Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
📘 Materi: Pengertian SPLDV
A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Sebelum memahami Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, kita perlu memahami terlebih dahulu apa itu Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV).
Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu (derajat satu).
Bentuk Umum PLDV:
ax + by = c
dengan:
- a dan b adalah koefisien (bilangan real, a ≠ 0 atau b ≠ 0)
- x dan y adalah variabel
- c adalah konstanta
Contoh PLDV:
- 2x + 3y = 12
- x − y = 5
- 4x + y = 10
B. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang memiliki variabel-variabel yang sama dan diselesaikan secara bersamaan (simultan).
Bentuk Umum SPLDV:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
dengan a₁, a₂, b₁, b₂ adalah koefisien dan c₁, c₂ adalah konstanta.
Ciri-ciri SPLDV:
- Terdiri dari dua atau lebih persamaan linear.
- Memiliki dua variabel yang sama (biasanya x dan y).
- Setiap variabel berderajat satu (pangkat tertinggi variabel adalah 1).
- Penyelesaian SPLDV adalah pasangan berurutan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.
Contoh SPLDV:
x + y = 7
x − y = 3
Penyelesaiannya adalah x = 5 dan y = 2, karena memenuhi kedua persamaan.
C. Himpunan Penyelesaian SPLDV
Himpunan penyelesaian SPLDV adalah himpunan semua pasangan berurutan (x, y) yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.
Secara geometris, penyelesaian SPLDV merupakan titik potong dari dua garis lurus yang merupakan grafik masing-masing persamaan.
Notasi Himpunan Penyelesaian:
HP = {(x, y)}
D. Jenis-jenis Penyelesaian SPLDV
Berdasarkan posisi dua garis pada bidang koordinat, SPLDV memiliki tiga kemungkinan penyelesaian:
| Jenis | Kondisi Garis | Jumlah Penyelesaian | Syarat |
|---|---|---|---|
| Satu penyelesaian | Berpotongan di satu titik | Tepat satu | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ |
| Tak berhingga penyelesaian | Berimpit (sama) | Tak berhingga | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ |
| Tidak ada penyelesaian | Sejajar | Nol | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ |
E. Ilustrasi Grafik SPLDV
Berikut ilustrasi tiga kemungkinan posisi dua garis pada bidang koordinat:
Berpotongan
(1 penyelesaian)
Berimpit
(∞ penyelesaian)
Sejajar
(0 penyelesaian)
F. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan situasi berikut:
“Harga 2 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp16.000. Harga 4 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp18.000.”
Amati bahwa situasi tersebut melibatkan dua besaran yang belum diketahui (harga buku tulis dan harga pensil), serta terdapat dua informasi (persamaan) yang menghubungkan keduanya.
❓ Menanya
- Bagaimana cara menyatakan situasi di atas ke dalam bentuk matematika?
- Apa yang dimaksud dengan variabel, koefisien, dan konstanta dalam persamaan tersebut?
- Bagaimana cara menentukan harga masing-masing barang?
- Apakah selalu ada penyelesaian untuk setiap SPLDV?
💡 Menalar
Dari situasi di atas, misalkan:
- x = harga satu buku tulis
- y = harga satu pensil
Maka diperoleh SPLDV:
2x + 3y = 16.000
4x + y = 18.000
Kedua persamaan ini membentuk sebuah sistem karena memiliki variabel yang sama dan harus diselesaikan secara bersamaan.
🧪 Mencoba
Cobalah langkah berikut:
- Tentukan apakah pasangan (x = 4.000, y = 2.000) memenuhi kedua persamaan di atas.
- Substitusi ke persamaan 1: 2(4.000) + 3(2.000) = 8.000 + 6.000 = 14.000 ≠ 16.000 ❌
- Maka bukan penyelesaian. Coba pasangan lain: (x = 4.000, y = 2.667)…
- Dengan cara coba-coba, kita akan menemukan penyelesaian yang tepat. Namun, metode penyelesaian yang lebih efisien akan dibahas di materi selanjutnya.
📢 Mengkomunikasikan
Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
- SPLDV terdiri dari dua atau lebih persamaan linear dengan dua variabel yang sama.
- Penyelesaian SPLDV adalah pasangan nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem.
- Secara geometris, penyelesaian SPLDV adalah titik potong dua garis lurus.
- SPLDV dapat memiliki tepat satu, tak berhingga, atau tidak ada penyelesaian.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan apakah pasangan (x = 3, y = 4) merupakan penyelesaian dari SPLDV berikut:
x + y = 7
x − y = −1
Pembahasan:
Substitusi x = 3, y = 4 ke persamaan 1:
3 + 4 = 7 ✓ (benar)
Substitusi ke persamaan 2:
3 − 4 = −1 ✓ (benar)
Kesimpulan: Ya, (3, 4) adalah penyelesaian SPLDV tersebut.
