | Titik |
| 0 | 5 | (0, 5) |
| 5 | 0 | (5, 0) |
| Garis 2: x − y = 1 | ||
|---|---|---|
| x | y | Titik |
| 0 | −1 | (0, −1) |
| 1 | 0 | (1, 0) |
Titik potong: (3, 2) → Penyelesaian: x = 3, y = 2
Mencoba
Cobalah gambar grafik dari sistem persamaan berikut dan tentukan penyelesaiannya:
2x + y = 6
x − y = 0
Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil penyelesaian metode grafik di depan kelas. Jelaskan bagaimana cara menentukan titik-titik yang digunakan untuk menggambar garis dan bagaimana menemukan titik potong kedua garis.
Contoh Soal Metode Grafik
● Tingkat Mudah
Soal 1. Selesaikan SPLDV berikut dengan metode grafik:
x + y = 4
x − y = 2
Pembahasan:
Persamaan 1: x + y = 4
• x = 0 → y = 4 → titik (0, 4)
• y = 0 → x = 4 → titik (4, 0)
Persamaan 2: x − y = 2
• x = 0 → y = −2 → titik (0, −2)
• y = 0 → x = 2 → titik (2, 0)
Titik potong kedua garis: substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:
x + y = 4 dan x − y = 2
Jumlahkan: 2x = 6 → x = 3
Substitusi: 3 + y = 4 → y = 1
Penyelesaian: x = 3, y = 1 atau titik (3, 1)
Soal 2. Selesaikan dengan metode grafik:
x + y = 6
2x + y = 8
Pembahasan:
Persamaan 1: x + y = 6
• (0, 6) dan (6, 0)
Persamaan 2: 2x + y = 8
• (0, 8) dan (4, 0)
Titik potong: dari pers.1 → y = 6 − x, substitusi ke pers.2:
2x + (6 − x) = 8 → x + 6 = 8 → x = 2
y = 6 − 2 = 4
Penyelesaian: (2, 4)
Soal 3. Selesaikan dengan metode grafik:
y = x + 1
y = −x + 5
Pembahasan:
Garis 1: y = x + 1 → (0, 1) dan (4, 5)
Garis 2: y = −x + 5 → (0, 5) dan (5, 0)
Titik potong: x + 1 = −x + 5 → 2x = 4 → x = 2
y = 2 + 1 = 3
Penyelesaian: (2, 3)
Soal 4. Selesaikan dengan metode grafik:
2x + y = 10
x + y = 7
Pembahasan:
Pers.1: (0, 10) dan (5, 0)
Pers.2: (0, 7) dan (7, 0)
Eliminasi: (2x+y) − (x+y) = 10 − 7 → x = 3
3 + y = 7 → y = 4
Penyelesaian: (3, 4)
Soal 5. Selesaikan dengan metode grafik:
x + 2y = 8
x − y = 2
Pembahasan:
Pers.1: (0, 4) dan (8, 0)
Pers.2: (0, −2) dan (2, 0)
Dari pers.2: x = y + 2, substitusi ke pers.1:
(y+2) + 2y = 8 → 3y = 6 → y = 2
x = 2 + 2 = 4
Penyelesaian: (4, 2)
● Tingkat Sedang
Soal 1. Selesaikan dengan metode grafik:
3x + 2y = 12
x − y = 1
Pembahasan:
Pers.1: 3x + 2y = 12 → (0, 6) dan (4, 0)
Pers.2: x − y = 1 → (0, −1) dan (1, 0)
Dari pers.2: x = y + 1, substitusi:
3(y+1) + 2y = 12 → 3y + 3 + 2y = 12 → 5y = 9 → y = 9/5 = 1,8
x = 1,8 + 1 = 2,8
Penyelesaian: (2,8 ; 1,8) atau (14/5, 9/5)
Soal 2. Selesaikan dengan metode grafik:
2x − 3y = −6
x + 2y = 8
Pembahasan:
Pers.1: (0, 2) dan (−3, 0)
Pers.2: (0, 4) dan (8, 0)
Dari pers.2: x = 8 − 2y, substitusi:
2(8−2y) − 3y = −6 → 16 − 4y − 3y = −6 → −7y = −22 → y = 22/7
x = 8 − 2(22/7) = 8 − 44/7 = 12/7
Penyelesaian: (12/7, 22/7)
Soal 3. Selesaikan dengan metode grafik:
4x + y = 10
2x − 3y = −6
Pembahasan:
Pers.1: (0, 10) dan (2,5 ; 0)
Pers.2: (0, 2) dan (−3, 0)
Dari pers.1: y = 10 − 4x, substitusi:
2x − 3(10−4x) = −6 → 2x − 30 + 12x = −6 → 14x = 24 → x = 12/7
y = 10 − 4(12/7) = 10 − 48/7 = 22/7
Penyelesaian: (12/7, 22/7)
Soal 4. Selesaikan dengan metode grafik:
x + 3y = 9
2x − y = 4
Pembahasan:
Pers.1: (0, 3) dan (9, 0)
Pers.2: (0, −4) dan (2, 0)
Dari pers.2: y = 2x − 4, substitusi:
x + 3(2x−4) = 9 → x + 6x − 12 = 9 → 7x = 21 → x = 3
y = 2(3) − 4 = 2
Penyelesaian: (3, 2)
Soal 5. Selesaikan dengan metode grafik:
5x + 2y = 20
3x − y = 5
Pembahasan:
Pers.1: (0, 10) dan (4, 0)
Pers.2: (0, −5) dan (5/3, 0)
Dari pers.2: y = 3x − 5, substitusi:
5x + 2(3x−5) = 20 → 5x + 6x − 10 = 20 → 11x = 30 → x = 30/11
y = 3(30/11) − 5 = 90/11 − 55/11 = 35/11
Penyelesaian: (30/11, 35/11)
● Tingkat Sulit
Soal 1. Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp21.000. Harga 1 buku dan 4 pensil adalah Rp17.000. Tentukan harga 1 buku dan 1 pensil dengan metode grafik.
Pembahasan:
Misalkan x = harga buku, y = harga pensil (dalam ribuan)
3x + 2y = 21 … (1)
x + 4y = 17 … (2)
Pers.1: (0, 10,5) dan (7, 0)
Pers.2: (0, 4,25) dan (17, 0)
Dari pers.2: x = 17 − 4y, substitusi:
3(17−4y) + 2y = 21 → 51 − 12y + 2y = 21 → −10y = −30 → y = 3
x = 17 − 4(3) = 5
Harga 1 buku = Rp5.000, 1 pensil = Rp3.000
Soal 2. Keliling persegi panjang adalah 40 cm. Panjangnya 4 cm lebih dari lebarnya. Tentukan panjang dan lebar.
Pembahasan:
Misalkan p = panjang, l = lebar
2p + 2l = 40 → p + l = 20 … (1)
p − l = 4 … (2)
Jumlahkan: 2p = 24 → p = 12
l = 20 − 12 = 8
Panjang = 12 cm, Lebar = 8 cm
Soal 3. Umur ayah 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka 30 tahun. Tentukan umur masing-masing.
Pembahasan:
Misalkan x = umur ayah, y = umur anak
x = 3y … (1)
x − y = 30 … (2)
Substitusi pers.1 ke pers.2: 3y − y = 30 → 2y = 30 → y = 15
x = 3(15) = 45
Umur ayah = 45 tahun, umur anak = 15 tahun
Soal 4. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angka adalah 11. Jika angka-angkanya dibalik, bilangan baru 27 lebih besar dari bilangan semula. Tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan:
Misalkan angka puluhan = x, angka satuan = y
Bilangan semula = 10x + y, bilangan dibalik = 10y + x
x + y = 11 … (1)
(10y + x) − (10x + y) = 27 → 9y − 9x = 27 → y − x = 3 … (2)
Dari (1) dan (2): jumlahkan → 2y = 14 → y = 7
x = 11 − 7 = 4
Bilangan tersebut = 47
Soal 5. Dua tahun lalu umur ibu 6 kali umur anaknya. Delapan belas tahun kemudian umur ibu 2 kali umur anaknya. Tentukan umur ibu dan anak sekarang.
Pembahasan:
Misalkan umur ibu sekarang = x, umur anak sekarang = y
2 tahun lalu: (x−2) = 6(y−2) → x − 2 = 6y − 12 → x = 6y − 10 … (1)
18 tahun kemudian: (x+18) = 2(y+18) → x + 18 = 2y + 36 → x = 2y + 18 … (2)
Dari (1) = (2): 6y − 10 = 2y + 18 → 4y = 28 → y = 7
x = 2(7) + 18 = 32
Umur ibu = 32 tahun, umur anak = 7 tahun
Latihan Soal Metode Grafik
● Tingkat Mudah
- Selesaikan: x + y = 5 dan x − y = 1
- Selesaikan: 2x + y = 8 dan x + y = 5
- Selesaikan: x + y = 7 dan x − y = 3
- Selesaikan: y = 2x dan x + y = 6
- Selesaikan: x + 2y = 10 dan x − y = 1
● Tingkat Sedang
- Selesaikan: 3x + y = 9 dan x − 2y = −4
- Selesaikan: 2x − y = 1 dan x + 3y = 12
- Selesaikan: 4x − 3y = 1 dan 2x + y = 7
- Selesaikan: x + 4y = 14 dan 3x − 2y = 0
- Selesaikan: 5x + y = 13 dan x − 2y = −5
● Tingkat Sulit
- Harga 4 kg mangga dan 3 kg apel Rp85.000. Harga 2 kg mangga dan 5 kg apel Rp95.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah.
- Jumlah dua bilangan adalah 45. Bilangan yang besar 9 lebih dari bilangan yang kecil. Tentukan kedua bilangan.
- Sebuah taman berbentuk persegi panjang kelilingnya 56 m. Panjangnya 6 m lebih dari lebarnya. Tentukan luas taman.
- Ani dan Budi mengerjakan soal. Jika pekerjaan Ani ditambah 2 kali pekerjaan Budi hasilnya 22 soal. Jika pekerjaan Ani ditambah pekerjaan Budi hasilnya 14 soal. Berapa soal yang dikerjakan masing-masing?
- Tiga tahun lalu umur kakak 2 kali umur adik. Tujuh tahun kemudian jumlah umur mereka 43 tahun. Tentukan umur mereka sekarang.
2. Metode Substitusi
Mengamati
Perhatikan bahwa dalam SPLDV, salah satu variabel dapat dinyatakan dalam variabel lainnya. Nilai variabel tersebut kemudian dapat “dimasukkan” (disubstitusikan) ke persamaan lainnya.
Metode substitusi dilakukan dengan menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel lainnya, kemudian mensubstitusikan (memasukkan) ke persamaan yang lain.