Contoh 2:
Tentukan apakah pasangan (x = 5, y = 1) merupakan penyelesaian dari SPLDV:
2x + y = 11
x − y = 4
Pembahasan:
Persamaan 1: 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11 ✓
Persamaan 2: 5 − 1 = 4 ✓
Kesimpulan: Ya, (5, 1) adalah penyelesaian.
Contoh 3:
Nyatakan permasalahan berikut ke dalam bentuk SPLDV:
“Jumlah dua bilangan adalah 10. Selisih kedua bilangan tersebut adalah 4.”
Pembahasan:
Misalkan bilangan pertama = x, bilangan kedua = y
Jumlah: x + y = 10
Selisih: x − y = 4
SPLDV:
x + y = 10
x − y = 4
Contoh 4:
Manakah yang merupakan SPLDV?
a) x + y = 5 dan 2x − y = 1
b) x² + y = 3 dan x + y = 2
c) 3x + 4y = 12 dan x − 2y = 0
Pembahasan:
a) ✓ SPLDV — kedua persamaan linear (pangkat variabel = 1), dua variabel sama.
b) ✗ Bukan SPLDV — persamaan pertama memiliki x² (bukan linear).
c) ✓ SPLDV — kedua persamaan linear dengan variabel x dan y.
Contoh 5:
Tentukan koefisien dan konstanta pada SPLDV berikut:
3x + 2y = 12
x − 5y = 7
Pembahasan:
| Persamaan | Koefisien x | Koefisien y | Konstanta |
|---|---|---|---|
| Persamaan 1 | 3 | 2 | 12 |
| Persamaan 2 | 1 | −5 | 7 |
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Nyatakan masalah berikut dalam bentuk SPLDV dan tentukan variabel-variabelnya:
“Harga 3 kg apel dan 2 kg jeruk adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel dan 4 kg jeruk adalah Rp75.000.”
Pembahasan:
Misalkan: x = harga 1 kg apel, y = harga 1 kg jeruk
Dari informasi pertama: 3x + 2y = 85.000
Dari informasi kedua: x + 4y = 75.000
3x + 2y = 85.000
x + 4y = 75.000
Contoh 7:
Tentukan jenis penyelesaian SPLDV berikut (satu, tak berhingga, atau tidak ada):
2x + 4y = 8
x + 2y = 4
Pembahasan:
Periksa perbandingan koefisien:
a₁/a₂ = 2/1 = 2
b₁/b₂ = 4/2 = 2
c₁/c₂ = 8/4 = 2
Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, maka kedua garis berimpit.
Kesimpulan: SPLDV memiliki tak berhingga penyelesaian.
Contoh 8:
Tentukan jenis penyelesaian SPLDV berikut:
x + 2y = 6
2x + 4y = 10
Pembahasan:
a₁/a₂ = 1/2
b₁/b₂ = 2/4 = 1/2
c₁/c₂ = 6/10 = 3/5
Karena a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, maka kedua garis sejajar.
Kesimpulan: SPLDV tidak memiliki penyelesaian.
Contoh 9:
Diketahui SPLDV:
x + y = 8
2x − y = 7
Tunjukkan bahwa (5, 3) adalah penyelesaian dan tentukan HP-nya.
Pembahasan:
Persamaan 1: 5 + 3 = 8 ✓
Persamaan 2: 2(5) − 3 = 10 − 3 = 7 ✓
Kedua persamaan terpenuhi.
HP = {(5, 3)}
Contoh 10:
Umur Ani 3 tahun lebih tua dari Budi. Jumlah umur mereka adalah 29 tahun. Nyatakan dalam SPLDV dan tentukan variabelnya.
Pembahasan:
Misalkan: x = umur Ani, y = umur Budi
Ani 3 tahun lebih tua: x = y + 3 → x − y = 3
Jumlah umur: x + y = 29
x − y = 3
x + y = 29
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan nilai k agar SPLDV berikut memiliki tepat satu penyelesaian:
kx + 2y = 10
3x + y = 5
Pembahasan:
SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian jika a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
k/3 ≠ 2/1
k ≠ 6
Kesimpulan: SPLDV memiliki tepat satu penyelesaian untuk semua nilai k ≠ 6.
Contoh 12:
Tentukan nilai a dan b agar SPLDV berikut memiliki tak berhingga penyelesaian:
2x + ay = 6
bx + 3y = 9
Pembahasan:
Syarat berimpit: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
2/b = a/3 = 6/9
6/9 = 2/3
Dari 2/b = 2/3 → b = 3
Dari a/3 = 2/3 → a = 2
Kesimpulan: a = 2 dan b = 3
Contoh 13:
Diketahui SPLDV:
(m+1)x + 4y = 2m
3x + (m−1)y = m+3
Tentukan nilai m agar sistem tidak memiliki penyelesaian.
Pembahasan:
Syarat tidak ada penyelesaian: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Dari (m+1)/3 = 4/(m−1):
(m+1)(m−1) = 12
m² − 1 = 12
m² = 13
m = ±√13
Verifikasi bahwa c₁/c₂ ≠ a₁/a₂ untuk kedua nilai:
Untuk m = √13: periksa 2√13/(√13+3) ≠ (√13+1)/3
Kedua nilai perlu diverifikasi satu per satu dengan syarat ketiga.