Langkah-langkah Metode Substitusi:
- Pilih salah satu persamaan, nyatakan satu variabel dalam variabel lain
- Substitusikan hasil langkah 1 ke persamaan yang lain
- Selesaikan persamaan satu variabel yang diperoleh
- Substitusikan nilai variabel yang diperoleh ke salah satu persamaan untuk mencari variabel lainnya
Menanya
Persamaan mana yang sebaiknya dipilih untuk dinyatakan dalam variabel lain? Apakah hasilnya akan berbeda jika kita memilih variabel yang berbeda?
💡 Pilih persamaan yang paling sederhana (koefisien 1) agar perhitungan lebih mudah. Hasilnya akan tetap sama apapun variabel yang dipilih.
Menalar
Konsep substitusi berarti “mengganti”. Jika x = 5 − y, maka di mana pun terdapat x, kita dapat menggantinya dengan (5 − y). Dengan demikian, persamaan yang tadinya memiliki dua variabel menjadi persamaan dengan satu variabel yang lebih mudah diselesaikan.
Mencoba
Selesaikan sistem berikut dengan metode substitusi:
y = 2x − 1
3x + 2y = 12
Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman kelompokmu: kapan metode substitusi lebih efektif dibanding metode grafik? Tuliskan kelebihan dan kekurangan metode substitusi.
Contoh Soal Metode Substitusi
● Tingkat Mudah
Soal 1. Selesaikan: y = x + 2 dan x + y = 8
Pembahasan:
Substitusi y = x + 2 ke persamaan 2:
x + (x + 2) = 8
2x + 2 = 8
2x = 6 → x = 3
y = 3 + 2 = 5
Penyelesaian: x = 3, y = 5
Soal 2. Selesaikan: x = 2y dan x + y = 9
Pembahasan:
Substitusi x = 2y ke persamaan 2:
2y + y = 9 → 3y = 9 → y = 3
x = 2(3) = 6
Penyelesaian: x = 6, y = 3
Soal 3. Selesaikan: x + y = 10 dan x − y = 4
Pembahasan:
Dari pers.2: x = y + 4
Substitusi ke pers.1: (y+4) + y = 10 → 2y = 6 → y = 3
x = 3 + 4 = 7
Penyelesaian: x = 7, y = 3
Soal 4. Selesaikan: y = 3x − 1 dan 2x + y = 9
Pembahasan:
Substitusi: 2x + (3x−1) = 9 → 5x − 1 = 9 → 5x = 10 → x = 2
y = 3(2) − 1 = 5
Penyelesaian: x = 2, y = 5
Soal 5. Selesaikan: x + 2y = 12 dan x = y
Pembahasan:
Substitusi x = y ke pers.1: y + 2y = 12 → 3y = 12 → y = 4
x = 4
Penyelesaian: x = 4, y = 4
● Tingkat Sedang
Soal 1. Selesaikan: 2x + 3y = 13 dan x − y = 1
Pembahasan:
Dari pers.2: x = y + 1
Substitusi: 2(y+1) + 3y = 13 → 2y + 2 + 3y = 13 → 5y = 11 → y = 11/5 = 2,2
x = 2,2 + 1 = 3,2
Penyelesaian: x = 16/5, y = 11/5
Soal 2. Selesaikan: 3x + 4y = 24 dan x + 2y = 10
Pembahasan:
Dari pers.2: x = 10 − 2y
Substitusi: 3(10−2y) + 4y = 24 → 30 − 6y + 4y = 24 → −2y = −6 → y = 3
x = 10 − 2(3) = 4
Penyelesaian: x = 4, y = 3
Soal 3. Selesaikan: 4x − y = 7 dan 2x + 3y = 7
Pembahasan:
Dari pers.1: y = 4x − 7
Substitusi: 2x + 3(4x−7) = 7 → 2x + 12x − 21 = 7 → 14x = 28 → x = 2
y = 4(2) − 7 = 1
Penyelesaian: x = 2, y = 1
Soal 4. Selesaikan: x + 5y = 17 dan 3x − 2y = 0
Pembahasan:
Dari pers.1: x = 17 − 5y
Substitusi: 3(17−5y) − 2y = 0 → 51 − 15y − 2y = 0 → 17y = 51 → y = 3
x = 17 − 5(3) = 2
Penyelesaian: x = 2, y = 3
Soal 5. Selesaikan: 2x − 3y = −1 dan x + y = 3
Pembahasan:
Dari pers.2: x = 3 − y
Substitusi: 2(3−y) − 3y = −1 → 6 − 2y − 3y = −1 → −5y = −7 → y = 7/5
x = 3 − 7/5 = 8/5
Penyelesaian: x = 8/5, y = 7/5
● Tingkat Sulit
Soal 1. Harga 5 kg beras dan 3 kg gula adalah Rp95.000. Harga 2 kg beras dan 4 kg gula adalah Rp68.000. Tentukan harga per kg beras dan gula.
Pembahasan:
Misalkan x = harga beras/kg, y = harga gula/kg (ribuan)
5x + 3y = 95 … (1)
2x + 4y = 68 → x + 2y = 34 → x = 34 − 2y … (2)
Substitusi ke (1): 5(34−2y) + 3y = 95 → 170 − 10y + 3y = 95 → −7y = −75 → y = 75/7 ≈ 10,71
Hmm, mari cek ulang. 2x + 4y = 68 → x = 34 − 2y
5(34−2y) + 3y = 95 → 170 − 10y + 3y = 95 → −7y = −75 → y = 75/7
Ini bukan bilangan bulat. Mari ubah soal agar realistis:
Dengan y = 75/7, x = 34 − 150/7 = 88/7
Harga beras = Rp88.000/7 ≈ Rp12.571/kg, Harga gula = Rp75.000/7 ≈ Rp10.714/kg
Soal 2. Jumlah uang Andi dan Budi adalah Rp100.000. Jika uang Andi ditambah 2 kali uang Budi menjadi Rp160.000. Tentukan uang masing-masing.
Pembahasan:
x + y = 100.000 … (1)
x + 2y = 160.000 … (2)
Dari (1): x = 100.000 − y
Substitusi ke (2): (100.000 − y) + 2y = 160.000 → y = 60.000
x = 100.000 − 60.000 = 40.000
Uang Andi = Rp40.000, Uang Budi = Rp60.000
Soal 3. Suatu bilangan terdiri dari dua angka. Angka puluhan lebih besar 2 dari angka satuan. Jumlah bilangan itu dengan bilangan yang angka-angkanya dibalik adalah 132. Tentukan bilangan tersebut.
Pembahasan:
Angka puluhan = x, satuan = y
x = y + 2 … (1)
Bilangan: 10x + y, dibalik: 10y + x
(10x + y) + (10y + x) = 132 → 11x + 11y = 132 → x + y = 12 … (2)
Substitusi (1) ke (2): (y+2) + y = 12 → 2y = 10 → y = 5
x = 7
Bilangan tersebut = 75
Soal 4. Di sebuah parkir terdapat 40 kendaraan yang terdiri dari mobil dan motor. Jumlah roda seluruhnya 112. Tentukan banyak mobil dan motor.
Pembahasan:
Misalkan mobil = x, motor = y
x + y = 40 … (1)
4x + 2y = 112 … (2)
Dari (1): y = 40 − x
Substitusi: 4x + 2(40−x) = 112 → 4x + 80 − 2x = 112 → 2x = 32 → x = 16
y = 40 − 16 = 24
Mobil = 16, Motor = 24
Soal 5. Seorang pedagang menjual 4 buah jeruk dan 3 buah apel seharga Rp29.000. Pedagang lain menjual 2 buah jeruk dan 5 buah apel seharga Rp33.000. Berapakah harga 1 jeruk dan 1 apel?
Pembahasan:
Misalkan jeruk = x, apel = y (ribuan)
4x + 3y = 29 … (1)
2x + 5y = 33 … (2)
Dari (2): x = (33 − 5y)/2
Substitusi ke (1): 4 × (33−5y)/2 + 3y = 29 → 2(33−5y) + 3y = 29
66 − 10y + 3y = 29 → −7y = −37 → y = 37/7
Ini pecahan, mari gunakan eliminasi: (2)×2: 4x + 10y = 66
Kurangkan (1): 7y = 37 → y = 37/7
Ini tidak bulat. Jadi y = 37/7 ≈ 5.286 (ribuan), x = (33 − 5×37/7)/2 = (231/7 − 185/7)/2 = 46/14 = 23/7 ≈ 3.286
Harga 1 jeruk = Rp23.000/7 ≈ Rp3.286, 1 apel ≈ Rp5.286
(Catatan: dalam soal ujian biasanya hasilnya bilangan bulat)
Latihan Soal Metode Substitusi
● Tingkat Mudah
- Selesaikan: y = x − 3 dan x + y = 11
- Selesaikan: x = 3y dan 2x + y = 14
- Selesaikan: y = 2x + 1 dan x + y = 7
- Selesaikan: x = y + 5 dan x + 2y = 17
- Selesaikan: x + y = 15 dan x = 2y
● Tingkat Sedang
- Selesaikan: 3x − y = 5 dan x + 2y = 8
- Selesaikan: 2x + y = 11 dan x − 3y = −7
- Selesaikan: 5x + 2y = 16 dan x − y = 1
- Selesaikan: x + 4y = 15 dan 2x − y = 3
- Selesaikan: 3x + 2y = 20 dan x − y = 1
● Tingkat Sulit
- Di sebuah kandang terdapat ayam dan kambing berjumlah 25 ekor. Jumlah kaki seluruhnya 70. Tentukan banyak ayam dan kambing.
- Harga 3 kaos dan 2 celana Rp220.000. Harga 1 kaos dan 3 celana Rp260.000. Tentukan harga masing-masing.
- Jumlah dua bilangan 35. Selisihnya 9. Tentukan kedua bilangan.
- Suatu bilangan dua angka jumlah angkanya 13. Jika dibalik nilainya berkurang 45. Tentukan bilangan itu.
- Tiket masuk untuk 2 dewasa dan 3 anak Rp55.000. Tiket 1 dewasa dan 4 anak Rp50.000. Tentukan harga tiket masing-masing.
3. Metode Eliminasi
Mengamati
Perhatikan bahwa jika dua persamaan memiliki koefisien variabel yang sama (atau bisa disamakan), kita dapat “menghilangkan” salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
Metode eliminasi menyelesaikan SPLDV dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel. Untuk mengeliminasi satu variabel, koefisien variabel tersebut pada kedua persamaan harus disamakan terlebih dahulu.
Langkah-langkah Metode Eliminasi:
- Samakan koefisien variabel yang akan dieliminasi (kalikan persamaan jika perlu)
- Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan satu variabel
- Selesaikan persamaan satu variabel yang diperoleh
- Ulangi langkah 1-3 untuk mengeliminasi variabel yang lain
Menanya
Kapan kita menjumlahkan dan kapan kita mengurangkan kedua persamaan?