Kesimpulan: m = √13 atau m = −√13 (dengan verifikasi syarat ketiga).
Contoh 14:
Sebuah bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angkanya adalah 12. Jika kedua angka dibalik posisinya, bilangan baru yang terbentuk lebih besar 36 dari bilangan semula. Nyatakan dalam SPLDV.
Pembahasan:
Misalkan angka puluhan = x, angka satuan = y
Bilangan semula = 10x + y
Bilangan baru (dibalik) = 10y + x
Jumlah angka: x + y = 12
Bilangan baru lebih besar 36:
(10y + x) − (10x + y) = 36
9y − 9x = 36
y − x = 4 atau −x + y = 4
x + y = 12
−x + y = 4
Contoh 15:
Tentukan semua nilai p agar SPLDV berikut konsisten (memiliki penyelesaian):
px + 6y = p + 6
2x + py = 2 + p
Pembahasan:
Sistem konsisten jika memiliki satu atau tak berhingga penyelesaian.
Sistem tidak konsisten (inkonsisten) jika: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
Cek kapan inkonsisten: p/2 = 6/p
p² = 12 → p = ±2√3
Cek syarat ketiga: c₁/c₂ = (p+6)/(2+p)
Untuk p = 2√3: a₁/a₂ = 2√3/2 = √3
c₁/c₂ = (2√3+6)/(2+2√3) = 2(√3+3)/2(1+√3) = (√3+3)/(1+√3) = (√3+3)(√3−1)/((√3+1)(√3−1)) = (3−√3+3√3−3)/2 = 2√3/2 = √3
Karena c₁/c₂ = a₁/a₂ = √3, ini berimpit (konsisten).
Untuk p = −2√3: a₁/a₂ = −2√3/2 = −√3
c₁/c₂ = (−2√3+6)/(2−2√3) = 2(3−√3)/2(1−√3) = (3−√3)/(1−√3) = (3−√3)(1+√3)/((1−√3)(1+√3)) = (3+3√3−√3−3)/(1−3) = 2√3/(−2) = −√3
Karena c₁/c₂ = a₁/a₂ = −√3, ini juga berimpit (konsisten).
Kesimpulan: Sistem konsisten untuk semua nilai p (termasuk p = ±2√3 yang menghasilkan garis berimpit).
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
Tingkat Mudah
1. Tentukan apakah pasangan (x = 2, y = 5) merupakan penyelesaian dari SPLDV:
x + y = 7 dan 3x − y = 1
2. Nyatakan permasalahan berikut ke dalam SPLDV:
“Jumlah dua bilangan adalah 15. Dua kali bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan 6.”
3. Tentukan koefisien dan konstanta dari SPLDV:
5x − 3y = 9 dan 2x + y = 7
4. Manakah yang merupakan SPLDV?
a) x + y = 4 dan xy = 3
b) 2x − y = 1 dan x + 3y = 10
c) x² + y² = 25 dan x + y = 7
5. Tentukan HP dari SPLDV berikut jika diketahui penyelesaiannya adalah (4, 2). Buktikan dengan substitusi:
x + y = 6 dan x − y = 2
Tingkat Sedang
6. Nyatakan permasalahan berikut dalam SPLDV:
“Harga 4 tiket dewasa dan 3 tiket anak adalah Rp165.000. Harga 2 tiket dewasa dan 5 tiket anak adalah Rp135.000.”
7. Tentukan jenis penyelesaian SPLDV berikut:
3x − 6y = 9 dan x − 2y = 3
8. Tentukan jenis penyelesaian SPLDV berikut:
4x + 2y = 10 dan 6x + 3y = 12
9. Perimeter sebuah persegi panjang adalah 48 cm. Panjangnya 6 cm lebih dari lebarnya. Nyatakan dalam SPLDV dengan x = panjang dan y = lebar.
10. Tentukan apakah (x = −1, y = 4) merupakan penyelesaian SPLDV:
3x + 2y = 5 dan x − y = −5
Tingkat Sulit
11. Tentukan nilai k agar SPLDV berikut tidak memiliki penyelesaian:
kx + 3y = 6 dan 4x + 6y = 10
12. Tentukan nilai a dan b agar SPLDV berikut memiliki tak berhingga penyelesaian:
ax + 4y = 10 dan 3x + by = 15
13. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angkanya adalah 9. Jika posisi angka dibalik, bilangan baru 27 lebih besar dari bilangan semula. Nyatakan dalam SPLDV.
14. Tentukan semua nilai m agar SPLDV berikut memiliki tepat satu penyelesaian:
(m−2)x + 5y = 3 dan 4x + (m+3)y = 7
15. Diberikan SPLDV:
px + qy = p² + q dan qx + py = p + q²
Tunjukkan bahwa (x = p, y = 1) selalu merupakan penyelesaian untuk semua nilai p dan q (dengan p ≠ q).