- Jika tanda koefisien variabel yang dieliminasi berbeda (satu positif, satu negatif) → jumlahkan
- Jika tanda koefisien variabel yang dieliminasi sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif) → kurangkan
Menalar
Konsep eliminasi berdasarkan sifat operasi penjumlahan/pengurangan. Jika a = b dan c = d, maka a ± c = b ± d. Dengan memilih operasi yang tepat, salah satu variabel dapat dihilangkan sehingga tersisa persamaan satu variabel.
Mencoba
Selesaikan dengan metode eliminasi:
2x + 3y = 16
4x − 3y = 2
Mengkomunikasikan
Bandingkan metode eliminasi dengan metode substitusi. Diskusikan: Pada situasi apa metode eliminasi lebih efisien? Jelaskan alasanmu di depan kelas.
Contoh Soal Metode Eliminasi
● Tingkat Mudah
Soal 1. Selesaikan: x + y = 7 dan x − y = 3
Pembahasan:
Eliminasi y (tanda beda, jumlahkan):
(x+y) + (x−y) = 7 + 3
2x = 10 → x = 5
Eliminasi x (tanda sama, kurangkan):
(x+y) − (x−y) = 7 − 3
2y = 4 → y = 2
Penyelesaian: x = 5, y = 2
Soal 2. Selesaikan: 2x + y = 9 dan x + y = 6
Pembahasan:
Eliminasi y (koefisien sama, kurangkan):
(2x+y) − (x+y) = 9 − 6
x = 3
Substitusi: 3 + y = 6 → y = 3
Penyelesaian: x = 3, y = 3
Soal 3. Selesaikan: 3x + y = 10 dan x + y = 4
Pembahasan:
Kurangkan: (3x+y) − (x+y) = 10 − 4 → 2x = 6 → x = 3
3 + y = 4 → y = 1
Penyelesaian: x = 3, y = 1
Soal 4. Selesaikan: x + 2y = 8 dan x − 2y = 0
Pembahasan:
Jumlahkan (koefisien y beda tanda): 2x = 8 → x = 4
Kurangkan: 4y = 8 → y = 2
Penyelesaian: x = 4, y = 2
Soal 5. Selesaikan: 2x + 3y = 12 dan 2x + y = 8
Pembahasan:
Kurangkan (koefisien x sama): (2x+3y) − (2x+y) = 12 − 8 → 2y = 4 → y = 2
2x + 2 = 8 → 2x = 6 → x = 3
Penyelesaian: x = 3, y = 2
● Tingkat Sedang
Soal 1. Selesaikan: 3x + 2y = 16 dan 5x − 2y = 8
Pembahasan:
Koefisien y sudah sama (beda tanda), jumlahkan:
8x = 24 → x = 3
Substitusi: 3(3) + 2y = 16 → 2y = 7 → y = 3,5
Penyelesaian: x = 3, y = 7/2
Soal 2. Selesaikan: 2x + 3y = 19 dan 3x + 2y = 16
Pembahasan:
Eliminasi x: kalikan pers.1 dengan 3, pers.2 dengan 2:
6x + 9y = 57
6x + 4y = 32
Kurangkan: 5y = 25 → y = 5
Eliminasi y: kalikan pers.1 dengan 2, pers.2 dengan 3:
4x + 6y = 38
9x + 6y = 48
Kurangkan: 5x = 10 → x = 2
Penyelesaian: x = 2, y = 5
Soal 3. Selesaikan: 4x − 3y = 11 dan 2x + 5y = 1
Pembahasan:
Eliminasi x: kalikan pers.2 dengan 2:
4x − 3y = 11
4x + 10y = 2
Kurangkan: −13y = 9 → y = −9/13
Substitusi: 2x + 5(−9/13) = 1 → 2x = 1 + 45/13 = 58/13 → x = 29/13
Penyelesaian: x = 29/13, y = −9/13
Soal 4. Selesaikan: 5x + 4y = 22 dan 3x − 2y = 4
Pembahasan:
Eliminasi y: kalikan pers.2 dengan 2:
5x + 4y = 22
6x − 4y = 8
Jumlahkan: 11x = 30 → x = 30/11
Hmm, alternatif: substitusi x = 30/11 → 5(30/11) + 4y = 22 → 150/11 + 4y = 22 → 4y = 92/11 → y = 23/11
Penyelesaian: x = 30/11, y = 23/11
Soal 5. Selesaikan: 3x + 4y = 25 dan 2x − 3y = 1
Pembahasan:
Eliminasi x: kalikan pers.1 × 2, pers.2 × 3:
6x + 8y = 50
6x − 9y = 3
Kurangkan: 17y = 47 → y = 47/17
Eliminasi y: kalikan pers.1 × 3, pers.2 × 4:
9x + 12y = 75
8x − 12y = 4
Jumlahkan: 17x = 79 → x = 79/17
Penyelesaian: x = 79/17, y = 47/17
● Tingkat Sulit
Soal 1. Harga 4 buku tulis dan 3 pulpen Rp34.000. Harga 3 buku tulis dan 5 pulpen Rp39.000. Tentukan harga masing-masing.
Pembahasan:
4x + 3y = 34 … (1)
3x + 5y = 39 … (2)
Eliminasi x: (1)×3, (2)×4:
12x + 9y = 102
12x + 20y = 156
Kurangkan: 11y = 54 → Hmm, ini tidak bulat.
Mari cek: jika x = 5 (buku) dan y = 34-20)/3…
Coba: 4(5)+3y=34 → 3y=14 → tidak bulat. 4(4)+3y=34 → 3y=18 → y=6. Cek: 3(4)+5(6)=12+30=42≠39.
4(2.5)+3y=34 → salah pendekatan. Mari selesaikan:
11y = 54 → y = 54/11 (bukan bilangan bulat, ini normal dalam matematika)
Alternatif: gunakan angka yang menghasilkan bulat.
Eliminasi y: (1)×5, (2)×3: 20x+15y=170 dan 9x+15y=117
11x = 53 → x = 53/11
Penyelesaian: buku = Rp53.000/11 ≈ Rp4.818, pulpen = Rp54.000/11 ≈ Rp4.909
Soal 2. Harga 2 kg mangga dan 3 kg jeruk Rp47.000. Harga 4 kg mangga dan 1 kg jeruk Rp39.000. Tentukan harga per kg mangga dan jeruk.
Pembahasan:
2x + 3y = 47 … (1)
4x + y = 39 … (2)
Eliminasi x: (1)×2: 4x + 6y = 94
Kurangkan dengan (2): 5y = 55 → y = 11
4x + 11 = 39 → 4x = 28 → x = 7
Harga mangga = Rp7.000/kg, jeruk = Rp11.000/kg
Soal 3. Sebuah bilangan dua angka, jumlah angkanya 9. Jika angka puluhan dikurangi 2 kali angka satuan hasilnya −6. Tentukan bilangan itu.
Pembahasan:
x + y = 9 … (1)
x − 2y = −6 … (2)
Kurangkan (1)−(2): 3y = 15 → y = 5
x = 9 − 5 = 4
Bilangan = 45
Soal 4. Sebuah perahu melaju searah arus dengan kecepatan 18 km/jam. Berlawanan arus kecepatannya 12 km/jam. Tentukan kecepatan perahu di air tenang dan kecepatan arus.
Pembahasan:
Misalkan kecepatan perahu = x, kecepatan arus = y
x + y = 18 … (1) (searah arus)
x − y = 12 … (2) (berlawanan arus)
Jumlahkan: 2x = 30 → x = 15
Kurangkan: 2y = 6 → y = 3
Kecepatan perahu = 15 km/jam, arus = 3 km/jam
Soal 5. Jika harga 6 roti dan 4 susu Rp52.000, sementara harga 3 roti dan 7 susu Rp56.000, tentukan harga 1 roti dan 1 susu.
Pembahasan:
6x + 4y = 52 … (1)
3x + 7y = 56 … (2)
Eliminasi x: (2)×2: 6x + 14y = 112
Kurangkan (1): 10y = 60 → y = 6
6x + 24 = 52 → 6x = 28 → x = 28/6 = 14/3
Hmm, mari cek: 3(14/3)+7(6)=14+42=56 ✓
Harga roti = Rp14.000/3 ≈ Rp4.667, susu = Rp6.000
Latihan Soal Metode Eliminasi
● Tingkat Mudah
- Selesaikan: x + y = 9 dan x − y = 1
- Selesaikan: 3x + y = 11 dan x + y = 5
- Selesaikan: 2x + y = 10 dan 2x − y = 6
- Selesaikan: x + 3y = 13 dan x + y = 7
- Selesaikan: 4x + y = 14 dan 2x + y = 8
● Tingkat Sedang
- Selesaikan: 2x + 5y = 24 dan 3x − 2y = 7
- Selesaikan: 4x + 3y = 23 dan 2x + 5y = 21
- Selesaikan: 5x − 3y = 7 dan 3x + 4y = 16
- Selesaikan: 3x + 7y = 27 dan 5x + 2y = 16
- Selesaikan: 6x − y = 17 dan 2x + 3y = 11
● Tingkat Sulit
- Harga 5 pensil dan 3 buku Rp27.000. Harga 2 pensil dan 4 buku Rp22.000. Tentukan harga masing-masing.
- Dua kali umur ayah ditambah umur anak = 64. Umur ayah dikurangi 2 kali umur anak = 13. Tentukan umur masing-masing.
- Kecepatan pesawat di udara tenang 600 km/jam. Jika searah angin jaraknya 3.250 km ditempuh 5 jam, dan melawan angin jaraknya 2.200 km ditempuh 4 jam. Tentukan kecepatan pesawat dan angin.
- Sebuah investasi Rp10.000.000 dibagi dalam dua jenis: bunga 8% dan bunga 12%. Total bunga setahun Rp960.000. Tentukan masing-masing investasi.
- Campuran 4 liter susu A dan 3 liter susu B menghasilkan kadar lemak 5%. Campuran 2 liter susu A dan 5 liter susu B menghasilkan kadar lemak 6%. Tentukan kadar lemak masing-masing susu.
4. Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi)
Mengamati
Perhatikan bahwa metode eliminasi dan substitusi dapat digabungkan. Eliminasi digunakan untuk menemukan satu variabel, kemudian substitusi digunakan untuk menemukan variabel lainnya.
Metode campuran (eliminasi-substitusi) menggabungkan kelebihan metode eliminasi dan substitusi. Variabel pertama dicari dengan eliminasi, kemudian variabel kedua dicari dengan substitusi. Metode ini paling sering digunakan karena paling efisien.
Langkah-langkah Metode Campuran:
- Samakan koefisien salah satu variabel
- Eliminasi variabel tersebut dengan menjumlahkan/mengurangkan
- Dapatkan nilai variabel pertama
- Substitusikan nilai variabel pertama ke salah satu persamaan awal
- Dapatkan nilai variabel kedua
Menanya
Mengapa metode campuran dianggap paling efisien? Bagaimana memilih variabel mana yang dieliminasi terlebih dahulu?
💡 Pilih variabel yang koefisiennya paling mudah disamakan (misalnya salah satunya kelipatan yang lain). Ini menghemat langkah perhitungan.
Menalar
Metode campuran efisien karena: (1) eliminasi hanya perlu dilakukan satu kali untuk mendapat satu variabel, (2) substitusi langsung mendapatkan variabel kedua tanpa perlu menyamakan koefisien lagi. Bandingkan dengan eliminasi murni yang perlu dua kali proses eliminasi.
Mencoba
Selesaikan dengan metode campuran:
3x + 2y = 18
5x − 2y = 14
Mengkomunikasikan
Buatlah rangkuman perbandingan keempat metode penyelesaian SPLDV. Sertakan kelebihan dan kekurangan masing-masing metode dalam bentuk tabel.
Contoh Soal Metode Campuran
● Tingkat Mudah
Soal 1. Selesaikan: x + y = 8 dan x − y = 2
Pembahasan:
Langkah 1 – Eliminasi: Jumlahkan kedua persamaan:
2x = 10 → x = 5
Langkah 2 – Substitusi: 5 + y = 8 → y = 3
Penyelesaian: x = 5, y = 3
Soal 2. Selesaikan: 2x + y = 7 dan x + y = 5
Pembahasan:
Eliminasi: Kurangkan: x = 2
Substitusi: 2 + y = 5 → y = 3
Penyelesaian: x = 2, y = 3
Soal 3. Selesaikan: x + 2y = 9 dan x − 2y = 1
Pembahasan:
Eliminasi: Jumlahkan: 2x = 10 → x = 5
Substitusi: 5 + 2y = 9 → 2y = 4 → y = 2
Penyelesaian: x = 5, y = 2
Soal 4. Selesaikan: 3x + y = 13 dan x + y = 7
Pembahasan:
Eliminasi: Kurangkan: 2x = 6 → x = 3
Substitusi: 3 + y = 7 → y = 4
Penyelesaian: x = 3, y = 4
Soal 5. Selesaikan: 2x + 3y = 13 dan 2x − y = 5
Pembahasan:
Eliminasi: Kurangkan: 4y = 8 → y = 2
Substitusi: 2x − 2 = 5 → 2x = 7 → x = 3,5
Penyelesaian: x = 7/2, y = 2
● Tingkat Sedang
Soal 1. Selesaikan: 3x + 4y = 26 dan 5x + 2y = 22
Pembahasan:
Eliminasi y: Kalikan pers.2 × 2: 10x + 4y = 44
Kurangkan dengan pers.1: 7x = 18 → Hmm, bukan bulat.
Alternatif eliminasi y: pers.1 dan (2)×2:
3x + 4y = 26
10x + 4y = 44
Kurangkan: 7x = 18 → x = 18/7
Substitusi: 3(18/7) + 4y = 26 → 54/7 + 4y = 26 → 4y = 128/7 → y = 32/7
Penyelesaian: x = 18/7, y = 32/7
Soal 2. Selesaikan: 2x + 5y = 24 dan 4x + 3y = 20
Pembahasan:
Eliminasi x: Kalikan pers.1 × 2: 4x + 10y = 48
Kurangkan pers.2: 7y = 28 → y = 4
Substitusi: 2x + 5(4) = 24 → 2x = 4 → x = 2
Penyelesaian: x = 2, y = 4
Soal 3. Selesaikan: 4x − 3y = −1 dan 2x + y = 5
Pembahasan:
Eliminasi x: Kalikan pers.2 × 2: 4x + 2y = 10
Kurangkan pers.1: 5y = 11 → y = 11/5
Hmm, alternatif eliminasi y: pers.2 × 3: 6x + 3y = 15
Jumlahkan dengan pers.1: 10x = 14 → x = 7/5
Substitusi: 2(7/5) + y = 5 → y = 5 − 14/5 = 11/5
Penyelesaian: x = 7/5, y = 11/5
Soal 4. Selesaikan: 3x + 2y = 14 dan x − 4y = −12
Pembahasan:
Eliminasi x: Kalikan pers.2 × 3: 3x − 12y = −36
Kurangkan dari pers.1: 14y = 50 → y = 50/14 = 25/7
Hmm, alternatif: eliminasi y: pers.1 × 2: 6x + 4y = 28
Jumlahkan dengan pers.2: 7x = 16 → x = 16/7
Substitusi: 16/7 − 4y = −12 → −4y = −12 − 16/7 = −100/7 → y = 25/7
Penyelesaian: x = 16/7, y = 25/7
Soal 5. Selesaikan: 5x + 3y = 21 dan 2x + 7y = 20
Pembahasan:
Eliminasi x: (1)×2, (2)×5:
10x + 6y = 42
10x + 35y = 100
Kurangkan: 29y = 58 → y = 2
Substitusi: 5x + 3(2) = 21 → 5x = 15 → x = 3
Penyelesaian: x = 3, y = 2
● Tingkat Sulit
Soal 1. Sebuah kapal berlayar searah arus menempuh jarak 120 km dalam 4 jam. Saat melawan arus, kapal menempuh 90 km dalam 5 jam. Tentukan kecepatan kapal di air tenang dan kecepatan arus.
Pembahasan:
Kecepatan searah arus: v₁ = 120/4 = 30 km/jam → x + y = 30
Kecepatan melawan arus: v₂ = 90/5 = 18 km/jam → x − y = 18
Eliminasi: Jumlahkan: 2x = 48 → x = 24
Substitusi: 24 + y = 30 → y = 6
Kecepatan kapal = 24 km/jam, kecepatan arus = 6 km/jam
Soal 2. Suatu ujian terdiri dari 30 soal. Jawaban benar mendapat skor +4, jawaban salah −1. Seorang siswa menjawab semua soal dan mendapat skor 70. Berapa soal yang dijawab benar?
Pembahasan:
Misalkan benar = x, salah = y
x + y = 30 … (1)
4x − y = 70 … (2)
Eliminasi: Jumlahkan: 5x = 100 → x = 20
Substitusi: y = 30 − 20 = 10
Jawaban benar = 20 soal, salah = 10 soal
Soal 3. Dua tahun yang lalu jumlah umur ayah dan ibu 80 tahun. Lima tahun yang akan datang umur ayah 5 tahun lebih tua dari ibu. Tentukan umur mereka sekarang.
Pembahasan:
Misalkan umur ayah = x, umur ibu = y (sekarang)
2 tahun lalu: (x−2) + (y−2) = 80 → x + y = 84 … (1)
5 tahun akan datang: (x+5) = (y+5) + 5 → x − y = 5 … (2)
Eliminasi: Jumlahkan: 2x = 89 → x = 44,5
Substitusi: y = 84 − 44,5 = 39,5
Umur ayah = 44,5 tahun, umur ibu = 39,5 tahun
(Atau dalam soal ujian biasanya bulat: x + y = 84 dan x − y = 5 → x = 44.5 — ini tergantung konteks soal)
Soal 4. Seorang pedagang mencampur kopi jenis A seharga Rp60.000/kg dengan kopi jenis B seharga Rp40.000/kg. Campuran 10 kg dijual dengan harga Rp48.000/kg. Tentukan banyak masing-masing kopi.
Pembahasan:
x + y = 10 … (1) (total berat)
60x + 40y = 480 … (2) (total harga, dalam ribuan)
Sederhanakan (2): 3x + 2y = 24
Eliminasi: (1)×2: 2x + 2y = 20
Kurangkan: x = 4
Substitusi: 4 + y = 10 → y = 6
Kopi A = 4 kg, Kopi B = 6 kg
Soal 5. Seorang penabung menyimpan uang di bank A dengan bunga 8% per tahun dan di bank B dengan bunga 10% per tahun. Total uang yang ditabung Rp20.000.000. Setelah setahun, total bunga yang diterima Rp1.720.000. Tentukan tabungan di masing-masing bank.
Pembahasan:
x + y = 20.000.000 … (1)
0,08x + 0,10y = 1.720.000 … (2)
Kalikan (2) × 100: 8x + 10y = 172.000.000
Eliminasi: (1)×8: 8x + 8y = 160.000.000
Kurangkan: 2y = 12.000.000 → y = 6.000.000
Substitusi: x = 20.000.000 − 6.000.000 = 14.000.000
Tabungan bank A = Rp14.000.000, bank B = Rp6.000.000
Latihan Soal Metode Campuran
● Tingkat Mudah
- Selesaikan: x + y = 12 dan x − y = 4
- Selesaikan: 3x + y = 10 dan x + y = 6
- Selesaikan: 2x + y = 11 dan x − y = 1
- Selesaikan: x + 3y = 14 dan x − y = 2
- Selesaikan: 4x + y = 17 dan 2x + y = 9
● Tingkat Sedang
- Selesaikan: 3x + 5y = 29 dan 2x + 3y = 18
- Selesaikan: 4x − y = 9 dan 2x + 3y = 13
- Selesaikan: 5x + 2y = 19 dan 3x − 4y = −1
- Selesaikan: 2x + 7y = 31 dan x + 3y = 14
- Selesaikan: 6x + 5y = 32 dan 4x − 3y = 2
● Tingkat Sulit
- Dalam suatu ujian 40 soal, jawaban benar bernilai +3 dan salah −1. Seorang siswa menjawab semua dan mendapat nilai 80. Tentukan jumlah jawaban benar dan salah.
- Sebuah pesawat terbang searah angin menempuh 2.400 km dalam 3 jam. Melawan angin menempuh 2.000 km dalam 4 jam. Tentukan kecepatan pesawat dan angin.
- Campuran 5 liter larutan A dan 3 liter larutan B mengandung 40% garam. Campuran 2 liter larutan A dan 6 liter larutan B mengandung 50% garam. Tentukan konsentrasi garam tiap larutan.
- Seorang investor menginvestasikan Rp50.000.000 ke dua instrumen. Instrumen P memberikan return 12%/tahun dan Q memberikan 7%/tahun. Total return setahun Rp4.750.000. Tentukan investasi di masing-masing instrumen.
- Sebuah toko menjual campuran kacang mete dan almond. 3 kg mete + 2 kg almond dijual Rp310.000. 1 kg mete + 4 kg almond dijual Rp340.000. Tentukan harga per kg masing-masing.
Ringkasan Perbandingan Metode
| Metode | Kelebihan | Kekurangan | Cocok Digunakan Saat |
|---|---|---|---|
| Grafik | Visual, mudah dipahami konsepnya | Kurang teliti untuk nilai pecahan | Koefisien sederhana, jawaban bilangan bulat |
| Substitusi | Sistematis, selalu bisa digunakan | Rumit jika koefisien besar | Salah satu variabel berkoefisien 1 |
| Eliminasi | Langsung tanpa perlu mengubah bentuk | Perlu menyamakan koefisien dua kali | Koefisien mudah disamakan |
| Campuran | Paling efisien, gabungan terbaik | Perlu pemahaman kedua metode | Sebagian besar kasus SPLDV |